Algortmos Genétcos: a otmzação aplcando a teora da evolução Sezmára F. Perera Saramago Faculdade de Matemátca Unversdade Federal de Uberlânda saramago@ufu.br Resumo. Este artgo apresenta um texto ntrodutóro sobre algortmos genétcos. O objetvo é dar a fundamentação teórca necessára para ue um estudante de graduação possa compreender o método e utlzá-lo como uma ferramenta efcaz de otmzação. Os prncpas operadores são ntroduzdos através do desenvolvmento de um exemplo matemátco, permtndo ue, de uma forma smples e ddátca, o estudante possa acompanhar o desenvolvmento dos mesmos. Palavras-Chave. otmzação, métodos evolutvos, algortmo genétco. 1. Introdução A otmzação é aplcada em stuações em ue se deseja maxmzar ou mnmzar uma função numérca de váras varáves, num contexto em ue podem exstr restrções. Tanto as funções acma menconadas como as restrções dependem dos valores assumdos pelas varáves de projeto ao longo do procedmento de otmzação, geralmente são funções não-lneares e acpladas ente s. Pode-se utlzar otmzação em váras áreas, como por exemplo no projeto de sstemas ou componentes, planejamento e análse de operações, problemas de otmzação de estruturas, otmzação de forma, controle de sstemas dnâmcos. A grande vantagem é determnar a melhor confguração de projeto sem ter ue testar todas as possbldades envolvdas. A otmzação tem como vantagens dmnur o tempo dedcado ao projeto, possbltar o tratamento smultâneo de uma grande uantdade de varáves e restrções de dfícl vsualzação gráfca e/ou tabular, possbltar a obtenção de algo melhor, obtenção de soluções não tradconas, menor custo. Como lmtações tem-se o aumento do tempo computaconal uando aumenta-se o número de varáves de projeto, pode-se surgr funções descontínuas ue apresentam lenta convergênca, funções com presença de mutos mínmos locas onde o mínmo global raramente é obtdo. As técncas clásscas de otmzação são conhecdas à bem mas de um século, sendo utlzadas na físca e na geometra, servndo-se de ferramentas assocadas às euações dferencas ao Cálculo Varaconal. A sofstcação dos recursos computaconas, desenvolvdos nos últmos anos, tem motvado um grande avanço nas técncas de otmzação. Alado ao fato de ue os problemas tornam-se cada vez mas complexos. Técncas clásscas de otmzação são confáves e possuem aplcações nos mas dferentes campos de engenhara e de outras cêncas. Porém, estas técncas podem apresentar algumas dfculdades numércas e problemas de robustez relaconados com: a falta de contnudade das funções a serem otmzadas ou de suas restrções, funções não convexas, multmodaldade, exstênca de ruídos nas funções, necessdade de se trabalhar com valores dscretos para as varáves, exstênca de mínmos ou máxmos locas, etc. Assm, os estudos de métodos heurístcos, com busca randômca controlada por crtéros probablístcos, reaparecem como uma forte tendênca nos últmos anos, prncpalmente devdo ao avanço dos recursos computaconas, pos um fator lmtante destes métodos é a necessdade de um número elevado de avalações da função objetvo (Schwefel e Taylor, 1994). Os algortmos genétcos são mecansmos de busca baseados nos processos de seleção natural da luta pela vda e da genétca de populações. Trata-se de um método pseudo-aleatóro, portanto pode-se dzer ue é um método, um procedmento de exploração ntelgente, no espaço de parâmetros codfcados (Braga, 1998). O surgmento dos algortmos genétcos deu-se por volta de 1950 uando város bólogos usavam técncas computaconas para a smulação de sstemas bológcos. Entre 1960 e 1970, na Unversdade de Mchgan, sob a dreção de John Holland (1975), ncou-se o estudo de algortmos genétcos como os conhecdos atualmente. Davd Goldberg (1989) apresentou a solução de complexos problemas de engenhara usando algortmos genétcos, o ue ajudou o método a se tornar popular entre os pesusadores. 2. Problema Geral de Otmzação O problema geral de otmzação consste em mnmzar uma função objetvo, sujeta, ou não, a restrções de gualdade, desgualdade e restrções lateras. A função objetvo e as funções de restrções podem ser funções lneares ou não lneares em relação às varáves de projeto, mplíctas ou explíctas, calculadas por técncas analítcas ou numércas. Seja o problema geral de otmzação dado por:
Mnmzar : T F (), = [,, 1 2, n ] ε Rn (1) Sujeto a: g () 0, j=1,2,...,j j h () = 0, k=1,2,...,k k ( L) ( U ),= 1,2,..., n onde, F() representa a função objetvo, g j e h k as restrções de desgualdade e de gualdade, (L) (U) e as restrções lateras. Todas estas funções assumem valores em R n e são, na maora dos casos, nãolneares. Os métodos para a solução de problemas de otmzação podem ser dvddos em dos grandes grupos, os métodos baseados no cálculo (Determnstc Optmzaton) e os métodos aleatóros (Random Strateges). Quanto à presença de lmtantes ao problema, tem-se a otmzação rrestrta e a otmzação restrta. No grupo dos métodos aleatóros encontra-se os métodos de ordem zero (métodos tradconas), Algortmos Genétcos, Smulated Annealng, Evolução Dferencal, Tabu Search,etc. 2.1. Revsão sobre Técncas Seüencas A maora dos algortmos seüencas de otmzação reuer um conjunto ncal de varáves de projeto 0 (Vanderplaats,1984). A partr daí, o projeto é atualzado teratvamente: (2) 1 + = α S (3) onde representa o número da teração, S o vetor dreção de busca no espaço de projeto, α * é o escalar ue defne o passo ue se deseja dar na dreção de S. Os algortmos de otmzação não-lnear, baseados no cálculo, necesstam da determnação da dreção de busca S e do parâmetro escalar α *. Raramente pode-se garantr a exstênca e uncdade de um projeto ótmo, sto ocorre devdo a exstênca de váras soluções, mal condconamento numérco ou lenta convergênca. A estratéga prátca utlzada é ncalzar o processo de otmzação à partr de dferentes confgurações de 0, caso se encontre o mesmo valor para F mín, tem-se alguma garanta de mínmo global. Consderando problemas sem restrção, para ue F(x) seja mínmo, uma condção necessára, mas não sufcente, é ue F(x)=0. Para F(x), função de uma varável, no ponto de mínmo a 2ª dervada deve ser postva. Para o caso de uma função de váras varáves, a matrz Hessana H deve ser postva defnda, o ue mplca dzer ue todos os autovalores de H devem ser postvos. 2.2. Métodos de Prmera Ordem (Método da Descda Máxma) Fgura 1. Representação do Método da Descda Máxma
A dreção de busca é dada pelo gradente F(). Usando F() lmta-se a dreção de busca, evtando a busca em todo espaço de projeto (Saramago e Steffen, 1996). O gradente deve ser recalculado a cada nova dreção, conforme representado na Fg. 1. Sua mportânca é permtr estabelecer o ponto ncal para métodos mas sofstcados. Toma-se como dreção de busca auela oposta ao gradente: S = F( ), onde +1 = + α * S * A cada passo, determna-se α ue ao mínmo nesta dreção, busca undmensonal. Nestes métodos, a convergênca é boa no níco, mas muto lenta ao se aproxmar do mínmo 3. Métodos de Ordem Zero São métodos smples, de fácl mplementação, confáves e capazes de trabalhar com valores dscretos. Reuerem apenas o cálculo de F(), não dependem do gradente e da contnudade da função. Necesstam de um grande número de avalações da função objetvo, o ue aumenta o custo computaconal. A déa básca é seleconar um grande número de vetores de projeto e calcular F() correspondente a cada um. O vetor correspondente ao menor valor de F() será adotado como o valor ótmo *. O vetor é seleconado de forma randômca no espaço de projeto. Para lmtar a busca, utlza-se as restrções lateras. Um número randômco r é gerado, r ε [ 0, 1], e as varáves de projeto da -ésma teração atualzadas: (4) = l + r( u l ) (5) O processo do método de Ordem Zero está apresentado no fluxograma da Fg. 2. Neste caso, o crtéro de parada adotado é o número máxmo de terações. Porém, outros crtéros podem ser ncorporados ao programa. Fgura 2. Esuema do Método de Ordem Zero
