Teoria das Probabilidades

08/06/07 Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Estatística Aplicada I Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Capítulo II Teoria das Probabilidades Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica

08/06/07 Teoria das Probabilidades - Sumário Introdução Aleatoriedade Experimento aleatório Espaço amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade Teoria das Probabilidades - Sumário Teoremas fundamentais Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos Espaços amostrais finitos equiprováveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independência estatística Teorema de Bayes

08/06/07 Teoria das Probabilidades - Sumário Introdução Aleatoriedade Experimento aleatório Espaço amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade. Introdução A estatística tem por objetivo obter, organizar e analisar dados estatísticos, a fim de descrevê-los e explicá-los, além de determinar possíveis correlações e nexos causais. A estatística se utiliza das teorias probabilísticas para explicar a frequência da ocorrência de eventos, tanto em estudos observacionais quanto experimentais. Em outras palavras, a estatística procura modelar a aleatoriedade e a incerteza de forma a estimar ou possibilitar a previsão de fenômenos futuros, conforme o caso. 3

08/06/07. Introdução Estudo dos fenômenos de observação: deve-se distinguir o próprio fenômeno e o modelo matemático que melhor o explique, se determinístico ou probabilístico. Modelo determinístico: Adotado para explicar fenômenos submissos às leis sistemáticas. Baseia-se, portanto, num encadeamento em que a relação causa-efeito pressupõe nexos definidos em forma unívoca e imutável.. Introdução Modelo probabilístico: Adotado para explicar os fenômenos aleatórios, que são aqueles cujos resultados, mesmo em condições normais de experimentação, variam de uma observação para outra, dificultando dessa maneira a previsão de um resultado futuro. Portanto, esses fenômenos são insubmissos às leis sistemáticas, pois são regidos ou influenciados pelo acaso. 4

08/06/07. Introdução A estatística estuda os fenômenos aleatórios e o modelo matemático será o cálculo das probabilidades. Diante de um acontecimento aleatório é possível, às vezes, atribuir-lhe uma lei ou distribuição de probabilidade. Teoria das Probabilidades - Sumário Introdução Aleatoriedade Experimento aleatório Espaço amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade 5

08/06/07. Aleatoriedade Aleatoriedade ou acontecimento aleatório pode ser explicado considerando-se as seguintes afirmações: (a) Se x + 8 = 3x 4, então x = 6; (b) A próxima carta retirada de um baralho será um ás. A afirmação (a) pode ser confirmada ou negada de forma conclusiva, utilizando-se elementos da matemática; é uma afirmação categórica (verdadeira ou falsa). Na afirmativa (b), entretanto, somente pode ser afirmado que o fato é possível, mas que é possível, também, a saída de qualquer uma das 5 cartas do baralho.. Aleatoriedade No segundo caso somente a realização do experimento permitirá estabelecer se a afirmação é falsa ou verdadeira; trata-se de um acontecimento aleatório Em geral, os acontecimentos aleatórios se caracterizam por admitirem dois ou mais resultados possíveis, e não se tem elementos de juízo suficientes para predizer qual deles ocorrerá em um determinado experimento. 6

08/06/07 Teoria das Probabilidades - Sumário Introdução Aleatoriedade Experimento aleatório Espaços amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade.3 Experimento Aleatório Características: Para que um experimento seja considerado aleatório é necessário que apresente as seguintes características:. Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições;. Não se conhece, a priori, um particular valor do experimento; entretanto, pode-se descrever todos os possíveis resultados (as possibilidades); 7

08/06/07.3 Experimento Aleatório Características: 3. Quando o experimento for repetido um grande número de vezes surgirá uma regularidade na apresentação dos resultados, ou seja, ocorrerá uma estabilização da fração frequência relativa: r f = n onde: n é o número de repetições, e r é o número de sucessos de um particular resultado estabelecido antes da realização do experimento..3 Experimento Aleatório Exemplos: Jogar um dado e observar o número mostrado na face superior. Jogar uma moeda um certo número de vezes e observar o número de coroas obtidas. Contar o número de peças defeituosas da produção diária da máquina A. 8

