Curso de Bomedca Dscpla 5EMA080: Bostatístca E APLICAÇÕES O SOFTWARE R 1 0 BIMESTRE Profa. Dra. Aa Verga Lbos Messett LODRIA 016
CAPÍTULO 1 Aálse Exploratóra de Dados Aula 1 - Itrodução 1.1 Estatístcas - Iformação umérca (Ex: taxa de flação, úmero de habtates de certa cdade, Taxa de ascmeto o Brasl, Ídce da flação mesal, úmero de óbtos uma certa regão...) Estatístca - Evolve téccas para coletar, orgazar, descrever, aalsar e terpretar dados, ou proveetes de expermetos, ou estudos observacoas (Barbetta, 008). Estatístca é um cojuto de métodos que possblta a tomada de decsões acertadas, face às certezas (Walls). 1. Classfcação da estatístca Estatístca Descrtva ou estatístca dedutva - Tem por objetvo descrever, aalsar e terpretar os dados de um cojuto, seja uma população ou amostra, ferdo os resultados somete para o cojuto observado. Probabldade - É a base da teora da matemátca utlzada para estudar feômeos de caráter aleatóro. A teora das probabldades é um mportate strumeto para a aálse de stuações que evolvem um elemeto de certeza. A estatístca dutva ão podera ter-se desevolvdo sem as oções fudametas da teora das probabldades. Estatístca Idutva ou ferêca estatístca - Tem por objetvo descrever, aalsar e terpretar os dados de uma amostra para ferr propredades à respectva população. A estatístca dutva pode ser separada em duas áreas prcpas: estmação por poto e por tervalo de cofaça; testes de hpótese paramétrco e ão paramétrco. A essêca de uma aálse estatístca é trar coclusões sobre uma população, com base em uma amostra de observações Estatístca Idutva ou ferêca estatístca ESTATÍSTICA DESCRITIVA IFERÊCIA ESTATÍSTICA Fgura 1 - Esquema de Aplcação da Estatístca Descrtva e Iferecal 1.3 Metodologa Estatístca e Etapas da pesqusa o plaejameto da pesqusa, cada etapa deve ser bem determada, pos o trabalho cetífco é bom ou ão pelo plaejameto e ão pelos resultados. E ão há aálse estatístca que coserte um mau plaejameto. 1
Etapas de uma pesqusa e da metodologa estatístca: 1. Defção do problema e objetvos da pesqusa;. Plaejameto da pesqusa; 3. Execução da pesqusa; 4. Dados; 5. Aálse de dados - Aplcações métodos estatístcos aproprados; 6. Aálse dos resultados; 7. Coclusões com a sgfcâca estatístca e sgfcâca prátca. Pesqusa é uma dagação ou exame crítco e exaustvo a procura de fatos e prcípos, uma dlgete busca para averguar algo. É descobrr respostas para questões, medate a aplcação de métodos cetífcos. Exstem dos tpos de pesqusa empírcas: Pesqusas observacoas: As característcas da população são observadas ou meddas sem mapulação; Pesqusas expermetas: Grupo de dvíduos são mapulados para avalar o efeto de dferetes tratametos. 1.4 Cocetos Báscos População é um cojuto de todos os objetos, dvíduos ou formações que teressam para pesqusa. Amostra é parte da população, ode os elemetos devem ter as mesmas característcas da população. Isto é, espera-se que a amostra seja uma represetação em matura da população e que produza estmatvas razoáves de suas característcas. Geralmete o úmero de elemetos exstete a população é represetado por e da amostra por. POPULAÇÃO 1,... AMOSTRA 1,,... Parâmetro - Meddas que descrevem certa característca dos elemetos da população. Estatístca - Meddas que descrevem certa característca dos elemetos da amostra. Estmatva - Valor resultate do cálculo de uma estatístca. ESTATÍSTICA (amostra) Méda amostral Varâca amostral x 1 x Méda populacoal 1 x 1 1.5 atureza dos Dados Estatístcos s x PARÂMETRO (população) Varâca populacoal 1 1 x x Os dados estatístcos costtuem a matéra prma das pesqusas estatístcas eles surgem sempre que se fazem mesurações ou se regstram observações. Os dados referem-se a varáves. Algus cojutos de dados (como peso) cosstem em úmeros, equato outros são ão umércos (como relgão). Podemos dstgur os dos tpos de varáves:
Varável Qualtatva - Quado a varável é ão umérca: ORDIAL a varável tem uma ordeação atural dcado tesdades crescetes de realzações. Exemplos: grau de escolardade ( 1 0, 0, 3 0 ); classe socal (baxa, méda, alta); tamaho ( pequeo, médo, grade ) OMIAL a varável ão pode ser ordeada, sto é, ão é possível estabelecer uma ordem atural etre seus valores. Exemplos: relgão, aturaldade, sexo. Observação: Podemos atrbur úmeros a categoras, mas tas úmeros ão têm qualquer sgfcado para efeto de cálculo, e a méda calculada com base eles em geral ão têm setdo. Varável Quattatva - Quado pode ser expressa umercamete. DISCRETAS a varável dscreta pode assumr um úmero fto ou fto eumerável de valores. Geralmete são as cotages, como por exemplo, a quatdade de estudate s em uma dscpla, quatdade de empregados da empresa, úmero de flhos de um casal. COTÍUAS a varável cotíua pode assumr qualquer valor em certo tervalo, sto é, pode assumr um cojuto fto e ão eumerável de valores. Exemplos: tempo de estudo, dstâca etre duas cdades e peso de uma pessoa. 1.6 Amostragem Ceso: é o estudo de todos os elemetos da população. Amostragem: é a parte da estatístca que esa obter amostras represetatvas de uma população. A faldade da amostragem é fazer geeralzação sobre todo o grupo sem precsar examar cada um de seus elemetos. Téccas de amostragem probablístca Amostragem Smples ao Acaso - ASA: Este tpo de amostragem deve ser usado sempre que, se tratar de uma população homogêea. A característca dessa amostragem é que todos os elemetos da população eumeradas de 1 a, têm a mesma probabldade de serem sorteados. Deve eumerar os elemetos da população e através de sorteo ou usado a tabela de úmeros aleatóros retrar os elemetos da população sem reposção até completar a amostra. Exemplo1.1 Selecoar aleatoramete uma amostra de tamaho de uma população que cosste de 60 farmácas da cdade de Arapogas - PR. Utlze a prmera lha tabela de úmeros aleatóros. As farmácas assocadas a estes úmeros costtuem ossa amostra aleatóra que são: [38, 0,, 07, 59, 45, 01, 40, 3, 13] Amostragem sstemátca - Este tpo de amostragem é utlzada quado os tes de uma população se apresetam uma ordem determada (ordeação). O processo de formação da amostra cosste em: Calcular o tervalo de seleção (I). O valor de I obtém-se dvddo o tamaho da população () pelo tamaho da amostra (), tal que: I = (tero mas próxmo) Sortea-se um úmero x etre {1,, 3...I} e forme a amostra correspodete aos úmeros tal que: A ={x; x + I; x+ I;...; x + ( - 1)I } Exemplo 1. Seja uma população 00 fchas de pacetes de uma clíca de muzação em Cambé - PR. Retre uma amostra aleatóra de 40 fchas para compor sua amostra. Itervalo de seleção: I = Será escolhdo um tem em cada sequêca de 5 fchas. 3