4. Algorítmos Genétcos Os algorítmos genétcos usam um vocabuláro emprestado da genétca natural. Fala-se sobre ndvíduos (genótpos) de uma população. Estes ndvíduos também são chamados de cromossomos (Mchalewcz, 1998). Fgura 3. Esuematzação de um cromossomo. Cromossomos são compostos de undades ou elementos, cada elemento euvale a um gene, dspostos em uma seüênca lnear, conforme exemplfcado na Fg. 3. Sendo n o número de varáves (genes) e a cada gene tem o comprmento m. Assm, uma função de duas varáves f(x, y), n = 2, será representada através de um cromossomo com 2 genes. Seja m = 7, o número de alelos de cada gene. Neste caso, tem-se: Cromossomo: 1100001 14243 0011101 14243 (6) x y Algorítmos genétcos são algorítmos teratvos, e a cada teração a população é modfcada, usando as melhores característcas dos elementos da geração anteror e submetendo-as a três tpos báscos de operadores, para produzr melhores resultados. São eles: Reprodução: é um processo no ual cada cadea é copada levando em conta os valores da função de adaptação f. Cruzamento: é um processo no ual a combnação em partes de cada um de dos cromossomos gera um novo descendente. Mutação: é a modfcação aleatóra ocasonal (de baxa probabldade) do valor de um alelo da cadea. O prmero passo para a aplcação de algortmos genétcos a um problema ualuer é encontrar alguma representação cromossômca convenente, cujo gene represente o espaço de busca do problema, com vetores bnáros de zeros e um (0,1), os uas são gerados aleatoramente. O comprmento m do gene depende da precsão reuerda para o problema. Temos na Fg. 4 um fluxograma do algortmo genétco (Haupt, 1998). Com fnaldade de lustrar a aplcação dos operadores, vamos consderar o problema de mnmzação de uma função dada por: g (x, y) = x sen (4x) + 1,1 y. sen (2y) (7) no ntervalo, 8 < x < 10, 8 < y < 10, ue defne a regão vável do problema. A maora dos códgos computaconas para algorítmos genétcos costuma maxmzar a função, portanto, a função objetva em estudo será reescrta como: max g(x, y) = - [x sen (4x) + 1,1 y sen (2y)]. (8) Para este exemplo, será adotada a precsão de duas casas decmas. Como o espaço de busca, ou seja, o domíno da função tem ampltude I = 10 8 = 2 e consderando uma precsão de duas casas
decmas, este ntervalo deve ser dvddo em Ix10 m subntervalos guas, neste caso, 2 x 10 2 = 200 pontos. Portanto a seüênca bnára (cada gene) deverá ter pelo menos 8 bts, pos 128 = 2 7 < 200 < 2 8 = 256. Seja a segunte população ncal, obtda aleatoramente: C 1-10000101 00100111 C 2-00001110 00001001 C 3-10010001 00000001 C 4-11000101 00101001 C 5-01111100 10101100 C 6-11100010 01001010 Tem-se assm, a população ncal de cromossomos defnda, onde cada gene é um vetor bnáro de m bts, sendo m função da precsão exgda (10-2 ) e da ampltude do ntervalo defndo pelas restrções lateras (I = 2). A segur, todos esses ndvíduos serão modfcados, submetendo-os aos operadores genétcos. Fgura 4. Fluxograma do algortmo genétco contínuo. 4.1 Reprodução Reprodução é um processo ue será atrbuído às cadeas ue possuem o maor valor objetvo e, portanto uma probabldade mas elevada de contrbur à geração segunte, crando pelo menos um descendente. Quanto maor o valor da função objetvo, maores são as chances do ndvíduo sobrevver no ambente e reproduzr-se passando parte de seu materal genétco a gerações posterores (Braga, 1998). Usando a probabldade, expressa pela E.(9), tem-se ue se o ndvíduo for de baxa adeuabldade, tem alta probabldade de desaparecer da população, caso contráro, os ndvíduos terão grandes chances de permanecer na população.
