Incertezas na Computação Científica: Abordagens via Matemática Intervalar e Teoria Fuzzy

Transcrição

1 Incertezas na Computação Científica: Abordagens via Matemática Intervalar e Teoria Fuzzy Rogério Vargas Dr. Luciano Vitoria Barboza, orientador Dra. Graçaliz Pereira Dimuro, co-orientadora Pelotas-RS, 13 junho 2007

2 1 Introdução Motivação História Objetivo 2 Matemática Intervalar Definição Operações 3 Teoria Fuzzy Definição Operações Aritméticas com Números Fuzzy 4 C for extended Scientific Computing Definição Características Tipos de Dados Codificação 5 Estudo de Caso Problema Real Soluções Métodos Entrada de Dados Implementação 6 Resultados Numéricos Matemática Intervalar Teoria Fuzzy 7 Conclusões e Trabalhos Futuros Conclusões Parciais

3 Motivação Motivação do Trabalho Tipos de Erros Dados (Equipamento de Medição) Modelagem (Simplificações) Numéricos (Computadores e Arredondamento)

4 História Matemática Intervalar Aritmética Intervalar, Moore em 1965 Matemática Intervalar, Leslie Fox em 1974 Críticas feitas: Resultados pessimistas, demasiadamente grandes Processamento computacional Aritmética avançada, software e hardware

5 História Teoria Fuzzy Teoria Fuzzy, Zadeh em 1965 Teoria de Conjuntos Variáveis imprecisas, vaga

6 História C-XSC Década de 60, suportar uma aritmética mais poderosa que a aritmética de ponto-flutuante ordinária Ausência de linguagens de alta exatidão em programação numérica e computação científica Estender linguagens para computações científicas, conhecidas como XSC Pascal-XSC e C-XSC, em 1988, Universidade de Wuppertal (Alemanha)

7 Objetivo Objetivo Geral Objetivo Geral Analisar e implementar um algoritmo para o tratamento das incertezas aplicado a um problema real utilizando como metodologias a Matemática Intervalar e a Teoria Fuzzy com o uso da biblioteca C-XSC.

8 Definição Conceitos da Matemática Intervalar A Matemática Intervalar considera um conjunto de métodos para manipulação de intervalos numéricos que aproximam dados incertos. Oliveira, 2005 Intervalos representam valores desconhecidos e contínos. Kulisch, 2003 Intervalos controlam o erro de arredondamento e representam dados inexatos, aproximações e erros de truncamento de procedimentos.

9 Operações Adição e Subtração Sejam X, Y IR, com X = [2, 4] e Y = [1, 3]. Adição X + Y = [(x 1 + y 1 ) ;(x 2 + y 2 )] Resultado: [3, 7] Subtração Resultado: [ 1, 3] X Y = [(x 1 y 2 ) ;(x 2 y 1 )]

10 Operações Multiplicação e Divisão Sejam X, Y IR, com X = [2, 4] e Y = [1, 3]. Multiplicação X Y = [min{x 1 y 1, x 1 y 2, x 2 y 1, x 2 y 2 }; Resultado: [2, 12] max{x 1 y 1, x 1 y 2, x 2 y 1, x 2 y 2 }] Divisão X Y = [ { x1 min, x 1, x 2, x } { 2 x1 ; max, x 1, x 2, x }] 2 y 1 y 2 y 1 y 2 y 1 y 2 y 1 y 2 com 0 / [y 1 ; y 2 ]. Resultado: [0, 6666, 4]

11 Definição Introdução Cox, 1994; Cox, 1995; Kasabov, 1996; Terano, 1992 e Zadeh, 1965 Também conhecida com Conjuntos Nebulosos. Nas últimas décadas, pesquisadores da inteligência artificial vêm trabalhando com a teoria dos Conjuntos Fuzzy. Kasabov, 1996; Kosko, 1992, Tsoukalas, 1997 Crescimento no número de pesquisas, desenvolvimento de máquinas com controladores Fuzzy, como: aspirador de pó, ar condicionados, robôs autônomos e até mesmo chips Fuzzy VLSI.

12 Definição Definição de Conjuntos Fuzzy Teoria dos Conjuntos Clássicos Um elemento pertence ou não pertence a um determinado conjunto. χ A (x) = 1, χ A (x) = 0, se x é um elemento do conjunto A, e se x não é um elemento do conjunto A Teoria dos Conjuntos Fuzzy Atribuindo a noção de pertinência, a premissa de pertence ou não pertence é quebrada. µ A (x) : U [0, 1] onde U é o conjunto universo de discurso e A é um conjunto fuzzy.

13 Definição Exemplo de Quente

14 Definição Especialista do Conhecimento Abaixo de 1, 60m, não significa ser alto Acima de 1, 80m, definitivamente significa ser alto Engenheiro do Conhecimento, define qual o desenho.

15 Definição Tipos de Representações Curva-S Triangular Curvas Tipo Sino Trapezoidal

16 Operações Aritméticas com Números Fuzzy Operações Algébricas Fuzzy Números Fuzzy Triangulares Considere um Número Fuzzy representado na forma Triangular.

