Introdução. Lógica Fuzzy (Lógica Nebulosa) Introdução. Conceito

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1 Lógica Nebulosa Introdução Lógica Fuzzy (Lógica Nebulosa) Adaptado de material da profa. Luciana Rech Lógica Difusa ou Lógica Fuzzy extensão da lógica boolena um valor lógico difuso é um valor qualquer no intervalo de valores entre 0 e 1 As implementações da lógica difusa permitem que estados indeterminados possam ser tratados por dispositivos de controle. desse modo, é possível avaliar conceitos não-quantificáveis. Casos práticos: avaliar a temperatura (quente,morno, frio,etc..) sentimento de felicidade(radiante,feliz,apático,triste..) Surgiu com Lofti A. Zadeh, Berkeley (1965). para tratar do aspecto vago da informação; 1978 desenvolveu a Teoria das Possibilidades menos restrita que a noção de probabilidade Introdução ligar a lingüística e a inteligência humana, pois muitos conceitos são melhores definidos por palavras do que pela matemática. É uma técnica baseada em graus de verdade. os valores 0 e 1 ficam nas extremidades inclui os vários estados de verdade entre 0 e 1 idéia: todas as inf. admitem graus (temperatura, altura, velocidade, distância, etc...) Conceito Lógica difusa é uma lógica multivalorada capaz de capturar informações vagas, em geral descritas em uma linguagem natural e convertê-las para um formato numérico, de fácil manipulação pelos computadores atuais. A representação depende não apenas do conceito, mas também do contexto em que está sendo usada. A lógica difusa pode ainda ser definida como a lógica que suporta modos de raciocínio i aproximados, ao invés de exatos, como estamos acostumados a trabalhar.

2 Objetivo A lógica difusa objetiva fazer com que as decisões tomadas pela máquina se aproximem cada vez mais das decisões humanas. principalmente ao trabalhar com uma grande variedade de informações vagas e incertas, as quais podem ser traduzidas por expressões do tipo: a maioria, mais ou menos, talvez, etc. antes do surgimento da lógica fuzzy essas informações não tinham como ser processadas. Características Baseia-se em palavras e não em números, ou seja, os valores verdades são expressos lingüisticamente. Por exemplo: baixo, médio, alto, quente, frio,..., e outros usados para definir estados de uma variável. Possui vários modificadores de predicado. Por exemplo: muito, mais ou menos, pouco, bastante, médio, etc; Possui também um amplo conjunto de quantificadores. Por exemplo: poucos, vários, em torno de, usualmente. Conjuntos Fuzzy Conjuntos Fuzzy Na teoria dos conjuntos nebulosos existe um grau de pertinência de cada elemento a um determinado conjunto. Conjuntos com limites imprecisos. Conjunto Clássico Conjunto Fuzzy Um conjunto fuzzy A definido no universo de discurso X é caracterizado por uma função de pertinência A, a qual mapeia os elementos de X para o intervalo [0,1]. A:X [0,1] Função de pertinência Desta forma, a função de pertinência associa a a cada elemento x pertencente a X um número real A(X) no intervalo [0,1], que representa o grau de pertinência do elemento x ao conjunto A, isto é, o quanto é possível para o elemento x pertencer ao conjunto A Altura Altura (m) (m) A = Conjunto de pessoas altas

3 A função de pertinência A(X) indica o grau de compatibilidade entre x e o conceito expresso por A: A(X) = 1 indica que x é completamente compatível com A; A(X) = 0 indica que x é completamente incompatível com A; 0< A(X) < 1 indica que x é parcialmente compatível com A, com grau A(X). Função característica do conjunto crisp crisp pode ser visto como um conjunto nebuloso específico (teoria de conjuntos clássica) A {0,1} pertinência do tipo tudo ou nada, sim ou não e não gradual como para os conjuntos nebulosos Conjuntos Fuzzy Definição formal Um conjunto fuzzy A em X é expresso como um conjunto de pares ordenados: A {( x, A ( x)) x X } Conjunto fuzzy Função de pertinência Universo ou Universo de discurso Um conjunto fuzzy é totalmente caracterizado por sua função de pertinência. i

