Conjuntos e Relações Nebulosas (Fuzzy)

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1 Conjuntos e Relações Nebulosas (Fuzzy) Prof. Matheus Giovanni Pires EXA 868 Inteligência Artificial Não-Simbólica B Universidade Estadual de Feira de Santana

2 2 Operações Básicas Para sistemas que usam a Lógica Nebulosa, o processamento de informações é consistido de operações que são realizadas sobre os seus conjuntos nebulosos. Dentre estas operações, destacam-se a União, a Intersecção e o Complemento. Estas operações são definidas em função de operadores MAX e MIN.

3 3 Conjunto União (S-Norma) O conjunto união entre os conjuntos nebulosos A e B, pertencentes a um mesmo universo de discurso U, é formado por todos os valores máximos entre μ A (x) e μ B (x), para todo x U. μ A (x) () μ B (x) () = MAX (μ A (x), (),μμ B (x)) ())

4 4 Conjunto Intersecção (T-Norma) O conjunto intersecção entre os conjuntos nebulosos A e B, pertencentes a um mesmo universo de discurso U, é formado por todos os valores mínimos entre μ A (x) e μ B (x), para todo x U. μ A (x) μ B (x) = MIN (μ A (x), μ B (x))

5 5 Conjunto Complemento O complemento de um conjunto nebuloso normalizado A, pertencente a um universo de discurso U, é formado pela subtração de μ A (x) do valor unitário {} μ A (x) = A () - μ A (x) ()

6 6 Operações Básicas: exemplo Sejam os conjuntos nebulosos A e B, definidos no universo de discurso U = {, 2, 3, 4, 5} A = 0,2/ + 0,5/2 +,0/3 + 0,8/4 + 0,/5 B = 0,/ +,0/2 + 0,9/3 + 0,4/4 + 0,3/5 μ A (x) μ B (x) = 0,2/ +,0/2 +,0/3 + 0,8/4 + 0,3/5 μ A (x) μ B (x) = 0,/ + 0,5/2 + 0,9/3 + 0,4/4 + 0,/5 μ A (x) = 0,8/ + 0,5/2 + 0/3 + 0,2/4 + 0,9/5 μ B (x) = 0,9/ + 0/2 + 0,/3 + 0,6/4 + 0,7/5

7 7 Operações Básicas: exemplo 2 União μ(x) 0.9 A B C D E x

8 8 Operações Básicas: exemplo 2 Intersecção μ(x) 0.8 A B C D E x

9 9 Operações Básicas: exemplo 2 Complemento Complemento do conjunto nebuloso C μ(x) 0.9 A B C D E x

10 0 Transformações de Escala Existem vários tipos de funções que podem ser utilizadas para a realização de transformações de escalas em conjuntos nebulosos. As principais funções em tais propósitos são: Normalização Contração Dilatação Intensificação

11 Transformações de Escala Normalização Consiste em transformar um conjunto nebuloso A não normalizado, ado, o qual não seja vazio, em um conjunto nebuloso normalizado A normalização é efetuada após a divisão da função de pertinência do conjunto A pela sua altura μ x A( ) NORM( μ A( x)) =, onde x U ALT( A)

12 2 Transformações de Escala Contração Consiste em contrair (afinar) a função de pertinência, a qual está associada ada a um conjunto nebuloso A, em torno de seus valores máximos CONT x = x x U 2 ( μ A ( )) ( μ A ( )), ou p CONT ( μ ( x)) = ( μ ( x)), com p > A A

13 3 Transformações de Escala Contração: exemplo μ(x) ( ) p=,2 p=, x

14 4 Transformações de Escala Dilatação Consiste em dilatar (expandir) a função de pertinência em torno o de seus valores máximos DILAT ( μ ( x)) = μ ( x), x U A DILAT( μ ( x)) = ( μ ( x)), com p > A ou A A p

15 5 Transformações de Escala Dilatação: exemplo μ(x) ( ) p=,7 p=, x

16 6 Transformações de Escala Intensificação Consiste em incrementar os valores da função de pertinência que estão acima a de 0,5 e decrementar e e os respectivos valores que estão abaixo de 0,5 INTENS x x x 2 ( μa( )) = 2( μa( )) 0 μa( ) 0,5 2 2( μ A( x)) 0,5 μ A( x),0

17 7 Transformações de Escala Intensificação: exemplo μ(x) ( ) x intensificada

18 8 Operações de Agregação Consistem em combinar conjuntos nebulosos visando a obtenção de um único conjunto Admitindo-se N conjuntos nebulosos dados por A,A 2,..., A N, definidos em um universo de discurso U, então a função de pertinência μ B representando o conjunto nebuloso B, o qual é resultado da aplicação da operação de agregação AGR(.) sobre os elementos de A, A 2,..., A N é dada por: μ B (x) = AGR(μ A (x), μ A2 (x),..., μ AN (x); x U Alguns operadores de agregação podem ser agrupados como operadores compensatórios ou operadores medianos

