Luiz Fancisco a Cuz Depatamento e Matemática Unesp/Bauu CAPÍTULO 6 PLANO Definição: Seja A um ponto qualque o plano e v e v ois vetoes LI (ou seja, não paalelos), mas ambos paalelos ao plano. Seja X um ponto qualque este. Assim, os vetoes { v,v,ax} são LD (coplanaes). Logo existem escalaes t e t R tais que AX vt + vt. v v t AX X A v v t Da expessão AX vt + vt poemos esceve que X A vt + vt. Então a equação X A + vt + vt, é chamaa e equação vetoial o plano paa t et R, chamaos e paâmetos. O plano é constituío e pontos. Assim, paa caa valo eal e t e t substituíos na equação vetoial vamos obteno os infinitos pontos X ese plano. Po exemplo. Consiee o plano ( π ): X (,,) + t(,,0) + t(,, ), então: paa t 0 e t 0 X (,,) + 0 (,,0) + 0 (,, ) X (,,) ( π) ; paa t e t X (,,) + (,,0) + ( ) (,, ) X (4,,) ( π) ; paa t e t X (,,) + ( ) (,,0) + (,, ) X (,6,4) ( π) ; Assim po iante. Um axioma impotante a geometia é aquele que iz "tês pontos não colineaes eteminam um único plano". Assim, é possível esceve a equação vetoial e um plano aos tês pontos não alinhaos (não colineaes) este plano. Note que, pela efinição anteio, paa eteminamos um plano é necessáio conhecemos um ponto e ois vetoes LI (não paalelos) este plano. B A C
Luiz Fancisco a Cuz Depatamento e Matemática Unesp/Bauu Potanto, aos tês pontos não colineaes A, B e C e um plano poemos esceve ( π ):X A + AB t + AC t. A escolha o ponto e a oientação os vetoes não altea a eteminação o plano, ou seja, poeíamos te escolhio o ponto C e os vetoes BC e CA paa eteminamos o mesmo plano a seguinte foma ( π ):X C+ BC t + CA t. 6. Equações o Plano Equações Paaméticas Seja X (x,y,z) um ponto qualque o plano. Sejam também e conhecios o ponto A(x0,y0,z0) e os vetoes v (x,y,z) e v (x,y,z) vetoes LI este plano. Da equação vetoial X A+ vt + vt, t, t R, substituino as cooenaas e caa elemento teemos: ( x,y,z) (xo,yo,zo) + (x,y,z) t + (x,y,z) t x x y y z z o o o + x t + y t + z t + x t + y + z t, chamaas e equações paaméticas o plano, one os paâmetos são os escalaes t e t R. t Equação Geal Como os vetoes { v,v,ax} são coplanaes, então, pela conição e x xo y yo z zo coplanaiae temos: [AX,v,v] x y z 0. O esenvolvimento x y z este eteminante esultaá numa expessão a foma ax + by+ cz+ 0 chamaa e equação geal o plano. Equação Segmentáia Da equação geal o plano poemos esceve: ax+ by+ cz. Se 0, vem: a x+ b y+ c x y z. Se a 0,b 0ec 0 + +. a b c Fazeno p,q e, temos a equação segmentáia o plano: a b c x y z + +. p q
Luiz Fancisco a Cuz Depatamento e Matemática Unesp/Bauu Os pontos P (p,0,0 ), Q (0, q,0) e R (0,0, ) são as inteseções o plano com os eixos cooenaos Ox, Oy e Oz, espectivamente. O plano ao "passa" pelo R eixa "taços". Esses taços são as etas, inteseção com os planos cooenaos xy, xz e yz. Os taços o plano são as etas: ( PQ ):X P+ PQ t; ( PR ):X P+ PR t e ( QR ):X Q+ QR t. A equação segmentáia nos ajua a visualiza um esboço o plano no R. A Figua () epesenta um esboço o plano um pouco mais elaboao, no entanto, poeíamos esboça o plano como na Figua (), a qual exibe somente o octante eteminao pelos valoes p, q e. Assim, o "tiângulo" PQR epesenta somente a pate o plano que é visível