Introdução à Cosmologia Física

Introução à Cosmologia Física

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 * a Lista e Exercícios - para 5/8! Hoje: A Relativiae Geral e Einstein As Equações e Einstein Buracos Negros A métrica FLRW e as Equações e Friemann Cinemática em espaços-tempo FLRW

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 Nas teorias "covariantes" a graviae (p. ex., a Relativiae Geral), a graviae é uma manifestação a curvatura o espaço-tempo Nessas teorias, a métrica o espaço-tempo (i.e., sua geometria) tem ois papéis: ela etermina a trajetória a matéria... e é curvaa pela matéria O que significa uma geometria" o espaço-tempo? O que etermina essa geometria? Como poemos fazer meias que testam essa teoria?

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 Lobachevski mostrou que existem espaços curvos, infinitos, one existem muitas linhas por P: Espaço e Gauss- Lobachesvki -Bolyai L P. Plano, infinito (Eucliean). Curvo, finito (fechao/elíptico) 3. Curvo, infinito (aberto/hiperbólico)

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 Visão global" as geometrias plana (curvatura nula), fechaa (curvatura positiva) e aberta (curvatura negativa): plana fechaa Um aspecto crucial essas geometrias é que toos os pontos esses espaços são equivalentes. Ou seja, não há nenhuma posição privilegiaa, nem nenhuma ireção privilegiaa. Isso não é necessariamente verae em outras geometrias, p. ex.: aberta

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 Espaços planos (Euclieanos), fechaos (i.e., esféricos) e abertos (GLB) são as únicas varieaes que satisfazem um princípio simples: elas são homogêneas e isotrópicas. Homogeneiae: o espaço tem as mesmas proprieaes em too lugar Homogeneiae sem isotropia Isotropia: toas as ireções o espaço são equivalentes Isotropia sem homogeneiae Princípio cosmológico: o espaço é o mesmo em too lugar, e em toas as ireções * Ehlers, Gehren & Sachs (968): se toos os observaores inerciais meirem as mesmas proprieaes a matéria (p. ex., a raiação cósmica e funo), então o universo é homogêneo e isotrópico.

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 O espaço e Lobachevski foi uma as motivações para Georg B. Riemann, em 854, propor sua visão global a Geometria como o estuo as varieaes com qualquer número e imensões, em qualquer tipo e espaço. Essas geometrias são essencialmente não-euclieanas: as istâncias entre ois pontos são aas em termos e uma métrica, que é uma função iferenciável qualquer: s g x x A métrica tem um papel ual: i) ela serve para meir a istância entre ois pontos quaisquer; e Curvatura! ii) ela etermina (pelas conexões afins) como se eve transportar quantiaes geométricas ao longo e um caminho suave na varieae - p. ex.: aceleração V x V V R V I x x

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 g R x g + x x g x + c g x DV V ; Dx DV V Dx ; V + x V V x V A liberae e escolha as coorenaas implica que, em qualquer ponto, poemos sempre usar o Elevaor e Einstein, ir para um sistema no qual é métrica é, localmente, aquela e Minkowski, e assim fazer com que as conexões se anulem: g!,!0 Entretanto, se o espaço é curvo, as erivaas as conexões não poem também se anular @ 6 0! Portanto, nunca poemos anular" a curvatura!

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 Agora, suponha que nos é ao um espaço com uma eterminaa métrica. O que efine um referencial em "quea livre" (inercial) em algum lugar esse espaço? A aceleração em trajetórias que passam por aquele lugar eve se anular: D X 0 D X ) + X X 0 X ( ) Equação a geoésica Note que a equação a geoésica etermina tanto as coorenaas espaciais e temporais o observaor inercial Tempo próprio é o X0 τ ao longo a geoésica! Limite Newtoniano x Pequenas velociaes... + Métrica estática, quase Minkowski... x x x + 8 > <! i00 ri g00 ) > : t t 0 00 i x x 0 g 00 i r g00 0 φ - 0 x

