Prof. Paulo Cesar F. De Oliveira, BSc, PhD 10/10/14 Paulo C F de Oliveira 2007 1
Seção 1.1 Características dos Conjuntos Fuzzy 10/10/14 Paulo C F de Oliveira 2007 2
Teoria clássica dos conjuntos desenvolvida no século 19 por Georg Cantor, descreve como os conjuntos discretos podem interagir-se. Estas interações são chamadas de operações Conjuntos Fuzzy possuem propriedades bem definidas Estas propriedades e as operações são a base na qual os Conjuntos Fuzzy são usados para tratar com a incerteza de um lado e para representar o conhecimento do outro A Teoria dos Conjuntos Fuzzy é uma extensão da teoria dos conjuntos clássica onde um determinado elemento tem diferentes graus de pertinência 10/10/14 Paulo C F de Oliveira 2007 3
Seção 1.2 Operações com Conjuntos Fuzzy 10/10/14 Paulo C F de Oliveira 2007 4
Um conjunto fuzzy é geralmente representado como: µ A = (µ A ( x ) xi ( x ) i x i,,µ ( A x ) n x n ) onde A i é um par (elemento) do "grau de pertinência" que pertence a um universo do discurso finito: { x, x, } 2 A =, 1 x n Valor de pertinência Coordenada eixo horizontal (x) 10/10/14 Paulo C F de Oliveira 2007 5
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Complemento Conjuntos Crips: quem não pertence ao conjunto? Conjuntos Fuzzy: quantos elementos não pertencem ao conjunto? Se A é o conjunto fuzzy, seu complemento A pode ser encontrado como: µ A (x) = 1 - µ A (x) 10/10/14 Paulo C F de Oliveira 2007 7
Complemento Exemplo: Seja A conjunto fuzzy de pessoas jovens. Encontre o complemento não jovem definido como A A = (0.5/x 1, 0.7/x 2, 0/x 3 ) µ A (x 1 )= 1 - µ A (x 1 ) = 1-0.5 = 0.5 µ A (x 2 )= 1 - µ A (x 2 ) = 1-0.7 = 0.3 µ A (x 3 )= 1 - µ A (x 3 ) = 1-0 = 1 µ A (x) = 1 - µ A (x) A = (0.5/x 1, 0.3/x 2, 1/x 3 ) 10/10/14 Paulo C F de Oliveira 2007 8
Contenção Conjuntos Crips: quais conjuntos pertencem a quais outros conjuntos? Conjuntos Fuzzy: quais conjuntos pertencem a outros conjuntos? Um conjunto pode conter outros conjuntos. O menor deles é chamado de subconjunto. Nos conjuntos crisps, todos os elementos de um subconjunto pertencem inteiramente ao conjunto maior. Nos conjuntos fuzzy, entretanto, cada elemento pode pertencer menos ao subconjunto do que ao conjunto maior. Elementos do subconjunto fuzzy têm pertinências menores nele do que no conjunto maior. 10/10/14 Paulo C F de Oliveira 2007 9
interseção Conjuntos Crips: qual elemento pertence a ambos os conjuntos? Conjuntos Fuzzy: quanto de um elemento está em ambos os conjuntos? Uma interseção fuzzy é a pertinência mais baixa em ambos os conjuntos de cada elemento. A interseção fuzzy de dois conjuntos A e B no universo do discurso X: µ A B (x) = µ A (x) µ B (x) = min [µ A (x), µ B (x)], onde x X 10/10/14 Paulo C F de Oliveira 2007 10
