Sistema de Inferência Fuzzy baseado em Redes Adaptativas (ANFIS) Sistema de Inferência Fuzzy

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1 Redes Neurais Sistema de Inferência Fuzzy baseado em Redes Adaptativas (ANFIS) Sistema de Inferência Fuzzy Um Sistema de Inferência Fuzzy (SIF) é um tipo especial de Sistema Baseado em Conhecimento (SBC). A Base de Conhecimento é composta de um conjunto de regras fuzzy. A Máquina de Inferência implementa um mecanismo de inferência fuzzy. Em geral, as entradas são valores medidos de variáveis de entrada e a saída é um valor de uma variável real. x Interface crisp/fuzzy Máquina de Inferência Interface fuzzy/crisp y Base de Conhecimento 2

2 Exemplo: controlador de potência de refrigeração 3 Representando conhecimento impreciso Na lógica fuzzy, LF, o conhecimento é expresso por uma representação simbólica para uma expressão em linguagem natural, envolvendo variáveis lingüísticas. Estas expressões formam proposições que podem ser avaliadas segundo o conhecimento de um especialista, e usadas para efetuar ações de controle. P. ex., a expressão a água está muito fria é uma proposição que pode receber um valor correspondente ao grau de sua validade, estimado por um determinado avaliador. Este grau representa o valor-verdade da proposição, para este avaliador e é chamado de grau de pertinência. Na LF, os graus de pertinência podem assumir qualquer valor no intervalo [, ]. O valor, corresponde ao valor lógico falso ; todos os outros valores correspondem a diferentes graus de verdadeiro, sendo o grau máximo, expressando a idéia de certamente verdadeiro. A LF difere, portanto, da lógica booleana, por ser uma lógica multivalorada, com valores-verdade contínuos. Repare também, que uma mesma proposição pode receber diferentes graus de pertinência, correspondendo a avaliações por diferentes especialistas. 4

3 Conjuntos fuzzy Os conjuntos fuzzy expressam o significado dos valores lingüísticos (valor) relacionados a uma variável lingüística (atributo). Uma variável lingüística, por exemplo, temperatura, pode estar associada a um conjunto de valores lingüísticos, como muito frio, frio, morna, quente, muito quente. Cada valor lingüístico está associado a um conjunto fuzzy, que expressa o grau de pertinência (valor-verdade) correspondente de um determinado valor de temperatura, p. ex. em ºC. Os conjuntos fuzzy são utilizados para quantificar os graus de incerteza correspondentes à avaliação de um determinado conceito (instância). Os valores lingüísticos correspondem a predicados imprecisos, por exemplo: muito_frio (x) jovem (x) bem_mais_alto_que (x,y) 5 Exemplo de Conjuntos Fuzzy representados por funções de pertinência Variável Lingüística: Temperatura Termos lingüísticos: Fria, Morna, Quente Conjuntos Fuzzy: µ Fria (T), µ Morna (T), µ Quente (T) µ Fria (T) Fria µ Quente (T) Quente T T µ Morna (T) Morna µ(t) Fria Morna Quente T T 6

4 Raciocínio aproximado Raciocínio aproximado é a forma mais conhecida de lógica fuzzy, cobrindo várias regras de inferência cujas premissas contêm proposições fuzzy. Uma proposição fuzzy é uma representação simbólica para uma expressão em linguagem natural, envolendo variáveis lingüísticas. As regras de inferência são expressas como declarações Se - Então. Existem dois métodos diretos importantes de raciocínio fuzzy: o método direto de Mamdani e a modelagem fuzzy de Takagi-Sugeno (T-S). O método de Mamdani é o mais popular baseado numa estrutura simples de operações min-max, envolvendo regras de inferência do tipo: Se x é A e y é B Então z é C onde A, B e C são conjuntos fuzzy. O método de T-S modela o consequente da regra como uma equação linear Se x é A e y é B Então z = ax + by + c Neste caso, devemos aplicar técnicas de modelagem usando dados de entrada-saída para obter as regras (aprendizagem dos parâmetros, a, b, c). 7 Implicação fuzzy A declaração condicional Se - Então representa uma regra de produção (RP) envolvendo predicados imprecisos. Uma regra de produção é expressa por uma relação fuzzy representando uma implicação fuzzy (IF). A escolha da função IF reflete critérios intuitivos e o efeito do conectivo também utilizado para conectar as diversas regras da base de conhecimento. As características básicas desejáveis de uma função IF são: suavidade, inferência irrestrita, simetria do MPG (Modus Ponens Generalizado) e do MTG (Modus Tollens Generalizado), medida de propagação da incerteza. Uma determinada IF satisfaz um conjunto de critérios relacionados às regras de inferência para raciocínio qualitativo e alguns modificadores lingüísticos: MPG MTG P : x é A P : y é B P 2 : Se x é A então y é B P 2 : Se x é A então y é B C: y é B C: x é A sendo A e B obtidos pelos modificadores: muito, mais ou menos, não. 8

