NOTAS DE AULA SEQÜENCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS Cláudio Martis Medes Primeiro Semestre de 2006
Sumário Seqüêcias e Séries Numéricas 2. Seqüêcias Numéricas............................... 2.2 Séries Numéricas.................................. 4.2. O que é uma série?............................. 4.2.2 Propriedades das séries........................... 9.2.3 Uma codição ecessária à covergêcia................. 22.3 Séries de termos ão egativos........................... 24.3. Critério da Comparação.......................... 25.3.2 Critério da Itegral (Cauchy-837).................... 28.3.3 Critério da Razão (ou de D Alembert).................. 3.3.4 Critério da Raiz (ou de Cauchy)...................... 33.4 Séries de termos quaisquer............................. 35.4. Covergêcia Absoluta........................... 35.4.2 Séries Alteradas.............................. 37.4.3 Reagrupametos - Pareteses....................... 4.4.4 Complemeto................................ 43
Capítulo Seqüêcias e Séries Numéricas. Seqüêcias Numéricas Uma seqüêcia de úmeros reais pode ser etedida como uma lista ifiita e ordeada de úmeros reais, como, por exemplo: Eis a defiição: 0,, 2, 3,...,... ou l 2, l 4, l 2, Defiição... Uma seqüêcia é uma fução defiida o cojuto dos úmeros aturais, que a cada N associa um úmero a R. N = {, 2, 3,...} N R Notações: (a ) a, a 2, a 3,..., a,... a Exemplos:. Sedo a =, temos a seqüêcia, 2, 3, 2. Sedo a = 6, temos a seqüêcia costate: 6, 6,... 6,... 2
3. Sedo (a ) ode { a2 = 7 a 2 = 4 temos 7, 4, 7, 4,... Cosideremos as seqüêcias: α = ; β = ( ) e γ =. Como fuções eles podem ter os seus gráficos traçados, mas ele geralmete são pouco sigificativos. α β γ Uma represetação mais coveiete para seqüêcias pode ser obtida colocado-se os potos a, a 2, a 3,... sobre uma reta. 0 α α 2 α 3 β =β 3 = 0 β 2 =β 4 = 0 γ 4 γ 3 γ 2 γ Esta represetação pode mostrar para ode a seqüêcia está ido. A seqüêcia (α ) diverge para ifiito, a seqüêcia (β ) é dita oscilate e a seqüêcia (γ ) coverge para 0. Todas estas frases podem ser defiidas precisamete, e é o que faremos. Defiição..2. A seqüêcia (a ) é dita covergete com limite l se para cada ε > 0 dado, N = N(ε) N tal que > N a l < ε. 3
Observe: ε < a l < ε ou seja l ε < a < l + ε. ( ) l ε l a l+ε A partir de um certo N todos os a estão o itervalo (l ε, l + ε). Da arbitrariedade do ε temos que os a vão se jutado em toro de l. Notação: lim a = l ou (a ) l. Observação. Note que a defiição aterior é muito parecida com a de lim f(x) = l, x vista ateriormete. Observação 2. Quado uma seqüêcia tem limite 0 frequetemete ela será dita ifiitésima. Exemplos: ( ). 0 De fato: Dado ε > 0. 2. Queremos: N N tal que > N < ε mas > N < N. Basta etão tomar N tal que N ε [ ou seja: N ε, N N ]. ( ) + De fato: Dado ε > 0. Queremos: N N tal que > N + < ε mas + = e + > N + > N + + < ( ) N +. Basta tomar etão N ε, N N. Defiição..3. Uma seqüêcia (a ) é dita divergete quado ela ão é covergete. 4
Resultado: Toda seqüêcia divergete é sempre de um dos tipos: (I) Seqüêcia divergete para + Uma seqüêcia (a ) é dita divergete para + quado dado K > 0, arbitrário, N N Tal que > N a > K. (II) Seqüêcia divergete para Uma seqüêcia (a ) é dita divergete para quado dado K > 0, arbitrário, N N Tal que > N a < K. (III) Seqüêcia oscilate Uma seqüêcia (a ) é dita oscilate quado diverge, mas em para + e em para. Defiição..4. O cojuto {a / N} é chamado cojuto de valores da seqüêcia (a ). Exemplos:. (cos(π)). Cojuto de valores: {, } 2. ( ). Cojuto de valores: { ; N} Observação: Uma seqüêcia pode ser multiplicada por um úmero e duas seqüêcias podem ser somadas, da mesma maeira como estas operações são feitas com fuções com cotra domíio R, pois são particulares fuções deste tipo. Etão: (a ) + (b ) = (a + b ) c (a ) = (c a ) Aida: Podemos multiplicar duas seqüêcias fazedo: (s ) (t ) = (s t ) mais aida: Se t 0,, etão (s ) (t ) = ( s t ). Para o cálculo de limite, usaremos o seguite resultado, bastate ituitivo: 5
Teorema..5 (Teorema da Substituição). Se L sedo um úmero real, ou. lim f(x) = L, etão lim f() = L, x y L y = f(x) 2 3 x Observação: A recíproca do resultado aterior é falsa, em geral. Por exemplo: lim se(π) = 0 mas lim x se(πx) ão existe Exemplos:. Para p > 0 iteiro, lim x = 0 ; logo lim xp p = 0. 2. Como lim x ( + x )x = e, vale igualmete que 3. Como lim x x x = etão 3 3 4. lim e =? 2 3x 3 Calculemos lim x e 2x 3x 3 lim x e 2x = lim x lim = ou seja, 9x 2 = lim 2e2x x lim ( + ) = e. 8x = lim 4e2x x lim =. 8 8e 2x = 0, ode aplicamos a Regra de L Hôpital repetidamete, sempre verificado em cada passagem itermediária que aida temos uma forma idetermiada. Pelo Teorema da Substituição: 3 3 lim e = 0. 2 6
