Modelos Evolucionários e Tratamento de Incertezas

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1 Ciência da Computação Modelos Evolucionários e Tratamento de Incertezas Aula 05 Teoria dos Conjuntos Difusos Max Pereira

2 CONJUNTOS CLÁSSICOS Teoria dos Conjuntos é o estudo da associação entre objetos com uma mesma propriedade, utilizando uma notação precisa e definindo um elenco de operações e propriedades desses objetos. A teoria clássica de conjuntos permite o tratamento de classes e objetos e suas inter-relações em um universo definido.

3 CONJUNTO Conjunto é uma coleção ou classe de objetos, também chamados de elementos ou membros. Os objetos de uma mesma classe ou que possuem características semelhantes são agrupados em conjuntos. Neste contexto, um conjunto consiste de uma coleção de objetos ou elementos do universo do discurso.

4 CONJUNTO UNIVERSO Chamamos de conjunto universo ao conjunto mais amplo ao qual os elementos dos conjuntos que desejamos representar pertençam, e é representado por U. Por exemplo: números entre -10 e 10 do conjunto Z dos números inteiros: U = x Z módulo(x)10

5 CONJUNTO UNIVERSO A notação de pertinência serve para indicar que um elemento x pertence a um conjunto A e é denotado por: x A Da mesma forma, podemos dizer que um elemento não pertence ao conjunto A e é denotado por: x A

6 REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTOS Pela enumeração de seus elementos A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

7 REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTOS Pela explicitação da propriedade característica de elementos A : x U x > 0

8 REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTOS Utilizando esta convenção, podemos definir um conjunto por meio de uma função, dita função característica, que associa a cada elemento do universo do discurso U um valor binário. X A Esta função é expressa por: : U 0,1 X A (u)= 0, se x 1, se A A

9 REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTOS Por meio de um diagrama U

10 TAMANHO DO CONJUNTO Os conjuntos podem ser classificados conforme a quantidade de elementos distintos que a eles pertencem, sendo que n(a) indica o número de elementos de um conjunto A qualquer. Se um conjunto não possuir elementos (n(a) = 0), será chamado conjunto vazio. Um conjunto unitário possui um único elemento.

11 IGUALDADE DE CONJUNTOS Dois conjuntos, A e B, são iguais se todo elemento de A pertence a B e todo elemento de B pertence a A. Isso ocorre se, e somente se, A e B possuem os mesmos elementos. A= B ( x)(x A x B)

12 INCLUSÃO Se todos os elementos de um conjunto A também pertencerem a um conjunto B, dizemos que A está contido em B ou, ainda, que A é um subconjunto de B. A B U A B ( x)(x A x B)

13 OPERAÇÕES EM CONJUNTOS Álgebra dos conjuntos é o estudo da criação de novos conjuntos a partir de conjuntos já definidos; Operações: União, Interseção, Diferença e Complemento. Todos os conjuntos considerados devem estar contidos num conjunto fixo denominado conjunto universo U. Depois de definido o conjunto U, todos os conjuntos mencionados serão supostos subconjuntos de U.

14 UNIÃO Chamamos união ou reunião de dois conjuntos A e B o conjunto formado pelos elementos pertencentes a A ou a B. A B U A B = x U x A ou x B

15 INTERSEÇÃO Chamamos de interseção de dois conjuntos A e B o conjunto formado pelos elementos pertencentes a A e a B. A B U A B = x U x A e x B

16 DIFERENÇA Chamamos diferença A B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. A B U A B = x U x A e x B

17 COMPLEMENTO Quanto dois conjuntos, A e B, são tais que B A dá-se o nome de complemento de B em relação a A à diferença A B. É o que falta ao conjunto B para ficar igual ao conjunto A. O complemento de um conjunto A, tomado com relação a um conjunto universo U, é o conjunto denotado por: Ou seja, A' = x x U e x A A' =U A

18 CONJUNTOS DIFUSOS A teoria dos conjuntos difusos pode ser vista como uma extensão da teoria clássica dos conjuntos; Foi criada para tratar graus de pertinência intermediários entre a pertinência total e a não pertinência de elementos de um universo do discurso com relação a um dado conjunto.

19 CARACTERÍSTICAS Baseada em palavras e não em números: quente, muito frio, longe, perto, médio, etc. Possui modificadores de predicado (hedges): muito, mais ou menos, pouco, bastante, etc. Possui quantificadores: poucos, vários, em torno de, usualmente, etc. Faz uso de probabilidades lingüísticas: provável, improvável, etc. Manuseia todos os valores entre zero e um, tomando estes, como um limite apenas.