08/06/07 Teoria das Probabilidades - Sumário Introdução Aleatoriedade Experimento aleatório Espaço amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade.4 Espaço Amostral Definição: Para cada experimento aleatório, E, define-se espaço amostral S como o conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento (Fonseca e Martins, 996). - Exemplos: a) E: jogar um dado e observar o número na face superior. S = {,, 3, 4, 5, 6} b) E: lançar duas moedas e observar o resultado. S = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)}, onde c- cara e k- coroa. 9

08/06/07.4 Espaço Amostral - Exemplos: c) E: Fabricar um lâmpada, colocá-la em um suporte, acendê-la e registrar o tempo de funcionamento até fundir o filamento: S = {t : t 0} d) E: Registrar a temperatura continuamente durante um período de 4 horas em uma determinada localidade; as temperaturas mínima e máxima são registradas: S = {(x, y) : x y}, onde x é a temperatura mínima e y a máxima.4 Espaço Amostral - Exemplos: e) E: Admitir que a temperatura mínima nessa localidade não poderá ser menor que um certo valor (m) e a temperatura máxima não poderá ser superior a um certo valor (M). S = {(x, y) : m x y M} 0

08/06/07 Teoria das Probabilidades - Sumário Introdução Aleatoriedade Experimento aleatório Espaço amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade.5 Evento Definição: É um conjunto de resultados do experimento. Em analogia com os conjuntos, é um subconjunto de S. Observação: - Em particular, o espaço amostral, S, e o conjunto vazio,, são eventos. - S é dito o evento certo e o evento impossível.

08/06/07.5 Evento - Exemplo : E: lançar o dado e observar o número da face superior. S = {,, 3, 4, 5, 6} Eventos: A: ocorrer número par: A = {, 4, 6} B: ocorrer número impar: B = {, 3, 5} C: ocorrer número múltiplo de e 3: C = {6}..5 Evento - Exemplo : E: jogar três moedas e observar o resultado. (c- cara; k- coroa). S = {(c, c, c), (c, c, k), (k, c, c), (c, k, c), (k, k, k), (k, k, c), (c, k, k), (k, c, k)} Eventos: A: ocorrer pelo menos duas caras: A = {(c, c, k), (k, c, c), (c, k, c), (c, c, c)} B: ocorrer somente coroa: B = {(k, k, k)}.

08/06/07.5 Evento Observações: - Sendo S um espaço amostral finito com n elementos, podese verificar que o número total de eventos extraídos de S é dado por n ; - No exemplo (lançamento do dado), o número total de eventos é 6 = 64..5 Evento Observações: - A partir do uso das operações com conjuntos, novos eventos podem ser formados: a) A B é o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem; b) A B é o evento que ocorre se A e B ocorrem simultaneamente; c) A é o evento que ocorre se A não ocorre. 3

08/06/07.5 Evento - Exemplo: E: lançar um dado e observar o resultado. S = {,, 3, 4, 5, 6} A = ocorrer número múltiplo de : A = {, 4, 6} B = ocorrer número múltiplo de 3: B = {3, 6} A B = {, 3, 4, 6} A B = {6} A = {, 3, 5} A B = {,, 3, 4, 5} Teoria das Probabilidades - Sumário Introdução Aleatoriedade Experimento aleatório Espaço amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade 4

08/06/07.6 Eventos Mutuamente exclusivos Dois eventos A e B são denominados mutuamente exclusivos se os mesmos não puderem ocorrer simultaneamente, ou seja, A B Exemplo: E: lançar um dado e observar o resultado. S = {,, 3, 4, 5, 6} A = ocorre número par A = {, 4, 6} B = ocorrer número ímpar B = {, 3, 5} A B ; logo, A e B são mutuamente exclusivos, pois a ocorrência de um número que seja par e ímpar não pode ser verificada como decorrência do mesmo evento. Teoria das Probabilidades - Sumário Introdução Aleatoriedade Experimento aleatório Espaço amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade 5

