Prof. Doutor Paulo Salgado UTAD. Doutoramento em Engª Electrotécnica e de Computadores - Prof. Paulo Salgado

Transcrição

1 Introdução à LÓGICA DIFUSA Prof. Doutor Paulo Salgado UTAD Tópicos do Curso Introdução à LÓGICA DIFUSA (Fuzzy Logic). Operações Lógicas e Inferência difusa Técnicas automáticas de geração de regras difusas. Exemplo prático de aplicação: Controlo do Movimento de um Robô Móvel em ambientes complexos. 2

2 LÓGICA Lógica é o estudo do método da razão em todas as suas formas possíveis. Lógica proposicional (área da lógica) usa combinações de variáveis (lógicas) de acordo com proposições arbitrárias. Uma simples proposição pode ser expressa em geral, na forma canónica: x is P em que x designa o sujeito e P designa o predicado. 3 A lógica clássica utiliza proposições que assumem apenas dois valores: verdadeiro ou falso. P (o predicado) desempenha o papel de uma função em X. Esta função é geralmente chamada de função predicado e é representada por P(x), assumindo apenas dois valores, verdadeiro ou falso, quando um dado sujeito em X é substituído em x. Exemplo: coffee is Hot Hot(coffee)= Verdadeiro ou falso. 4 2

3 Teória dos Conjuntos Bivalente Um conjunto é definido de tal forma que dicotomiza um ponto individual de um dado universo em dois grupos: os membros, que são aqueles que seguramente lhe pertencem, (grau de pertença unitário, ) os não-membros, que são aqueles que de certeza não lhe pertencem (grau de pertença nulo, 0). Exemplo: Seja X = { A, B, C,, Z, W }, o conjunto das letras do abecedário e o conjunto das vogais: Vogais = { A, E, I, O, U } A Vogais μ Vogais (A) = 5 Álgebra Booleana O isomorfismo entre a álgebra Booleana, a teoria dos conjuntos e a lógica proposicional, garante que para cada teorema, em qualquer um destes paradigmas, existe um teorema correspondente nos outros paradigmas. Isomorfismo Teoria dos conjuntos Lógica Proposicional 6 3

4 CONJUNTOS DIFUSOS O conceito de conjunto difuso designa um conjunto em que a cada membro está associado um grau de pertença; o grau de pertença é uma variável contínua, em que valores elevados evidenciam um alto grau de pertença ao conjunto, enquanto valores baixos denotam um diminuto grau de pertença. Seja A um conjunto difuso definido em X. A função de pertença μ A é definida como: μ A : X [0,] 7 Seja X={ A, B, C,, Z, W}, o conjunto das letras do abecedário O conjunto das vogais: Vogais = {A, E, I, O, U }, pode ser definido pela função de pertença: μ Vogais 0 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S U V X Z W X Vogais = {A/; B/0; C/0; D/0; E/;, H/0; I/; ; N/0; O/,, U/, V/0,,W/0} μ A : X {0,} 8 4

5 Seja um conjunto de alunos { Rita ( ano); Paulo (5 anos); José (25 anos); Maria (50 anos), Ana (70 anos)}. Uma forma possível de caracterizar o grau de juventude no Universo do discurso, seria: μ jovens 0 Ana Maria José Paulo Rita X Jovens={ Ana/0.0; Maria/0.2; José/0.7; Paulo/0.9, Rita/.0}. 9 Exemplo: função pertença de um conjunto difuso de números reais próximos de 0, ver figura. 2 ( ) exp( - ) μ x = x A 0 5

6 Exemplo: A temperatura atmosférica pode ser interpretada como uma variável linguística, cujo conjunto dos seus termos T(temperatura) pode ser: T ( Temperatura ) = {"baixo", "moderado","alto"} em que, cada termo T é caracterizado por um conjunto difuso no universo do discurso U=[-0º, 40º]. Podemos interpretar: "baixa" a temperatura abaixo dos 5º C; "moderada" em torno dos 5ºC; "alta" para temperaturas superiores a 25ºC. Podemos associar a esses termos os conjuntos difusos cujas funções de pertença estão representado na figura. 0,8 0,6 0,4 0,2 0 Baixo Moderado Alto ºC 2 6