20 CONJUNTOS CLÁSSICOS Na teoria clássica, os conjuntos são definidos por meio de uma função característica, que associa a cada elemento do universo do discurso U um valor binário {0, 1}. X A :U {0, 1}

21 CONJUNTOS CLÁSSICOS Conjunto dos número pequenos (Clássico) { 1, se módulo( x)<5 5} X p ( x )= 0, se módulo( x) U

22 CONJUNTOS DIFUSOS Na lógica difusa o grau de pertinência de um elemento em relação a um conjunto é definido por uma função característica real, que assume como valor qualquer número pertencente ao intervalo real fechado [0, 1]. μ A ( x):u [0, 1]

23 CONJUNTOS DIFUSOS Conjunto dos números pequenos (difuso) μ P (x)= 0.0, se módulo(x) > 5 5 módulo (x) 5, se módulo(x) 5 1 P U

24 DEFINIÇÃO Um conjunto difuso F de um universo de discurso U é caracterizado por uma função característica real, μ F : U [ 0, 1] comumentemente chamada de função de pertinência, que associa a cada x U um número real μ F ( x) no intervalo [0, 1], representando o grau de pertinência de x em F.

25 EXEMPLO Valor Pertinência de 1 Conjunto Crisp 0,5 Conjunto Difuso Idade

26 REPRESENTAÇÃO Representação Analítica (Enumeração) Representa todos os elementos do universo de discurso separados por vírgulas. Cada elemento deste universo é representado μ P ( x i ) na forma x i, onde o primeiro termo representa o grau de pertinência x i de no conjunto P e o segundo termo identifica o próprio elemento x i.

27 EXEMPLO μ p ( x)= { 0,0 10,0,0 9,0,0 8,0,0 7,0,0 6,0,0 5,0,2 4,0,4 3,0,6 2,0,8 1,1,0 0,0,8 1,0,6 2,0,4 3,0,2 4,0,0 5,0,0 6,0,0 7,0,0 8,0,0 9,0,0 10 } Pode ser usado apenas quando o universo é discreto e composto por um número pequeno de elementos.

28 REPRESENTAÇÃO Representação pela Função de Pertinência Representa os elementos do conjunto através da função de pertinência.

29 EXEMPLO μ P ( x )= {0.0, se módulo( x ) > 5 5 módulo ( x) 5, se módulo( x ) 5} Deve ser usado quando o universo é contínuo ou possui uma grande quantidade de elementos discretos.

30 REPRESENTAÇÃO Representação Gráfica Representa graficamente a função de pertinência do conjunto, chamado de diagrama de Hassi-Euler(H-E).

31 EXEMPLO P U Também deve ser usado quanto o universo é contínuo ou possui uma grande quantidade de elementos discretos.

32 FUNÇÃO DE PERTINÊNCIA A função de pertinência de um conjunto difuso associa a cada elemento um número real no intervalo [0, 1]. Reflete o conhecimento que se tem em relação a intensidade com que o objeto pertence ao conjunto difuso. Um das características das funções de pertinência é que elas são medidas subjetivas. Embora as funções normalmente utilizadas sejam funções lineares (triangulares, trapezoidais, etc.), podemos também utilizar funções sigmoides, em formato J ou qualquer função definida pelo usuário.

33 FUNÇÃO DE PERTINÊNCIA Suporte: área ou membros para os quais a função de pertinência é maior que 0. S A = x μ A (x) > 0

34 FUNÇÃO DE PERTINÊNCIA Núcleo (Core): área ou membros para os quais a função de pertinência dos elementos é igual a 1. C A = x μ A (x)=1

35 FUNÇÃO DE PERTINÊNCIA Altura: o valor máximo da função de pertinência em A. h A = max{μ A ( x)}

36 FUNÇÃO DE PERTINÊNCIA Corte-Alpha (-cut): corte da função de pertinência de A na altura. A α = x μ A (x) α

37 VARIÁVEIS LINGÜÍSTICAS A capacidade de classificar de modo impreciso as variáveis de um problema, em termos de conceitos qualitativos em vez de quantitativos, traduz a idéia de uma variável lingüística. Uma variável lingüística é definida como uma entidade utilizada para representar de modo impreciso e, portanto, lingüístico, um conceito ou uma variável de um dado problema.

38 VARIÁVEIS LINGÜÍSTICAS Pode ainda ser definida como um termo usado em linguagem natural para descrever algum conceito que usualmente possui valores vagos ou difusos.

39 EXEMPLOS Variável Lingüística Valores Típicos Temperatura quente, frio Altura baixa, média, alta Velocidade lenta, moderada, rápida

40 VARIÁVEIS LINGÜÍSTICAS Ela admite como valores apenas expressões lingüísticas, freqüentemente chamadas de termos primários. Um termo primário de uma dada variável lingüística pode ser representado por um conjunto difuso existente no universo de discurso na qual esta variável está definida. Assim, cada conjunto difuso definido neste universo é associado a um conceito lingüístico que classifica ou define um valor impreciso para a variável em questão.

41 EXEMPLO Altura Baixa Média Alta 1 Valor de Pertinência 0,5 0 1,30 1,50 1,70 1,90 Altura