4 Lógica Fuzzy Fundamentos Lógica Fuzzy Fundamentos Representações Funções de pertinência representadas em computador podem ser: contínuas ou discretas. No caso contínuo, a função de pertinência é uma função matemática, possivelmente um programa. No caso discreto, a função de pertinência e o universo são pontos de uma lista (vetor). Lógica Fuzzy Fundamentos Operações sobre conjuntos fuzzy Exemplo (função de pertinência discreta): Para uma representação discreta, suponha que o universo é representado pelas amostras: u = [ ]

5 Operadores Fuzzy Uma sentença modificada pela palavra não é dita negação da sentença original. NÃO-fuzzy(x) = 1 - x A palavra e é usada para juntar duas sentenças formando uma conjunção de duas sentenças. E-fuzzy(x,y) = Mínimo(x,y) De maneira similar a sentença formada ao conectarmos duas sentenças com a palavra ou é dita disjunção das duas sentenças. OU-fuzzy(x,y) = Máximo(x,y) Suponha que desejássemos representar de forma fuzzy a altura de Alice (1,65 m), Bob (1,75 m), Carlos(2,0m) e Denise(1,45 m). Nossas proposições serão da forma "X é alto", e serão: A = Alice é alta, μ(a)=0,55 B=Bobéalto Bob alto, μ(b)=0,75 C = Carlos é alto, μ(c) = 1,0 D = Denise é alta, μ(d) = 0,0 Usando os operadores fuzzy, podemos escrever sentenças como: Carlos não é alto, NÃO(C), μ(não(c))= 1,0 - μ(c) = 0,0 Bob não é alto, NÃO(B), μ(não(b))= 1,0 - μ(b) = 0,25 Denise é alta e Alice é Alta, D e A, μ(d e A)= mínimo (μ(d), μ(a)) =0,0 A lógica está claramente associada a teoria dos conjuntos. Cada afirmação (do tipo "Carlos é alto") representa na verdade o grau de pertinência de Carlos ao conjunto de pessoas altas. Isso permite que conjuntos como "alto" e "baixo" sejam tratados de forma separadas e afirmações como "Carlos é alto 0,75" e "Carlos é baixo 0,5" sejam válidas simultaneamente, ao contrário do que seria esperado em um modelo crisp. Esse tipo de afirmação é facilmente encontrada na descrição, por humanos, na forma como entendem certo conceito, e a lógica difusa é uma ótima forma de tratar essa forma de incerteza. 20

6 Também conhecido como raciocínio aproximado. Raciocínio Fuzzy Pode ser dividido em etapas: Transformação das variáveis do problema em valores fuzzy, ou fuzzificação; Aplicação dos operadores fuzzy; Inferência (agregação) Aplicação do operador da implicação; Combinação de todas as saídas fuzzy possíveis; Inferência a(composição) Transformação do resultado fuzzy em um resultado nítido, a defuzzificação. E o raciocínio? Avaliar o antecedente Regras Fuzzy Aplicar o resultado ao conseqüente As regras são ativadas parcialmente, dependendo do antecedente.75.5 Ex: Se a altura é alta, o peso é pesado (altura =1.85, peso =?) Alto.75.5 Pesado Fuzzificação Etapa na qual as variáveis lingüísticas são definidas de forma subjetiva, bem como as funções membro (funções de pertinência) Engloba Análise do Problema Definição das Variáveis Definição das Funções de pertinência Criação das Regiões Na definição das funções de pertinência para cada variável, diversos tipos de espaço podem ser gerados: Triangular, Trapezoidal,... TRIANGULAR Frio Normal Quente Fuzzificação TRAPEZOIDAL Lento Rápido 23 24