19 9 Operadores Compensatórios Combinam operadores de intersecção e união, visando a produção de operadores de agregação que forneçam melhores resultados em determinadas situações Um dos principais p operadores compensatórios foi proposto por Zimmerman AGR(μ A (x),μ () B B( (x))=(-γ)(μ ))( )( A (x) μ () B B( (x))+γ(μ ( A (x) μ () B B( (x)) γ [0,] Os valores de pertinência resultantes desta agregação sempre estarão entre os valores de intersecção e união

20 20 Operadores Compensatórios Operador compensatório de Zimmerman: exemplo γ = 0,2 μ(x) Baixa Média Alta x

21 2 Operadores Compensatórios Operador compensatório de Zimmerman: exemplo γ = 0,5 μ(x) Baixa Média Alta x

22 22 Operadores Compensatórios Operador compensatório de Zimmerman: exemplo γ = 0,7 μ(x) Baixa Média Alta x

23 23 Operadores Medianos Nestes operadores, os valores de pertinência resultantes estão entre os valores mínimos e máximos das funções de pertinência que constituem o argumento de AGR(.) MIN (μ A (x),..., (),,μμ AN (x)) ()) AGR (μ A (x),..., (),,μμ AN (x)) ()) MAX (μ A (x),..., μ AN (x)) Os principais tipos de operadores medianos são Média Aritmética Média Geométrica Mínimo Máximo

24 24 Tipos de Operadores Medianos Média Aritmética Média Geométrica N AGR = μai ( x ) N i= AGR(.) = ( μ (x) )* μ (x)*...* μ (x)) N = A A2 AN Média Harmônica AGR(.) N = μai (x) Mínimo = μa μa2 μan AGR(.) MIN( (x), (x),..., (x)) Máximo = μa μa2 μan AGR(.) MAX( (x), (x),..., (x))

25 25 Tipos de Operadores Medianos Média Aritmética: exemplo μ(x) Baixa Média Alta x

26 26 Tipos de Operadores Medianos Média Geométrica: exemplo μ(x) Baixa Média Alta x

27 27 Tipos de Operadores Medianos Média Harmônica: exemplo μ(x) Baixa Média Alta x

28 28 Relações Nebulosas Uma relação matemática que indica como estão associados os elementos de um conjunto em relação à outro conjunto Em uma relação nebulosa, o nível de associação entre dois conjuntos nebulosos é fornecida através de graus de associação (valores entre 0 e ) entre os elementos pertencentes aos conjuntos Esse valor busca traduzir a intensidade com que os elementos estão relacionados Pode-se dizer que relações nebulosas são conjuntos nebulosos definidos em conjuntos universos que são produtos cartesianos

29 29 Relações Nebulosas Constituem uma forma de relacionar variáveis nebulosas de diferentes universos de discurso Uma relação nebulosa pode ser representada por (universo de discurso discreto): R( x,y ) (x,y) X Y R( x, y ) = μ /(x,y ); (x,y) X Y Σ não representa o operador de soma aritmética, representa concatenação

30 30 Relações Nebulosas Seja a relação nebulosa definida por uma expressão linguística: x está em torno de y, onde x Xey Y, cujos universos de discurso discretos são X = {x, x 2, x 3 } e Y = {y, y 2, y 3 } R(x,y) = 0,8/(x,y ) + 0,3/(x,y 2 ) + 0,7/(x,y 3 ) + 0,4/(x 2, y ) + 0,8/(x 2, y 2 ) + 0,8/(x 2, y 3 ) + 0,/(x 3, y ) +,0/(x 3, y 2 ) + 0,4/(x 3, y 3 )

31 3 Relações Nebulosas R(x,y) y)=08/(x 0,8/(x, y )+03/(x 0,3/(x, y 2 )+07/(x 0,7/(x, y 3 )+ 0,4/(x 2, y ) + 0,8/(x 2, y 2 ) + 0,8/(x 2, y 3 ) + 0/(x 0,/(x 3, y )+0/(x,0/(x 3, y 2 )+04/(x 0,4/(x 3, y 3 ) Formas de representação Matriz de Relação Nebulosa Grafo 0,8 0,3 0,7 R( x,y) = 0,4 0,9 0,6 0,,0 0,4 x 08 0,8 x 2 y y 2 x 3 y 3

32 32 Operações com Relações Nebulosas Similares às operações definidas para os conjuntos nebulosos Dadas duas relações nebulosas R(x,y) y)es(xy) S(x,y), onde x X e y Y, as principais operações são: Operação de União μ = MAX ( μ, μ ) R( x,y ) S( x,y ) R(x,y ) S( x,y ) (x,y) X Y Operação de Intersecção μ MIN ( μ, μ ) R( x,y) S(x,y) = R(x,y) S(x,y) (x,y) X Y Operação de Complemento μ = μ _ R( x,y ) R( x,y )