Sortear etre 1 e 5. Se utlzarmos a prmera lha da tabela, x = 3 logo a amostra: úmero da fcha: A = [3, 8, 13, 18, 3,...198] Amostragem estratfcada uforme - Quado a população apreseta-se muto heterogêea, a amostragem smples ao acaso tora-se pouco represetatva da população. este caso deve-se utlzar a amostragem estratfcada, a qual cosste em dvdr a população em subgrupos (estratos) mas ou meos homogêeos, e de cada um deles retrar uma amostra smples ao acaso. E a amostragem estratfcada Uforme quado selecoamos o mesmo úmero de elemetos em cada estrato. Exemplo 1.3 Deve-se extrar uma amostra de tamaho 80 dvíduos de uma população de tamaho = 000, que cosste de 4 estratos de tamahos 1 = 500, = 0, 3 = 00 e 4 = 0. Se a alocação ão for proporcoal qual o tamaho da amostra a ser extraída de cada um dos quatro estratos? R: 0 elemetos de cada estrato e sortea os elemetos da tabela de úmeros aleatóros. Amostragem estratfcada proporcoal Dfere da amostragem estratfcada uforme quado selecoamos o úmero de elemetos proporcoal ao úmero de elemetos total em cada estrato. Calcular a fração de amostragem dada por: f = Calcular o úmero de elemetos a serem sorteados em cada estrato: 1 = 1 f; = f;... L = L f (úmero de elemetos da população); (úmero de elemetos do estrato ); L (úmero de estratos) (tamaho da amostra a ser selecoada) Exemplo 1.4 Do exemplo 3, retre uma amostra de 80 dvíduos utlzado a amostragem estratfcada proporcoal. Fração de amostragem dada por: f = = úmero de elemetos a serem sorteados em cada estrato: 1 = 1 f = 500. 0,04 = 0; = f = 0. 0,04 = 48 3 = 3 f = 00. 0,04 = 8; 4 = 4 f = 0. 0,04 = 4 Formar sua amostra utlzado a tabela de úmeros aleatóros. Atvdade 1 1) Pesquse e escreva a defção de Estatístca. Dê a referêca bblográfca. ) Dferecar Parâmetro e Estatístca. 3) Retre de um artgo da sua área e apresete o mímo varáves observadas e classfque o tpo de varável. Apresete o título e autores do artgo (ou o lk do edereço do artgo). 4) Um hematologsta deseja fazer uma ova verfcação de uma amostra de tamaho dos 854 espécmes de sague aalsados por um laboratóro médco em determado mês. Para sto, ele cra uma estrutura amostral umerado a população [001, 00,..., 854]. Use a tabela de úmeros aleatóros para escolher que espécmes de sague serão selecoados? (1 0 colua da tabela.a). 5) Orgaze uma lsta com 1 omes de pessoas em ordem alfabétca. Descreva uma forma de obter uma amostra sstemátca de 6 omes. 6) Deve-se retrar uma amostra estratfcada de tamaho = 60 de uma população de tamaho 4000, que cosste de 3 estratos de tamahos 1 = 000, = 0, 3 = 800. Para que a alocação seja proporcoal, qual deve ser o tamaho da amostra a ser retrada de cada estrato? 4
7) o software R, selecoe 3 varáves da pesqusa realzada em sala de aula (sexo, rmãos e altura) e costrur as tabelas de dstrbução de frequêca, com título e fote. Parte da Tabela de úmeros aleatóros (Barbetta P., 008) 380 07 5964 8990 8845 9584 0145 4074 863 1386 300 801 6960 715 9040 450 0455 034 1641 196 0171 850 3431 5536 3573 913 801 7889 6759 7553 3718 3556 9 4660 461 3039 9756 8066 9911 56 8503 5570 8730 44 177 9516 0534 7050 8164 974 4663 300 7501 3514 7756 397 0860 9768 855 5343 0743 1984 0641 3583 4870 511 3734 9858 0407 307 5745 7060 4014 11 8973 0050 961 03 537 7756 6796 8090 743 0850 133 6568 584 7651 700 8587 7561 665 1736 4048 553 7114 5551 1811 970 6869 9 954 5943 5576 9681 587 7966 8056 6 1779 8667 1148 0595 7615 7383 6680 968 4517 1681 0619 986 955 9038 5449 5007 6749 4898 1458 0380 796 6018 9300 5339 130 083 AULA Tabelas de dstrbução de frequêcas O papel da estatístca descrtva é orgazar, resumr e apresetar os dados de forma correta. A aálse exploratóra de dados, além de descrever os dados, detfca algumas característcas do processo, com base os dados. Costrudo-se tabelas e gráfcos aproprados e gerado algumas meddas descrtvas, podemos extrar aspectos mportates para os dados (meração dos dados = data mg)..1 Tabelas Uma tabela pode ser classfcada em tabela smples ou de dupla etrada. Tabela smples é composta de uma colua dcadora, ode são escrtos os valores ou modaldades da ordem de classfcação e de outra colua, em que aparecem os valores que represetam as ocorrêcas do feômeo. Tabela de dupla etrada é composta de dos atrbutos, qualtatvos ou quattatvos, em que exstem duas ordes de classfcação: uma horzotal e outra em colua dcadora. Elemetos de uma Tabela Os elemetos essecas são: título, cabeçalho, corpo e colua dcadora. Título: precede a tabela e cotém a desgação do fato observado, o local e a época em que o assuto fo regstrado; Cabeçalho: é a parte superor da tabela que específca o coteúdo das coluas; Corpo: É o cojuto de lhas e coluas que cotém as formações referetes ao fato observado. Colua Idcadora: Ë a parte da tabela que especfca o coteúdo das lhas. Os elemetos complemetares são: Fote, otas e chamadas. Fote: é stuada o rodapé da tabela e específca a etdade resposável pelo forecmeto dos dados ou pela elaboração da tabela; otas: stuadas abaxo da tabela dão formações geras sobre a tabela ou dca a metodologa utlzada o levatameto ou a elaboração dos dados; Chamadas: são formações mas específcas sobre determadas partes da tabela, com o objetvo de fazer algum esclarecmeto sobre os dados apresetados. Devem ser fetas através de algarsmos arábcos escrtos etre parêteses, e colocados à dreta da colua. 5
Cosderações para costruções de tabelas a costrução de tabela, recomeda-se: O título precede a tabela e deve ser apresetado após a palavra tabela, detfcada por um algarsmo arábco; O título com auxílo do cabeçalho, deverão respoder as segutes pergutas: O quê? Ode? Quado? ão dexar casas (cruzameto de uma lha com uma colua) em braco. Pode-se usar traço ou sal covecoal; As lhas horzotas superor e feror, que lmtam a tabela, devem ser mas acetuadas; As tabelas ão devem ser fechadas lateralmete;. Apresetação de varáves qualtatvas Para costrur a tabela de dstrbução de frequêca, basta cotar a quatdade de resultados observados em cada categora. Dstrbução de frequêcas: Cosstem a orgazação dos dados de acordo com as ocorrêcas dos dferetes resultados observados. Para varável qualtatva a cotagem de quatos dvíduos pertece em cada categora forma uma dstrbução de freqüêcas. As freqüêcas podem ser de forma absoluta, relatva(%) ou ambas. Seja a tabela, dados de uma pesqusa realzada uma clíca de depedetes do alcool. Dados brutos de 40 dvíduos em tratameto cotra o alcoolsmo. As varáves observadas foram grau de alcoolsmo em escores (A: leve; B: moderado; C: severo; D: muto severo) e o sexo. Clíca dos Amgos Lodra PR 013 Id grau sexo Id grau sexo Id grau sexo Id grau sexo 1 C F 11 C F 1 B M 31 A F A F 1 A F A M 3 A F 3 B F 13 B M 3 A F 33 B M 4 B F 14 D M 4 B F 34 C M 5 C M 15 A F 5 A M 35 B F 6 B M 16 B F 6 A M 36 D F 7 D F 17 B M 7 B F 37 B M 8 B F 18 C M 8 D F 38 B M 9 B M 19 D F 9 D M 39 B F A M 0 B F 30 C M 40 C F Exemplo.1 Tabela para Varáves qualtatvas omas. Tabela 1 - Dstrbução de frequêcas dos alcoólotras por sexo. Clíca dos Amgos - Lodra PR. 013 Jar Grau de alcoolsmo Frequêca Frequêca Relatva Porcetagem (%) Femo 0.55 55 Masculo 18 0.45 45 Total = 40 1.00 0 Fote: Clíca dos Amgos 6
