Histórico da Lógica Fuzzy

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1 Histórico da Lógica Fuzzy Lógica Fuzzy Huei Diana Lee e Newton Spolaôr Artigo de Lofti A. Zadeh Universidade da Califórnia em Berkley, EUA, 1965 Ruptura com a Lógica Aristotélica Universidade Estadual do Oeste do Paraná (UNIOESTE) Foz do Iguaçu, Brasil Desenvolvimento da Lógica Fuzzy C.R.O. Conjuntos Fuzzy - Seminários em I. A. 4 Motivação para Lógica Fuzzy(difusa) Se definirmos que uma pessoa jovem tem idade entre 10 e 20 anos, uma pessoa com 20 anos e um dia não é mais jovem... Se dissermos que uma pessoa é alta se tiver mais de 1,75m, uma pessoa que tem 1,749 não é alta... Assim, são criadas barreiras não naturais quando definimos certos conceitos A teoria de conjuntos fuzzy permite lidar naturalmente com conceitos como: alto, pouco alto, muito alto, baixo muito quente, muito rápido e cria uma transição natural entre conjuntos 2 Tipos de Incerteza e seus Modelos Incerteza estocástica: A probabilidade de acertar o alvo é 0.8 Incerteza léxica: "Homens Altos", "Dias Quentes", "Moeda Estável" Nós provavelmente teremos um bom ano de negócios A experiência do especialista A mostra que B está quase para ocorrer, porém, o especialista C está convencido de que não é verdade Muitas palavras e estimativas que nós usamos em nosso raciocínio diário não são facilmente definidas de forma matemática. Isso permite ao homem raciocinar em um nível abstrato! C.R.O. Conjuntos Fuzzy - Seminários em I. A. 5 Histórico da Lógica Fuzzy Preocupação com o Problema da Incerteza no início do Séc. XX (física quântica, redes telefônicas entre outros) Vários modelos que tentavam representar a incerteza Teoria da Probabilidade Conjuntos Crisp(convencionais) Definido como um subconjunto de um universo qualquer (conjunto universo X), que possui elementos desse universo Ex: Conjunto Universo: {aranha, abelha, baleia, galinha, cachorro, elefante, mosca, jacaré} Conjunto dos Animais Mamíferos: {baleia, cachorro, elefante} Apenas uma parcela dos animais formam os mamíferos Somente eles representam os mamíferos com 100% de certeza C.R.O. Conjuntos Fuzzy- Seminários em I. A. 3 C.R.O. Conjuntos Fuzzy - Seminários em I. A. 6 1

2 Conjuntos Crisp(convencionais) Função Característica A : X {0,1} 3. Inclusão * A B A(x) = 1 se e somente se x A A é subconjunto de B a,b,c a,b,c,d,e A(x) = 0 se e somente se x A Ex: A={a,b,c} B={a,b,c,d,e} A B C.R.O. Conjuntos Fuzzy - Seminários em I. A. 7 C.R.O. Conjuntos Fuzzy - Seminários em I. A. 10 Lógica Crisp A lógica aplicada aos conjuntos crispé baseada na lógica de Aristóteles Emprega o preceito da dualidade, ou seja, somente admite valores verdadeiro ou falsopara uma dada proposição Valor verdade de uma afirmação Raciocínio baseado em premissas e conclusões 4. Intersecção * A B Ex: A={a,b,c,d,e,f,g} B={0,1,2,3,e,f,g} A B = {e,f,g} a,b,c,d,e,f,g 0,1,2,3,e,f,g a,b,c,d e,f,g 0,1,2,3 A B C.R.O. Conjuntos Fuzzy - Seminários em I. A. 8 C.R.O. Conjuntos Fuzzy - Seminários em I. A Igualdade * A = B Ex: A= {a,b,c} B= {b,a,c} 2. Diferença * A B Ex: A= {a,c,b} a, b, c b, c, a a,c,b a,e,c,d 5. União * A B Ex: A={a,b,c,d,e,f,g} B={0,1,2,3,e,f,g} A B = {0,1,2,3,a,b,c,d,e,f,g} a,b,c,d,e,f,g 0,1,2,3,e,f,g 0,1,2,3, a,b,c,d,e,f,g B= {a,e,c,d} A B A B C.R.O. Conjuntos Fuzzy - Seminários em I. A. 9 C.R.O. Conjuntos Fuzzy - Seminários em I. A. 12 2