08/06/07.7 Probabilidade Definição: - Dado um experimento aleatório E, sendo S o seu espaço amostral, a probabilidade de um evento A ocorrer, P(A), é uma função definida em S que associa a cada evento um número real, satisfazendo os seguintes axiomas: (i) 0 P(A) ; (ii) P(S) = ; (iii) Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos A B, então P( A B ) P( A) P( B ) Teoria das Probabilidades - Sumário Teoremas fundamentais Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos Espaços amostrais finitos equiprováveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independência estatística Teorema de Bayes 6

08/06/07.8 Teoremas Fundamentais T: Se é o conjunto vazio, então P( ) 0. Demonstração: - Seja A um evento qualquer, A e são disjuntos, pois A ; - Então, de (iii), temos que P( A ) P( A) P( ) ; - Como A A, então P( A) P( A) P( ) ou P( ) P( A) P( A) - Logo P( ) 0..8 Teoremas Fundamentais T: Se Ā é o complemento do evento A, então P(Ā) = P(A). Demonstração: - Do diagrama, pode-se escrever S A A. - Como A A (são mutuamente exclusivos), P( A A ) P( A) P( A ) P( S ) P( A) P( A ); - De (ii) = P(A) + P(Ā), S A Ā - Logo P(Ā) = P(A). 7

08/06/07.8 Teoremas Fundamentais T3: Se Demonstração: A B, então P(A) P(B). - Do diagrama, pode-se escrever que B A( A B ). - Como A ( A B ) (são mutuamente exclusivos), P( B ) P( A) P( A B ), e P( A B ) P( B ) P( A ) P(B) P(A) 0, (de i), tem-se que S A B P(A) P(B)..8 Teoremas Fundamentais T4: (Teorema da soma) Se A e B são dois eventos quaisquer, então P( A B ) P( A) P( B ) P( A B ). Demonstração: a) Se A e B são mutuamente exclusivos ( A B ), recai-se no axioma (iii); S A A B B 8

08/06/07.8 Teoremas Fundamentais Demonstração: b) Se A e B não são mutuamente exclusivos ( A B ), tem-se: - Os eventos A e ( A B ) são mutuamente exclusivos; logo, pelo axioma (iii) P[ A( A B )] P( A B ) P( A) P( A B ) - Mas, B é a união dos eventos mutuamente exclusivos ( B A ) e ( B A ); - Logo, P( B ) P( A B ) P( A B ). S A A B B.8 Teoremas Fundamentais Demonstração: - Substituindo o valor de P( A B ) na expressão anterior, tem-se: P( A B ) P( A) P( B ) P( A B ) P( B ) - Analogamente, para três eventos tem-se: P( A B C ) P( A ) P( B ) P( C ) P( A B C ) P( A B ) P( A B ) P( A C ) P( B C ) 9

08/06/07.8 Teoremas Fundamentais P(A B) P(A) P(B) P(A B C) P(A C) P(B C) P(C) Teoria das Probabilidades - Sumário Teoremas Fundamentais Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos Espaços amostrais finitos equiprováveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independência estatística Teorema de Bayes 0

08/06/07.9 Probabilidades Finitas dos S Finitos Seja S um espaço amostral finito S = {a, a,..., a n }. Considere-se o evento formado por um resultado simples A = {a i }. A cada evento simples {a i } associa-se um número p i denominado probabilidade de {a i }, que satisfaz as condições: a) p i 0, i =,,..., n b) p + p +...+ p n = A probabilidade de cada evento composto (mais de um elemento) é definida, então, pela soma das probabilidades dos pontos de A..9 Probabilidades Finitas dos S Finitos Exemplo: Três cavalos A, B e C estão em uma corrida. Se A tem duas vezes mais probabilidades de ganhar de B, e B tem duas vezes mais probabilidade de ganhar de C, quais são as probabilidades de cada um dos cavalos ganhar? Qual seria a probabilidade de B ou C ganhar? Solução: P(C) = p ; P(B) =.P(C) = p ; P(A) =.P(B) = 4p Como P(A) + P(B) + P(C) =, então 4p + p + p =, de onde se obtém p = /7. Logo: P(A) = 4/7; P(B) = /7 e P(C) = /7.