Limites de seqüêcias têm propriedades semelhates a limites de fuções, vistos ateriormete. Euciaremos algumas delas: Se lim a = L e lim b = M (i) lim (a ± b ) = L ± M (ii) lim (c a ) = c L (c R) (iii) lim (a b ) = L M etão: (iv) lim ( a ) = L b M (se M 0). Outra propriedade aáloga ao caso de limite de fução é a seguite: Se lim a = 0 etão lim a = 0 ( ) Exemplos: ( ). 2 cos (π )? ( ) 2 cos (π ) 0 2 = 2 2. ( ) cos (π )? ( ) cos (π ) 0 = 0 3. ( )? 2 ( ) 2 = ( ) ( ) 0 0 = 0 4. Sedo r um úmero real, tem-se lim r = 0 se r < se r =. Se r > ou r = a seqüêcia (r ) é divergete. De fato: lim x r x = 0 se r <. Pelo Teorema da Substituição, lim r = 0 ou seja lim r = 0. 7
y y = a x, a > y = a x, 0 < a < x Pela propriedade ( ) aterior temos que lim r = 0 se r <. Se r =, temos r = e daí lim r = Se r =, temos r = ( ) e assim (r ) é divergete. lim x r x = se r > lim r = Neste caso os termos da seqüêcia (r ) correspodetes a valores pares de crescem além de qualquer úmero quado aumeta, o que a impede de ser covergete. Uma seqüêcia em que cada termo, a partir do segudo, é o produto do aterior por uma costate r é dita progressão geométrica (P.G.) de razão r. a, r a, r 2 a, r 3 a, ou seja a = a r. Pelo exemplo aterior e usado a propriedade (ii) temos que se r < a PG é covergete a 0. Deixamos para o leitor o estudo do caso r. Vamos agora euciar o mais importate Teorema para seqüêcias. Para isso ecessitaremos dos seguites coceitos: Defiição..6. Uma seqüêcia (a ) é dita: (i) crescete se a + a, N. (ii) estritamete crescete se a + > a, N. (iii) decrescete se a + a, N. (iv) estritamete decrescete se a + < a, N. 8
(v) moótoa se for de um dos tipos acima. Defiição..7. (a ) é dita limitada superiormete se, para algum úmero real A, tem-se a A, N. (a ) é dita limitada iferiormete se, para algum úmero real B, tem-se B a, N. (a ) é dita limitada se for limitada superior e iferiormete. a a 2 a 3 a 4 a 5 seqüêcia crescete a 5 a 3 a 4 a 2 a seqüêcia decrescete a 2 a a 3 A B a a 3 a 2 seqüêcia limitada superiormete seqüêcia limitada iferiormete Teorema..8 (Teorema Fudametal sobre Seqüêcias). (a) Toda seqüêcia crescete e limitada superiormete é covergete. (b) Toda seqüêcia decrescete e limitada iferiormete é covergete. Observação. No caso (a) se a A, N etão a lim a A. No caso (b) se B a, N etão B lim a a. a a 2 a 3 a 4 lim a A B lim a a 4 a 2 a 3 a 9
Observação 2. Se (a ) é crescete e ão é limitada superiormete etão a supera qualquer úmero positivo, para todo ídice suficietemete grade, logo, diverge para. De modo aálogo se (a ) é decrescete e ão é limitada iferiormete, ela diverge para. Teorema..9. Seja f uma fução cotíua em l. Se (a ) l e a pertece ao domíio de f, para cada, etão (f(a )) f(l). N f δ δ ε ε ( ) ( ) a l f(a ) f(l) Observação: O teorema aterior em outra otação: Se lim a = l e lim f(x) = f(l) x l etão lim f(a ) = f(l) = f( lim a ) Exemplos: ( ( )). l? + ( ) + 2. l é cotíua em. Assim ( ( )) l + l = 0 ( ) + 2? ( + 2 ) e como é cotíua em temos que ( + 2 ) =. Propriedades: (Tete provar). Se a b para k e se (a ) L e (b ) M etão L M. 0
2. Se a b para k e se (a ) etão (b ). 3. Se (a ) é limitada e (b ) 0 etão (a b ) 0. Teorema..0 (Teorema do Saduiche). Se existe um úmero k tal que a b c para todo k e se (a ) l e (c ) l etão (b ) l. Exemplos: ( cos ). 0 De fato: 0 cos ( ) ; (0) 0 e 0. ( cos ) ( cos ) Logo, pelo Teorema do Saduiche, 0. Assim, 0. ( ) 2. 0 2 + De fato: 0 < 2 + < cotiue... ( )! 3. Discuta a covergêcia da seqüêcia. Primeiramete ote que este caso ão é possível o uso do Teorema da Substituição. a =, a 2 = 2 2 2, a 3 = 2 3 3 3 3,..., a = 2. Notemos que a = ( 2 3 ) e assim Como 0 < a. ( ) 0, pelo Teorema do Saduíche temos que (a ) 0. 4. ( + + + 2 ). De fato: + < + + + 2 + 2 }{{} + parcelas + lim 2 Teo. Subst. x + = lim x 2x L Hôp = lim x = lim 2x = x 2x