3 Conjuntos Fuzzy 6. Complemento * A Ex: U={a,b,c,d,e,f,g} A={a,b,c} A = {d,e,f,g} Complemento de A a,b,c,d,e,f,g A d,e,f,g A Complemento de A em relação a U Não empregam Valores verdade Um elemento pode pertencer com um certo grau a um dado conjunto Expressa valores linguísticos/ usa variáveis linguísticas Suporta modos de raciocínio aproximado O raciocínio exato corresponde a um caso limite do raciocínio aproximado O elemento de um conjunto fuzzy é representado por µ i /χ i, o que denota que o elemento χ i pertence ao conjunto fuzzy com grau µ i C.R.O. Conjuntos Fuzzy - Seminários em I. A. 13 C.R.O. Conjuntos Fuzzy - Seminários em I. A. 16 Propriedades dos Conjuntos Crisp 1. INVOLUÇÃO A negação de um conjunto negado resulta no mesmo conjunto Ex: A Conjunto B Universo A = {a,b,c} B = {a, b, c, d, e, f, g} A= A, onde A = {d,e,f,g} e A={a,b,c} Função de Pertinência É a função que define os grau de pertinência de cada elemento em um conjunto fuzzy µ A :U [0,1] Ex: Seja A X, com X sendo o conjunto Universo, A = {2,4,6,8,10} e A(x) a função de pertinência para um elemento x de A A(x) = x/10 A(x) = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1 Representação Fuzzy de A: {0.2/2, 0.4/4, 0.6/6, 0.8/8, 1/10} C.R.O. Conjuntos Fuzzy - Seminários em I. A. 14 C.R.O. Conjuntos Fuzzy - Seminários em I. A. 17 Propriedades dos Conjuntos Crisp 2. LEIDOMEIOEXCLUIDO A união de um conjunto com seu complemento resulta no conjunto universo Ex: A A =X 3. LEI DA CONTRADIÇÃO A intersecção de um conjunto com o seu complemento resulta em conjunto vazio Ex: A A = Exemplo de um Conjunto Fuzzy Adulto = {0/5+0/10+0.5/16+0.7/17+0.8/20+0.9/22+1/30+1/40} o símbolo + indica a união dos elementos e não soma algébrica cada elemento tem o formato µ i /χ i, sendo µ i o grau de pertinência elementos de 5 a 10 pertinência com grau 0 imprecisão 30 a 40 pertinência com grau 1 16,17,20,22 graus de pertinência variando entre 0.5 e 0.9 A notação para conjuntos fuzzy pode ser expressa da seguinte forma: A = {µ 1 /χ 1 + µ 2 /χ 2 + µ 3 /χ 3 + µ 4 /χ µ n /χ n } C.R.O. Conjuntos Fuzzy - Seminários em I. A. 15 C.R.O. Conjuntos Fuzzy - Seminários em I. A. 18 3