f ( x ) P =, sendo F( x ) F( x ) = f ( x ) (9) Para se calcular o valor da função de adaptação f, deve-se converter a seüênca bnára (base 2) para base 10, ou seja, deve-se decodfcar um cromossomo, conforme E. (10). C = [b 7 b 8... b 2 b 1 b 0 a 7 a 6... a 2 a 1 a 0 ] m 1 m 1 x = b 2 = 2 e y a (10) = 0 = 0 Feto sso, deve-se calcular o valor de x e y reas, dentro da regão vável, através da segunte euação: x = a y = a sendo: + decmal + decmal ( 100... 010 ) ( 010... 100 ) b a 2 2 m 1 b a 2 2 m 1 (11) a e b - domíno das varáves x e y. m - comprmento total do gene. decmal (100... 010) 2 = x decmal (010... 100) 2 = y Como a população ncal já está defnda, o próxmo passo será o cálculo da função objetvo (adaptação). A título de lustração, será mostrado o cálculo da função objetvo do prmero cromossomo da população crada para o Exemplo (7) em estudo. Seja C 1 = 1000010100100111 Passando para a base 10, utlzando as Es. (10) e (11) tem-se: 8 1 x = b 2 = 1 2 0 + 0 2 1 + 1 2 2 + 0 2 3 + 0 2 4 + 0 2 5 + 0 2 6 + 1 2 7 = 133 = 0 7 y = a 2 =1 2 0 + 1 2 1 + 1 2 2 + 0 2 3 + 0 2 4 + 1 2 5 + 0 2 6 + 0 2 7 = 39 = 0 Os valores reas x e y,dentro da regão vável, são dados por: x = 133 8 + ( 2 8 10 8 ) 1 x = 9,04 y = 39 8+ ( 2 8 10 8 ) 1 y = 8,31
e o valor da função de adaptação é: g(x, y) = -[ x sen (4 x) + 1,1 y sen (2 y)] g(x, y) = -[9,04 sen(4. 9,04) + 1,1. 8,31 sen(2. 8,31)] g(x, y) = + 16, 26 De forma análoga, obteve-se os resultados mostrados na Tab. 1, para cada cromossomo da população ncal. Tabela 1. Cromossomos da população ncal. Cromossomos x y g(x, y). 1000010100100111 9,04 8,31 16,26 0000111000001001 8,11 8,07-3,21 1001000100000001 9,14 8,01 11,01 1100010100101001 9,55 8,32 2,76 0111110010101100 8,98 9,35 10,32 1110001001001010 9,77 8,58-0,22 g(x,y) 36,92 Como ctado anterormente, a função de adaptação g(x, y) é o árbtro fnal ue decde sobre a vda ou a morte de cada cromossomo. O mecansmo para seleção das melhores cadeas, ou seja, as mas adaptadas, são defndas pelo uso das probabldades proporconas, dadas pela E. (9), resultando os seguntes valores: 16, 26 p 1 = = 0, 44 36, 92 3, 21 p2 = = 0, 09 36, 92 1101, p 3 = = 0, 30 36, 92 2, 76 p 4 = = 0, 07 36, 92 10, 32 p 5 = = 0, 28 36, 92 0, 22 p6 = = 0, 00 36, 92 sendo p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 + p 6 = 1,00 Consderando ue as probabldades acumulatvas cada cromossomo são dadas por: = p j j= 1 (12) obtém-se aos seguntes valores acumulatvos: 1 = p 1 = 0, 44 2 = p 1 + p 2 = 0, 44 0, 09 = 0, 35 3 = p 1 + p 2 + p 3 = 0, 44 0, 09 +0, 30 = 0, 65 4 = p 1 + p 2 + p 3 + p 4 = 0, 44 0, 09 +0, 30 + 0, 07 = 0, 72 5 = p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 = 0, 44 0, 09 +0, 30 + 0, 07 + 0, 28 = 1, 00 6 = p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 + p 6 = 0, 44 0, 09 +0, 30 + 0, 07 + 0, 28 + 0, 00 = 1, 00