33 33 Operações com Relações Nebulosas Exemplo Sejam as relações nebulosas R(x,y) e S(x,y), onde x X e y Y, representadas por: 0, 0,9 0,6 0,2 0,4 0,3 R( x, y ) =,0 0,4 0,2 S( x,y ) = 0,9 0,7 0, 0,3 0,5 0,7,0 0,9 0,2

34 34 Operações com Relações Nebulosas União entre R(x,y) e S(x,y) = 02 0,2 09 0,9 06 0,6,0 0,7 0,2 0,0 09 0,9 07 0,7 Intersecção entre R(x,y) e S(x,y) = 0 0, 04 0,4 03 0,3 0,9 0,4 0, 03 0,3 0, ,2 Complemento de S(x,y) = 08 0,8 06 0,6 07 0,7 0, 0,3 0,9 0 0, 0,8

35 35 Composição de Relações Nebulosas A combinação de duas ou mais relações nebulosas, definidas em espaços distintos, pode ser feita através de operadores que permitem a composição das referidas relações Fundamental para a computação baseada em regras nebulosas As principais técnicas de composição de relações nebulosas são: Composição MAX-MIN Composição MAX-PROD

36 36 Composição MAX-MIN MIN Sejam duas relações nebulosas R(x,y) y)es(yz) S(y,z) definidas respectivamente nos produtos cartesianos X Y ey Z A composição MAX-MIN destas relações é denotada por R S(x,z) e definida como: R S(x,z) = MAX { MIN (μ R(x,y), μ S(y,z) ) } () A matriz resultante da composição será definida no produto cartesiano X Z

37 37 Composição MAX-MIN MIN Exemplo Sejam duas relações nebulosas R(x,y) e S(y,z) definidas das respectivamente e te nos produtos cartesianos a X Y e Y Z 0, 0,6 0,4 0,9 R( x,y ) = 0,8,0 0,8 0,3 0,5 0,7 0,2 0 0,2 0,8 0, ,4 0,3 0, S( y,z ) =,0 0 0,7 0,9 0,7 0,2 μ(x,z ) μ(x,z 2 ) μ(x,z 3 ) R S(x,z) = μ μ μ (x 2,z ) (x 2,z 2 ) (x 2,z 3 ) μ(x μ μ 3,z ) (x 3,z 2 ) (x 3,z 3 )

38 38 Composição MAX-MIN MIN Exemplo A determinação de cada um dos elementos da matriz representando R S(x,z) é efetuada utilizando a equação () μ(x, z ) = MAX{ MIN(0,;0,2); MIN(0,6;0,4); MIN(0,4;,0); MIN(0,9;0,9) } μ(x, z 2 ) = MAX{ MIN(0,;0,8); MIN(0,6;0,3); MIN(0,4;0); MIN(0,9;0,7) } μ(x, z 3 ) = MAX{ MIN(0,;0,6); MIN(0,6;0,); MIN(0,4;0,7); MIN(0,9;0,2) } μ(x 3, z 3 ) = MAX{ MIN(0,5;0,6); MIN(0,7;0,); MIN(0207) MIN(0,2;0,7); MIN(002)} MIN(0;0,2)

39 39 Composição MAX-MIN MIN Exemplo Assim, tem-se a seguinte matriz: 0,9 0,7 0,4 R S(x,z) = 0,8 0,8 0,7 04 0,4 05 0,5 05 0,5

40 40 Composição MAX-PROD Sejam duas relações nebulosas R(x,y) y)es(yz) S(y,z) definidas respectivamente nos produtos cartesianos X Y ey Z A composição MAX-PROD destas relações é denotada por R S(x,z) e definida como: R S(x,z) = MAX { μ R(x,y) * μ S(y,z) } (2) A matriz resultante da composição será definida no produto cartesiano X Z

41 4 Composição MAX-PROD Exemplo A determinação de cada um dos elementos da matriz representando ese R S(x,z) )ée efetuadaetuada utilizando a equação (2): μ(x, z ) = MAX{ (0,*0,2); (0,6*0,4); (0,4*,0); (0,9*0,9) } μ(x, z 2 ) = MAX{ (0,*0,8); (0,6*0,3); (0,4*0); (0,9*0,7) } μ(x, z 3 ) = MAX{ (0,*0,6); (0,6*0,); (0,4*0,7); (0,9*0,2) } μ(x 3, z 3 ) = MAX{ (0,5*0,6); (0,7*0,); (0,2*0,7); (0*0,2) } Assim, tem-se a seguinte matriz: 0,8 0,63 0,28 R S(x,z ) = 0,8 0,64 0,56 0,28 0,40 0,30