Logo, pela propriedade 2 aterior temos o resultado. Propriedade: lim a +k = lim a, para qualquer valor de k N. Em liguagem correte: Isto sigifica que ão se altera a covergêcia de uma seqüêcia quado se descosidera um úmero fiito de termos. Exercícios:. Cosidere s = + 2 + +. Prove que (s ). Resolução: Como (s ) é crescete, existem duas possibilidades, a saber: (i) (s ) é limitada superiormete e assim pelo Teorema Fudametal para seqüêcias (s ) seria covergete. (ii) (s ) ão é limitada superiormete e assim (s ). s =, s 2 = + 2, s 3 = + 2 + 3, s 4 = + 2 + 3 + 4 > + 2 + 2 > 3 2, s 5,... s 8 = + 2 + 3 + + }{{ 4} 5 + 6 + 7 + > + }{{ 8} 2 + 2 + 2 > 4 ( 2 ). > > 4 2 8 Pode-se mostrar, por idução, que s 2 k > (k + ) 2, k N. Assim (s ) ão é limitada superiormete, portato: lim s =. 2. Seja (a ) costruída pelo processo de idução de modo que a = 2, a 2 = 2 + 2,..., a + = 2 + a. Mostre que (a ) é covergete com limite 2. Provemos, por idução, que (a ) é crescete: (i) a < a 2 2
(ii) Supohamos válido para, isto é: a < a a = 2 + a < 2 + a = a +. Assim a < a +, portato (a ) é crescete. Provemos, por idução, que 3 é limitate superior de (a ): (i) a = 2 < 3 (ii) Supohamos a < 3. Etão a = 2 + a < 2 + 3 < 9 = 3 portato (a ) é crescete e limitada superiormete e assim, pelo Teorema Fudametal para seqüêcias, (a ) l, mas a + = 2 + a, logo a 2 + = 2 + a. l 2 = lim a 2 + = lim (2 + a ) = 2 + lim a = 2 + l. Assim l 2 = 2 + l l = 2 ou l =. Logo l = 2, pois sabemos que l > 0. Portato, lim a = 2. ( 3. lim + 2 2 + + ) =? 2 2 Vejamos algus termos:, 4 + 2 4, 9 + 2 9 + 3 9,... Voltemos ao termo geral: + 2 2 + + 2 = + 2 + + 2 2 ( Assim lim + + ) = lim 2 2 soma de PA = ( 2 + ) = 2 2. 2 + = 2 2 + 2. 3
.2 Séries Numéricas.2. O que é uma série? Cosideremos uma fita de comprimeto. Vamos tetar recompô-la, partido de uma metade, cujo comprimeto é, etapa do processo. 2 Cortamos a metade restate ao meio, obtedo uma fita de comprimeto justaposta à metade iicial, etapa 2 do processo. Assim sucessivamete. 2 2, a qual é Etapa Etapa 2 Etapa 3 2 2 2 2 3 Na etapa o comprimeto da fita é s = 2. Na etapa 2 o comprimeto da fita será: s 2 = s + 2 2 = 2 + 2 2. Na etapa 3 o comprimeto da fita será: s 3 = s 2 + 2 3 = 2 + 2 2 + 2 3. Na etapa o comprimeto da fita será: s = s + 2 = 2 + 2 2 + + 2 2... 2 2 2 3 2 4 4
É atural esperar que 2 + 2 2 + 2 3 + + 2 + = ode as últimas reticêcias pretedem idicar que a soma deve ser feita idefiidamete, isto é, trata-se de uma soma com ifiitas parcelas. Parece atural defiir tal soma como sedo lim s. É o que faremos. Usado a fórmula (que será provada posteriormete) a + ar + ar 2 + + ar = a r r ; r para o osso caso, em que a = 2 e r = 2, vem: s = 2 + 2 2 + 2 3 + + 2 = 2 ( 2 ) 2 = ( ). 2 Assim lim s =. Obtivemos, etão, com a defiição dada de soma ifiita, o valor, que é o comprimeto da fita toda dada iicialmete. Vamos às defiições: Cosideremos a seqüêcia (a ). A partir da seqüêcia (a ) vamos costruir a seqüêcia (s ) do seguite modo: s = a s 2 = a + a 2 s 3 = a + a 2 + a 3. s = a + a 2 + a 3 + a 4 + + a. Defiição.2.. A seqüêcia (s ) é chamada série associada à seqüêcia (a ). Cada s é referido como soma parcial de ordem. Os termos a são chamados os termos da série. Notação: a ou a ou a ou a + a 2 + + a +. = Exemplos: 5
. (a ) = (( ) + ). Costruímos a seqüêcia (série): s = a = s 2 = a + a 2 = 0 s 3 = a + a 2 + a 3 =. ( ) 2. (a ) =. Costruímos a seqüêcia (série): s = s 2 = + 2. s = + 2 + 3 + +. ( ) 6 3. (a ) = : 0, 6 ; 0, 06 ; 0, 006,.... 0 Costruímos a seqüêcia (série): s = 0, 6 s 2 = 0, 6 + 0, 06 = 0, 66 s 3 = 0, 66 + 0, 006 = 0, 666. Observe que (s ) 2 3. Escrevemos 2 = 0, 6 + 0, 06 + 0, 006 +. 3 Defiição.2.2. A série a é dita covergete se a seqüêcia (s ) for covergete. Caso cotrário a série é dita divergete. Se a seqüêcia (s ) é covergete para S dizemos que a série soma S. a é covergete com 6
Notação: a = S. = Portato, quado escrevemos a = S queremos dizer que adicioado um úmero = suficiete de termos da série podemos chegar tão próximo quato quisermos do úmero S. Note que ( ) a = S = lim s = lim a i. = Observação: Deve ficar claro que S é o limite de uma seqüêcia de somas e ão é obtido por adição simplesmete. i= Exemplos:. = ( + ) = - Série Telescópica s = 2 + 2 3 + + ( + ) = ( 2 ) + ( 2 3 ) + + ( + ) = +. Assim lim s = lim Logo = ( + ) =. ( ) =. + 2. 3. 4. Observação: Este é a realidade um dos exemplos de uma soma telecópica: por causa de todos os cacelametos, a soma colapsa (como um atigo telescópio-lueta) em apeas dois termos. ( ) é divergete. Aqui s = para ímpar e s = 0 para par. Portato (s ) ão coverge. 2 diverge. Aqui s = 2 + 2 2 + + 2. (s ) ão é limitada e assim ão é covergete. = diverge - Série Harmôica. 7