A segur deve-se seleconar as cadeas ue rão contrbur para a geração segunte. Esta seleção consdera um conjunto de números r, escolhdos randomcamente entre [0,1], em uantdade gual ao número de cadeas. A análse é feta através das seguntes opções: Se r < 1, então se selecona o 1º cromossomo C 1. Se r > 1, então se passa para o subseüente e faz a análse novamente. Vale ressaltar ue alguns cromossomos poderão ser seleconados mas de uma vez, ou seja, os melhores serão copados mas vezes, enuanto ue outros rão morrer. Seja o exemplo em estudo. Consdere ue foram gerados os seguntes números randômcos: r 1 = 0,64; r 2 = 0,08; r 3 = 0,47 r 4 = 0,88; r 5 = 0,93; r 6 = 0,70 A seleção dos cromossomos é dada por: r 1 = 0,64 > 1 = 0, 44 r 1 = 0, 64 > 2 = 0, 35 r 1 = 0, 64 < 3 = 0, 65 selecona-se 3 C 3 r 2 = 0,08 < 1 = 0,44 selecona-se 1 C 1 r 3 = 0,47 > 1 = 0,44 r 3 = 0,47 > 2 = 0,35 r 3 = 0,47 < 3 = 0,65 selecona-se 3 C 3 r 4 = 0,88 > 1 = 0,44 r 4 = 0,88 > 2 = 0,35 r 4 = 0,88 > 3 = 0,65 r 4 = 0,88 > 4 = 0,72 r 4 = 0,88 < 5 = 1,00 selecona-se 5 C 5 r 5 = 0,93 > 1 = 0,44 r 5 = 0,93 > 2 = 0,35 r 5 = 0,93 > 3 = 0,65 r 5 = 0,93 > 4 = 0,72 r 5 = 0,93 < 5 = 1,00 selecona-se 5 C 5 r 6 = 0,70 > 1 = 0,44 r 6 = 0,70 > 2 = 0,35 r 6 = 0,70 > 3 = 0,65 r 6 = 0,70 < 4 = 0,72 selecona-se 4 C 4 Depos de seleconados, os cromossomos dão orgem a uma nova população representada como: C 1-1001000100000001 gerados de C 3 ; g(x, y) = 11,01. C 2-1000010100100111 gerados de C 1 ; g(x, y) = 16,26. C 3-1001000100000001 gerados de C 3 ; g(x, y) = 11,01. C 4-0111110010101100 gerados de C 5 ; g(x, y) = 10,32. C 5-0111110010101100 gerados de C 5 ; g(x, y) = 10,32. C 4-1100010100101001 gerados de C 4 ; g(x, y) = 2,76. 4.2. Cruzamento Fgura 5. Representação do Operador Cruzamento Tem-se váras formas para se obter o cruzamento, neste trabalho será utlzada a segunte técnca para se fazer o cruzamento: Seja o ponto k ue defne a posção de cruzamento na cadea de bts de cada cromossomo escolhdo aleatoramente. A uantdade de cromossomos a ser submetda ao processo de cruzamento é defnda através da probabldade de cruzamento p c, especfcada pelo usuáro. Cada cadea é partda neste ponto k
e todas as nformações do cromossomo A, a partr do ponto escolhdo, são copadas para o cromossomo B e vce-versa, conforme esuematzada na Fg. 5. O processo de escolha de uem será cruzado deve ser feto em pares, sorteando números randômcos (r ). Quando não for possível formar os pares um novo sorteo deverá ser feto até obter os pares necessáros para o cruzamento. Por exemplo, se r 1 for menor ue a probabldade p c, então o cromossomo C 1 será seleconado. Na maora das lteraturas especalzadas, a probabldade de cruzamento é de p c = 25%, a ual será adotada neste trabalho. Após de ter feto sso, temos ue gerar um novo número randômco para determnar a posção k, onde duas novas cadeas são formadas pela troca de todos os caracteres compreenddos entre as posções k + 1 e o comprmento total do cromossomo (n x m). Esta posção k é determnada pela segunte fórmula: k = 1 + rand [(n x m 1) 1] (13) Dando contnudade ao Exemplo (7) em estudo, submetem-se as populações (C ) ao cruzamento. Sejam os seguntes números randômcos, r : r 1-0,50 C 1 > p c r 2-0,17 C 2 < p c r 3-0,40 C 3 > p c r 4-0,15 C 4 < p c r 5-0,20 C 5 < p c r 6-0,23 C 6 < p c sendo seleconados para o cruzamento, os cromossomos C 2 e C 4 ; C 5 e C 6. Agora, é só gerar um número randômco para determnar k, a posção de cruzamento usando a E.(13). Seja rand = 0,7; segue-se ue: k = 1 + 0,7 [(2x8 1) 1] = 1 + 0,7 (15 1) k = 1 + 0,7. 