7 Inferência Fuzzy Inferência Fuzzy Base de Conhecimento / Regras Etapa na qual as proposições (regras) são definidas e depois são examinadas paralelamente Engloba: Definição das proposições Análise das Regras Criação da região resultante O mecanismo chave do modelo Fuzzy é a proposição p A proposição é o relacionamento entre as variáveis do modelo e regiões Fuzzy Na definição das proposições, deve-se trabalhar com: Proposições Condicionais if W is Z then X is Y Proposições Não-Condicionais X is Y Base de conhecimento Consiste em uma base de dados eumabase de regras, de maneira a caracterizar a estratégia de controle e as suas metas. Base de dados, ficam armazenadas: as definições sobre discretização e normalização dos universos definições das funções de pertinência dos termos nebulosos Base de regras Formada por estruturas do tipo: Se <premissa> então <conclusão> Inferência Fuzzy Base de Conhecimento / Regras Inferência Fuzzy Resumo Premissas são relacionadas pelos conectivos lógicos, dados pelos operadores de conjunção (e) e o operador de disjunção (ou). MIMO sistemas de múltiplas entradas e múltiplas saídas Se x1 é A1 e... xn é An então y1 é C1... e... Ym é Cm MISO sistemas com múltiplas entradas e uma saída Se x1 é A e... xn é An então yj é Cj O controlador lógico fuzzy (FLC) é um algoritmo de controle não matemático que requer a sintonia fina entre a base de regras e as funções de pertinência, ou vice-versa. 27 Nesta etapa definem-se as regras ou proposições. Definição das regras Criação da matriz de regras AGREGAÇÃO Calcula a importância de uma determinada regra para a situação corrente (bloco IF). COMPOSIÇÃO Calcula a influência de cada regra nas variáveis de saída (bloco THEN). 28

8 Defuzzificação Etapa no qual as regiões resultantes são convertidas em valores para a variável de saída do sistema Esta etapa corresponde a ligação funcional entre as regiões Fuzzy e o valor esperado. converte as variáveis fuzzy em valores numéricos ou aceitáveis pelo sistema. Defuzzificação Dentre os diversos tipos de técnicas de defuzzificação, destacam-se: se: Centróide O valor de saída é o centro da gravidade da função de distribuição ib i da possibilidade d da ação de controle. no qual o centro de massa do resultado provê o valor exato Inferência Fuzzy: Um exemplo Método da Média dos Máximos Encontra o ponto médio entre os valores que tem o maior grau de pertinência inferido pelas regras. Objetivo do sistema: um analista de projetos de uma empresa que determina o risco de um determinado projeto Variáveis de entrada: quantidade de dinheiro e de pessoas envolvidas no projeto Base de conhecimento 1. Se dinheiro é adequado ou pessoal é baixo então risco é pequeno 2. Se dinheiro é médio e pessoal é alto, então risco é normal 3. Se dinheiro é inadequado, então risco é alto Problema: dinheiro = 35% e pessoal = 60% 31 32

9 Inferência Fuzzy: Um exemplo Inferência Fuzzy: Um exemplo Passo 1: Fuzzificar Regra 1: Passo 2: Avaliação das regras Ou máximo e mínimo Risco Dinheiro.8.2 Pessoal Adequado Regra 2: 0,0 Baixo 0,2 ou Risco Inadequado Adequado Baixo Alto Médio b ( p) 0,2& a( p) 0,8 ( d) 0,75& ( d) 0,25 i m 33 médio 0,25 Alto 0,8 e 34 Inferência Fuzzy Inferência Fuzzy Passo 3: Defuzzificação Risco Regra 3: 075 0,75 Risco pequeno normal alto 0,75 Inadequado 025 0,

10 Ex. Aplicações Mitsubishi tem um ar condicionado industrial que usa um controlador fuzzy. Economiza 24% no consumo de energia. Metrô de Sendai, Japão, usa um controlador fuzzy para controlar os vagões. Proporciona uma viagem suave em todas as condições de terreno. Câmeras e gravadoras usam fuzzy para ajustar foco automático e cancelar os tremores causados pelas mãos trêmulas. A Nissan possui projetos de sistemas de freio, controle de transmissão e injetores de combustível fuzzy. Aplicações de software para buscar e comparar imagens por certas regiões de pixels de interesse. 37 Exemplos Softwares para auxílio a projeto e implementação de Sistemas Fuzzy: Fuzzy Toolbox do Matlab NEFCON, NEFCLASS e NEFPROX... (desenvolvidos pela Universidade de Magdeburg) disponível para download em uni-magdeburg de/wiki/pmwiki php?n=forschung SciFLT for Scilab (free) UnFuzzy (free) FuzzyTech FuzzyClips (free, API para Java) 38 Bibliografia Terano, T., Asai, K., Sugeno, M. - Fuzzy Systems Theory and its Applications - Editora Academic Press, 1992 (ISBN: ) Driankov, Dimiter - An introduction to fuzzy control - Editora Springer- Verlag, 1996 (ISBN: )