Aqui s = + 2 + +. Já vimos ateriormete que (s ). Algumas séries são importates pois servem como referêcia para o estudo de outras. A Série Telescópica, a Série Harmôica são exemplos deste tipo. Outro exemplo seria a Série Geométrica. A Série Geométrica a r = a + ar + ar 2 + (a 0) é covergete se, e somete se, r <, caso em que sua soma é Assim a r. a + ar + ar 2 + + ar + = ode r é dito razão da Série Geométrica. De fato: a, r < ( ) r (i) Se r = etão s = a + a + + a = a, que tede a ou, coforme a > 0 ou a < 0. Portato a série é divergete. (ii) Se r, temos: s = a + ar + ar 2 + + ar rs = ar + ar 2 + ar 3 + + ar. Subtraido membro a membro: s ( r) = a ar = a( r ). Portato s = a ( r ) r = a r a r r. Se r <, como vimos ateriormete, (r ) 0 e assim ( a lim s = lim r a ) r r = a r a r lim r = a r. Se r > ou r =, como vimos ateriormete, (r ) é divergete e pela expressão aterior de s o mesmo acotece com ele. Logo a série é divergete. Exemplo: 8
(a) Calcule a soma da série geométrica 2 + 4 5 8 25 + (b) Escreva o úmero 4, 728 = 4, 7282828 como quociete de iteiros. Resolução: (a) Para descobrir a razão, dividimos o segudo termo pelo primeiro r = 4 5 2 = 4 0 = 2 5. Como a = 2, usamos ( ) para obter a soma desejada 2 ( 2) = 2 + 2 5 5 = 2 7 5 = 0 7. (b) Temos: 4, 728 = 4, 7282828 = 4.7 + 0, 02828 = [usamos ( ) com a = 28 0 3 e r = 0 2 ].2.2 Propriedades das séries = 4, 7 + 0, 028 + 0, 00028 + 0, 0000028 + = = 47 0 + 28 0 3 + 28 0 5 + 28 0 7 + = = 47 28 0 + 0 3 = 47 0 + 28 990 = 468 990. 0 2 Lembrado que uma série ada mais é do que uma seqüêcia, aplicado as propriedades de seqüêcias obtém-se: Teorema.2.3. Se a e b são covergetes e c é um úmero real, tem-se: (a ± b ) = a ± b c a = c = a. = 9
Exemplo: Calcule Temos: =0 ( ) 2 = =0 =0 3 =0 3 = 3 =0 ( ) 3 5 2. 3 = 3 2 ( ) 2 = 3 2 3 = 3. Usado as propriedades ateriores: ( ) ( ) ( ) 2 3 52 = 5 = 3 3 3 3 2 5 3 = 27 2. =0 Exercícios: Calcule ( ) (a) 3 + ( ) 3 (b) (c) = 3 2 =0 =0 Resp.: 6 Resp.: ( 3 ( + ) + ) 2 = 4 2 Resp.: 4 Teorema.2.4. Sejam a () = a q+ (2) = Se (2) é covergete com soma b etão () é covergete com soma a = a + a 2 + a 3 + + a q + b Prova: Seja s = a + a 2 + + a o reduzido de ordem da série a. Seja s = a q+ + a q+2 + + a q+ o reduzido de ordem da série lim s = lim s q+ = lim (a + a 2 + a q + a q+ + + a q+ ) = lim [ (a + a 2 + + a q ) + s ] = (a + a 2 + + a q ) + b Assim (s ) a = a + a 2 + + a q + b. = = a q+ 20
Observação : A recíproca é verdadeira. Observação 2: O resultado aterior os diz que um úmero fiito de termos ão afeta a covergêcia ou divergêcia de uma série, ou seja, o seu caráter. Por outro lado, fica claro que a soma da série é afetada pela iclusão ou remoção de um úmero fiito de termos. Exemplo: Já vimos que = ( + ) =. Cosideremos agora ( + ) =4 (i) Pelo teorema aterior temos : ( + ) = ( 2 + 6 + 2 ) = 9 2 = 3 4 = 4 =4 (ii) Fazedo diretamete pela defiição: s = 4.5 +... (4 + ).(5 + ) = ( 4 5 )+( 5 6 ) +( 4 + 5 + ) = 4 5 + Logo lim s = lim ( 4 5 + ) = 4 / / / / Até agora apredemos a calcular apeas as somas das séries geométricas e da série telescópica. Na verdade calcular a soma de uma série é, em geral, muito difícil. Podemos, o etato, fabricar exemplos de séries para as quais coseguimos calcular suas somas, observado o seguite: Se a = b b +, etão s = a +a 2 +a 3 + +a = (b b / 2 ) + (b / 2 b / 3 ) + (b / 3 b 4 ) + +(b / b + ) = b b +. Portato, existe o limite de s existe o limite de b +. Caso afirmativo: Exemplos: lim s = b lim b +. = Assim a = b lim b + = b lim b. 2
. Fazedo b = temos Pela fórmula aterior (Já visto ateriormete) a = + = ( + ). = ( + ) = lim =. 2. Fazedo b = l, temos a = l l( + ) = l Como lim b = lim l =, temos etão que a série ( ). + = Podemos observar que também será divergete a série ( ) l = ( ) + l + 3. Fazedo b =, temos ( ) l é divergete. + a = = + + ( + ). Assim = + ( + ) = lim =..2.3 Uma codição ecessária à covergêcia Teorema.2.5. Se a é covergete etão (a ) 0. Prova: Supohamos lim s = s. Temos a = (a + a 2 + + a ) (a + a 2 + + a ) = s s Portato (a ) 0. lim a = lim (s s ) = lim s lim s = s s = 0 22