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 Poemos também perguntar como uas geoésicas que passam pelo mesmo ponto se esviam uma a outra: D X D X R X X X Esta é a equação o esvio geoésico. (Relacionaa com a Equação e Raychauhuri.) Seja u(τ) uma geoésica o tipo-tempo, uμuμ- D u, e sua 4-ivergência: u ; Essa ivergência obeece a Equação e Raychauhuri: 3 one o tensor e rotação é: e o tensor e cisalhamento é: + (u; u (u; + u R R R u u ; ) ; ) (g + u u ) 3

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 Problema # Seja u uma curva geoésica. Mostre que: u u ; 0 Problema # Seja u(t,s) uma família e geoésicas, e v(t,s) o vetor e esvio para essa família: X (t, s) u t Isso implica que: [u, v] u, X (t, s) v s v; v u; 0 Use isso para calcular a aceleração e v no tempo t: D v u D (u D v ) Dt e erive a equação o esvio geoésico. (N.B.: aqui t é apenas um parâmetro, e não x0!) s t

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 Problema #3 Tome uma geoésica tipo-tempo, U μ Uμ -, num espaço-tempo e métrica g μν. Mostre que h μν g μν + U μ U ν é a métrica genuína as hipersuperfícies o tipo-espaço, efinias por essa geoésica - e que h μν é um operaor e projeção nesse sub-espaço. Problema #4 (a) Resolva a Equação e Raychauhuri para θ, supono ωσr0. - i.e., Minkowski. (b) Mostre que a família e geoésicas tipo-tempo U μ γ(v)[, v], com v r/t, são soluções para o θ calculao no item (a) (c) Qual a interpretação e θ? Ele é bem efinio para qualquer r e qualquer t?

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 Buracos negros Leitura aicional sugeria (ivulgação científica): Kip S. Thorne, Black holes an time warps: Einstein s outrageous legacy" Isaac Asimov, O colapso o universo

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 Buracos negros Seguno Newton, a aceleração a graviae a Terra é: É mais interessante calcular o potencial: GM ' 8, 03 m/s r Agora imagine que toa a massa a Terra fosse compactaa no tamanho e uma bolinha e gue. Aí o potencial gravitacional na vizinhança a bolinha seria: 8 '.8 0 m/s GM g ' 0 m/s r

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 Buracos negros Na Relativiae Geral, uma massa M "pontual" gera uma métrica o espaço-tempo conhecia como Métrica e Schwarzschil (96): s GM r c c t + GM r c r + r c (uniaes naturais") s GM r t + GM r r + r O que acontece quano temos uma grane massa concentraa em um volume muito pequeno, menor que o Raio e Schwarzschil? GM Rs! GM c

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 Vamos primeiro examinar o que acontece com o cone e luz futuro no espaço-tempo e Schwarzschil. Fora o Raio e Schwarzschil, temos a situação usual: o cone e luz futuro aponta para o futuro! (Ou seja, na ireção e t cresceno.) Porém, entro o Raio e Schwarzschil o cone e luz futuro aponta na ireção raial! Ou seja, o futuro e qualquer partícula, e qualquer corpo material, não importa as suas particulariaes, aponta para o ponto r0 (one está a massa M). Em outras palavras: uma vez entro o buraco negro, não há saía nem para a luz! No ponto r0 a curvatura o espaço-tempo é infinita, e temos o que é conhecio como singulariae.

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 Agora vamos ver o que acontece com as trajetórias e massas-teste no espaço-tempo e Schwarschil. Lembre-se: é trivial (mesmo!) calcular as trajetórias, aa uma métrica basta utilizar a Equação a Geoésica! Notebook Mathematica

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 Buracos negros existem - e eles estão mais próximos o que você imagina!!! M ' 4. 0 6 M

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 0/Agosto: as Equações e Einstein A matéria curva o espaço, eterminano a métrica... e a métrica etermina a cinemática a matéria... Matéria e métrica eterminam em conjunto a inâmica Matéria e graviae têm que funcionar entro e uma inâmica consistente Simetrias básicas implicam em leis e conservação (Teorema e Noether)