4 Representação Gráfica Conjuntos Fuzzy do Tipo 2 Os graus de pertinência são conjuntos fuzzydo tipo 1 Conjunto fuzzydo tipo 2: grau de pertinência de um elemento do conjunto é um conjunto fuzzydo tipo 1 * Conjunto Fuzzy representando um conceito inteligente: Representação Gráfica do Conjunto Fuzzy Adulto Alta/João Média/José Baixa/Maria 0/15 0.3/16 0.8/20 0/ / /1.75 0/ / /1.3 Média Alta Baixa Conjuntos Fuzzy representando os valores linguísticos: Alta, Média, Baixa C.R.O. Conjuntos Fuzzy- Seminários em I. A. 19 C.R.O. Conjuntos Fuzzy - Seminários em I. A. 22 Conjuntos Fuzzy do Tipo 2 Operações Sobre Conjuntos Fuzzy Os graus de pertinência são conjuntos fuzzydo tipo 1 Pode-se destacar as operações de complemento, união e intersecção Sejam A e B conjuntos Fuzzyde X: - Complemento de A: A(x) = 1 - A(x) (a) µ Ã 1 A A X C.R.O. Conjuntos Fuzzy - Seminários em I. A. 20 C.R.O. Conjuntos Fuzzy - Seminários em I. A. 23 Conjuntos Fuzzy do Tipo 2 Operações Sobre Conjuntos Fuzzy Os graus de pertinência são conjuntos fuzzydo tipo 1 Conjunto fuzzydo tipo 2: grau de pertinência de um elemento do conjunto é um conjunto fuzzydo tipo 1 * Conjunto Fuzzy representando um conceito inteligente: - Negação de A: (b) A A Alta/João Média/José Baixa/Maria A linha azul representa a negação do conjunto fuzzy A. C.R.O. Conjuntos Fuzzy - Seminários em I. A. 21 C.R.O. Conjuntos Fuzzy - Seminários em I. A. 24 4

5 Operações Sobre Conjuntos Fuzzy - União de A com B: (c) A(x) B(x) = max[a(x), B(x)] - Intersecção de A com B: µ A B µ A B X (d) A(x) B(x) = min[a(x), B(x)] X A B A interseção entreconfortávelegrandeédada por: c i=[ ] Interpretandoo conjunto fuzzyc i, concluímos que uma casa com5dormitóriosé amais satisfatória, com grau 0.6 A segundamelhorsoluçãoéacasa com 4 dormitórios C.R.O. Conjuntos Fuzzy - Seminários em I. A. 25 Uma família com quatro integrantes deseja comprarumacasa; Uma indicaçãodeconfortoserefereaonúmero de dormitórios; Eles também desejam comprar uma casa grande; Seja u =(1, 2,...,10)umconjuntodecasas descritas pelo número de quartos de dormir(ou seja, a casa ui possui i dormitórios). Ainda com relação a esse exemplo, responda: Qualé a união de confortável e grande? Qualé o complemento de grande? E qual é a interpretação desse complemento? Cite outro exemplo que poderia se beneficiar do uso de fuzzy O conjunto fuzzy c que caracteriza conforto pode ser descritocomo: c=[ ] Seja ioconjuntofuzzy caracterizandoanoção de grande; Oconjunto podesercaracterizado por: i=[ ] Definição: qualquer sistema que incorpore algum mecanismo derivado da lógica fuzzye que tenha pelo menos uma variável que possa assumir valores lingüísticos definidos por conjuntos fuzzy 5

6 Variáveis lingüísticas: Seus valores são palavras ou sentenças em linguagem natural, e não números Pessoa é ALTA, ao invés de 1,80 Água está QUENTE, ao invés de 40 C Tratamento de imprecisão e incerteza Transição gradual entre conjuntos Aplicação: controladores Fuzzy Sistemas de frenagem em automóveis utilizam Inteligência Artificial; Identificação e adaptação aos padrões de solicitação de um elevador; Máquinas de lavar roupas usam sistemas inteligentes para detectar e adaptar padrões como movimento da água durante o ciclo de lavagem, temperatura, buscando aumentar a eficiência e reduzir o consumo de água. Aplicações de Inteligência Artificial, LABIC - ICMC - USP São Carlos Considerações sobre fuzzy Fuzzy Crisp A teoria dos conjuntos fuzzy e a aplicação da lógica nebulosa representam um grande avanço científico, no sentido de que, por tratarem de incerteza, produzem soluções mais próximas do mundo natural, para sistemas de diversos tipos, do que outros métodos. 32 C.R.O. Conjuntos Fuzzy - Seminários em I. A. 35 Obs.: note as transições entre Conjuntos fuzzy Fuzzy Alguns slides foram baseados em apresentações de: Profa. Huei Diana Lee Prof. E. Keogh Prof. João L. G. Rosa Profa. Maria C. Monard Profa. Solange Oliveira Rezende Crisp 33 6