Observação: É importate ressaltar que a codição aterior ão é suficiete para garatir a covergêcia de uma série, isto é, se o termo geral a tede a zero para tededo a, ão há garatia de que a série coverge. Exemplos:. ( ) a = diverge (a ) 0 No etato: s = + 2 + + (s ) (visto aterioremete) 2. ( ) + l é divergete (visto o item aterior) e o etato ( ) + lim l = l = 0. Como coseqüêcia imediata do Teorema aterior temos: Critério de Divergêcia: Se lim a 0 etão a é divergete. Exemplos: As séries ( ) 2 e 2 + a zero, para tededo a. são divergetes, pois seus termos gerais ão tedem / / / / Já vimos que é divergete. Vamos aqui comprovar este fato de uma outra maeira. 23
y y = x 2 3 2 3 4 x Assim: Portato l( + ) < s. s = + 2 + + > + dx x = l( + ) Como [(l( + )) ] [(s ) ]. Logo é divergete. Vamos agora estimar tal que s 0. (i) Já vimos ateriormete que S 2 k > (k + ) 2 (ii) Pela estimativa vista logo acima temos 0 k 9 524.288. s l( + ) 0 23.000. De fato: l 23.000 0, 04. Assim s 23.000 > 0 - melhorado sesivelmete a ossa estimativa do item (i)..3 Séries de termos ão egativos Passaremos a estudar codições sob as quais uma série coverge ou diverge, sem ter de tetar a tarefa, em geral difícil, de calcular sua soma. 24
Iicialmete, vamos os restrigir a séries de termos 0..3. Critério da Comparação O resultado mais importate, sobre o qual outros se apoiam, e que permite decidir se uma série coverge ou ão comparado-a com outra série de comportameto cohecido é o seguite: Critério da Comparação: Supohamos que, a partir de um certo ídice, verifica-se 0 a b. (a) Se b é covergete, etão a é covergete. (b) Se a é divergete, etão b é divergeete. Prova: (a) Para facilitar vamos supor 0 a b,. Temos: a + a 2 + + a b + b 2 + + b b. O que mostra que a seqüêcia s = a + a 2 + + a é limitada superiormete por b. = Como (s ) é crescete, pois s + s = a + 0, podemos dizer, pelo Teorema Fudametal para Seqüêcias, que ela é covergete, o que quer dizer que a série a é covergete (com soma b ). (b) Como exercício. = Exemplos:. é covergete. ( + ) 2 De fato, 0 ( + ) 2 ( + ) ( + ) = Critério = Comparação ( + ) 2 é covergete, com soma. 25
Obs: é covergete, com soma + = 2. Na realidade: 2 (Euler - 736). 2. é divergete. De fato, 0 diverge Critério = Comparação diverge 2 = π2 6 Exercícios: Verifique se as séries abaixo covergem. Caso positivo, dê uma estimativa para a soma.. 2 Resp.: coverge, com soma 2. 2 + se 3 ( + ) 2 + 2 Resp.: coverge, com soma 3 3. l( + ) Resp.: diverge. 4. 2 2+ 2 Resp.: diverge. O critério da comparação acarreta o seguite critério, em geral mais fácil de ser aplicado. Critério da Comparação usado Limite: a Supohamos que a partir de um certo ídice, verifica-se a 0, b > 0 e que lim = b L > 0 (L R). Etão a e b são ambas covergetes ou ambas divergetes. a Prova: Se lim = L > 0, existe N N tal que L b 2 < a < 3L b 2 quado > N, ou seja: > N 0 < L 2 b < a < 3L 2 b. 0 L 2 ( ) L a b 3L 2 26
Se a coverge etão L 2 b coverge (Critério da Comparação aterior). Logo b = 2 L L 2 b coverge (Teo..2.3). Iversamete, se b coverge etão a coverge, já que ela é miorate de 3L 2 b, a qual é covergete (Teo..2.3 e Critério da Comparação aterior). Temos provado: a coverge b coverge. Assim a diverge b diverge. a Exercício: Prove que se lim = 0 e se b coverge etão a coverge (Aqui a 0 b e b > 0). Exiba exemplos para mostrar que se a coverge ada podemos cocluir sobre b. Exemplos:. 3 + 5 2. Cosideremos a série 2 - covergete lim 3+5 2 3 + 5 = lim 2 = 3 > 0. Assim, pelo Critério da Comparação usado Limite, a série dada é covergete. 2. 2 + 2 3 +. Cosideremos a série - divergete lim 2+ 2 3 + = lim 2 2 + 3 3 + = > 0. Assim, pelo Critério da Comparação usado Limite, a série dada é divergete. 27
.3.2 Critério da Itegral (Cauchy-837) Dada a série a, a > 0. Supohamos que exista uma fução f(x) > 0, cotíua e decrescete (para x ) tal que f() = a. Etão a é covergete Prova: Comparado as áreas da figura a seguir temos: f(x)dx é covergete. + f(x)dx a + + a () y y = f(x) a a...a 2 2 3 + x Comparado as áreas da figura a seguir temos: a 2 + a 3 + + a ou a + a 2 + + a a + f(x)dx f(x)dx (2) y y = f(x) a a 2...... a 3 2 3 a x (i) Se a itegral f(x)dx for covergete a desigualdade (2) forece s = a i a + i= f(x)dx a + f(x)dx = M desde que f(x) 0. Logo (s ) seria uma seqüêcia crescete e limitada superiormete e assim, pelo Teo. Fudametal para Seqüêcias, seria covergete. Isto sigifica que a coverge. 28