Exemplo: Seja A conjunto fuzzy das pessoas jovens e B o conjunto das pessoas de meia-idade. Encontre A B. A = (0.5/x 1, 0.7/x 2, 0/x 3 ) B = (0.8/x 1, 0.2/x 2, 1/x 3 ) µ A B (x 1 ) = min (µ A (x 1 ), µ B (x 1 )) = min (0.5, 0.8) = 0.5 µ A B (x 2 ) = min (µ A (x 2 ), µ B (x 2 )) = min (0.7, 0.2) = 0.2 interseção µ A B (x) = µ A (x) µ B (x) = min[µ A (x), µ B (x)] µ A B (x 3 ) = min (µ A (x 3 ), µ B (x 3 )) = min (0, 1) = 0 A B = (0.5/x 1, 0.2/x 2, 0/x 3 ) 10/10/14 Paulo C F de Oliveira 2007 11
União Conjuntos Crisps: qual elemento que pertence a um ou ao outro conjunto? Conjuntos Fuzzy: quanto de um elemento está em um ou no outro conjunto? A união fuzzy é o valor de maior pertinência do elemento nos dois conjuntos A união fuzzy de dois conjuntos A e B no universo do discurso X: µ A B (x) = µ A (x) µ B (x) = max [µ A (x), µ B (x)], onde x X 10/10/14 Paulo C F de Oliveira 2007 12
Exemplo: Seja A conjunto fuzzy das pessoas jovens e B o conjunto das pessoas de meia-idade. Encontre A B. A = (0.5/x 1, 0.7/x 2, 0/x 3 ) B = (0.8/x 1, 0.2/x 2, 1/x 3 ) µ A B (x 1 ) = max (µ A (x 1 ), µ B (x 1 )) = max (0.5, 0.8) = 0.8 µ A B (x 2 ) = max (µ A (x 2 ), µ B (x 2 )) = max (0.7, 0.2) = 0.7 União µ A B (x) = µ A (x) µ B (x) = max [µ A (x), µ B (x)] µ A B (x 3 ) = max (µ A (x 3 ), µ B (x 3 )) = max (0, 1) = 1 A B = (0.8/x 1, 0.7/x 2, 1/x 3 ) 10/10/14 Paulo C F de Oliveira 2007 13
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Seção 1.3 Propriedades dos Conjuntos Fuzzy 10/10/14 Paulo C F de Oliveira 2007 15
igualdade O conjunto fuzzy A é considerado igual ao conjunto fuzzy B, se e somente se: µ A (x) = µ B (x), x X Exemplo: Considere X = {1,2,3} e os conjuntos A e B A = (0.3/1, 0.5/2, 1/3) B = (0.3/1, 0.5/2, 1/3) Portanto A = B 10/10/14 Paulo C F de Oliveira 2007 16
INclusão O conjunto fuzzy A está incluído em outro conjunto B (i.e. A B ) se: µ A (x) µ B (x), x X Exemplo: Considere X = {1,2,3} e os conjuntos A e B A = (0.3/1, 0.5/2, 1/3) B = (0.5/1, 0.55/2, 1/3) Portanto A B 10/10/14 Paulo C F de Oliveira 2007 17
cardinalidade Cardinalidade de um conjunto fuzzy A, chamado CONTA SIGMA, é expressada como a soma dos valores da função de pertinência de A, µ A (x): card A = µ A (x 1 ) + µ A (x 2 ) + + µ A (x n ) = Σµ A (x i ), para i=1..n Exemplo: Considere X = {1,2,3} e os conjuntos A e B A = (0.3/1, 0.5/2, 1/3) B = (0.5/1, 0.55/2, 1/3) Então card A = 1.8 card B = 2.05 10/10/14 Paulo C F de Oliveira 2007 18
Conjunto fuzzy vazio Um conjunto fuzzy A é vazio se e somente se: µ A (x) = 0, x X Exemplo: Considere X = {1,2,3} e o conjunto A A = (0/1, 0/2, 0/3) Então A é vazio ( A = Ø ) 10/10/14 Paulo C F de Oliveira 2007 19