14 k = 10,8 Como k é um número ntero, então k = 11. Daí, C 2-1000010100100111 C 4-0111110010101100 Trocando os caracteres, tem-se: C 2-1000010100101100 C 4-0111110010100111 e C 5-0111110010101100 C 6-1100010100101001 Trocando os caracteres, tem-se: C 5-0111110010101001 C 6-1100010100101100 Assm, após a aplcação do operador cruzamento, a população é dada por: C 1-1001000100000001; g(x,y) = 11,01. C 2-1000010100101100; g(x, y) = 16, 72. C 3-1001000100000001; g(x, y) = 11, 01. C 4-0111110010100111; g(x, y) = 11, 02. C 5-0111110010101001; g(x, y) = 10, 67. C 6-1100010100101100; g(x, y) = 3, 10. 4.3 Mutação A mutação é uma modfcação aleatóra do valor de um alelo da cadea. Caso o alelo escolhdo seja zero passa a ser um e vce-versa, conforme esuematzado na Fg. 6. Segundo Haupt (1998), uma técnca de se fazer à mutação é gerar pares (a, b) randômcos onde a representa a lnha e b representa a coluna da mudança do bt. Nesta forma de aplcar o operador mutação exclu-se da seleção o melhor cromossomo. No exemplo em estudo, sejam os pares (1, 10) e (5, 3), logo tem-se (o cromossomo C 2 não será objeto de mutação por apresentar o maor valor para a função objetva):
(1, 10) C 1 e posção 10 1001000100000001 1001000101000001 (5, 3) C 5 e posção 3 0111110010101001 0101110010101001 Neste artgoo, será utlzada outra metodologa onde se selecona randomcamente uma posção em um cromossomo, obedecendo a probabldade de mutação p m, e muda o valor deste bt. Fgura 6. Representação do Operador Mutação. O processo de mutação é controlado por um parâmetro fxo p m, probabldade de mutação, ue é geralmente recomendado como de 1%.Este operador tem um papel mportante e necessáro, porue a reprodução e o cruzamento podem perder materal genétco potencalmente útl. O operador de mutação protege os algorítmos genétcos contra perdas rreparáves. Tomada soladamente, a mutação se consttura na exploração aleatóra do espaço das cadeas. Utlzada com cudado, juntamente com os outros dos operadores, protege-se o procedmento da perda prematura de nformações mportantes (Braga,1998). Aplcando o operador mutação ao Exemplo (7) em estudo, torna-se necessáro gerar (n x m x N) números randômcos r entre [0,1], onde N é o número total de ndvduos da população. Se r for menor ue a probabldade p m = 0,01 será feta a mutação no bt correspondente. Consdere ue foram gerados 96 (2 x 8 x 6) números r entre 0 e 1 e ue três tveram probabldades menores ue p m, como mostrdo a segur: r 13 = 0,009 < p m = 0,01 r 39 = 0,0025 < p m = 0,01 r 83 = 0,0004 < p m = 0,01 Consderando a população atual, C 1 1001000100000001 C 2 1000010100101100 C 3 1001000100000001 C 4 0111110010100111 C 5 0111110010101001 C 6 1100010100101100 torna-se possível seleconar a posção onde deve-se ocorrer a mutação, conforme Tab. 2. Tabela 2. Seleção da posção para aplcação do operador mutação. Posção Cromossomo Probabldade (p m ) 13 C 1 0,009 39 C 3 0,0025 83 C 6 " 0,0004 Submetendo os bts 13, 39 e 83 ao processo de mutação têm-se: C 1 1001000100001001 C 2 1000010100101100 C 3 1001001100000001 C 4 0111110010100111 C 5 0111110010101001 C 6 1110010100101100