5 Base de Regras A representação genérica típica do conhecimento se dá através de um conjunto de regras de múltiplas entradas e única saída (MISO, multiple input single output), denominado base de regras (BR) BR = {R MISO, R 2 MISO,, R n MISO} onde R i MIMO representa a regra genérica: Se (x é A i e y é B i ) então z = f i (x,y) = p i x + q i y + r i O antecedente de R i forma um conjunto fuzzy A i B i no espaço do produto cartesiano X Y. O conseqüente de uma regra i é o valor correspondente à função f i (x,y), calculada a partir dos valores de entrada (x,y), a instância apresentada. Assim, a i-ésima regra R i é representada pela implicação: R i MISO : (A i B i ) z 9 Representação de um conjunto de regras x SIF y y f f 2 R R 2 R = A B f R 2 = A B 2 f 2 B 2 A B 2 A 2 B 2 R 3 = A 2 B f 3 R 4 = A 2 B 2 f 4 A B = A B B A B A A 2 B A 2 x A A 2 f 3 R 3 R 4 x B f 4 B 2 x R R 2 R 3 R 4 R i A B f F F F f A B 2 F f 2 F F f 2 A 2 B F F f 3 F f 3 A 2 B 2 F F F f 4 f 4

6 Resumo do método T-S Para efeitos de apresentação, considere o conjunto de duas regras: R : Se x é A e y é B, então z = f (x,y) = p x + q y + r R 2 : Se x é A 2 e y é B 2, então z = f 2 (x,y) = p 2 x + q 2 y + r 2 onde A, A 2, B, B 2, são conjuntos fuzzy e f, f 2 são funções lineares ajustadas. Suponha que x e y sejam as medidas físicas das entradas relativas às variáveis x e y das regras, respectivamente. Determine a força de disparo de cada regra, w i pelas expressões: w = A (x ) B (y ) w 2 = A 2 (x ) B 2 (y ) Obtenha a conclusão global do conjunto de regras, z, pela média dos valores de saída de cada regra, f (x,y ), f 2 (x,y ), ponderada pelas forças de disparo: w f + w 2 f 2 f = = w f + w 2 f 2 w + w 2 Arquitetura de um Sistema Fuzzy T-S Ai (x ) A A 2 A 3 X X 2 A B B 2 B 3 R R 2 R 3 A 2 R 4 R 5 R 6 x A 3 R 7 R 8 R 9 x * * Fuzzificação Inferência Defuzzificação Bi ( ) B B 2 B 3 R : Se X é A e X 2 é B, então y = f (x,y) = p x + q y + r R 2 : Se X é A e X 2 é B 2, então y = f 2 (x,y) = p 2 x + q 2 y + r 2 R 3 : Se X é A e X 2 é B 3, então y = f 3 (x,y) = p 3 x + q 3 y + r 3 R 4 : Se X é A 2 e X 2 é B, então y = f 4 (x,y) = p 4 x + q 4 y + r 4 R 4 : Se X é A 2 e X 2 é B 2, então y = f 5 (x,y) = p 5 x + q 5 y + r 5 R 6 : Se X é A 2 e X 2 é B 3, então y = f 6 (x,y) = p 6 x + q 6 y + r 6 R 7 : Se X é A 3 e X 2 é B, então y = f 7 (x,y) = p 7 x + q 7 y + r 7 R 8 : Se X é A 3 e X 2 é B 2, então y = f 8 (x,y) = p 8 x + q 8 y + r 8 R 9 : Se X é A 3 e X 2 é B 3, então y = f 9 (x,y) = p 9 x + q 9 y + r 9 2

7 Arquitetura de um Sistema Fuzzy T-S Ai (x ) X X 2 B B 2 B 3 A A 2 A 3 A2 (x * ) A3 (x * ) A A 2 R R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 f = w 4 f 4 + w 5 f 5 + w 7 f 7 + w 8 f 8 x * x * 2 Bi ( ) x * x Fuzzificação A (x * ) A2 (x * ) A3 (x * ) B (* ) B2 (* ) B3 (* ) A 3 R 7 R 8 R 9 Inferência w 4, f 4 w 5, f 5 w 7, f 7 w 78, f 8 Defuzzificação B B 2 B 3 B (* ) B2 (* ) * R 4 : Se X é A 2 e X 2 é B, então y = f 4 (x,y) = p 4 x + q 4 y + r 4 R 5 : Se X é A 2 e X 2 é B 2, então y = f 5 (x,y) = p 5 x + q 5 y + r 5 R 7 : Se X é A 3 e X 2 é B, então y = f 7 (x,y) = p 7 x + q 7 y + r 7 R 8 : Se X é A 3 e X 2 é B 2, então y = f 8 (x,y) = p 8 x + q 8 y + r 8 3 Sistema de Inferência Fuzzy baseado em Redes Adaptativas (ANFIS Adaptive-Network-based Fuzzy Inference System) O ANFIS se baseia no método de raciocínio fuzzy do tipo Takagi-Sugeno e implementa uma arquitetura baseada em redes adaptativas funcionalmente equivalente. O ANFIS é um sistema híbrido na medida que ele incorpora o conhecimento inicial do domínio e pode ser treinado com um arquivo de dados. A arquitetura pode identificar as funções de pertinência quase ótimas e outros parâmetros de uma base de regras para atingir um mapeamento de entradasaída desejado. O treinamento do sistema se dá através de um algoritmo de descida de gradiente. 4