Exemplo. Tabela para Varáves qualtatvas ordas. Tabela - Dstrbução de frequêcas do grau de alcoolsmo Clíca dos amgos Lodra PR - 013 Jar Grau de Frequêca Frequêca Porcetagem alcoolsmo absoluta Relatva (%) A - leve 0.50 5.0 B - moderado 17 0.45 4.5 C - severo 07 0.175 17.5 D muto severo 06 0.150 15.0 Total = 40 1.00 0 Fote: Clíca dos Amgos Apresetação de Tabelas de cotgêca Mutas vezes os elemetos da amostra ou da população são classfcados de acordo com duas varáves qualtatvas. Os dados devem etão ser apresetados em tabelas de cotgêca, sto é, em tabelas de dupla etrada, cada etrada relatva a uma das varáves. Exemplo.3 Tabelas de cotgêca. Tabela 3 - Dstrbução de frequêcas de 40 dvíduos segudo às varáves sexo e grau de alcoolsmo - Clíca dos Amgos Sexo Total Grau Femo Masculo A 6 4 B 9 8 17 C 3 4 07 D 4 06 Total 18 40 Fote: Clíca dos Amgos.3 Apresetações de varáves quattatvas Se os dados são dscretos, para orgazar a tabela de dstrbução de frequêcas: Escreva os dados em ordem crescete; Cote quatas vezes cada valor se repete; Orgaze a tabela como já fo feto para dados qualtatvos, colocado o lugar das categoras, os valores umércos em ordem atura. Jar Três formações mportates das varáves quattatvas: faxa em que os valores ocorrem com maor frequêca; Detectar valores dscrepates e a forma da dstrbução, para comparar com modelos probablístcos..3.1 Varáves quattatvas dscretas Tabela de frequêcas A tabela de dstrbução de freqüêca pode ser feta de forma aáloga à dstrbução de freqüêca de varáves qualtatvas. o lugar das categoras estarão represetados os valores umércos da varável. Agrupa os dados coforme os valores dsttos da varável com a sua respectva frequêca absoluta (smples). Exemplo.4 As faltas ao trabalho de 30 empregados de uma clíca em determado semestre estão a Tabela 4. A partr dela, faça uma tabela de dstrbução de frequêcas. 7
Tabela 4: úmero de faltas de 30 empregados de uma clíca o 1 o semestre - 015 1 3 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 6 4 3 3 1 4 0 Fote: VIEIRA, S. Itrodução à Boestatístca. Realzado as cotages e costrudo a tabela de dstrbução de frequêcas do exemplo 4: Tabela 5 Dstrbução de frequêcas do úmero de faltas de 30 empregados de uma clíca o 1 o semestre - 015 úmero de faltas frequêca Porcetagem (%) 0 9 30.0 1 33.3 5 16.7 3 3.0 4 6.7 6 1 3.3 30 0.0 Fote: VIEIRA, S. Itrodução à Boestatístca..3. Varáves quattatvas cotíuas Tabela de frequêcas Quado a varável é cotíua, geralmete com mutos valores dsttos é adequado costrur uma dstrbução de freqüêca em classes. Os dados são agrupados em classes e a cada classe, ( =1,,...,h ) assoca-se as frequêcas absolutas dos valores observados as respectvas classes. A costrução segue bascamete as segutes etapas: Costrução do Rol (valores em ordem crescete) dos dados Ampltude total dos dados A t É a dfereça etre o maor e o meor valor: At = X máx X mí Cálculo do úmero de Classes. O úmero de classes (k) ecessáro para agrupar elemetos em uma dstrbução de freqüêca é dado por: k ou k= 1+ 3,3 log. Cálculo da Ampltude das classes (h ou c). É dado por: h At k a apresetação de uma tabela de freqüêca, é comum apresetar o cabeçalho: f ou - Frequêca absoluta (smples) é a quatdade de elemetos a -ésma classe; x - Poto médo da classe, é a méda dos lmtes da classe; Fac Frequêca absoluta acumulada crescete; fr - Frequêca relatva dada por fr = f ; Fr Frequêca relatva acumulada crescete (somatóro da freqüêca absoluta relatva da classe com as frequêcas das classes aterores). L: lmtes de Classes Deomam lmtes de classe os extremos dos tervalos de classe. O meor úmero é o lmte feror (L) e o maor é o lmte superor (Ls). 8
Exemplo.5 Varável cotíua Seja um expermeto realzado a UESP - Botucatu (005), ode a varável observada fo a altura de 40 pés de eucalptos (metros) de certa espéce. Tabela 6 - Rol da altura de 40 pés de eucalptos (metros) de certa espéce..3.5.6 3.0 3.5 3.5 3.8 3.8 3.9 4.1 4.1 4.1 4.1 4.1 4. 4.3 4.3 4.4 4.4 4.6 4.9 5.0 5.0 5.3 5.8 6.0 6.0 6.0 6.0 6.0 6.5 6.9 7.1 7. 7.7 8.3 8.5 11.3 13.8. Ampltude total: At = 13.8. = 11.6 Itervalo de classes: k = = 6.3 Ampltude de classes: c ou h = =.0 Tabela 7 - Dstrbução de frequêcas da altura de 40 pés de eucalptos Botucatu 005 Classes frequêca absoluta (f ou ) Poto Médo x frequêca acumulada crescete Fac frequêca relatva (fr ).0 -- 4.0 4.0 -- 6.0 6.0 -- 8.0 8.0 --.0.0 -- 1.0 1.0 -- 14.0 16 0 01 01 3 5 7 9 11 13 6 36 38 39 40 0,5 0,40 0,5 0,05 0,05 0,05 frequêca relatva acumalada (Fr ) 0,5 0,65 0,90 0,95 0,975 1 40 1,00 1,00 Fote: UESP Botucatu 005 Atvdade Tabelas de dstrbução de frequêcas 1) Os tpos de sague de 40 doadores do sexo masculo, que se apresetaram o mês de Março de 015 o baco de sague do HU, foram: Varável Tpo de sague : {B, A, O, A, A, A, B, O, A, AB, O, O, A, O, O, A, A, A, A, O, O, O, A, O,O, A, O, AB, O, O, A, AB, B, A, A, B, A, O, B, B}. Coloque os dados em uma tabela de dstrbução de frequêcas (frequêca absoluta, frequêca relatva e porcetagem). ) Uma doeça pode ser classfcada em três estágos (leve, moderado e severo). Foram examados pacetes e obtdos os dados: moderado, leve, leve, severo, leve, moderado, moderado, moderado, moderado, leve, leve, leve, severo, leve, moderado, moderado, leve, severo, moderado, moderado, moderado, leve. Com base estes dados: a) determe a frequêca de cada categora; b) calcule a frequêca relatva de cada categora. 3) Agrupe os dados uma tabela de frequêca, observado o úmero de acdetes por da a Rodova (PR-74) observado um determado mês de féras. Costrua uma tabela de frequêca (frequêca absoluta; frequêca relatva e porcetagem) para represetar a varável dscreta úmero de Acdetes por da.. Acdetes ={ 0,1,,1,3,4,0,,0,0,3,0,1,0,3,0,,4,0,0,0, 5,1,,1,3,5,1,1,3,4} 4) Os dados abaxo represetam as cocetrações de chumbo o sague ( em 50 adolescetes do sexo femo observadas o Hosptal Uverstáro Lodra 009. Tabela 8- Cocetrações de chumbo o sague ( em 50 adolescetes do sexo femo - H.U.009 74.8 74.0 74.7 74.4 75.9 76.8 74.3 74.9 77.0 75.1 73.8 74.4 74.8 76.8 73.6 7.9 7.5 74.6 75.0 75.1 75.3 73.4 74.7 73.4 74. 74.9 74.5 77.1 74.6 74.8 76.4 73. 76.5 75.6 73.5 76. 74.7 76.0 75.8 77.3 76.3 74.1 75.0 76.0 74.7 75. 77.5 74.7 73.3 74.3 9