7 OPERAÇÕES SOBRE CONJUNTOS X A A A =X A Na lógica bivalente tem-se que: A A = X A A = Na lógica difusa geralmente tem-se que: A A X A A 3 Função Complemento Definição: A função complemento do conjunto A, ca ou, pode ser definida pela função c: [0,] [0,] que assinala um valor cada valor de pertença de um qualquer conjunto difuso A. a = a Complemento de a a =, - < λ < + λa ( ) w w a = a, 0< w< Complemento λ (Classe Sugeno) Complemento w (Classe de Yager) 4 7

8 w =4 w=2.5 w =.8 w =.4 w =.2 w = w=0 x 0.5 w = w = w = w = w = x Funções Complemento w (Classe de Yager) para vários valores de w 5 Função de Intersecção de conjuntos difusos Definição: A intersecção de dois conjuntos difusos A e B é especificada por uma operação binária no intervalo unitário * : [0,] [0,] [0,] ou seja, para cada elemento x do conjunto Universo X, esta função toma como argumentos os par de pertença de x em A e B. 6 8

9 Resulta da aplicação desta função um grau de pertença de x no conjunto de intersecção de A com B, dado por: ( x) ( x) ( x) μa B = μa μb a b = min{a,b} a b = a b b = max{0, a+b-} a se b= a b= b se a= 0 se a,b < Produto Lógico ou Intersecção Produto Algébrico Produto Limitado Produto Drástico 7 8 9

10 Função de Reunião de conjuntos difusos Definição: A união de dois conjuntos difusos A e B é especificado por uma operação binária no intervalo unitário * : [0,] [0,] [0,] ou seja, para cada elemento x do conjunto Universo X, esta função toma como argumentos os par de pertença de x em A e B. 9 A função um grau de pertença de x no conjunto de união de A com B é dado por: ( x) ( x) ( x) μa B = μa + μb x y = max{x,y} x+ y = x + y - x y x y = min{, x+y} x se y = 0 x y = y se x = 0 se x,y > 0 Soma Lógica ou União Soma Algébrica Soma Limitada Soma Drástica 20 0

11 2 Relação e composição A relação dos conjuntos bivalentes X, X 2,, X n é um subconjunto do espaço produto cartesiano, referido como ( ) R X, X,, X X X X 2 n 2 A relação R é binária, pode ser definida por uma. função característica, que assume apenas os valores 0 ou. ( ) R x,x,,x 2 n n ( ) sse x,x, 0 outros 2 =,x R n 22

12 Exemplo: Seja R uma relação dos seguintes conjuntos: X={Portugal (P), EUA, Inglaterra (UK), Canadá (C) } ; Y={ libra, dólar, euro} ; Z= {Europa, América}. A relação R associa o país à moeda e ao continente. Assim, a relação R pode ser representada pela seguinte matriz tridimensional função de pertença: P EUA UK C P EUA UK C libra libra dolar dolar 0 0 euro euro Europa America 23 Uma relação difusa é definida como um conjunto difuso no espaço produto dos conjuntos X, X 2,, X n, em que cada elemento x X X 2 Xn pode ter vários graus de pertença, geralmente representados por um valor real no intervalo [0,]: μ :X R [ ] i N X i 0, Exemplo: Seja R a relação difusa que relaciona a distância entre dois conjuntos de cidades: P V X={Coimbra, Lisboa, Porto} ; Y={Porto, Vila Real}: C L P

13 R(X,Z)= P(X,Y) Q(Y,Z) Composição max-min ( x,z ) = max min ( x, y ), ( y,z) μ μ μ PQ P Q y Y Composição min-max ( x,z ) = min max ( x, y ), ( y,z) μ μ μ P Q P Q y Y Para todo o x X e z Z. 25 Problema: Encontre a relação R(X,Z)= P(X,Y) Q(Y,Z) dos dois seguintes exemplos através da Composições max-min e min-max. x y x 2 y 2 z x 3 y 3 z 2 x x 2 x 3 0,2 0,8 0,9 0,7 0,7 0, y y 2 y 3 0,9 0,7 0, 0,8 z z