(ii) Se a itegral f(x)dx for divergete etão ( ) f(x)dx, quado, porque f(x) 0. A desigualdade () forece etão que s e assim a diverge. Assim: A série e a itegral são ambas covergetes ou divergetes. Exemplo: = p coverge p > (i) p > 0 Seja f(x) = x, cotíua, positiva, decrescete sobre [, ). Aida f() = p p Crit. da dx já coverge p coverge Itegral x p p >. visto (ii) p 0 lim p 0 Critério = Divergêcia p diverge Obs. : A série é chamada série harmôica e a série p geeralizada. de série harmôica Obs. 2: = π2 2 6 (Euler - 736) Prova loga. Para maiores detalhes vide Simmos - pg. 70. Pelo resultado aterior sabemos que é covergete. Qual seria a sua soma? 3 Resposta: Problema em aberto aida hoje. Para maiores detalhes vide Simmos pg. 87. Exercício: Estudar a covergêcia da série Faremos de dois modos: + 2. (a) Usado o Critério da Comparação: 0 + 2 2 2 coverge Critério = Comparação + 2 coverge 29
(b) Usado o Critério da Itegral: Seja f(x) =, cotíua, positiva e descrescete em [, ). + x2 Notemos que f() = dx + x = lim 2 Logo a série b b + 2 dx + x = lim (arctg b arctg ) = π 2 b 2 π 4 = π 4. + 2 é covergete. / / / / Supohamos que o Teste da Itegral possa ser usado para mostrar que a série a é covergete e que desejamos ecotrar uma aproximação para a soma S da série. A difereça etre a soma S e a -ésima soma parcial s é o resto de ordem, R. R = S s = a + + a +2 + a +3 + O resto R é o erro feito quado a soma real S é estimada usado-se a -ésima soma parcial s. A figura ao lado forece: R = a + + a +2 + f(x)dx y y = f(x) a + a +2 + +2 x A figura ao lado forece: R = a + + a +2 + + f(x)dx y y = f(x) a + a +2 + +2 +3 x 30
Acabamos de provar a seguite estimativa para o erro: Teorema.3.. Se a covergir pelo Teste da Itegral e R = S s, etão + Exemplo: Aproxime a soma da série f(x)dx R = f(x)dx com erro 0, 005. 3 Erro 0, 005 sigifica que temos de ecotrar um valor de tal que R 0, 005. Como R x dx = 3 2 2 fazemos 0, 005. 22 Resolvedo, obtemos: 2 = 00 ou 0. 0, 0 Precisamos de 0 termos para garatir precisão de 0,005. Assim s 3 0 = + 3 2 + +, 975, com erro de o máximo 0,005. 3 03 = Exercício: Mostre que a série coverge e ecotre o úmero de termos (l ) 2 =2 ecessários para se obter sua soma com erro 0, 05. (Resp. 4, 85 0 8 ).3.3 Critério da Razão (ou de D Alembert) Seja a > 0 para todo N. Supohamos que lim a + a = r. Se r < etão a coverge. Se r > etão a diverge. Prova: (i) Supohamos r <. Escolhemos um ( úmero ) s tal que r < s <. a+ Etão como r, existe N N tal que a 3 ( N a ) + < s. a
0 r s Logo: a + a 0 < a N+ < s a N 0 < a N+2 s a N+ s 2 a N. 0 < a N+k s k a N Como a N s k = a N k= k= Teste da Comparação mostra que a. s k coverge (série geométrica de razão com módulo < ) o a N+k coverge e isto implica a covergêcia de k= (ii) Supohamos r > (r R ou r = ). a + Como lim = r, existe N tal que N a +, ou seja: a a 0 < a N < a N+k, k =, 2, 3,... Logo (a ) 0 e portato a diverge. Observação: Quado ( a+ a ) ada se pode afirmar. Vejamos os exemplos: e 2. Temos que diverge e ( ) coverge e o etato a+, os dois casos. 2 a Exemplos:.! (+)!! a + Aqui = = a + 0 <. Assim, pelo Critério da Razão, coverge.! 32
2. 3 a + Aqui = + a 3 3 <. Logo, pelo Critério da Razão, 3 coverge. 3. 2 a + Aqui = a ( + ) 2 2 <. 4. 5. 6. Logo, pelo Critério da Razão,! 3 Aqui a + = + a 3. Logo, pelo Critério da Razão, Aqui! a + a = ( + Logo, pelo Critério da Razão, 2k + a k+ a k 2 coverge.! 3 diverge. ) = ( + ) e >.! diverge. Aqui = 2 + k 2 + 3. k Assim, pelo Critério da Razão, ão podemos cocluir ada, mas Como 2(k + ) = 2 que 2k + é divergete. 0 < k + 2(k + ) < 2k +..3.4 Critério da Raiz (ou de Cauchy) Seja a 0 para todo N. Supohamos que lim a = r. Se r < etão a coverge. Se r > etão a diverge. é divergete, temos pelo Critério da Comparação, 33
Prova: (i) Supohamos r <. Escolhemos um úmero s tal que r < s <. Etão como ( a ) r, temos que existe N N tal que ( N a s) ou seja N a < s. 0 r s Como s coverge (Série Geométrica de razão com módulo < ) temos que =N coverge (pelo Critério da Comparação). Assim a coverge. a =N a (ii) Supohamos r >. Etão existe N N tal que N a. 0 r a Assim: ( N a ). Logo (a ) 0 e portato a diverge. Observação: Quado ( a ) ada se pode afirmar. Vejamos os exemplos: cosideremos as séries e. Temos que 2 diverge e coverge e o etato: 2 =. De fato: = = e l. ( ) [( ) ] l x Como l 0 0 e a fução expoecial é cotíua o zero temos x que ( ). ( ) Aalogamete 2 Exemplos: 34