08/06/07.9 Probabilidades Finitas dos S Finitos Solução (continuação): - Qual a probabilidade de B ou C ganhar? Do axioma (iii): P( B C ) P( B ) P(C ) = /7 + /7 = 3/7. Teoria das Probabilidades - Sumário Teoremas fundamentais Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos Espaços amostrais finitos equiprováveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independência estatística Teorema de Bayes

08/06/07.0 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis O espaço amostral chama-se equiprovável quando à cada ponto amostral desse espaço está associada a mesma probabilidade. Portanto, se S contém n pontos, então a probabilidade de cada ponto será igual a /n. Se um evento A contém r pontos, então: P( A ) r. n.0 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis Frequentemente, este método de avaliar a probabilidade é enunciado da seguinte forma: nº de vezes em que o evento A pode ocorrer P( A ) nº de vezes em que o espaço amostral S ocorre ou NCF ( nº de casos favoráveis ) P( A ) NTC ( nº total de casos ) 3

08/06/07.0 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis Exemplo : Numa escolha aleatória de uma carta de baralho com 5 cartas, qual a probabilidade de sair um rei? e uma carta de copas? Solução: Seja A = {a carta é um rei} e B = {A carta é de copas} nº de reis P( A ) nº total de cartas P( B ) 4 5 nº de cartas de copas nº total de cartas 3 3 5 4.0 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis Na maioria dos casos, utiliza-se os conhecimentos de análise combinatória (Teoria de Contagem) para se obter o número de casos favoráveis (NCF) e o número total de casos (NTC). Exemplo : De um lote de doze peças onde quatro são defeituosas, retira-se duas peças. Calcular a probabilidade: a) de ambas serem defeituosas; b) de ambas não serem defeituosas; c) de pelo menos uma ser defeituosa. 4

08/06/07.0 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis Soluções: a) A = {ambas são defeituosas} A pode ocorrer C S pode ocorrer C Logo, P( A ) 4,, NCF NTC 4! 4.3.! 6 vezes!( 4 )!..!!..0! 66!( )!..0! 6 66 vezes.0 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis Soluções: b) B = {ambas não são defeituosas} B pode ocorrer C S pode ocorrer C Logo, P( B ) 8,, NCF NTC 8! 8.7.6! 8 vezes!( 8 )!..6!!..0! 66 vezes!( )!..0! 8 66 4 33 5

08/06/07.0 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis Soluções: c) C = {pelo menos uma é defeituosa} C é o complemento de B ou C B P( C ) P( B ) 4 33 9 33 OU.0 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis Soluções: C = { defeituosa e sem defeito}+{ambas defeituosas} C pode ocorrer 4 C S pode ocorrer C Logo, P( C ), NCF NTC 8, C!..0! 66 vezes!( )!..0! 38 66 8, 8! 8! 4!( 8 )!!( 8 )! 9 33 3 6 38 vezes 6

08/06/07 Teoria das Probabilidades - Sumário Teoremas fundamentais Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos Espaços amostrais finitos equiprováveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independência estatística Teorema de Bayes. Probabilidade Condicional Considere o experimento aleatório E: lançar um dado e observar o resultado, e o evento A = {sair o nº 3}. Então P(A) = /6. Considere agora o evento B = {sair um nº ímpar} = {, 3,5}, então P(B) = /. A probabilidade de ocorrer o evento A condicionada à ocorrência do evento B, representada por P(A/B), será P(A/B) = /3. 7