14 INTERPRETAÇÃO DA REGRA DIFUSA IF-THEN Um Sistema de Lógica Difusa mapeia os conjuntos difusos de entrada nos conjuntos difusos de saída. R ( ) : IF x is F and... and x is F THEN y is G l l l l n n 27 Cada regra l, IF-THEN, define um conjunto difuso F F F G l l l l 2 n no espaço produto U V. Uma regra é interpretada como uma implicação difusa F F F G l l l l 2 n Modus Ponens (MP): premissa : x is F premissa 2: IF x is F, THEN y is G consequência: y is G em que F e G são proposições. 28 4

15 SISTEMA DE LÓGICA DIFUSA REGRAS FUZIFICADOR DESFUZIFICADOR x em U Conjuntos Difusos em U INFERÊNCIA Conjuntos difusos em V y em V 29 O desfuzificador de centro de gravidade, especifica y* como o centro da área coberta pela função de pertença B, isto é: y* V = V y μ μ B' ' ( ) ( ) B y dy y dy 30 5

16 Exemplo: Neste exemplo, pretende-se mostrar a habilidade do uso de um sistema difuso na modelação de um sistema de várias entradas e várias saídas (MIMO, Multi-Input-Multi-Output), descrito pelo seguinte sistemas de equações às diferenças: y ( k) 2 + y2 ( k) ( ) ( ) 2 + y ( k) y( k + ) u( k) = + y ( k + ) y k y k u ( k) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) yˆ ( k + ) fˆ y k, y2 k u( k) = + yˆ 2( k ) fˆ + 2( ) 2 y k, y u k 2 k ( ), ( ) ( 2π 25 ), ( 2π 25) u k u k = sin k cos k pixeis 200 regras difusas 32 6

17 APLICAÇÕES A ESTUDAR

18

19 ROBÔ Sensor Farol Sonar Ultrasónico Sensor Contacto Sensor Chão 37 Farol Sonar Esquerdo Ângulo farol Sonar Frontal Sonar Direito Sensor Contacto 60º 60º 38 9

20

21 FAROL FAROL FAROL 4 CONTROLO DO PENDULO INVERTIDO w θ P=mg - peso T - binário 42 2

22 Y MODELO DIFUSO TSK ( ) ( ) l l l R : IF x,, is F and... and x is F THEN y = f x x n n l n A saída é agora uma função das variáveis de entrada, em alternativa a um conjunto difuso ( ) f,, x xn x ( ) f,, l x x n ( ) f,, n x x n y 43 Modelos Matemáticos Os modelos matemáticos são funções. Exige profundo conhecimentos matemáticos. Se o sistema é não-linear (tais como NN), a construção de um modelo exige um significativo esforço de calculo e esforço computacional. Os modelos lineares podem ser uma aproximação muito simplificada. Como encontrar as,2 funções apropriadas? 0,8 Y=-./( + EXP(-2*(X-5))) 0,6 0,4 0, X 44 22

23 Y Y Construção do Modelo (trad. regras ) - Regra para cada entrada => Largo nº de regras. - Unicamente uma regra é disparada para cada entrada. - Modelos não aperfeiçoados. If 0<x<, then y= If <x<2, then y=0.99 : If 8<x<0, then y=0,2 0,8 If 0<x<, then y=f(x) 0,4 If <x<2, then y=g(x) 0,2 : If 8<x<0, then y=h(x) 0 0, X 45 Construção do Modelo (SC/fuzzy) - Aproxima valores - As regras descrevem casos típicos (não uma regra para cada entrada). => Numero de regras reduzido. - Um grupo de regras são parcialmente disparados simultaneamente.,2 If x 0, then y If x 5, then y 0.5 If x 0, then y 0 0,8 0,6 0,4 0, X 46 23