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 Simetrias e leis e conservação Invariância sob translações/reparametrizações o tempo Conservação e energia Invariância sob translações/reparametrizações o espaço Conservação e momento Invariância sob rotações Conservação e momento angular Mas e quanto aos boosts (rotações t-x)? Eles também são simetrias... Além isso, elas misturam energia e momento! P mu, P 0 x0 P x Conservação e momento para partículas pontuais (não-relativ.): q! q + q t Z S t L(q, q ), L(q, q ) q V (q) Z Z L L S t q+ q t q (q t + q t ) q q Z f f f Si q t i t q + V (q) t 0 t i t!t+ t q! q + q t + q t V q t q Energia carga" conservaa t t + δt : simetria global

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 Simetria e gauge (local) as teorias covariantes: transformações e coorenaas x! x0 x + Sob uma transformação e coorenaas, a métrica mua como: g g 0 x0 x0 g x x g + ; + ; + O( ) g Em particular, se a métrica é invariante sob uma tal transformação, então ξ é um vetor e Killing (uma ireção associaa com alguma simetria). Problema #5 Tome o espaço 3-imensional e curvatura constante (GLB) em coorenaas esféricas: 3 r + r kr Quantos vetores e Killing existem nesse espaço? Quais os seus significaos?

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 A inâmica a matéria everia ser inepenente o V sistema e coorenaas, e portanto a ação a matéria everia ser invariante sob uma transformação e coorenaas: Z Sm Sm Sm Mas como: T Sm Z Z Z 4 x x x p T ; ); gt gv V ; g g V N gv N :S(V) É OK assumir que isso se anula. Mas por quê? pz } { z } g 4 x T ( ; + (T 4 g Lm glm g Lm 4 x g + g ( g ) ; 4 Z ; Então, temos as leis e conservação: T ; { ; ) Z x p g! 0 T ; 0 4 g p p g T ; g T T ; Tμν : Energia Momento Estresses/fluxos e energia

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 O Tensor e Energia e Momento (TEM) Em geral, é mais informativo construir o TEM e primeiros princípios. Num meio contínuo, as quantiaes relevantes são: a 4-velociae, a ensiae e energia, a pressão isotrópica, e o estresse e cisalhamento. Consiere um elemento e fluio: T00: ensiae e energia U μ - 4-velociae: eslocamento o elemento e fluio Tii - pressão p: forças normais à superfície Parte sim., traço nulo: T0i - fluxo e energia: fluxo e energia/momento através a superfície i Tij - estresse σ ij : forças paralelas à superfície cisalhamento Parte anti-simétrica: estresse anisotrópico

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 No espaço-tempo e Minkowsky um fluio em repouso, sem nenhum estresse, fica eterminao completamente em termos e sua ensiae e energia e pressão: T 00 T ij T 0i 0 p U (, 0, 0, 0) ij Ou, em termos a 4-velociae: T ( + p)u U + p Para um fluio em movimento basta substituir a 4-velociae por: U! (v)(, v ) Nós temos então que: T 00 T 0i T ij ( + p) + p v p v +p i v v +p i j v v +p v ) T 0 ij + p v ( + p) v i + i t v x v

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 No limite não-relativístico [i.e., jogamos fora termos O(v)], a conservação o TEM resulta na famosa equação a continuiae: T 0 + pv ( + p) v + i t v x v i Por quê é OK esprezar ( + p) v? v ' + r[( + p) v ] ' + ( + p) r Isso é também equivalente à conservação e energia que heramos a Termoinâmica: E + p V 0 ( V ) V V ) +p + ( + p) 0 V t V t t V t one o volume mua e acoro com a ivergência a velociae: Conservação o TEM: { Conservação e energia Equação e Euler V V t v

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 Problema #6 (a) Um campo escalar tem uma Lagrangeana: L Encontre o seu TEM. Dica: p g g ( p V( ) p g) g g g p g g g (b) Encontre a Equação e Klein-Goron (a "equação e movimento" para o campo) como resultao a conservação o TEM. (c) Encontre a Equação e Klein-Goron através o princípio variacional em termos o próprio campo escalar. () Você é capaz e escrever esse TEM em termos e um fluio, T ( + p) U U + p g?