. x, x 0 ( x ) = x 0. Pelo Critério da Raiz x coverge, x 0. 2. (l ) ( (l ) ) = l 0. Pelo Critério da Raiz (l ) coverge. 3. 2k ( 2 k k 3 ) k k 3 = 2 ( k ) 3 k = 2 [ ( k ) ] 3 k 2 3 = 2. [ ( ) ] k, visto ateriormete k Pelo Critério da Raiz 2k k diverge. 3 ) k 4. ( k [ ( ) ] k k = k k. Pelo Critério da Raiz ão podemos afirmar ada. ( Notemos que ) k 0. Logo, pelo Critério da Divergêcia, a série dada k e diverge. Observação: Pode-se provar que se lim a = L etão lim = L. Assim, quado, a pelo Critério da Raiz, obtemos L =, ão adiata apelar para o critério da Razão, porque este também forecerá L =. a +.4 Séries de termos quaisquer.4. Covergêcia Absoluta Defiição.4.. A série a é dita absolutamete covergete se a série a for covergete. 35
Teorema.4.2. Se a é absolutamete covergete etão a é covergete. Prova: Seja b = a + a. Etão 0 a + a 2 a ou seja 0 b 2 a. Se a é absolutamete covergete etão 2 a é covergete e pelo Critério da Comparação b é covergete. Como a = b a temos que a = (b a ) = b a é covergete como difereça de duas séries covergetes. Obs.: Acabamos de mostrar que covergêcia absoluta implica em covergêcia. A recíproca ão é verdadeira. Exemplo: 2 + 3 4 + é uma série covergete (veremos adiate). A série dos módulos é, que é divergete. Uma série que coverge, mas ão coverge absolutamete é dita codicioalmete covergete. Exercícios Importates:. Dada a série a + a tal que lim = r > (r R ou r = ). a Mostre que a série é divergete. ( Resolução: Pela hipótese, sabemos que N N tal que N a + a ) >. ( ) 0 r a + a > Assim N a > a N. Logo (a ) 0 Crit. = Div. a diverge. a a N 0 a N a 36
2. Dada a série a tal que lim a = r > (r R ou r = ). Mostre que a série é divergete. Sugestão: Coclua que (a ) 0. Tedo em vista o Critério da Razão euciado em.3.3. e o exercício aterior podemos euciar: Critério da Razão Geral: Seja a, ode a 0. ( ) a+ (a) Se r <, a série é absolutamete covergete. a ( ) a+ (b) Se r >, a série é divergete. a ( ) a+ (c) Se, a série pode ser absolutamete covergete, codicioalmete covergete ou a divergete. Um euciado aálogo pode ser dado para o Critério da Raiz Geral..4.2 Séries Alteradas Defiição.4.3. Uma série do tipo b b 2 + b 3 b 4 + ( ) b +, ode b > 0 é chamada uma série alterada. Teorema.4.4 (Critério de Leibiz (705)). Uma série alterada ( ) b, b > 0 em que (b ) é decrescete e ifiitésima é covergete com soma S, ode S s b +. A idéia da prova pode ser retirada da figura a seguir: b b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 0 s 2 s 4 s 6 S s 5 s 3 s 37
Por exemplo: S s 5 b 6. Passemos etão a prova: Assim (s 2 ) é crescete. Aida: s 2 = s 2 2 + b 2 b }{{ 2 s } 2 2. 0 s 2 = b (b 2 b 3 ) (b 4 b 5 ) (b 2 2 b 2 ) b 2 b. Logo (s 2 ) é crescete e limitada superiormete. Pelo Teorema Fudametal para Seqüêcias (s 2 ) é covergete, digamos (s 2 ) S. As somas parciais ímpares podem ser vistas como s 2+ = s 2 + b 2+. Assim lim (s 2+) = lim (s 2 + b 2+ ) = lim s 2 + lim b 2+ = S + 0 = S. Como ambas as somas parciais pares e ímpares covergem para S, temos que lim s =S. Para fializar, da ilustração aterior fica claro que S s b +, N. Exemplos:. 2 + 3 + - Série Harmôica Alterada. ( ) 4 (b ) = 0 e (b ) é decrescete. Pelo Critério de Leibiiz, a série é covergete. Aida: Não é absolutamete covergete. Assim: É uma série codicioalmete covergete. ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2. + + 2 3 4 5 Etão b = 2. (b ) 0, decrescete. Pelo Critério de Leibiiz, a série é covergete. Na realidade a série é absolutamete covergete 3. A série ( ) 2 = ( é alterada, sedo que b = ). 2 2 é decrescete, mas lim b = 0 e assim o Critério de Leibiz ão se aplica. 2 Observemos que lim ( ) ão existe, e assim pelo Critério para Divergêcia, 2 a série dada é divergete. 38
Exercícios resolvidos:. Teste a série ( ) l + =2 para covergêcia ou divergêcia. Resolução: A série dada é alterada, ode b = l +. A codição (b ) 0 pode ser verificada sem maiores problemas. A codição (b ) decrescete já ão é imediata, como os exemplos ateriores. Cosideremos a fução de variável real correspodete f(x) = l x cuja derivada é x + f (x)= + x l x (x + ) 2. A derivada é egativa, e assim a fução é decrescete, se l x + x. Observemos que + 2 para x =, 2, 3,.... x Assim a seqüêcia (b ) decresce quado l > 2, ou seja 8. Logo, pelo Critério de Leibiz, a série ( ) l + coverge. =8 Portato a série origial também coverge. 2. Prove que a série ( ) + coverge. Quatos termos são ecessários a fim de se 2 obter um erro que ( ão exceda ) 0,00 em valor absoluto? Resolução: (b ) = 0, decrescete. 2 Pelo Critério de Leibiz a série dada é covergete. Aida: S s b + = 2( + ) Portato são ecessários 500 termos, o míimo. 0, 00 2 + 0, 00 3. Idem ao aterior, para a série ( ) (2 )! ( ) Resolução: (b ) = 0, decrescete. (2 )! Pelo Critério de Leibiz a série dada é covergete. Aida: S s b + = (2( + ) )! = 000 500. 0, 00 (2 + )! 000 3,. Assim S 3! + 5! = 0 20 0, 84. 39