frequeca 0 5 15 0 5 30 a) A tabela de dstrbução de frequêca completa adequada aos dados; b) Apresete a dstrbução um Hstograma; c) O valor da ampltude total, úmero de classes e o tervalo de classe? d) Qual a frequêca relatva da 3 0 classe? E o lmte feror da 5 0 classe? e) Qual a frequêca acumulada crescete da 4 0 classe? f) O valor do poto médo da tercera classe? g) Qual a frequêca acumulada crescete da últma classe? h) Costrua um dagrama ramo-e-folhas e boxplot. Há outlers o cojuto? 5) Preecha a tabela de dstrbução de frequêca, referete as dades de 40 cletes da clíca de Fsoterapa Ortofs Lodra / 008. Tabela 9 - Idade de 40 cletes da clíca Ortofs Lodra 008 Classes f fr F ac x 30 -- 40 -- 50 6 50 -- 60 8 60 -- 70 13 70 -- 9 =40 6) o software R, selecoe três varáves da pesqusa realzada em sala de aula (sexo, úmero de rmãos e altura) e costrur as tabelas de dstrbução de frequêca, com título e fote. 7) A ampltude total de um cojuto de úmeros é 500. Se a dstrbução de frequêcas apresetam 0 classes, qual deverá ser o lmte feror e o poto médo da 5ª classe, se o lmte superor da 1ª classe é gual a 35? AULA 3 Gráfcos É a represetação de dados ou formações através de desehos, fguras ou mages. Exstem dversas formas de apresetação gráfca, fcado a escolha codcoada à atureza do feômeo a represetar e ao crtéro do aalsta. A faldade prcpal de apresetar os dados grafcamete é proporcoar ao teressado uma vsão rápda do comportameto do feômeo, poupado tempo e esforço a compreesão dos dados. A opção do gráfco fca vculado ao tpo de varáves: Qualtatva ou quattatva. Varáves qualtatvas - Gráfcos de Barras; Gráfcos de Coluas; Gráfcos de Setores.. Gráfcos de coluas - São aqueles em que as varações quattatvas de uma ou mas varáves são represetadas por coluas sucessvas, todas com bases guas, mas com dferetes alturas, as quas são proporcoas às frequêcas das varáves cofrotadas, dspostos vertcalmete. Fgura 3.1 Alcoólatras em tratameto por sexo F M F M Sexo
frequêcas 0 5 15 0 frequêca 0 4 6 8 Gráfcos de barras - São semelhates ao de coluas, ode os retâgulos são dspostos horzotalmete. Gráfcos em lhas - Este gráfco represeta alterações quattatvas sob a forma de uma lha polgoal ou curva estatístca, que tora mas vsível o adameto do feômeo (exemplo: o estudo da varável o decorrer do tempo) Gráfcos em setores - São gráfcos que descrevem o fato através de setores em uma crcuferêca, cuja faldade é represetar um fato jutamete com todas as partes que o mesmo se subdvde. O total é represetado pelo círculo, que fca dvddo em tatos setores quatas são as partes. Os setores são tas que suas áreas são respectvamete proporcoas aos dados da sére. Obtemos cada setor por meo de uma regra de três smples e dreta, lembrado que o total da sére correspode a 360 0. Gráfcos de coluas múltplas - São gráfcos que permtem comparar dversas varáves smultaeamete. Caracterza-se por apresetar duas ou três coluas represetatvas de varáves um mesmo período de tempo, sem espaço etre s, formado cojutos de coluas, exstdo espaço etre os cojutos. O objetvo é fazer comparação. Fgura 3. Alcoólatras em tratameto por sexo F M A B C D Grau Varáves quattatvas Hstogramas; Polígoos de Frequêcas; Box-plot; Dagrama de Ramos e folhas. Hstograma - É um recurso gráfco de coluas lgadas umas as outras, cuja base (exo das abscssas) correspode às classes e às alturas (exo das ordeadas) proporcoas às frequêcas absolutas ou relatvas. Fgura 3.3 Altura de 40 eucalptos Botucatu 005 16 1 1 4 6 8 1 14 Dâmetros 11
4 6 8 1 14 Boxplot O Box-plot mas smples tem base o resumo dos 5 úmeros. (Mímo, Prmero quartl, Medaa, Tercero quartl e Máxmo). Fgura 3.4 Box-plot das alturas de 40 eucalptos Dagrama de potos - Uma forma smples de observar como poucos dados se dstrbuem, ode cada valor represeta um poto a reta real. Tora-se adequado quado o úmero de observações for grade. Dagrama de ramo-e-folhas - Cosste em apresetar os dados separado os prmeros dígtos, os quas formarão o ramo e os demas dígtos formarão as folhas. Fgura 3.5 Ramos e folhas das alturas de 40 eucalptos 356055889 4 111113344690038 6 000005917 8 35 3 1 8 Atvdade 3 - Gráfcos 1) Retre um gráfco de um artgo e apresete esta atvdade. Defa a varável utlzada a costrução do gráfco. ) Faça um gráfco de lha para apresetar a dstrbução de frequêcas relatvas dos úmeros de casos pedátrcos de Ads com problemas cardorrespratóro pós-ascmeto por sexo. Chcago - Estados Udos etre 001 a 009. Tabela Porcetages dos úmeros de casos pedátrcos de Ads com problemas cardorrespratóro - Chcago - 009 Ao 001 00 003 004 005 006 007 008 009 Masculo 7.8 66. 69. 65.9 6.4 67.8 61.3 68.5 70.4 Femo 60.6 53.7 55.3 56.7 56.4 57.8 57.5 59.8 63.3 3) A tabela de frequêca apreseta os casos de Sarcoma de Kapos para os prmeros 11 pacetes de Ads regstrados os Cetros de Cotrole de Doeças em Atlata Geórga 013. Costrur um gráfco de coluas para represetar os dvíduos com casos de Sarcoma de kapos. Tabela 11 - Sarcoma de Kapos para pacetes Adétcos Sarcoma Kapos Sm 69 ão 43 Total 11 úmero de dvíduos 1
4) Varáves quattatvas cotíuas - Do exercíco 4 da atvdade (tabelas de dstrbução de frequêcas), costrua os gráfcos abaxo para represetar as cocetrações de chumbo o sague ( em 50 adolescetes do sexo femo observadas o Hosptal Uverstáro de Lodra 009. a. Dagrama de Ramos e folhas b. Hstograma c. Boxplot 5) o software R, selecoe algumas varáves da pesqusa realzada em sala de aula (aula 1) e a partr do data frame, costrur os segutes gráfcos. a) varável sexo: gráfco de setores; b) varável estado: gráfco de coluas c) varável altura: hstograma e box-plot d) Varável altura: Dagrama de Ramos e folhas 6) Costrur o Boxplot dos pesos, em kg, de 40 aluos (0 homes e 0mulheres), obtedo os dados brutos: Homes = [40,49,55,70,40,50,57,75,43,50,60,83,45,5, 65,9,47,55,67,5] Mulheres = [3,40,47,57,33,40,48,58,35,4,50,60,36,43,5,63,38,45,53,65] a. Costrur o boxplot para comparar as duas dstrbuções. b. Há outlers? Quatos outlers e em que grupo? c. Vsualzado o gráfco, qual dstrbução é mas smétrca? d. Qual dstrbução apreseta meor dspersão? e. Apresete o dagrama de Ramos e folhas para cada dstrbução. Aula 4 - MEDIDAS DESCRITIVAS - Meddas de Posção ou Tedêca Cetral MEDIDAS DE TEDÊCIA CETRAL OU MEDIDAS DE POSIÇÃO (méda, moda e medaa) São meddas de posção que resumem ou descrevem formações umércas de um cojuto, pos uma maera coveete de descrever um cojuto de dados é ecotrar um úmero úco que represete o que é típco, medao ou médo. 4.1 Méda Méda artmétca para dados ão agrupados (dados brutos)- méda artmétca é a medda de tedêca cetral mas utlzada, pos cosdera todos os valores do cojuto. É um valor em toro da qual, os dados se dstrbuem, é o cetro da dstrbução. Pode ser calculada de duas formas: méda artmétca smples e méda artmétca poderada. x x,..., x Méda artmétca smples. ( X ) - Sejam 1, valores que a varável X assume em uma amostra. A méda artmétca smples é defda por: x, x Utlza-se o símbolo para a méda de população, e para o úmero de elemetos da população. 1 x x x,..., x 1, 1 13