17 Operações Aritméticas com Números Fuzzy Operação Algébrica de Adição Sejam dois Números Fuzzy Triangulares A e B, com A = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3), então A(+)B = (a1, a2, a3)+(b1, b2, b3) = (a1+b3, a2+b2, a3+b1) Exemplo Com A = (2, 3, 6) e B = (1, 4, 5), então temos que A(+)B = (3, 7, 11).

18 Definição Escolha da Biblioteca C-XSC Biblioteca destinada à Computação Científica Alta exatidão e verificação automática de resultados Proporciona condições especiais à implementação de algoritmos numéricos sofisticados

19 Características Características da Biblioteca C-XSC Aritmética intervalar para números reais, complexos, intervalares complexos Vetores e matrizes dinâmicos Subarrays de vetores e matrizes Tipos de dados de alta exatidão Operadores aritméticos predefinidos com alta exatidão Controle de arredondamento dos dados de entrada e saída Biblioteca de rotinas para a resolução de problemas matemáticos Resultados numéricos com rigor matemático

20 Tipos de Dados Tipos de Dados Numéricos Simples real interval (intervalo de reais) complex (número complexo) cinterval (intervalo complexo)

21 Tipos de Dados Tipos de Dados aplicados a Matrizes e Vetores rvector (vetor de reais) ivector (vetor de intervalos reais) cvector (vetor de complexos) civector (vetor de intervalos complexos) rmatrix (matriz de reais) imatrix (matriz de intervalos reais) cmatrix (matriz de complexos) cimatrix (matriz de intervalos complexos)

22 Codificação Exemplo de Programação com C-XSC

23 Problema Real Esquema de Transmissão de Energia Elétrica Barra PV Barra PQ

24 Problema Real Fluxo de Potência em Redes de Energia Elétrica Sistema de equações não-lineares (e 2 i + f 2 i )G ii (e 2 i + f 2 i )B ii nx [e i (e k G ik f k B ik ) + f i (f k G ik e k B ik ) P gi + P di = 0 (1) k=1 k 1 nx [f i (e k G ik f k B ik ) e i (f k G ik + e k B ik ) Q gi + Q di = 0 (2) k=1 k 1 e 2 i f 2 i V esp i 2 = 0 (3) Questões Suprir a demanda? Linhas de transmissão suportam a energia?

25 Soluções Abordagens para o Fluxo de Potência com Incertezas Matemática Intervalar Teoria Fuzzy

26 Métodos Métodos para Resolução do Fluxo de Potência Newton-Raphson Krawczyk f(x) = f(x k ) + f(x) x x x=x k K( x, X = x Cf( x) (I CJ(X))( x X)

27 Entrada de Dados Arquivo de Entrada de Dados 1 **** Sistema de 6 barras (R.N. Dhar) **** barra barra barra barra barra barra

28 Implementação Implementação Intervalar Regras Demandas convertidas para intervalos 1% de incerteza nas demandas pontuais

29 Implementação Implementação Fuzzy Regras Especialista define as regras Fuzzificação nas demandas de potências ativa e reativa Determinação dos intervalos e suas pertinências Execução de dois fluxos de potência intervalares Defuzzificação dos resultados de magnitudes de tensão e ângulos de fase

30 Matemática Intervalar Resultados Resultado Pontual Barra Magnitude(pu) Ângulo( ) 3 0, , 7277 MatLab com IntLab Barra Magnitude(pu) Ângulo( ) 3 [0, , 9174] [ 12, , 3934] C++ com C-XSC Barra Magnitude(pu) Ângulo( ) 3 [0, , 9104] [ 12, , 2942]

31 Teoria Fuzzy Fuzzificação das demandas para a Barra membership functions membership functions real demand reactive demand

32 Teoria Fuzzy Resultados Fuzzy para a Barra 3 Intervalos [0, , 9104] [0, , 9291] membership functions membership functions phase angle of voltage (degree) magnitude of voltage (pu)

33 Conclusões Parciais Conclusões do Trabalho Matemática Intervalar e Teoria Fuzzy aplicadas ao Fluxo de Potência com Incertezas Comparação dos Resultados (IntLab e C-XSC) C-XSC apta a implementação dos algoritmos de Newton-Raphson e Krawczyck Utilização da Matemática Intervalar e Teoria Fuzzy com C-XSC C-XSC possui confiabilidade e exatidão nos cálculos aritméticos

34 Conclusões Parciais Etapas a realizar Padronizar todos os gráficos e figuras Complementar o referencial teórico da Matemática Intervalar e da Teoria Fuzzy Padronizar o tipo de variável para os exemplos na Matemática Intervalar e Teoria Fuzzy Inserir exemplos de codificações no capítulo do C-XSC Executar o programa em sistemas reais Executar a fuzzificação e defuzzificação em sistemas maiores que o IEEE-6 Análise do desempenho das metodologias Análise qualitativa dos resultados Escrita de Artigos e Dissertação

35 Conclusões Parciais Obrigado pela atenção...