Duração: 9 miutos Grupo I Probabilidades e Estatística TODOS OS CURSOS Justifique coveietemete todas as respostas 1 o semestre 217/218 3/1/218 11:3 1 o Teste C 1 valores 1. A Marta e o João irão passar férias a Barceloa o mês de julho, sedo.3 a probabilidade de viajarem a primeira quizea desse mês. Caso viajem a primeira (resp. seguda quizea de julho, a probabilidade de visitarem o museu Picasso é.77 (resp..63. Para essa viagem a Barceloa: (a Determie a probabilidade de a Marta e o João visitarem o museu Picasso. (2.5 Quadro de acotecimetos e probabilidades Acotecimeto Probabilidade V Marta e João viajam a primeira quizea de julho} P(V.3 M Marta e João visitam o museu Picasso} P(M? Probabilidade pedida Ivocado a lei da probabilidade total, tem-se P(M P(M V P(V + P(M V P(V.77.3 +.63 (1.3.692 P(M V.77 P(M V.63 (b Se a Marta e o João visitarem o museu Picasso, calcule a probabilidade de que viajem a Barceloa (2.5 a primeira quizea de julho. Tirado partido do teorema de Bayes, segue-se P(V M P(M V P(V P(M.77.3 (a.692.79716. 2. Um pequeo fabricate de aparelhos elétricos possui uma carteira de 2 clietes etre os quais 5 possuem iformações úteis para melhorar o processo de fabrico dos aparelhos. (a Selecioados ao acaso clietes dessa carteira, qual é a probabilidade de pelo meos um deles (2. possuir iformações úteis? Variável aleatória de iteresse X úmero de clietes com iformações úteis, uma amostra de clietes selecioados ao acaso e SEM reposição da carteira com 2 clietes, dos quais 5 possuem iformações úteis Distribuição de X X Hipergeométrica(N, M, com: N 2 (total de clietes da carteira; M 5 (total de clietes da carteira com iformações úteis; (clietes selecioados ao acaso e SEM reposição. Págia 1 de 5
F.p. de X P(X x f or m. ( M x ( N M x, x max, (N M},...,mi, M} ( N, caso cotrário ( x( 5 2 5 x, x,1,2,3, ( 2, caso cotrário P(X 1 1 P(X ( 5 2 5 ( 1 1 1 ( 2 ( 15 ( 2 15!!11! 2!!16! 1 15!16! 11! 2! 15 1 13 12 11! 16! 1 11! 2 19 18 17 16! 15 1 13 12 1 2 19 18 17 1 91 323 232 323.718266. (b Obteha o valor esperado e a variâcia do úmero de clietes que possuem iformações úteis etre (1. os clietes selecioados ao acaso. Valor esperado de X f or m M E(X N 5 2 1 Variâcia de X f or m M N M N V (X N N N 1 5 2 2 5 2 2 2 1 12 19. (c Qual é a probabilidade de, etre os clietes selecioados ao acaso, somete o terceiro cliete (2. possuir iformações úteis? Cosidere-se que I i represeta o eveto i ésimo cliete selecioado possui iformações úteis, para i 1,2,3,. Etão, ao ivocar a lei da probabilidade composta e defiição de probabilidade de Laplace, temos P(Ī 1 Ī 2 I 3 Ī P(Ī 1 P(Ī 2 Ī 1 P(I 3 Ī 1 Ī 2 P(Ī Ī 1 Ī 2 I 3 15 2 1 19 5 18 13 17 Págia 2 de 5
P(Ī 1 Ī 2 I 3 Ī 55 3876.117389. Grupo II 1 valores 1. Cosidere que a variável aleatória X represeta a cocetração de determiado gás uma mistura e possui fução de distribuição, x < F X (x 1 (1 x 3, x 1 1, x > 1, valor esperado E(X 1 e variâcia V (X 3 8. (a Calcule P(X.8 X >.5. (1.5 V.a. de iteresse, f.d., valor esperado e variâcia X cocetração de determiado gás uma mistura, x < F X (x 1 (1 x 3, x 1 1, x > 1, E(X 1 V (X 3 8 P(X.8 X >.5 P(X.8 X >.5 P(X >.5 P(.5 < X.8 1 P(X.5 F X (.8 F X (.5 1 F X (.5 [1 (1.83 ] [1 (1.5 3 ] 1 [1 (1.5 3 ].53.2 3.5 3.936. (b Determie a mediaa e a fução de desidade de probabilidade de X. (2. Mediaa de X me me(x (,1 : F X (me 1 2 F.d.p. de X 1 (1 me 3 1 2 (1 me 3.5 me 1.5 1/3 me.26299. f X (x df X (x dx d[1 (1 x 3 ] dx 3(1 x 2, x 1 Págia 3 de 5
(c Sejam X 1,..., X 1 variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas a X. Calcule um (2.5 valor aproximado para a probabilidade de X 1 1 1 i1 X i ser superior a.27. V.a. X i cocetração de determiado gás a mistura i, 1 Distribuição, valor esperado e variâcia comus i.i.d. X i X, i 1,..., E(X i E(X µ 1, i 1,..., V (X i V (X 2 3 8, i 1,..., i 1,..., V.a. de iteresse X 1 i1 X i cocetração média de determiado gás em misturas Valor esperado e variâcia de X E( X E ( 1 i1 X i 1 V ( X V ( 1 i1 X i Xi idep. i1 E(X i X i X 1 E(X E(X µ 1 2 i1 V (X i X i X 1 V (X V (X 2 2 Distribuição aproximada de X Pelo teorema do limite cetral (TLC pode escrever-se X E( X V ( X X µ a Normal(,1. Valor aproximado da probabilidade pedida P( X >.27 1 P( X.27 ( X µ 1 P.27 µ T LC.27 1 1 Φ 3 8 1 1 Φ(1.3 tabel a/calc 1.885.1515. 2. Seja (X,Y um par aleatório cotíuo, ode X e Y represetam os tempos até falha (em 1 hora de cada uma de duas compoetes eletróicas, com a fução de desidade de probabilidade cojuta dada por f X,Y (x, y, caso cotrário. (a Calcule P(X.5. (2. Par aleatório (X,Y X tempo até falha da compoete 1 Y tempo até falha da compoete 2 F.d.p. cojuta de (X,Y f X,Y (x, y Págia de 5
F.d.p. margial de X f X (x + P(X.5 f X,Y (x, yd y 2x d y 2x, < x < 1.5 x 2.5.25. f X (xdx (b Deduza a fução de desidade de probabilidade margial de Y e averigúe se as variáveis aleatórias (2. X e Y são idepedetes. F.d.p. margial de Y f Y (y + 1y 2 f X,Y (x, ydx dx 1 y 2, < y < 2 Averiguação de idepedêcia X e Y são v.a. INDEPENDENTES sse f X,Y (x, y f X (x f Y (y, (x, y R 2. Por um lado, temos f X,Y (x, y Por outro lado, Logo f X (x f Y (y ( y 2x 1 2, < x < 1 e < y < 2 f X,Y (x, y f X (x f Y (y, para < x < 1 e < y < 2, e, como tal, X e Y são v.a. DEPENDENTES. [Em alterativa, poderíamos referir que, por um lado, temos f X,Y (.1,.5. Por outro lado, Logo f X (.1 f Y (.5 (2.1.15. f X,Y (.1,.5 f X (.1 f Y (.5, e, como tal, X e Y são v.a. DEPENDENTES.] ( 1.5 2 Págia 5 de 5