Exemplo 4.1 Em um hosptal foram regstrados os pesos, em kg, de recém-ascdos em um determado da, cosdere a amostra de pesos:{3.; 3.;.8;.1;.9; 3.1; 3.; 3.0; 3.5; 4.0} Para calcular o peso médo da amostra: x x 1 3. 1 3. 3.... 4.0 Méda artmétca para dados agrupados uma tabela de dstrbução de frequêcas Varável dscreta A méda artmétca poderada é utlzada quado atrbuímos um peso (ou poderação) aos valores possíves da varável. Quado os dados aparecem a forma de uma dstrbução de freqüêcas, os poderadores serão as freqüêcas absolutas (f ). Sejam x 1, x,..., x, valores que a varável X assume e f 1, f,..., f os respectvos pesos (ou poderadores). A méda artmétca poderada é defda como: x x 1 Méda artmétca para dados agrupados uma tabela de dstrbução de frequêcas Varável cotíua Com os dados agrupados em classes, é ecessáro, calcular x - os potos médos das classes e adotar a mesma fórmula: Propredades da méda artmétca. x x 1 f f f 31 f kg P1 - A soma dos desvos em relação a méda é ula. P - A soma dos quadrados dos desvos de um cojuto de dados, em relação a uma costate k, é míma quado k =. P3 - Somado-se (ou subtrado-se) um valor costate e arbtráro a cada um dos elemetos de um cojuto de dados, a méda artmétca fca adcoada (ou subtraída) dessa costate. P4 - Multplcado-se (ou dvddo-se) um valor costate e arbtráro a cada um dos elemetos de um cojuto de dados, a méda artmétca fca multplcada (ou dvdda) por essa costate. Emprego da méda Quado os resultados se dstrbuem smetrcamete em toro de um poto cetral. Quado se deseja uma medda de posção com maor establdade (sempre apresetar a méda acompahada de uma medda de dspersão) Para se calcular outras meddas que se baseam a méda 4. Moda Moda para dados ão agrupados ( Mo ) - A moda é o valor que ocorre com maor freqüêca a dstrbução. Uma dstrbução pode ser classfcada: Amodal: quado os dados ão apresetam moda; Modal: apreseta uma moda; Bmodal: quado os dados apresetam duas modas; Multmodal: quado os dados apresetam mas de duas modas. 14
A moda comparada com a méda e a medaa, é a meos útl das meddas para represetar os dados. A moda é útl quado um ou dos valores, ou um grupo de valores, ocorrem com freqüêca muto maor que os outros valores. Exemplo 4. Ecotre a moda os segutes cojutos: a) X = {3, 4, 4, 4, 7,, 1, 15} Mo = 4 b) Y = {1, 15, 0,, 30} ão exste moda. ( amostra amodal ). c) W = {8,,,, 15, 15, 15, 18, 19, 0, 0} A amostra apreseta dos valores modas: Mo = e Mo = 15 ( amostra bmodal ). d) Z = {, 5, 5, 5, 5, 8, 8, 8, 8,, 1, 0, 0, 0, 0 } A amostra apreseta mas de dos valores modas: Mo = 5, Mo = 8, Mo = 0 ( amostra multmodal ). Moda para dados agrupados uma tabela de dstrbução de frequêcas - (Varável dscreta) Os valores da varável dspostos em uma tabela de frequêcas podem apresetar-se dvdualmete ou agrupados em classes. o prmero caso, a determação da moda é medata, bastado, para sso, cosultar a tabela, localzado o valor que apreseta a maor frequêca. Esse valor será a moda. Moda para dados agrupados uma tabela de dstrbução de frequêcas - (varável cotíua) O segudo caso, os valores da varável dspostos em uma tabela de frequêcas em classes (varável cotíua), devemos detfcar a classe modal (classe em que observamos a maor frequêca). 1 Fórmula de Czuber Mo = L + ( 1 L : lmte feror da classe modal, 1 : Dfereça etre a f da classe modal e a f ateror a classe modal, : Dfereça etre a f da classe modal e a f posteror a classe modal. h: ampltude das classes ).h Emprego da moda Quado se deseja obter uma medda rápda e aproxmada da tedêca cetral Quado a outlers que afetam o valor da méda 4.3 Medaa Medaa para dados ão agrupados (Md) - A medaa é o valor que ocupa a posção cetral da amostra ordeada (crescete ou decrescete). Isto é, dvde a amostra em duas partes guas de modo que 50% dos valores fcam à sua esquerda e 50% à sua dreta. A ordem da medaa, dcada pela letra O, será: 1 a) Se for ímpar: O e Md = X (o) b) Se for par, calculam-se duas ordes: O 1 e O 1 e md = 15
Exemplo 4.3: Calcular a medaa para os segutes cojutos de dados. Para par - X: {0, 5, 5, 30, 3, 45, 46, 5} 8 8 O 1 4 e O 1 5 Md = = = 31 7 1 Para ímpar - Y: {0, 5, 5, 30, 45, 46, 50} O 4 Md = X 4 = 30 Medaa para dados agrupados uma dstrbução de frequêcas (Varável dscreta) A medaa é o valor que ocupa a posção cetral da amostra ordeada (rol). Verfcar se o valor de é par ou ímpar, localzar a(s) ordem (s) e verfcar o valor medao a tabela de dstrbução de frequêcas. Medaa para dados agrupados uma dstrbução de frequêcas (Varável cotíua) Quado os valores da varável estverem agrupados em classes, admte-se que os valores da varável a dstrbução de frequêcas dstrbuam-se cotuamete. A medaa será, este caso, o valor da varável, para o qual 50% da frequêca total (/) fca stuada abaxo e outra metade acma dele. O elemeto medao para dados agrupados em classes será / (ão mporta se é par ou ímpar). Emd Facat. Md L h, ode f E md é o Elemeto Medao dado por / (localza-se a Fac); L é o lmte feror da classe que cotém a medaa; Fac at é a frequêca acumulada crescete ateror à da classe medaa; f é a frequêca absoluta da classe que cotém a medaa; h é a ampltude das classes. Emprego da medaa Quado se deseja obter o poto médo exato da dstrbução Quado a outlers que afetam o valor da méda Os exemplos abaxo se referem varáves agrupadas às tabelas de dstrbução de frequêcas que se apresetam dvdualmete (varável dscreta) ou agrupados em classes (varável cotíua). Determar as meddas de tedêca cetral ou meddas de posção. Exemplo 4.4 Varável dscreta - As faltas ao trabalho (das) de 30 empregados de uma clíca em determado semestre estão a Tabela 1. Tabela 1 Dstrbução de frequêcas do úmero de faltas de 30 empregados de uma clíca o 1 o semestre - 015 úmero de faltas (x ) f x. f 0 9 0 1 5 3 3 9 4 8 6 1 6 =30 43 Fote: VIEIRA, S. Itrodução à Boestatístca. Determe as meddas de posção: Méda, moda e medaa. 16
Exemplo 4.5 Varável cotíua Seja um expermeto realzado a UESP - Botucatu (005), ode a varável observada fo a altura de 40 pés de eucalptos (metros) de certa espéce. Determe as meddas de posção. x f Fac Tabela13- Dstrbução de frequêcas das alturas 40 pés de eucalptos - Botucatu 005 Classes frequêca Poto f Médo x.0 -- 4.0 4.0 -- 6.0 6.0 -- 8.0 8.0 --.0.0 -- 1.0 1.0 -- 14.0 16 0 01 01 3 5 7 9 11 13 30 80 70 18 11 13 6 36 38 39 40 =40 Fote: UESP Botucatu 005 Determe as meddas de posção: Méda, moda e medaa Atvdade 4 Meddas de posção (Tedêca cetral) 1) Propredades da méda: a) Seja um cojuto de dados W= { 17, 18, 4, 47, 50}. Prove as 4 propredades da méda: P1; P e (P3 e P4 utlzado uma costate k = ) b) Utlzado a sére de dados do cojuto T= {, 7, 8, 15} P1: Prove umercamete que a soma dos desvos em toro da méda é zero. Utlze k= o valor costate e prove P3. Utlze k=3 o valor costate para provar a P4. ) Dados ão agrupados - Calcule as meddas de tedêca cetral (posção), do segute cojuto de dados ão agrupados. O estudo se refere ao efeto da alação de ozôo e dóxdo de exofre por adolescetes que sofrem de asma. As meddas são do volume expratóro forçado em segudo para 13 dvíduos. FEV: é o volume de ar expeldo dos pulmões depos de um segudo de esforço costate. Pagao & Gauvreau (004) FEV (ltros) = {.3,.15, 3.50,.60,.75,.8, 4.05,.5,.68, 3.0, 4.0,.85, 3.38} Determe as meddas de posção para os dados ão agrupados. Dados agrupados Varável dscreta 3) Calcule as meddas de posção dos valores da tabela de dstrbução de frequêcas, referete ao úmero de galhas de ematoídes observadas em 7 raízes de platas - UFLA Lavras - MG Tabela 14 - úmero de galhas de ematoídes em 7 raízes de platas UFLA - MG úmero de galhas f 0 30 1 5 3 5 4 = 7 Dados agrupados Varável cotíua 4) A tabela de dstrbução de frequêca para varável cotíua represeta um resumo das pressões dastólcas em repouso pra uma amostra de 70 pacetes com doeças de squêma do coração ou supressão do fluxo de sague para o coração. Determe as meddas de posção. 17
