CONJUNTOS FUZZY CONTEÚDO. CONJUNTOS CRISP x FUZZY. Conjuntos Crisp x Fuzzy Definição Representação Propriedades Formatos Operações Hedges
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- Geraldo Canela da Cunha
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1 CONTEÚDO Introdução Introdução, Objetivo e Histórico Conceitos Básicos Definição, Características e Formas de Imprecisão Conjuntos Fuzzy Propriedades, Formas de Representação e Operações Lógica Fuzzy Relações, Composições, Modus Ponens Generalizado Aplicações CONJUNTOS FUZZY Conjuntos Crisp x Fuzzy Definição Representação Propriedades Formatos Operações Hedges CONJUNTOS CRISP x FUZZY Conjuntos Ordinários (ou Crisp ) A noção de pertinência é bem definida: elementos pertencem ou não pertencem a um dado conjunto A (em um universo X) f A 1 se e somente se ( x) = 0 se e somente se f : função característica x A x A Conjuntos Crisp x Fuzzy Entretanto: Exemplos: Existem conjuntos cujo limite entre pertinência e não-pertinência é vago, com transição gradual entre esses dois grupos conjunto de pessoas altas conjunto de carros caros números muito maiores que 1 1
2 CONJUNTOS FUZZY Conjuntos Crisp x Fuzzy Definição Representação Propriedades Formatos Operações Hedges CONJUNTOS FUZZY Conjuntos Fuzzy A função característica é generalizada, podendo assumir um número infinito de valores no intervalo [0,1] função de pertinência Um conjunto fuzzy A em um universo X é definido por uma função de pertinência µ A (x): X [0,1] Conjuntos Crisp x Fuzzy Conjuntos Crisp x Fuzzy Exemplos: Pessoas Altas Exemplos: Carros Caros f (x) Função Característica µ (x) Função de Pertinência f (x) Função Característica µ (x) Função de Pertinência Altura (m) Altura (m) Preço (R$) Preço (R$) CRISP FUZZY CRISP FUZZY 2
3 Conjuntos Crisp x Fuzzy Exemplos: Números muito maiores que 1 f (x) Função Característica µ (x) Função de Pertinência Exemplos: Conjuntos Crisp U = todos os automóveis do Rio de Janeiro Sub-Conjuntos de U: CRISP FUZZY azul azul cinza marrom marrom vermelho verde outra Nacional Nacional Importado 4 cilindros 6 cilindros 8 cilindros outros Conjuntos Fuzzy Conjunto A no Universo de Discurso U com µ A (x) [0,1] µ (x) medida do grau de compatibilidade de um elemento x em U com o subconjunto F importado nacional % de peças nacionais CONJUNTOS FUZZY Conjuntos Crisp x Fuzzy Definição Representação Propriedades Formatos Operações Hedges 3
4 Conjuntos Fuzzy Representação: Um conjunto fuzzy A em X pode ser representado como um conjunto de pares ordenados de um elemento genérico x e seu grau de pertinência CONJUNTOS FUZZY Outra Representação: X contínuo: µ A( x) / x X denota a coleção de todos os pontos x X com função de pertinência µ (x) { µ ( x /x} x X A = A ) X discreto: n i= 1 µ ( x ) / x A i i denota a união de todos os pontos x i X com graus de pertinência µ (x i ) Conjuntos Fuzzy Exemplo: seja A = inteiros próximos de 10 X = {n inteiros de 1 a 20} A = 0.1/ / /9 + 1/ / / /13 Observações: Os inteiros não especificados possuem µ A (x) = 0 Os valores de µ A (x) são escolhidos exceto para µ A (x)=1.0, todos os outros valores podem ser modificados. A Função de Pertinência, neste caso específico, deve ser simétrica trica. CONJUNTOS FUZZY Conjuntos Crisp x Fuzzy Definição Representação Propriedades Formatos Operações Hedges 4
5 Altura: PROPRIEDADES É o maior grau de pertinência permitido pela função de pertinência PROPRIEDADES Normalização: Um certo conjunto fuzzy é normal se a sua altura for igual a 1 Forma normal mínima Forma normal máxima pelo menos um pelo menos um elemento elemento tem µ (x) =1 tem µ(x) = 1 e outro elemento tem µ(x) = 0 Para um bom desempenho, os conjunto fuzzy devem ser normalizados PROPRIEDADES Domínio do Conjunto Fuzzy: É o universo total de valores possíveis para os elementos de um conjunto depende do contexto Altas Meia-Idade PROPRIEDADES Suporte do Conjunto: É a área efetiva do domínio de um conjunto fuzzy que apresenta valores de µ (x) > 0 µ (x) Pesado Domínio Aberto 1.80m 45 Domínio Fechado Suporte Domínio kg 5