quano obsevao o octante eteminao pelos valoes p, q e. z R z R p P q Q y x p P q Q y Figua () Figua () 6. Veto Nomal ao Plano Seja um plano : X A+ vt + vt. O veto n nomal (otogonal) ao plano é otogonal a qualque veto o plano, em paticula aos vetoes v e v a equação vetoial. Do pouto vetoial ente ois vetoes, tem-se que n v v é um veto nomal ao plano. Demonsta-se que as cooenaas o veto nomal são iguais aos coeficientes a,b e c a equação geal o plano, ou seja, se ( π ):ax+ by+ cz+ 0 então n(a,b,c). n v v v v Exemplo (): Dao um plano que contém os pontos A(,,) C ( 0,, ), etemine paa o plano : a) A equação Vetoial b) Equações Paaméticas c) Equação Geal ) Equação Segmentáia, ( 0,, ) B e
Luiz Fancisco a Cuz Depatamento e Matemática Unesp/Bauu e) O veto nomal f) Os taços Solução: a) Tomano o ponto ( 0,, ) B e os vetoes BA (,,0) e CB ( 0,, ), a equação vetoial é: ( π ):X B + BA t + CB t X (,,0t ) + (0,, ) t (0,,) +. b) Equações Paaméticas: x t ( π): y t + t, t, t R. z t c) Fazeno X ( x,y,z) e tomano ponto B ( 0,, ), temos que os vetoes BX, BA e CB x 0 y z são coplanaes, Logo: [BX,BA,CB] 0 0 x 4y 4z + 0 0 que é a equação geal o plano. ) Da equação geal temos: x 4y 4z + 0 x 4y 4z 4 4 x y z x y z + + que a equação segmentáia. 4 e) Da equação geal x 4y 4z vem que n (, 4, 4) é o veto nomal ao plano. x y z f) Da equação segmentáia + + 4 P(p,0,0) ( 4,0,0), (0, q,0) (0,,0 ) os planos cooenaos são as eta: ( PQ ):X P+ PQ t Q e (0,0, ) ( 0,0,) X ( 4,0,0) + ( 4,,0 ) t ( PR ):X P+ PR t X ( 4,0,0) + ( 4,0,) t ( QR ):X Q+ QR t X ( 0,,0 ) + ( 0,,) t temos que: p 4 q. Então: R. Potanto, os taços sobe z -4 x y
Luiz Fancisco a Cuz Depatamento e Matemática Unesp/Bauu 6. Casos paticulaes e planos ) Plano passano pelo oigem: Se o plano passa pela oigem, então O(0,0,0) petence ao plano. Na equação geal o plano temos 0 x+ 0y + 0z + 0 0. Too plano passano pela oigem o temo inepenente é zeo, logo sua equação é o tipo: ax+by+cz0. ) Plano paalelo a um os eixos cooenaos: Quano na equação geal o plano o coeficiente e uma as vaiáveis fo nulo, o plano é paalelo a eixo cooenao coesponente a esta vaiável. Assim: a) ax+by+0z+0 ou ax+by+0 c0 plano paalelo ao eixo Oz b) ax+0y+cz+0 ou ax+cz+0 b0 plano paalelo ao eixo Oy c) 0x+by+cz+0 ou by+cz+0 a0 plano paalelo ao eixo Ox ) Plano que passa po um os eixos cooenaos: Quano na equação geal o plano o coeficiente e uma as vaáveis e o temo inepenente foem nulos (0), epesenta que ele passa (contém) pelo eixo cooenao coesponente a esta vaiável. Assim: a) ax+by0 c0 plano passa pelo eixo Oz b) ax+cz0 b0 plano passa pelo eixo Oy c) by+cz0 a0 plano passa pelo eixo Ox 4) Plano paalelo a um os planos cooenaos: Quano na equação geal o plano os coeficientes e uas vaiáveis foem nulos, epesenta que ele é paalelo ao plano cooenao fomao po estas pelas vaiáveis. Assim: a) ax+0 bc0 plano paalelo ao plano yz b) by+0 ac0 plano paalelo ao plano xz c) cz+0 ab0 plano paalelo ao plano xy 6.4 Posição elativa ente Planos Há uas posições elativas ente ois planos: paalelos e concoentes. Existem ois casos paticulaes: coincientes (é um caso paticula ente planos paalelos) e pepeniculaes (é um caso paticula ente planos concoentes).