Tabela 15 Dstrbução de frequêcas das pressões dastólcas de 70 pacetes com squêma do coração. classes f x.0 -- 4.0 5 3.0 4.0 -- 6.0 40 5.0 6.0 -- 8.0 14 7.0 8.0 --.0 8 9.0.0 -- 1.0 3 11.0 = 70 5) Demostre que é gual a zero. Aula 5 Meddas de Dspersão (Varabldade) Meddas de Dspersão - (ampltude total, desvo médo, varâca, desvo padrão e coefcete de varação) Aalsar um cojuto de observações com base em uma úca medda de tedêca cetral ão os forece formações sufcetes. É ecessáro ter uma medda de dspersão que dga algo sobre a dspersão dos valores em toro dessa medda de tedêca cetral. As meddas de dspersão servem para avalar o grau de varabldade ou dspersão dos valores de um cojuto de dados. Estas meddas permtem estabelecer comparações etre feômeos de mesma atureza ou de atureza dstta e, em geral, essa varabldade é observada em toro de uma medda de tedêca cetral. As meddas de dspersão podem ser absolutas ou relatvas. São elas: ) Absolutas: meddas de dspersão que são expressas a mesma udade de medda da varável em estudo: Ampltude total, Varâca e Desvo padrão. ) Relatvas: meddas que depedem da udade de medda da varável observada. Servem para estudar comparatvamete duas ou mas dstrbuções com atureza dstta ou com udades de medda dferetes: Coefcete de varação. 5.1 Ampltude Total para dados ão agrupados - É a dfereça etre os valores extremos da dstrbução 1ª) A ampltude total é a medda mas smples de dspersão. ª) A desvatagem desta medda de dspersão é que cosdera apeas os valores mímo e máxmo do cojuto. Se ocorrer qualquer varação o teror do cojuto de dados, a ampltude total ão os dá qualquer dcação dessa mudaça. 3ª) A ampltude total também sofre a fluêca de um valor "atípco" a dstrbução (um valor muto elevado ou muto baxo em relação ao cojuto). Exemplo 5.1 Em um hosptal foram regstrados os pesos, em kg, de recém-ascdos em um determado da: pesos: {3.; 3.;.8;.1;.9; 3.1; 3.; 3.0; 3.5; 4.0} Rol: {.1,.8,.9, 3.0, 3.1, 3., 3., 3., 3.5, 4.0} At = X max X m = 4.0.1 = 1.9 kg Ampltude total para dados agrupados Quado a dstrbução de freqüêcas é orgazada por classes de valores, costuma-se tomar como ampltude total à dfereça etre o lmte superor da últma classe e o lmte feror da prmera classe. ão é possível defr a ampltude total, para dados agrupados em classes de frequêcas, quado a últma classe for aberta. 18
Emprego da ampltude total Quado os dados são raros ou demasado esparsos para justfcar o cálculo de uma medda mas precsa. Quado apeas o cohecmeto dos valores extremos ou da dstrbução total for ecessáro. 5. Varâca e desvo padrão Varâca e desvo padrão para dados ão agrupados - Sejam x 1, x,..., x, valores que a varável X assume. Se os valores tem méda x, as dfereças (x - x ), =1,,...,, são chamadas de desvos a cotar da méda, o que sugere que se pode tomar a méda desses desvos como medda de varação. A méda dos valores é: x x 1 Os desvos dos valores são dados por: d x x Cosdere os segutes úmeros: {1,,3}. Calcule a méda e méda dos desvos. Solução: x = d x x d 1 = -1 1 d = 0 d 3 3 = +1; mas como x x 0, e sempre será 1 zero, pos é uma das propredades da méda. Para se calcular a méda dos desvos, têm-se duas soluções: 1) Cosderar a soma dos desvos em módulo, os valores egatvos fcam postvos e, dvddo x x 1 o total por, se obtém o Desvo Médo populacoal: DM =. ) Cosderar os quadrados dos desvos a cotar da méda, sto também elma o efeto dos sas. Tomado etão a méda dos quadrados dos desvos: x x 1 d. A méda dos desvos ao quadrado deomada varâca populacoal e represetada por. x x 1, desevolvedo o produto otável x 1 x - 1 Varâca Populacoal x x Quado o estudo é feto sobre os dados de uma amostra, para se fazer ferêca sobre uma população de teresse, a varâca amostral é defda por: 19
s x 1 - x 1 Varâca Amostral 1 Desvo-padrão - O desvo-padrão é a raz quadrada postva da varâca. x 1 x - 1 Desvo-Padrão Populacoal s x 1 x - 1 Desvo-Padrão Amostral -1 É expresso a mesma udade da varável, sedo, por sso, de maor teresse que a varâca as aplcações prátcas. O desvo-padrão ão reflete a magtude dos dados, reflete apeas a dspersão em toro da méda. Um sgfcado prátco e mportate do desvo padrão decorre da afrmatva de que, para dados com dstrbução ormal, quase a totaldade dos valores deverão estar cotdos o tervalo que dsta de três desvos padrão à esquerda e à dreta da méda. Exemplo 5. Em um hosptal foram regstrados os pesos, em kg, de recém-ascdos em um determado da - Varável peso: {3.; 3.;.8;.1;.9; 3.1; 3.; 3.0; 3.5; 4.0} Determe var6aca e desvo padrão. Tabela 16 - Cálculos termedáros para obteção da varâca Dados (x ) Desvos (x - Quadrados dos desvos (x -.1.1-3.1 = -1.0 1.00.8.8-3.1 = -0.3 0.09.9.9 3.1= -0. 0.04 3.0 3.0 3.1= -0.1 0.01 3.1 3.1 3.1 = 0 0.00 3. 3. 3.1 = 0.1 0.01 3. 3. 3.1 = 0.1 0.01 3. 3. 3.1 = 0.1 0.01 3.5 3.5 3.1 = 0.4 0.16 4.0 4.0 3.1 = 0.9 0.81 = 0.14 x x 1.14 Varâca: s 0.3 kg 1 9 Desvo padrão: s = = 0.48 kg Propredades da varâca e do desvo padrão. P1) Somado-se (ou subtrado-se) um valor costate e arbtráro a cada elemeto de um cojuto de dados a varâca e o desvo padrão ão se alteram. 0
P) Multplcado-se (ou dvddo-se) por um valor costate e arbtráro cada elemeto de um cojuto de dados, a varâca fca multplcada (ou dvdda) pela costate elevada ao quadrado. E o desvo padrão fca multplcado (ou dvddo) por essa costate. Propredades: Sejam os cojutos X e Y (ode os valores de Y são os do cojuto X multplcado por k=) e, ambos com = 5 elemetos: X = {, 4, 6, 8, } => x = 6 ; s = e s = 3,16 Y = {4, 8, 1, 16, 0} => y = 1 ; s = 4x = 40 e s = x 3,16 = 6,3 Varâca e desvo padrão para dados agrupados a tabela de dstrbução de frequêcas Quado os valores verem dspostos em uma tabela de frequêcas, o cálculo da varâca se fará através de uma das segutes fórmulas: s s x 1 1 f x f 1-1 ( x x). f 1 ode algebrcamete desevolvedo o produto otável obtemos: A varâca do poto de vsta prátco tem o coveete de se expressar uma udade quadrátca em relação à varável em questão. Esse coveete é saado com a defção do desvo padrão (é a raz quadrada e postva da varâca) Desvo padrão: s = + 5.3 Coefcete de Varação - O coefcete de varação é defdo como o quocete etre o desvo padrão e a méda. È frequetemete expresso em porcetagem, para valores amostras: s CV 0% x Esse coefcete é admesoal e permte comparar a varabldade de duas ou mas dstrbuções, mesmo quado esse, se refere a dferetes feômeos e seja expresso em udades de medda dsttas. Classfcação: CV 15% (Baxo); 15% < CV < 30% (Médo); CV 30% (Muto alto) Exemplo 5.3 Varável dscreta - As faltas ao trabalho de 30 empregados de uma clíca em determado semestre estão a Tabela 17. Determe as meddas de dspersão. Tabela 17 Dstrbução de frequêcas do úmero de faltas de 30 empregados de uma clíca o 1 o semestre - 015. úmero de faltas (x ) f 0 9 1 5 3 3 4 6 1 =30 Fote: VIEIRA, S. Itrodução à Boestatístca. 1