08/06/07. Probabilidade Condicional Com a informação da ocorrência do novo evento, reduz-se o espaço amostral. No exemplo dado, S = {,, 3, 4, 5, 6} foi reduzido para S* = {, 3, 5}, e é neste espaço reduzido que a probabilidade do novo evento é avaliada. Definição: Se A e B são dois eventos, a probabilidade do evento A ocorrer quando o evento B tiver ocorrido é denominada probabilidade condicionada, P(A/B), dada por: P( A / B ) P( A B ), P( B ) P( B ) 0, pois já ocorreu.. Probabilidade Condicional Para o exemplo apresentado, tem-se: P( A / B ) P( A B ) P( B ) 6 3 No caso de aplicações mais complexas é mais prático se utilizar a seguinte fórmula: P( A / B ) P( A B ) P( B ) NCF( A B ) NTC NCF( B ) NTC NCF( A B ) NCF( B ) 8

08/06/07. Probabilidade Condicional Exemplo: No experimento do lançamento de dois dados, considere os eventos: A = {(x,x ) (x + x ) = 0} e B = {(x,x ) x > x }, onde x é o resultado do dado e x o resultado do dado. Avalie P(A), P(B) e P(B/A). Soluções: S = {(,), (,), (,3), (,4), (,5), (,6), A = {(6,4), (5,5), (4,6)} (,), (,), (,3), (,4), (,5), (,6), B = {(,), (3,), (4,), (5,), (3,), (3,), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (6,), (3,), (4,), (5,), (4,), (4,), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,), (4,3), (5,3), (6,3), (5,), (5,), (5,3). (5,4), (5,5), (5,6), (5,4), (6,4), (6,5)} (6,). (6,), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} A B = {(6,4)}. Probabilidade Condicional Soluções: P( A ) P( B ) P( A / P( B / NCF( A ) NTC NCF( B ) 5 NTC 36 NCF( A B ) B ) NCF( B ) A ) 3 36 ; 5 ; NCF( A B ) NCF( A ) 5 3. ; 9

08/06/07 Teoria das Probabilidades - Sumário Teoremas fundamentais Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos Espaços amostrais finitos equiprováveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independência estatística Teorema de Bayes. Teorema do Produto O Teorema do Produto pode ser enunciado a partir da definição de probabilidade condicional, como: A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos, A e B, do mesmo espaço amostral, é igual ao produto da probabilidade de um deles ocorrer pela probabilidade condicional do outro em relação ao primeiro. Assim: P( A / P( B / P( A B ) B ) P( B ) P( A B ) A ) P( A ) P( A P( A B ) B ) P( B ).P( A / P( A ).P( B / B ) A ) 30

08/06/07. Teorema do Produto Exemplo: Em um lote de peças contendo doze unidades onde quatro são defeituosas, duas são retiradas, uma após a outra, sem reposição. Qual a probabilidade de que ambas não sejam defeituosas? Solução: A = { a primeira peça retirada é boa} B = {a segunda peça retirada é boa} P( A B ) P( B ).P( A / B ) 8 7 4 33 Teoria das Probabilidades - Sumário Teoremas fundamentais Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos Espaços amostrais finitos equiprováveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independência estatística Teorema de Bayes 3

08/06/07.3 Independência Estatística Definição: Um evento A é considerado independente de um outro evento, B, se a probabilidade de A é igual a probabilidade de A condicionada a B, ou P( A) P( A / B ) Se A é independente de B, então B é independente de A; logo: P( B ) P( B / A) - Do teorema do produto, pode-se afirmar que, se A e B são independentes, então: P( A B ) P( A).P( B ).3 Independência Estatística - Dados n eventos A, A,..., A n, diz-se que eles são independentes se o forem a ; 3 a 3,..., n a n, isto é: P( A A ) P( A ).P( A );...; P( A P( A A A ) P( A ).P( A ).P( A );...; P( A n A n 3 A ) P( A n n ).P( A n 3 n A ) P( A n ).P( A n ) n ).P( A n ) P( A A... A ) P( A ).P( A ).P( A )...P( A n 3 n ).P( A n ) 3