6 PROPRIEDADES Observação: O conjunto Fuzzy cujo suporte é um único ponto em X, com valor de µ (x) = 1, é chamado de Conjunto Singleton µ (x) Igual a PROPRIEDADES Conjunto α-cut: É uma restrição (limite) imposta ao domínio, baseada no valor de α Contém todos os elementos do domínio que possuam µ(x) acima de um certo valor de α µ(x) α α-cut fraco µ(x) > α α-cut forte PROPRIEDADES Conjunto α-cut: útil para as funções com longos tails, que tendem a possuir valores muito baixos de µ(x) por um domínio extenso ajuda a reduzir ruído µ (x) α-cut = 0.2 pesado 0.2-cut do conjunto pesado é, então, de 100 a 140 kg kg PROPRIEDADES Conjunto α-cut: Idade Criança Jovem Adulto Velho Conjuntos α-cut do conjunto VELHO: velho.2 = {30,40,50,60,70,80} velho.8 = {60,70,80} velho 1.0 = {70,80} 6
7 PROPRIEDADES Universo de Discurso: É o espaço fuzzy completo de variação de uma variável do modelo. Temperatura Frio Média Quente Muito Quente Universo de Discurso para a variável do modelo TEMPERATURA é de 100 a 360 X Entradas precisas SISTEMA FUZZY Fornecidas por especialistas ou extraídas de dados numéricos Para ativar as regras FUZZIFICADOR Conjuntos nebulosos de entrada REGRAS INFERÊNCIA Para fornecer a saída precisa DEFUZZIFICADOR Conjunto nebuloso de saída Mapeia fuzzy sets em fuzzy sets Determina como as regras são ativadas e combinadas y Saída precisa Exemplo do Guindaste Conjuntos Nebulosos Variáveis de Entrada: distância ângulo Variável de Saída: Variável de Saída: Potência 7
8 Ângulo Variáveis de Entrada FUZZIFICADOR Distância Ângulo Variáveis de Entrada Potência Variável de Saída 8
9 REGRAS FUZZY MÓDULO DE REGRAS Exemplos: Se DISTÂNCIA = Far e ÂNGULO = Zero Então POTÊNCIA = Pos_Medium Se DISTÂNCIA = Far e ÂNGULO = Neg_Small Se DISTÂNCIA = Medium e ÂNGULO = Neg_Small INFERÊNCIA INFERÊNCIA Dados de Entrada: distância 12 jardas ângulo -4 9
10 REGRA NÚMERO 1 Se DISTÂNCIA = Far e ÂNGULO = Zero Então POTÊNCIA = Pos_Medium REGRA NÚMERO 1 Se DISTÂNCIA = Far e ÂNGULO = Zero Então POTÊNCIA = Pos_Medium INFERÊNCIA - Antecedente Portanto: Cálculo do antecendente da regra 1: Se DISTÂNCIA = Far e ÂNGULO = Zero Então POTÊNCIA = Pos_Medium µ FAR (x) = 0.15 µ ZERO (x) = 0.7 INFERÊNCIA - Consequente Como o antecedente é verdadeiro com grau de pertinência 0.15, o consequente deve ter no máximo um grau de veracidade de µ Far zero zero =
11 INFERÊNCIA - Consequente Se DISTÂNCIA = Far e ÂNGULO = Zero Então POTÊNCIA = Pos_Medium REGRA NÚMERO 2 Se DISTÂNCIA = Far e ÂNGULO = Neg_Small REGRA NÚMERO 2 Se DISTÂNCIA = Far e ÂNGULO = Neg_Small INFERÊNCIA - Antecedente Portanto: Cálculo do antecendente da regra 2: Se DISTÂNCIA = Far e ÂNGULO = Neg_Small µ FAR (x) = 0.15 µ NEG_SMALL (x) = -4 NEG_small = 0.15 µ FAR NEG_small 11
12 INFERÊNCIA - Consequente Se DISTÂNCIA = Far e ÂNGULO = Neg_Small REGRA NÚMERO 3 Se DISTÂNCIA = Medium e ÂNGULO = Neg_Small REGRA NÚMERO 3 Se DISTÂNCIA = Medium e ÂNGULO = Neg_Small INFERÊNCIA - Antecedente Portanto: Cálculo do antecendente da regra 3: Se DISTÂNCIA = Medium e ÂNGULO = Neg_Small µ MEDIUM (x) = 0.85 µ NEG_SMALL (x) = -4 NEG_small = µ medium NEG_small 12
13 INFERÊNCIA - Consequente Se DISTÂNCIA = Medium e ÂNGULO = Neg_Small INFERÊNCIA Composição União de TODAS as regras com Grau de ativação diferente de ZERO 0.15 INFERÊNCIA Como é a UNIÃO,, utiliza-se, geralmente o MÁXIMO DEFUZZIFICADOR
14 DEFUZZIFICADOR DEFFUZIFICADOR Um Método M possível: Avalia-se os valores TÍPICOS de cada conjunto Transforma o conjunto nebuloso obtido pela Inferência e transforma em um valor preciso INFERÊNCIA Pondera-se o valor típicot com o seu grau de pertinência INFERÊNCIA Pondera-se o valor típicot com o seu grau de pertinência MM = (.15x x24) = 18.1 ( ) 10 Média dos Máximos 24 14
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