Exemplo 5.4 - Varável cotíua Seja um expermeto realzado a UESP - Botucatu (005), ode a varável observada fo à altura de 40 pés de eucalptos (metros) de certa espéce. Determe as meddas de dspersão. Tabela18 - Alturas de 40 pés de eucalptos - UESP Classes frequêca absoluta (f ) Poto Médo x.0 -- 4.0 4.0 -- 6.0 6.0 -- 8.0 8.0 --.0.0 -- 1.0 1.0 -- 14.0 16 0 01 01 =40 Fote: UESP Botucatu 005 Atvdade 5 Meddas de Dspersão (ou Varabldade) 1) Prove a gualdade das duas fórmulas para ecotrar a varâca de uma dstrbução. s 1 ( x x) 1 x 1 x 1-1 3 5 7 9 11 13 ) Propredades do desvo padrão : a) Seja um cojuto de dados W= { 17, 18, 4, 47, 50}. Prove as propredades da varâca e desvo padrão (P1 e P) utlzado uma costate k = Prove as propredades da varâca e desvo padrão (P1 e P) utlzado uma costate k = 3) Demostre umercamete que a varâca de uma sére costate é ula. exemplo: Seja o cojuto A: {5,5,5,5,5,5,5,5,5,5]. Calcule a varâca. 4) A segur têm-se um cojuto de dados ão agrupados: As otas da seguda chamada de três Cursos da UEL. Determe as meddas abaxo e respoda qual turma teve melhor desempeho? Tabela 19 - otas da prova de seguda chamada de três Cursos da UEL - 009 Turma otas Méda Desvo padrão Bomedca 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8 Fsoterapa 1,, 4, 6, 6, 9,, Bologa 0, 6, 7, 7, 7; 7,5; 7,5 Coef. de Varação 5) Dados agrupados Varável dscreta. Calcule as meddas de dspersão da tabela de dstrbução de frequêcas, se refere ao úmero de galhas de ematoídes observadas em 7 raízes de platas 01 - UFLA Lavras - MG Tabela 0 - úmero de galhas de ematoídes em 7 raízes de platas UFLA MG úmero de galhas f 0 30 1 5 3 5 4
6) Dados agrupados - Varável Cotíua. A tabela de dstrbução de frequêca para varável cotíua represeta um resumo das pressões dastólcas em repouso pra uma amostra de 70 pacetes com doeças de squêma do coração ou supressão do fluxo de sague para o coração. H.U - Lodra 015. Determe as meddas de dspersão. Tabela 1 Dstrbução de frequêcas das pressões dastólcas de 70 pacetes com squêma do coração. H.U. 015 classes f x.0 -- 4.0 5 3.0 4.0 -- 6.0 40 5.0 6.0 -- 8.0 14 7.0 8.0 --.0 8 9.0.0 -- 1.0 3 11.0 = 70 Aula 6 - (Separatrzes: Quarts, Decs e Percets) Separatrzes - As separatrzes são meddas de localzação ão cetras, que são empregadas partcularmete para dvdrem em partes guas, grades cojuto de dados umércos. As separatrzes são: a medaa (que é também uma medda de tedêca cetral); os quarts; os decs e os percets. 6.1 Quarts para dados ão agrupados - São meddas descrtvas que dvdem os dados em quatro partes guas. 5% 5% 5% 5% Q 1 Q Q 3 O prmero quartl, Q 1, é o valor que faz com que 5% das observações sejam meores e 75% maores. O segudo quartl, Q, é o valor que faz com que 50% das observações sejam meores e 50% maores. O tercero quartl, Q 3, é o valor que faz com que 75% das observações sejam meores e 5% maores..( 1) Para ímpar - A ordem do quartl (=1, ou 3)é dada por e o valor é localzado 4 o rol. Para par - O quartl será a méda dos dos elemetos de ordes: Quarts para dados agrupados q : localzar classe q a Fac; q = L + 4 Facat 4.h f L : Lmte feror da classe do quartl Fac at: Frequêca acumulada ateror a classe do quartl : úmero de elemetos da amostra h: ampltude ou tervalo de classe f : frequêca absoluta ou smples da classe do quartl.. 4. e 1. 4 3
6. Decs para dados ão agrupados - São meddas descrtvas que dvdem os dados em dez partes guas. % % % % % % % % % % D 1 D D 3 D 4 D 5 D 6 D 7 D 8 D 9 O prmero decl, D 1, é o valor que faz com que % das observações sejam meores e 90% maores. O segudo decl, D, é o valor que faz com que 0% das observações sejam meores e 80% maores, e assm sucessvamete..( 1) Para ímpar - A ordem do decl ( = 1,,...,9) é dada por e o valor é localzado o rol... Para par - O decl será a méda dos dos elemetos de ordes: e 1. Decs para dados agrupados d : localzar classe d a Fac d = L + Fac f at.h 6.3 Percets para dados ão agrupados - São meddas descrtvas que dvdem os dados em cem partes guas. 1% 1% 1% 1%..... 1% 1% 1% P 1 P P 3.... P 97 P 98 P 99 O prmero percetl, P 1, é o valor que faz com que 1% das observações sejam meores e 99% maores. O segudo percetl, P, é o valor que faz com que % das observações sejam meores e 98% maores, e assm sucessvamete..( 1) Para ímpar- A ordem do percetl ( = 1,,...,99) é dada por e o valor é 0 localzado o rol... Para par- O percetl será a méda dos dos elemetos de ordes: e 1. 0 0 Percets para dados ão agrupados p : localzar classe p a Fac p = L + 0 0 F f ac1.h Ampltude Sem-terquartílco: é a dstâca méda etre os quarts, dada pela expressão: Itervalo ou Ampltude terquartílco (Dq) 4
Emprego da ampltude terquartílco ou tervalo terquartílco Quado a medaa for a medda de tedêca cetral Quado houver valores dscrepates capazes de fluecar desproporcoalmete o desvo padrão. Quado a cocetração em toro da medaa for prmordal. Exemplo 6.1 Seja o cojuto Y os dados ão agrupados, determe os quarts. Varável Y = [7.5, 8, 3.5, 6,.5,, 5.5, 4] Exemplo 6.: Dados ão agrupados determe os quarts. verfcar terpolação Calcule todos quarts da dstrbução: 15, 18, 5, 7, 9, 11, 3, 5, 6, 8, 1. Calcule todos quarts da dstrbução: 15, 18, 5, 7, 9, 11, 3, 5, 6, 7, 8,, 1, 15. Algumas Aplcações utlzado as Meddas Descrtvas DESIGUALDADE DE CHEBYCHEV Uma vez que a méda e o desvo padrão de um cojuto de dados teham sdo calculados, esses dos úmeros podem ser usados para resumr o todo das característcas da dstrbução de valores. Jutos, podem ser usados para se costrur um tervalo que coteha uma proporção especfcada de observações o cojuto de dados. Quado os dados são smétrcos e umodas, podemos dzer que aproxmadamete 67% das observações se ecotram o tervalo ( ), cerca de 95% o tervalo ( e quase todas as observações o tervalo ( ). Essa afrmação é cohecda como regra empírca. Jar Se os dados ão são smétrcos e umodas pode-se usar a desgualdade de Chebychev para resumr a dstrbução de valores. A desgualdade de Chebychev é verdadera para qualquer cojuto de observações, depedete de qual seja a sua forma. Ela os permte dzer que para qualquer umero k maor que 1, pelo meos [1 - ]. Exemplo 6. Desgualdade de Chebychev Realzou uma pesqusa a fm de avalar certa operação maual em uma clíca de dosos. Esse tempo é meddo para cada uma de 40 mulheres. A méda e o desvo-padrão obtdos foram 1,8 e 1,7, respectvamete. Para descrever os dados, obtêm-se os tervalos: x ± s = 1,8 ± (1,7) = [9,4 a 16,] Para k= x ±3s = 1,8 ± 3(1,7) = [7,7 a 17,9] Para k=3 Embora ão se possua qualquer formação a respeto da dstrbução desses dados, é muto provável que eles teham dstrbução aflada e que a regra empírca permta uma boa descrção dos dados. Etão, aproxmadamete 75% das meddas estarão cotdas o tervalo de 9,4 e 16, e pelo meos 88.9%, o tervalo de 7,7 a 17,9. GRÁFICO BOX-PLOT O Box-plot mas smples tem base o resumo dos 5 úmeros. (Mímo, Prmero quartl, Medaa, Tercero quartl e Máxmo). A ampltude terquartílca (dq) é ecotrada pela dfereça do tercero e prmero quartl. A dstrbução terá outler se verfcar valores acma (ou abaxo) de 1,5 dq; e outler extremo se verfcar valores acma (ou abaxo) de 3dq). Ecotre a ampltude terquartl dq= Q3 Q1. Os lmtes LI, LIE, LS LSE Exemplo 6.3- Lvro: Estatístca aplcada a admstração e ecooma. Seja a dstrbução de dados referete a saláros do departameto de uma empresa. Costrua o Box-plot. 7, 755, 850, 880, 880, 890, 90, 940, 950, 3050, 3130, 335 5