α -corte Um α-corte ou α-nível de um conjunto fuzzy A X é um conjunto qualquer A α X tal que: A α = {µ A (x) α, x X} Exemplo: Considere X = {1,2,3} e o conjunto A A = (0.3/1 + 0.5/2 + 1/3) Então A 0.5 = {2,3} A 0.1 = {1,2,3} A 1 = {3} 10/10/14 Paulo C F de Oliveira 2007 20
normalidade Um subconjunto fuzzy de X é chamado normal se existe pelo menos um elemento x X tal que µ A (x) = 1 Um subconjunto fuzzy que não é normal é chamado de subnormal. Todos os subconjuntos nítidos (crisps) exceto o vazio, são normais. Na teoria dos conjuntos fuzzy, o conceito de nulidade (vazio) essencialmente generaliza à subnormalidade 10/10/14 Paulo C F de Oliveira 2007 21
altura A altura de um subconjunto fuzzy A é o grau da mais alta pertinência de um elemento em A altura(a) = max x (µ A (x)) Exemplo: Considere X = {1,2,3} e o conjunto A A = (0.3/1 + 0.5/2 + 1/3) Então altura(a) = 1 10/10/14 Paulo C F de Oliveira 2007 22
Núcleo O núcleo de A é o subconjunto discreto de X que contém todos os elementos com grau de pertinência: nuc(a) = {x µ A (x) = 1 e x X} Exemplo: Considere X = {1,2,3} e o conjunto A A = (0.3/1 + 0.5/2 + 1/3) Então nuc(a) = {3} 10/10/14 Paulo C F de Oliveira 2007 23
Suporte O suporte de A é o subconjunto discreto de X que contém todos os elementos com grau de pertinência: sup(a) = {x µ A (x) > 0 e x X} Exemplo: Considere X = {1,2,3} e o conjunto A A = (0.3/1 + 0.5/2 + 1/3) Então sup(a) = {1,2,3} 10/10/14 Paulo C F de Oliveira 2007 24
Operações matemáticas aa = { aµ A (x), x X } Seja a = 0.5, e A = {0.5/a, 0.3/b, 0.2/c, 1/d} então aa = {0.25/a, 0.15/b, 0.1/c, 0.5/d} A a = {µ A (x) a, x X} Seja a = 2, e A = {0.5/a, 0.3/b, 0.2/c, 1/d} então A a = {0.25/a, 0.09/b, 0.04/c, 1/d} 10/10/14 Paulo C F de Oliveira 2007 25
Seção 1.4 Exemplos 10/10/14 Paulo C F de Oliveira 2007 26
Considere 2 subconjuntos fuzzy do conjunto X, onde X = {a,b,c,d,e} referidos como A e B, sendo: A = {1/a, 0.3/b, 0.2/c, 0.8/d, 0/e} B = {0.6/a, 0.9/b, 0.1/c, 0.3/d, 0.2/e} 10/10/14 Paulo C F de Oliveira 2007 27
Suporte sup(a) = {a, b, c, d } sup(b) = {a, b, c, d, e } Núcleo nuc(a) = {a} nuc(b) = Ø Cardinalidade card(a) = 1+0.3+0.2+0.8+0 = 2.3 card(b) = 0.6+0.9+0.1+0.3+0.2 = 2.1 10/10/14 Paulo C F de Oliveira 2007 28
Complemento A = { 1/a, 0.3/b, 0.2/c, 0.8/d, 0/e } A = { 0/a, 0.7/b, 0.8/c, 0.2/d, 1/e } União A B = {1/a, 0.9/b, 0.2/c, 0.8/d, 0.2/e } Interseção A B = { 0.6/a, 0.3/b, 0.1/c, 0.3/d, 0/e } 10/10/14 Paulo C F de Oliveira 2007 29
aa Para a = 0.5 A = { 1/a, 0.3/b, 0.2/c, 0.8/d, 0/e } aa = {0.5/a, 0.15/b, 0.1/c, 0.4/d, 0/e} α-corte A 0.2 = {a, b, c, d} A 0.3 = {a, b, d} A 0.8 = {a, d} A 1 = {a} A a Para a = 2 A = { 1/a, 0.3/b, 0.2/c, 0.8/d, 0/e } A a = { 1/a, 0.09/b, 0.04/c, 0.64/d, 0/e } 10/10/14 Paulo C F de Oliveira 2007 30