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 Problema #7 (a) Tome como ponto e partia a Lagrangeana o Eletromagnetismo: L EM 4 F F, F A A Encontre o TEM o campo eletromagnético. (b) Mostre que esse TEM é conservao evio às Equações e Maxwell (em espaçostempo curvos). (c) Mostre que, em 4D, o EM no vácuo é conformemente invariante, i.e., as soluções as Equações e Maxwell são invariantes sob as transformações: g! ḡ g

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 As Equações e Einstein, finalmente! A conservação o TEM eve ter uma contrapartia o lao a métrica o espaço-tempo. De fato, a ação e Einstein-Hilbert satisfaz esse vínculo, e temos que: S Z 4 x p g apple R 6 G + L m! G R g R 8 GT Devio ao Princípio Cosmológico, em primeira aproximação os laos ireito e esquero essa equação evem ser funções o tempo, apenas. Os únicos parâmetros livres essa teoria são constantes no espaço e no tempo: Métrica: Curvatura espacial Constante Cosmológica (Λ) Matéria: Massas Constantes e acoplamento

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 A cinemática o universo: as equações e Friemann A. Friemann (9-4), G. Lemaitre (97), H. P. Robertson (935-36), A. G. Walker(937) Seções espaciais e curvatura constante: s t + a (t) Def.: a(t0) k r + r r (r/r0) k- r + r + r (r/r0) k0 r + r

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 Alguns sistemas e coorenaas populares usaos para expressar as seções espaciais e FLRW: Coorenaas polares: r + r kr k ± (R0)- Coorenaas hiper-esféricas: p r p sin k k ) p + sin k k Coorenaas conformes-cartesianas: R r + k4 R ) R + R ( + k4 R ) Seções espaciais homogêneas e isotrópicas A escolha mais comum é a seguna, já que em coorenaas hiper-esféricas as geoésicas raiais são triviais.

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 Problema #8 Mostre que a métrica as seções espaciais (3D) os espaços-tempo FLRW em coorenaas conformes-cartesianas, ij i x x j, ij ij + k x 4 possui um tensor e Riemann ao por: Rijkl k ( Problema #9 O volume 3D é efinio como: V Z il jk ik jl ) p x et 3 Qual é o volume a 3-esfera? Mostre que esse resultao se reuz ao usual no limite em que a curvatura espacial (k) é muito pequena.

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 Geoésicas nos espaços-tempos FLRW Vamos tomar a métrica FLRW em coorenaas conformes-cartesianas: s t + a (t) As conexões são: 0 00 0 ij k ij i 00 a a k ij 0 i0 ij i x x j, ij ij + k x 4 0, i 0j! + k4 x a i j a ij x k ik x j jk x i Problema #0 Calcule o tensor e Riemann a métrica FLRW nesse sistema e coorenaas. Quantas componentes inepenentes tem esse tensor?

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 Uma partícula inicialmente em repouso nessas coorenaas tem uma 4-velociae: U0 x (, 0, 0, 0) 0 U + A equação a geoésica é: U U 0 o que implica nas seguintes equações: 0 k! U 0 +! U k + A solução para essa equações é: 0 ij U iu j 0 k 0i U 0U i + U U0 k ij U iu j 0 (, 0, 0, 0) Portanto, uma partícula em repouso em qualquer lugar esse espaço-tempo permanecerá em repouso, na mesma posição! Esse é o significao prático (cinemático) e homogeneiae e isotropia!

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 Problema # Consiere uma partícula se moveno com alguma velociae initial peculiar v0 : U 0 (v 0)(, v 0 ) Encontre a para a equação a geoésica neste caso. Faça aproximações se for absolutamente necessário. O que acontece ao longo o tempo com essa velociae peculiar inicial? Ela aumenta ou ecai?

Introução à Cosmologia Física - Aulas 5 e 6 Fim a Aula 5/6 Leituras para a próxima aula (5/8): Ryen, Cap. 3.3, 3.4 e 4.