Portato, S 0, 84 com duas casas decimais exatas. Note como a covergêcia desta série é bem mais rápida do que a da série do exercício aterior. ( ) 4. Estude a covergêcia da série (l ). 2 2 Resolução: ( Temos ) uma série alterada. (b ) = 0, decrescete. Pelo Critério de Leibiz é covergete. (l ) 2 Aalisemos a covergêcia absoluta. Vamos aplicar o Critério da Itegral. f(x) =, cotíua, decrescete para x 2 x(l x) 2 2 f(x)dx = 2 dx u=l x = x(l x) 2 Assim: 2 dx x(l x) = lim 2 b b du u 2 = u = l x. dx x(l x) 2 = lim b 2 dx x(l x) 2 ( ) l 2 }{{} l b Portato, a série coverge absolutamete. 0 = l 2 Obs.: Séries do tipo 2 são chamadas Séries de Abel. Temos o resultado: (l ) p 2 (l ) p coverge p >. 5. Seja a série alterada: 2 + 2 2 2 + 2 3 3 + 2 4 4 + 2 5 5 + Observe que (b ) 0 e que a série é divergete. Falha o Critério de Leibiz? Resolução: s 2 =, s 4 = + 2, s 6 = + 2 + 3,... Temos: (s 2 ) e assim a série é divergete. Não temos falha do Critério de Leibiz. O que acotece é que uma das hipóteses do critério ão está satisfeita. Neste caso, (b ) ão é decrescete. 40
6. Seja a série alterada: 3 2 + 5 2 2 + 7 2 3 + 9 2 4 + Mostre que a série dada é divergete e que (b ) 0. decrescete? Resolução: Neste caso temos difereça de duas séries, a saber: com (covergete). Assim a série dada é divergete. 2 = Observemos que (b ) 0. A seqüêcia (b ) pode ser 2 + (divergete) (b ) ão pode ser decrescete, pois se o fosse estaríamos as codições do Critério de Leibiz e a série seria covergete. Exercícios Propostos:. Mostre que se a e b são covergetes e a 0, b 0 etão a b é covergete. 2. Caso possível, dê um exemplo de um par de séries covergetes a e b tal que a b seja divergete..4.3 Reagrupametos - Pareteses ( ) Cosideremos a série covergete. Tomemos ( ) S = 2 + 3 4 + 5 6 + 7 + ou Exertado zeros teremos aida 2 S = 2 4 + 6 8 + 0 2 + 4 + ( ) 2 S = 0 + 2 + 0 4 + 0 + 6 + 0 8 Somado ( ) e ( ) obtemos: 3 2 S = + 0 + 3 2 + 5 + 0 + 7 4 4
Cacelado os zeros ( ) 3 2 S = + 3 2 + 5 + 7 4 Comparado com ( ) vemos que as duas séries têm os mesmos termos. Eles só estão reagrupados de formas diferetes. Dizemos que ( ) é um reagrupameto de ( ). Observe: A seqüêcia das reduzidas da série ( ) é completamete diferete da série ( ). Etão: Quado reagrupamos uma série podemos alterar sua soma. Isto vem efatizar mais uma vez que série ifiita ão é simplesmete uma soma. Prova-se:. Se uma série é codicioalmete covergete, etão, mediate reagrupametos coveietes podemos obter uma série divergete ou uma série covergete para uma soma pré escolhida S (vide: Theory ad Applic. of If. Series - Korad Kopp s - pgs. 38-39; 38-320). 2. Se a série a é absolutamete covergete, com soma S, etão todo reagrupameto de a coverge para S (vide: Advaced Calculus - Buck - pg. 69). (Esta é uma das razões para a importâcia da covergêcia absoluta) Outra operação com séries que pode alterar soma é a colocação ou ão de pareteses. Exemplo: ( ) + : + + diverge. Façamos: ( ) + ( ) + ( ) + coverge para 0 ou aida ( ) ( ) ( ) coverge para. 42
Aalise as seqüêcias reduzidas destas três séries e veja como elas são completamete diferetes. Prova-se: Se a série iicial é covergete qualquer agrupameto de seus termos em pareteses ão alterará a sua soma. (Tete provar. Não é muito difícil) ( ) ( ) Exemplo: a + (a 2 + a 3 ) + (a 4 + a 5 + a 6 ) Seqüêcia das reduzidas é uma subseqüêcia da seqüêcia das reduzidas origial..4.4 Complemeto Ode o Cálculo é mais potete do que computadores Erro comum: Trucado uma série o erro que se comete é meor do que o primeiro termo egligeciado.,00 (série covergete, p > ). Vamos somar até que < 0, 00000000,00 }{{} 5 ou seja = N = 96.27.287. 8 N Depois de usar um computador veloz teríamos S N = < 9, 5,,00 De fato: mas: y y = x,00 > dx = 000.,00 x,00 2 3 4 x 43
dx = lim x,00 b b dx x 0,00 = lim x,00 b 0, 00 ( b 0,00 lim b 0, 00 + ) ( ) = lim + 000 0, 00 b 0, 00 b0,00 b = 000 Assim, usado o computador teríamos chegado a meos do que 2% da resposta correta. Mais aida: Adicioado 0 00 termos obteríamos aida uma soma meor do que 207. Observação: 0 00 = googol - é maior do que o úmero de partículas elemetares o sistema solar. 44