08/06/07.3 Independência Estatística Exemplo : Uma caixa contém doze peças, sendo quatro defeituosas; retira-se duas peças, uma após a outra, com reposição. Calcular a probabilidade de ambas não possuírem defeitos? Solução: A = {a primeira peça não possui defeito} B = {a segunda peça não possui defeito} - Como a primeira peça foi reposta, B não é condicionado por A, ou seja, A e B são independentes; logo: P( A B ) P( A ).P( B ) 8 8 4 9.3 Independência Estatística Exemplo : Sendo S = {,, 3, 4} um espaço amostral equiprovável, e A = {, }, B = {, 3} e C = {, 4} eventos de S, verificar se estes eventos são independentes. Solução: S = {,, 3, 4}; A = {, }; B = {, 3}; C = {, 4}; A B { }; A C { }; B C { }; A B C { } 33

08/06/07.3 Independência Estatística Solução (continuação): Para Para A e B : A e C : P( A ) P( A P( A ) P( A 4 B ) C ) ; P( B ) P( A ).P( B ) ; P( C ) 4 P( A ).P( C ) 4 4 ; 4 ; P( A P( A C ) B ) 4 ; 4 ; logo : logo :.3 Independência Estatística Solução (continuação): Para B e C : Para A, B e C : logo : P( B ) P( B C ) P( A ) P( A ; P( C ) P( B ).P( C ) ; P( B ) B C ) 4 ; P( B 4 ; C ) P( C ) ; 4 ; P( A ).P( B ).P( C ) logo : P( A 8 B C ) - Portanto, os eventos A, B e C não são independentes. ; 4 34

08/06/07 Teoria das Probabilidades - Sumário Teoremas fundamentais Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos Espaços amostrais finitos equiprováveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independência estatística Teorema de Bayes.4 Teorema de Bayes Sejam A, A, A 3,..., A n, n eventos mutuamente exclusivos, tais que A A A3... An S. Sejam P(A i ) as probabilidades conhecidas dos vários eventos, e B um evento qualquer de S, tal que são conhecidas todas as probabilidades condicionais P(B/A i ). Então, para cada i, tem-se: P( Ai / B ) P( A ).P( B / P( Ai ).P( B / Ai ) A ) P( A ).P( B / A )... P( A n ).P( B / A n ) que é o Teorema de Bayes. 35

08/06/07.4 Teorema de Bayes Exemplo: Tem-se três urnas (u, u, u 3 ), cada uma contendo bolas pretas, brancas e vermelhas, nas quantidades mostradas no quadro abaixo. De uma urna escolhida ao acaso retira-se uma bola também ao acaso, verificando-se que a mesma é branca. Qual a probabilidade da bola escolhida ter vindo da urna? e da urna 3? Cores / Urnas u u u 3 P (preta) 3 4 B (branca) 3 3 V (vermelha) 5 3.4 Teorema de Bayes Solução: P( u ) ; P( u 3 P( B / u ) ; 9 Cores / Urnas u u u 3 P (preta) 3 4 B (branca) 3 3 V (vermelha) 5 3 ) P( B / ; 3 u P( u3 ) ; 3 ) 3 9 ; 3 P( B / 3 u3 ) 8 36

08/06/07.4 Teorema de Bayes Solução (continuação): P( u ).P( B / u ) P( u / B ) P( u ).P( B / u ) P( u ).P( B / u ) P( u 4 3 3 3 59 3 9 3 3 3 8 7 P( u3 / B ) 59 8 P( u / B ) P( u / B ) P( u3 / B ) P( u / B ) 59 3 ).P( B / u ) 3 Teoria das Probabilidades FIM 37