Luiz Fancisco a Cuz Depatamento e Matemática Unesp/Bauu Sejam ( π ): ax + by + cz + 0 e e ( π ):ax + by+ cz+ 0 as equações e ois planos com seus espectivos vetoes nomais n (a,b,c) e n (a,b,c). Analisano as posições elativas ente ois planos vem: ) Planos Coincientes: São planos supepostos e o ângulo ente eles é θ 0 o. Analisano a epenência linea ente os vetoes nomais, vem que: { n,n} LD (paalelos) e vale a elação: a a b b c c n n ( π ) ( π) ) Planos Paalelos: São planos isjuntos (não existe inteseção ente eles) e o ângulo ente eles é θ 0 o. Analisano a epenência linea ente os vetoes a nomais, vem que: { n,n} LD (paalelos) e vale a elação: a b b c c n ( π ) n ( π ) ) Planos Concoentes: Existe a inteseção e o ângulo ente eles é θ 90 o. Analisano a epenência linea e o pouto escala ente os vetoes nomais, vem que: { n,n} LI (não paalelos) e n n 0. n θ n ( π ) ( π ) 4) Planos Pepeniculaes: Existe a inteseção e o ângulo ente eles é θ 90 o. Analisano a epenência linea e o pouto escala ente os vetoes nomais, vem que: { n,n} LI (não paalelos) e n n 0 n θ n ( π ) ( π )
Luiz Fancisco a Cuz Depatamento e Matemática Unesp/Bauu Resumo: Sejam ( π ): ax + by + cz + 0 e ( π ): ax + by + cz + 0 as equações e ois planos com seus espectivos vetoes nomais n (a,b,c) n (a,b,c). ) Planos Coincientes: a { n,n} LD (paalelos) e b c. a b c ) Planos Paalelos: a { n,n} LD (paalelos) e b c. a b c ) Planos Concoentes: { n,n} LI (não paalelos) e n n 0. 4) Planos Pepeniculaes: n,n } LI (não paalelos) e n 0. { n 6.5 Posição Relativa ente Reta e Plano Há uas posições elativas ente uma eta e um plano: eta paalela ao plano e eta concoente ao plano. Existem ois casos paticulaes: eta contia no plano (é um caso paticula e eta paalela ao plano) e eta pepenicula ao plano (é um caso paticula e eta concoente ao plano). Sejam uma eta ():X A+ t v, t R e um plano e equação geal ( π ):ax+ by+ cz+ 0. Tem-se que n(a,b,c) Analisano as posições elativas ente uma eta e um plano vem: é um veto nomal ao plano. ) Reta contia no plano: Existe a inteseção ente a eta () e o plano, que neste caso é a pópia eta () e o ângulo ente a eta e plano é θ 0 o. Nestas conições vem que: v n 0 e A ( π ). () A v n ) Reta paalela ao plano: Não existe inteseção ente a eta () e o plano e o ângulo ente eles é θ 0 o. Nestas conições vem que: v n 0 e A ( π ). A () v n
Luiz Fancisco a Cuz Depatamento e Matemática Unesp/Bauu ) Reta concoente ao plano: Existe a inteseção ente a eta () e o plano, que neste caso é um ponto P e o ângulo ente eles é θ 90 o. Nestas conições vem que: v n 0 e { v,n } LI (não paalelos). ( ) n v P θ 4) Reta pepenicula ao plano: Existe a inteseção ente a eta () e o plano, que neste caso é um ponto P e o ângulo ente eles é θ 90 o. Nestas conições vem que: v n 0 e { v,n } LD (paalelos). P v θ ( ) n Resumo: Sejam uma eta ():X A+ t v e um plano ( π ):ax+ by+ cz+ 0 com seu veto nomal n. ) Reta contia no Plano: v n 0 A ( π ). ) Reta paalela ao Plano: v n 0 A ( π ). ) Reta concoente ao Plano: v n 0 { v,n } LI (não paalelos) 4) Reta pepenicula ao Plano: v n 0 { v,n } LD (paalelos) Exemplo (): Veifica a posição elativa ente os planos ( π ):x + y 4 0 e ( π ):x + 9y + 4z 0. Detemine a inteseção, se houve. Solução: Os vetoes nomais aos planos são n (,,0) e n (,9,4). Como n,n } são LI e n 0, os planos são concoentes, existe a inteseção ente { n eles que é uma eta. Paa etemina a inteseção evemos esolve o sistema linea com a equação os ois planos e expessa uas essas vaiáveis em função e uma teceia. Assim: x + y 4 0. Da pimeia equação temos: x + 9y + 4z 0 x y + 4 (*). Vamos substitui este valo e x na seguna equação:
Luiz Fancisco a Cuz Depatamento e Matemática Unesp/Bauu y + 4 + 9y + 4z 0 y z (**). De (*) e (**) segue que: x z y + 4 y y y x 4 z + x 4 z + y x 4 y inteseção e ( π ) e ( π ) é (): z + x y x y z +. Logo a eta z +, cujo veto ieto é v,, Como o veto ieto e uma eta poe se qualque veto paalelo a ela, então fazeno w v,, w (,,). Potanto, a eta () x y z + poe se escita como: ():. Exemplo (): Veifica a posição elativa a eta x (): y z 4 e o plano ( π ): x + y + z 0. Detemine a inteseção, se houve. A(,,4) Solução: Da eta temos: ( ):. Da equação o plano, tem-se: v (,, ) n (,,). Como v n 0 e { v,n } LD, a eta é pepenicula ao plano e a inteseção ente eles é um ponto. Da eta temos: x y y z 4 y+ x. y+ 8 z y+ y+ 8 Substituino na equação o plano temos: + y + 0 y. Potanto, ( ) ( π) P(0,,). Exemplo (4): Detemine a equação o plano que contém o ponto A(,,-) e é pepenicula a eta x (): z y. Solução: Este exemplo é elativamente simples, mas impotante, pois, ele mosta outa foma e etemina a equação e um plano, ou seja, quano tivemos um veto nomal ao plano e um ponto ele é possível etemina sua equação geal. De fato, se eta é pepenicula ao plano, seu veto ieto é um veto nomal ao
Luiz Fancisco a Cuz Depatamento e Matemática Unesp/Bauu plano. Então, seja n v (,, ). Assim, na equação geal o plano teemos: ax + by+ cz+ 0 x yz + 0. Paa eteminamos o temo inepenente, basta substitui o ponto A na equação o plano, pois, se A ( π) então ele satisfaz a equação o plano. Logo, () () ( ) + 0 8. Potanto, a equação o plano é x y z 8 0. Execícios Popostos ) Daos os planos ( π ): 7x + y + 4z + 9 0 e ( π): x + y + z 6 0, veifica a posição elativa ente eles. Detemine a inteseção, se houve. Resp: pepeniculaes e ( π ) ( π) é a eta x z y ) Detemine a equação o plano (θ) que é paalelo ao plano ( π ):x y+ 4z 7 0 e passa pelo ponto P(-,0,-). ( θ ):x y + 4z + 5 0 Resp: x 4 y ) Detemine a equação o plano (θ) efinio pelas etas ( ): z 4 ( s):x 0 y 5 z. Resp: ( θ ):x y z + 5 0 e 4) Acha as equações siméticas a eta que passa pela oigem, é paalela ao plano y + ( π ):x y + z 0 e intecepta a eta ( ): x z. Resp: 5) Detemine na foma simética a equação a eta que passa pelo ponto P(,,-) e é paalela aos planos ( π ):xy + z 0 e ( π):x + y + z + 8 0. x 9 y 7 z 7 Resp: x y 5 z+ 7 COMENTÁRIOS IMPORTANTES ) Não existem planos evesos e nem otogonais. Da mesma foma, não existe eta evesa ao plano e nem eta otogonal ao plano. Potanto, cuiao com as afimações feitas a espeito as posições elativas ente planos e ente etas e planos. ) O veto nomal n a um plano é facilmente obtio a equação geal. Poém, qualque outo veto w paalelo a n, ou seja: w α n, também é um veto nomal ao plano. Assim, qualque veto w nomal ao plano poe se usao paa a constução a equação geal o plano.
Luiz Fancisco a Cuz Depatamento e Matemática Unesp/Bauu ) Deve-se nota que um plano é constituío e pontos. Como estamos intouzino os conceitos vetoiais paa efinimos e tabalhamos com os planos, é muito comum, quano utilizamos suas equações, confuni o que são pontos o plano e o que são vetoes paalelos ou contios no plano. Po exemplo: Consiee o plano e equação geal : x y + 4z 7 0, logo seu veto noma é n (,,4). Como é comum epesenta um veto expessano somente suas cooenaas po v (x, y,z), isso poe causa confusão com as cooenaas x, y e z os pontos o plano, ou seja, as cooenaas x, y e z que apaecem na equação geal (bem como nas outas equações) x y + 4z 0, são as cooenaas os pontos o plano e não e um veto paalelo ou contio nele. Um veto v só seá paalelo ou estaá contio no plano se v n 0. No entanto, paa que um ponto petença ao plano é necessáio que ele satisfaça a equação o plano. Note que o ponto P(,,) ( π), pois: + 4 7 0 0 0, mas o veto v (,, ) não é paalelo ao plano, pois n v + ( ) + 4 7 0. Já o veto w (,6,) é paalelo ao plano, pois n w + ( ) 6 + 4 0, mas o ponto e cooenaas Q(,6,) ( π), pois: 6 + 4 7 0 7 0 o que é uma contaição.