UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Quarta lista de Eercícios de Cálculo Diferencial e Integral I - MTM 1 1. Nos eercícios a seguir admita que todas as variáveis sejam funções de t. a) Se cos y = 5 e d dy = 4, determine quando y = π/3. b) Se y 3 + 4 = 10 e dy c) Se 3 y + = 3 e dy d) Se y 4y = 44 e d = 3 quando = e y = 1, determine d. = 4 quando = e y = -3, determine d. = 5 quando = 3 e y =, determine dy.. Uma pessoa parte do ponto A em direção sul a 4 m/s. Um minuto depois, outra pessoa parte de A em direção oeste a 3 m/s. A que taa está variando a distância entre elas 1 minuto após a partida da segunda pessoa? 3. Joga-se uma pedra em um lago, produzindo ondas circulares cujos raios aumentam a uma razão constante de 0, 5 m/s. A que taa está aumentando a circunferência da uma onda quando o raio é de 4 m? 4. Uma escada de 6m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada começa a deslizar horizontalmente, à razão de 0,6m/s, com que velocidade o topo da escada percorre a parede, quando está a 4m do solo? 5. Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindo a direção leste a uma velocidade de 90 km/h e o outro seguindo a direção sul, a 60km/h. Qual a taa segundo a qual eles se aproimam um do outro no instante em que o primeiro carro está a 0,km do cruzamento e o segundo a 0,15km? 6. Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16 m de altura e uma base com 4 m de raio. A água flui no tanque a uma taa de m 3 /min. Com que velocidade o nível da água estará se elevando quando sua profundidade for de 5 m? 7. Um incêndio em um campo aberto se alastra em forma de círculo. O raio do círculo aumenta à razão de 1m/min. Determine a taa à qual a área incendiada está aumentando quando o raio é de 0m. 8. Uma certa quantidade de areia é despejada a uma taa de 10 m 3 /min, formando um monte cônico. Se a altura do monte for sempre o dobro do raio da base, com que taa a altura estará crescendo quando o monte tiver 8m de altura?
9. Um radar da polícia rodoviária está colocado atrás de uma árvore que fica a 1 m de uma rodovia que segue em linha reta por um longo trecho. A 16 m do ponto da rodovia mais próimo do radar da polícia, está um telefone de emergência. Em um determinado instante o policial, que está fiscalizando a rodovia, mira o canhão do radar no telefone de emergência e verifica que naquele instante um automóvel passa pelo telefone. O radar indica que a distância entre o policial e o carro está aumentando a uma taa de 40 km/h. Utilizando taas relacionadas determine a velocidade do automóvel neste instante. Se o ite de velocidade neste trecho da rodovia é de 80 km/h, o policial deve ou não multar o motorista? 10. Encontre os pontos críticos e os intervalos abertos onde a função é crescente ou decrescente. a) f() = ( 1) b) f() = 4 c) f() = + 1 d) f() = + 1. 11. Determine os etremos relativos e absolutos da função f() = a) [0, 5] b) (0, 4) c) (0, ) d) [, 5] 1. Seja f : [, ] R, dada por f() = 4 4 3 3 + 1. a) Encontre os pontos críticos de f. em cada intervalo. b) Classifique os pontos críticos em máimo e mínimo relativo (local), dizendo qual resultado está sendo utilizado. c) Encontre o ponto de máimo e mínimo absoluto (global) e os valores máimo e mínimo absolutos de f. Justifique a sua resposta. 13. Determine os etremos relativos de f, os etremos absolutos de f e os intervalos em que f é crescente ou decrescente, utilizando o teste da derivada primeira. a) f() = 5 7 4 b) f() = 3 c) f() = tg sec, ( π, π) 4 4 d) f() = 16 14. Encontre a, b, c e d, tal que a função f() = a 3 + b + c + d, tenha etremos relativos em (1, ) e (, 3). 15. Encontre a, b e c, tal que a função f() = a + b + c tenha um valor máimo relativo y = 7 em = 1 e o gráfico de y = f() passe pelo ponto (, ). 16. Determine os pontos de máimo e mínimo relativo, os valores máimo e mínimo, a concavidade e os pontos de infleão, caso eista, de cada uma das funções dadas abaio: a) f() = 3 3 + 6 + 8 b) f() = 4 + 3 3 4 + 4 c) f() = + /3 d) f() = 1 + e) f() = 5 5 3 f) f() = 3 + 1 g) f() = ( 1) 17. Determine, em cada caso, o(s) ponto(s) de infleão de f e os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para cima ou côncavo para baio. Encontre os etremos relativos utilizando o teste da
3 derivada segunda. a) f() = + 4 d) f() = sen, (0, π) b) f() = 9 c) f() = 3 18. Encontre as assíntotas horizontal e vertical e trace um esboço do gráfico da função. a) f() = b) f() = 4 3 4 + 1 19. Considerando o gráfico de f abaio determine os intervalos onde f é côncava para cima e côncava para baio. O a b c d 0. Leve em conta as informações abaio e o gráfico da derivada f, dado na figura abaio, de uma função f para resolver esta questão. f -4-4 (i) f(0) = 1 8 (iii), f( 1) = f(1) = 0 (ii) f() = f() = 1 + f() = e f() = + (iv) f() = + e + + a) Determine os pontos críticos de f. b) Determine o(s) intervalo(s) em que f é crescente e decrescente. c) Determine o(s) etremo(s) relativo(s) de f. d) Determine o(s) intervalo(s) em que f é côncava para cima ou para baio. e) Determine o(s) ponto(s) de infleão do gráfico de f, se eistirem. 1. Esboce os gráficos das seguintes funções: a) f() = 3 9 b) f() = d) f() = 3 + 4 9 c) f() = 4 4 + 3. Considere a função f() = 3 3. a) Analise o crescimento b) Ache os pontos críticos e classifique-os c) Analise a concavidade d) Esboce o gráfico. f() =.