Outlers Extremos 3405 ------------------------------------------------------ Lm Superor Extremo Q3+ 3,0 dq OUTLIERS Max = 335 30 --------------------------------------------------------- Lm. Superor Q3 + 1,5 dq Q3 = 3000 3 0 Quartl Q = med = 905 Q1 = 865 0 Quartl = Medaa 1 0 Quartl 800 Mímo=7 66,5 -------------------------------------------------------------------------------- OUTLIERS Lm. Iferor Q1-1,5 dq Lm.Iferor Extremo 460 -------------------------------------------------------------------------------- Q1-3,0 dq Outlers Extremos 6
Exemplo 6.4 Varável dscreta - As faltas ao trabalho de 30 empregados de uma clíca em determado semestre estão a Tabela 17. Determe as meddas de dspersão. Tabela 17 Dstrbução de frequêcas do úmero de faltas de 30 empregados de uma clíca o 1 o semestre - 015. úmero de faltas (x ) f 0 9 1 5 3 3 4 6 1 =30 Fote: VIEIRA, S. Itrodução à Boestatístca. Exemplo 6.5 - Varável cotíua Seja um expermeto realzado a UESP - Botucatu (005), ode a varável observada fo à altura de 40 pés de eucalptos (metros) de certa espéce. Determe as meddas de dspersão. Tabela18 - Alturas de 40 pés de eucalptos - UESP Classes frequêca absoluta (f ) Poto Médo x.0 -- 4.0 4.0 -- 6.0 6.0 -- 8.0 8.0 --.0.0 -- 1.0 1.0 -- 14.0 Fote: UESP Botucatu 005 16 0 01 01 =40 3 5 7 9 11 13 Atvdade 6 Separatrzes 1) Calcule os quarts, das duas dstrbuções, se refere ao peso, em kg, de 40 aluos (0 homes e 0 mulheres), dos dados brutos e ão agrupados. Homes = [40, 49, 55, 70, 40, 50, 57, 75, 43, 50, 60, 83, 45, 5, 65, 9, 47, 55, 67, 5] Mulheres = [3, 40, 47, 57, 33, 40, 48, 58, 35, 4, 50, 60, 36, 43, 5, 63, 38, 45, 53, 65] a. Apresete o rol de cada dstrbução. b. Qual o tervalo terquartílco? c. Apresete o resumo dos cco úmeros (valor mímo, prmero quartl, medaa, tercero quartl e o valor máxmo) para cada dstrbução. d. Compare a dspersão etre as dstrbuções. Qual dstrbução apreseta meor dspersão? e. Qual a melhor medda de dspersão para comparar duas dstrbuções? f. Acma de qual peso (kg) estão 30% das mulheres? ) Dados agrupados Varável dscreta Calcule os quarts e o décmo e oagésmo percetl da tabela 0 de Dstrbução de frequêcas, se refere ao úmero de galhas de ematoídes observadas em 7 raízes de platas 01 - UFLA Lavras - MG 7
Tabela 0 - úmero de galhas de ematoídes em 7 raízes de platas UFLA - MG úmero de galhas f 0 30 1 5 3 5 4 = 7 3) Dados agrupados - Varável Cotíua A tabela de dstrbução de frequêca para varável cotíua represeta um resumo das pressões dastólcas em repouso pra uma amostra de 70 pacetes com doeças de squêma do coração ou supressão do fluxo de sague para o coração H.U. 015. Determe o quarts e medaa, quto decl; décmo e oagésmo percetl. Tabela 1 Dstrbução de frequêcas das pressões dastólcas de 70 pacetes com squêma do coração. classes f x.0 -- 4.0 5 3.0 4.0 -- 6.0 40 5.0 6.0 -- 8.0 14 7.0 8.0 --.0 8 9.0.0 -- 1.0 3 11.0 = 70 Aula 7 Meddas de assmetra e curtose 7.1 Assmetra - Assmetra é o grau de afastameto de uma dstrbução em relação ao exo smétrco. Uma dstrbução pode ser: - smétrca; - assmétrca postva ou à dreta; - assmétrca egatva ou à esquerda. Comparação etre as meddas de posção-em uma dstrbução smétrca, a méda, a medaa e a moda são guas, sto é, x = Med = Mo. Em um gráfco de dstrbução essas meddas se cocdem. Em uma dstrbução assmétrca postva ou assmétrca à dreta, a méda é maor que a medaa, e esta por sua vez, é maor que a moda, sto é, Mo < Med < x. Em um gráfco de dstrbução essas meddas fcam: 8
Em uma dstrbução assmétrca egatva ou assmétrca à esquerda, a méda é meor que a medaa, e esta por sua vez, é meor que a moda, sto é, x <Med < Mo. Em um gráfco de dstrbução essas meddas fcam: Coefcete de assmetra de Pearso - O coefcete de assmetra de Pearso pode ser determado através das segutes equações: a) 1 o coefcete de Pearso ( x Mo) As s b) o coefcete de Pearso 3( x Md) As s c) 3 o coefcete de Pearso q1 q3 Md As q3 q1 As = 0 a dstrbução é smétrca As > 0 a dstrbução é assmétrca postva (à dreta) As < 0 a dstrbução é assmétrca egatva (à esquerda). 7. Curtose - Curtose é o grau de achatameto de uma dstrbução em relação a uma dstrbução padrão, deomada curva ormal. Uma dstrbução que ão é em chata e em delgada é deomada de mesocúrtca. A curva ormal, por exemplo, que é a ossa base referecal, recebe o ome de mesocúrtca. Quado a dstrbução apreseta uma curva de frequêca mas fechada que a ormal (ou mas aguda em sua parte superor) ela recebe o ome de leptocúrtca. Quado a dstrbução apreseta uma curva de frequêca mas aberta que a ormal (ou mas achatada a sua parte superor), ela é chamada de platcúrtca. Forma abstrata ou admesoal do mometo Coefcete mometo de assmetra Dada pela razão etre o mometo de ordem qualquer cetrado a méda e o desvo padrão elevado à ordem deste mometo ou dado pelo mometo de 3 0 ordem a forma abstrata.: ou a 3 = se a 3 > 0 (A. postva); a 3 = 0 (Smetra) e a 3 < 0 (A. egatva). Coefcete mometo de curtose É dado pelo quarto mometo cetrado a méda, expresso a forma admesoal. c m ou a 4 =. Se a 4 < 3 (Dst. platcúrtca); a 4 = 3 (Dst.mesocúrtca) e a 4 > 3 (Dst.leptocúrtca). 9
O mometo de ordem r cetrado a méda de uma sére é dada pelas relações: r r ( x x) ( x x). f Dados ão agrupados: mr e dados agrupados: mr Observamos que o segudo mometo da varável cetrado em sua méda (m ), é a varâca da sére em aálse. os gráfcos abaxo mostram essas dstrbuções: Mesocúrtca Leptocúrtca Platcúrtca Coefcete de curtose: q3 q1 C ; ode: p e p 90 são os percets e 90. ( p p ) 90 C = 0,63 C < 0,63 C > 0,63 curva mesocúrtca curva leptocúrtca curva platcúrtca Exemplo 7.1 As duas dstrbuções, se refere ao peso, em kg, de 40 aluos (0 homes e 0 mulheres), dos dados brutos e ão agrupados. Homes = [40, 49, 55, 70, 40, 50, 57, 75, 43, 50, 60, 83, 45, 5, 65, 9, 47, 55, 67, 5] Mulheres = [3, 40, 47, 57, 33, 40, 48, 58, 35, 4, 50, 60, 36, 43, 5, 63, 38, 45, 53, 65] Determe o coefcete de assmetra e curtose e classfque a dstrbução. Exemplo 7. Dados agrupados Varável dscreta A tabela 0 de Dstrbução de frequêcas, se refere ao úmero de galhas de ematoídes observadas em 7 raízes de platas 01 - UFLA Lavras MG. Determe o coefcete de assmetra e curtose e classfque a dstrbução. Tabela 0 - úmero de galhas de ematoídes em 7 raízes de platas UFLA - MG úmero de galhas f 0 30 1 5 3 5 4 = 7 Exemplo 7.3 Dados agrupados - Varável Cotíua A tabela de dstrbução de frequêca para varável cotíua represeta um resumo das pressões dastólcas em repouso pra uma amostra de 70 pacetes com doeças de squêma do coração 30