Após a aplcação dos três operadores, tem-se encerrado o cclo da 1ª geração. Assm, torna-se nteressante observar os valores das funções de adaptação para se ter uma déa de como está ocorrendo a evolução dos cromossomos da população ncal. Estes dados podem ser acompanhados na Tab. 3. Tabela 3. Cromossomos da população após a 1ª geração. Cromossomos x y g(x, y) C 1 1001000100001001 9,14 8,04 11,52 C 2 1000010100101100 9,04 8,35 16,72 C 3 1001001100000001 9,15 8,00 10,68 C 4 0111110010100111 8,97 9,31 11,06 C 5 0111110010101001 8,97 9,33 10,63 C 6 1110010100101100 9,80 8,35-2,09 g(x,y) 58,52 Observando as Tabs. 2. e 4, nota-se ue a população ncal melhorou no sentdo de camnhar na dreção da maxmzação da função objetva, após aplcar os três operadores. Observa-se ue o valor de g(x,y) passou de 36,92 para 58,52. Nesta prmera teração, o ponto ótmo obtdo corresponde a: x= 9,04 y= 8,35 e f(x,y)= - 16,72. Obvamente, executando outras terações espera-se uma adaptação muto melhor da população. 5. Conclusões Cada teração do algortmo genétco, denomnada geração, é composta pela execução dos três operadores descrtos anterormente. Após algumas gerações sobrevvem os ndvduos melhores adaptados, ou seja, são escolhdos os pontos do espaço de trabalho ue correspondem ao maor valor da função objetvo. Desta forma, obtém-se a maxmzação, ou mnmzação, de uma função de váras varáves, sem a exgênca de contnudade da mesma ou de conhecmento de suas dervadas. Devdo ao seu caráter puramente aleatóro, esta metodologa possu a característca de não fcar presa em mínmos locs, sendo esta sua grande vantagem em relação aos métodos seuencas de otmzação. Sua desvantagem é, obvamente, o tempo computaconal. Váras modfcações já foram acrescentadas ao método, tornando-o mas efcente e rápdo. Por uestões ddátcas, este artgo apresentou apenas a formulação clássca de cada operador, vsando dar um conhecmento básco ao letor. Na bblografa extem város lvros e artgos sobre o assunto, onde o tema é desenvolvdo com maor profunddade. 6. Bblografa Bazaraa,M.S., Shetal, H.D. e Shetty,C.M., 1993, Nonlnear Programmng: Theory and Algorthms, John Wley & Sons, second edton, New York. Braga, C.G., 1998, O Uso de Algortmos Genétcos para Aplcação em Problemas de Otmzação de Sstemas Mecâncos, Dssertação de Mestrado, Unversdade Federal de Uberlânda, Uberlânda, MG. Corana, A., Marches,M., Martn, C. e Rdella,S., 1987, Mnmzng multmodal functons of contnuous varables wth the smulated annealng algorthm, ACM Transactons on Mathematcal Software, 13, n. 3, 262-280. Goldberg,D.E., 1989, Genetc Algorthms n Search, Optmzaton and Machne Learnng, New York, Addson- Wesley. Grace,A., 1992, Optmzaton Toolbox- For Use wth Matlab, The Math Works Inc., Natck. Haupt, R.L. e Haupt, S.E., 1998, Pratcal Genetc Algorthm, John Wley G. Sons Inc; New York, pp.25-48. Holland, J.H., 1975, Adaptaton n Natural and Artfcal Systems, Ann Arbor, The Unversty of Mchgan Press, Unted States of Amerca. Lopes,L.C.G., Santos, E.A.A. e Karlec,V., 1999, Determnação de raízes de euações não lneares utlzando algortmos genétcos, Computaconal Methods n Engneerng (Cd room), pp. 141.1-141.11, CILAMCE, São Paulo. Masters,T., 1993, Practcal Neural Network Recpes In C++, Academc Press, pp. 117-134. Metropols,N., Rosenbluth,A. W., Rosenbluth, M.N. e Teller, A.H., 1953, Euatons of state calculatons by fast computng machnes, Journal of Chemcal Physcs, 21, 1087-1092. Mchalewcz, Z., 1998, Evolutonary Computaton for NonLnear Programmng Problems, ftp.uncc.edu, drectory coe/evol.
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