4 3. Realize o estudo das seguintes funções e faça o esboço do seu gráfico: a) f() = b) f() = + 1 c) f() = 1 + 1 d) f() = + 9 e) f() = 3 + 1 f) f() = + 1 g) f() = 4 + 3 ln j) f() = h) f() = 3 3 i) f() = k) f() = 4 ( )3 l) f() = 1 4. Considere a função f() = 1. a) Determine o domínio de f e as intersecções de f com os eios coordenados. b) Mostre que f é uma função par, e que f () = e f () = (1 + 3 ) ( 1) ( 1). 3 c) Encontre, caso eista(m), o(s) intervalo(s) em que f é crescente e onde é decrescente. d) Encontre, caso eista(m), o(s) ponto(s) crítico(s) de f e classifique-os, dizendo claramente qual resultado utilizado. e) Encontre, caso eista(m), o(s) intervalo(s) onde f é côncava para baio e onde é côncava para cima. f) Encontre, caso eista(m), o(s) pontos de infleão de f, justificando o porque da eistência ou a não eistência. g) Encontre, caso eistam, as assíntotas horizontais e verticais de f. h) Faça um esboço do gráfico de f. 5. Um fazendeiro tem 00m de cerca para construir três lados de um cercado retangular. Um muro longo e retilíneo servirá como o quarto lado. Que dimensões maimizarão a área do cercado? 6. Um campo retangular à margem de um rio deve ser cercado, com eceção do lado ao longo rio. O custo do material é de R$1 por metro linear no lado paralelo ao rio e R$8 por metro linear nos dois etremos. Ache a maior área possível do campo que possa ser cercado com um custo de R$3600 de material. 7. Sendo 583 cm 3 o volume de um reservatório de base quadrada, R$ 3,00 por cm o preço do material da tampa e da base e R$ 1,50 por cm o valor do material para os lados, calcule as dimensões desse reservatório de modo que o custo total do material seja mínimo. 8. Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter a capacidade de 375π cm 3. O custo do material usado para base do recipiente é de 15 centavos por cm e o custo do material usado para a parte curva é de 5 centavos por cm. Se não há perda de material, determine as dimensões que minimizam o custo do material. 9. Uma pessoa se acha em um bote a km de distância do ponto mais próimo em uma praia retilínea, e deseja atingir uma casa a 6 km praia abaio. Se a pessoa pode remar à razão de
5 3 km/h e andar à razão de 5 km/h, determine o tempo mínimo que a pessoa levará para atingir a casa. 30. Com uma quantidade A de material dada deve-se construir um depósito de base quadrada e paredes verticais. Determine as dimensões que dão o volume máimo. 31. Determine o volume do maior cilindro circular reto que pode ser inscrito numa esfera de raio r. 3. Deseja-se construir uma piscina de forma circular, com volume igual a 15π m 3. Determine os valores do raio r e da profundidade h(altura), de modo que a piscina possa ser construída com a menor quantidade de material possível. 33. Determinar o maior comprimento que deve de ter uma escada para passar de um corredor de 5 m de largura a outro, perpendicular, de 8 m de largura. 34. De um ponto A situado numa das margens de um rio, de 100 m de largura, deve-se levar energia elétrica no ponto C na outra margem do rio. O fio a ser utilizado na água custa R$5, 00 o metro, e o que será utilizado fora, R$3, 00 o metro. Como deverá ser feita a ligação para que os gastos com os fios seja o menor possível? (Suponha as margens retilíneas e paralelas). 35. Calcule os ites: ln a) 0 + d) g) tg + ( ) 1 + 3 e j) sen ln 0 + m) ( + ) + arctg p) 0 sen ( s) + + 1 ln v) p/ w) 0 + y) 0 + sen b) c) 0 3 e) π tg tg3 ) t) + (e + ) 1/ u) + (ln ) + tg(p) f), q = 0 0 tg(q) h) ln i) 0 + e sen 4 k) l) ( ln ) 0 + 3 + ( + tg 1 n) o) 0 sen 0 1 ) sen + 1 ( q) r) 1 + a ) b + ( 3 + 5 )1/ 0 +(cos ) z) ln 0 + 0 (1 ) 1/ ) +1 36. Seja f : [a, b] R dada por f() = sen. Utilize o Teorema do Valor Médio para mostrar que sena senb a b. 37. Seja f : [a, b] R dada por f() = ln, onde 0 < a b. Utilize o Teorema do Valor Médio para b a ( b b a mostrar que ln b a) a. 38. Mostre que a corda pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)) do gráfico de f() = + m + n é paralela ( a + b ( a + b )) à reta tangente a esse gráfico no ponto, f b