8 Sistema de Inferência Fuzzy Exemplo de SIF de 2 entradas x e y e uma saída z, com uma BR com 2 regras: R : Se x é A e y é B, então z = f (x,y) = p x + q y + r R 2 : Se x é A 2 e y é B 2, então z = f 2 (x,y) = p 2 x + q 2 y + r 2 A B w A 2 B 2 w 2 x y x y camada camada 2 camada 3 A A (x) w N A B (y) 2 A2 (x) B N w B 2 2 B2 (y) f = p x + q y + r w f + w 2 f 2 f = = w f + w 2 f 2 w + w 2 f 2 = p 2 x + q 2 y + r 2 camada 4 x y w w f w 2 w 2 f 2 x y camada 5 f 5 Descrição da funcionalidade dos nós Camada : cada nó implementa uma função de pertinência diferenciável: O i = Ai (x), onde x é a entrada do nó i e A i é o rótulo língüístico associado. Exemplos de funções apropriadas, em forma de sino no intervalo [, ]: Ai (x) = x c ( i ) 2 +[ ] b i a i ou Ai (x) = x c ( i ) 2 exp{ [ ] b i} a i x 2,5 ( ) 2 + [ ] 2 x 2 ( ) 2 + [ ] 3 x 2 ( ) 2 exp [ ] 2 ( x 2 ) 2 exp [ ] 3,5 6

9 Camada 2: cada nó (círculo) calcula a força de disparo de uma regra, w i, p. ex.: O 2 = A (x). B (x) = w, O 2 2 = A2 (x). B2 (x) = w 2 Camada 3: cada nó (círculo) calcula a força de disparo normalizada de uma regra, w : w O 3 = w + w = w 2 w 2 O 3 2 = w + w = w 2 2 Camada 4: cada nó (quadrado) calcula o conseqüente de uma regra: O 4 = w (p x + q y + r ) = w f O 4 2 = w 2 (p 2 x + q 2 y + r 2 ) = w 2 f 2 O conjunto de parâmetros dos conseqüentes é: {p i, q i, r i } Camada 5: o nó (círculo) calcula a soma dos conseqüentes das regras individuais: O 5 = w f + w 2 f 2 = f 7 Medida de erro Considerando que um dado conjunto de treinamento tenha P elementos, nós podemos definir uma medida de erro instantâneo para o p-ésimo elemento ( < p < P) do conjunto de treinamento como a soma dos erros quadrados na camada de saída (L): #(L) E p = (T m,p O L m,p ) 2 m = onde T m,p é o m-ésimo componente do p-ésimo vetor de saída alvo e O L m,p é o m- ésimo componente do vetor de saída real, produzido pela apresentação do p- ésimo vetor de entrada.. Assim, a medida de erro global da rede para todo o conjunto de treinamento é P E = E p p = 8

10 Procedimento para descida do gradiente Inicialmente definimos uma taxa de erro, que é a derivada do erro instantâneo E p em relação à saída do i-ésimo nó da camada de saída (L). E p = 2 (T i,p O L i,p ) O L i,p Para um nó interno (k, i) a taxa de erro pode ser derivada pela regra da cadeia: #(k + ) E p E = p O k + m,p O k O k + i,p m,p m = O k m,p ou seja, a taxa de erro de um nó interno pode ser expressa como a combinação linear das taxas de erro dos nós da próxima camada. 9 Se é um parâmetro da rede adaptativa, nós podemos definir a influência de um ajuste de no erro instantâneo E p pela derivada: E p E = p O * O * O* S Onde S é o conjunto de nós cujas saídas dependem de diretamente. Com isso, a derivada do erro global E em relação a é: E E = p Desta forma, o ajuste do parâmetro se dá segundo a expressão: P p = = E 2

11 Identificação de um sistema dinâmico 2 Estrutura ANFIS utilizada 22

12 Resultado da previsão com o ANFIS 23 Predição de uma dinâmica caótica Mackey-Glass 24

13 Estrutura ANFIS utilizada 25 Resultado da previsão com o ANFIS 26