Simetrias e grandezas conservadas

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1 Capítulo 1 Simetrias e grandezas conservadas Na Mecânica Clássica, o teorema de Noether nos ensinou que simetrias em sistemas físicos levavam a correspondentes grandezas conservadas durante o movimento. As mais simbólicas são a conservação de energia, associada a simetrias sob translações temporais; a conservação de momento, relativa à homogeneidade espacial; e o momento angular, relativo à isotropia do sistema. Outras grandezas, que podem ou não estar associadas a estas, são a Hamiltoniana do sistema, o vetor de Laplace-Runge-Lenz, etc. No contexto da Relatividade Geral, não é exagero dizer que as simetrias desempenham um papel talvez ainda mais fundamental que na Mecânica Clássica. Lembramos que no contexto clássico a existência de grandezas conservadas nos permite integrar as equações do movimento, seja obtendo atalhos para resolvê-las, seja obtendo informações sobre os sistemas sem obter a solução explícita. No caso da Relatividade, em que as equações são muito mais complicadas, a existência das constantes de movimento se torna crucial. 1.1 Vetores de Killing e Conservações Obtivemos anteriormente uma maneira de determinar simetrias por meios da invariância da Relatividade Geral por difeomorfismos. Se g ab é a métrica do espaço-tempo, um (co-) vetor ξ a é dito ser de Killing se for gerador de uma simetria da métrica: ξ g ab = 0. Vimos que esta expressão equivale à chamada equação de Killing: a ξ b + b ξ a = 0. Os dois resultados mais imediatos que obtemos com vetores de Killing são apresentados a seguir. Proposição 1. Seja ξ a um vetor de Killing e seja uma geodésica com vetor tangente u a. Então, a quantidade Q = ξ a u a é conservada ao longo da geodésica. 1

2 2 CAPÍTULO 1. SIMETRIAS E GRANEZAS CONSERVAAS basta tomar a derivada ao longo da geodésica: dτ Q = ua a (u b ξ b ) = (u a a u b )ξ b + u a u b ( a ξ b ) = 0. Na transição da segunda para a terceira linha, usamos o fato de u a ser paralelamente transportado, e de a soma nas derivadas de ξ a ser simétrica. Proposição 2. Seja ξ a um vetor de Killing e seja T ab um tensor de energia-momento covariantemente conservado. Então, a corrente J a = T ab ξ b é covariantemente conservada. a J a = a (T ab ξ b ) = ( a T ab )ξ b + T ab a ξ b = Coordenadas cíclicas e momentos conservados Na Mecânica Clássica, sabemos que se o movimento é descrito por uma Lagrangiana L que não depende de um coordenada e.g. x ζ, então o momento conjugado a esta variável p ζ L ẋ ζ é uma constante do movimento. Como isto se traduz no contexto visto acima, em particular no da Proposição 1? Entre as hipóteses desta proposição está que o movimento se dê ao longo de uma geodésica. Sabemos então que a Lagrangiana deste sistema é dada por L = g ab ẋ a ẋ b, (1.1.1) em que um ponto denota a derivada em relação ao parâmetro afim λ da geodésica. ado que não há termos de potencial nesta Lagrangiana, ela dependerá de uma variável x ζ se e somente se a métrica o fizer. Logo, suponhamos que o tensor métrico não dependa de x ζ. Vamos primeiro provar que ζ é um vetor de Killing. Com efeito, a condição de Killing se escreve, de forma não manifestamente covariante, ζ g ab = ( ζ ) c c g ab + ( a ( ζ ) c )g cb + ( b ( ζ ) c )g ac, onde ( ζ ) a = δ a ζ, e portanto ζ g ab = ζ g ab = 0, e portanto está provado que ζ é Killing.

3 1.2. VETORES E KILLING CONFORMES 3 Usando a Proposição 1, teremos então que a grandeza ( ζ ) a ẋ a = δ a ζ ẋ a = ẋ ζ = g aζ ẋ a é uma constante do movimento. Por outro lado, como a Lagrangiana é cíclica em x ζ, segue das equações de Euler-Lagrange que dp ζ dλ = d dλ L ẋ = 0 p ζ ζ = g aζ ẋ a = const. Comparando as duas expressões acima, fica claro que a grandeza conservada obtida através do formalismo dos vetores de Killing é o próprio momento conjugado a esta coordenada. Assim, nossa intuição clássica permanece válida - ao vermos que uma Lagrangiana (ou, equivalentemente, a métrica) não depende de uma coordenada, podemos imediatamente obter que o momento conjugado a esta coordenada se conserva durante o movimento. Por fim, uma outra grandeza conservada numa geodésica é a própria Lagrangiana. Isto é claro se percebermos que, do modo como foi definida (sem nenhum termo de potencial ), a Lagrangiana nada mais é que a norma quadrada da 4-velocidade da partícula. Em geodésicas tipo tempo, L = 1; se forem tipo luz, L = Vetores de Killing conformes Além dos dois tipos anteriores de grandezas conservadas, associadas a vetores de Killing propriamente ditos, existem outras que aparecem em casos menos gerais, mas não de menor importância. A seguir discutiremos vetores que satisfazem a chamada equação de Killing conforme: a ξ b + b ξ a = 2ω(x)g ab, para alguma função ω : M R. Vetores que satisfaçam esta equação são chamados vetores de Killing conformes. Proposição 3. Seja ξ a um vetor de Killing conforme, e considere uma geodésica de tipo nulo com vetor tangente u a. Então, a quantidade Q = ξ a u a é conservada ao longo da geodésica. dτ Q = 1 2 ( aξ b + b ξ a )u a u b = ω(x)g ab u a u b = 0. Na última igualdade, usamos que a geodésica é nula. Uma transformação de Weyl, ou conforme, é uma transformação da métrica da forma g ab (x) e 2ω(x) g ab (x), i.e. a métrica original multiplicada por um fator estritamente positivo em toda a variedade.

4 4 CAPÍTULO 1. SIMETRIAS E GRANEZAS CONSERVAAS É possível provar que se uma teoria física associa-se a uma ação S (que é um funcional da métrica e de quaisquer outros campos), tal que S é invariante por transformações de Weyl, então o tensor de energia-momento desta ação tem traço nulo: Invariância sob transformações de Weyl T a a = 0 (vide Blau, 2012). Consideremos portanto uma teoria invariante sob transformações de Weyl. Proposição 4. Seja ξ a um vetor de Killing conforme e seja T ab um tensor de energiamomento de traço nulo. Então, a corrente J a = T ab ξ b é covariantemente conservada. a J a = ( a T ab )ξ b + T ab a ξ b = 1 2 T ab ( a ξ b + b ξ a ) = ω(x)t ab g ab = 0. Comentário: observe que se um vetor ξ a é de Killing para uma métrica g ab, então ele será Killing ou ao menos Killing conforme para qualquer transformação de Weyl da métrica. e fato, seja a transformação g ab g ab = e 2ω g ab, e seja ξ a um vetor de Killing de g ab. A derivada de Lie de g ab ao longo de ξ a é, por definição, ξ g ab = ξ c c g ab + ( a ξ c ) g cb + ( b ξ c ) g ac = ξ c c (e 2ω g ab ) + ( a ξ c )δ c b + ( b ξ c )δ c a = ξ c ( c e 2ω )g ab + ( a ξ b + b ξ a ) = 2(ξ c c ω)e 2ω g ab = 2(ξ c c ω) g ab. Lembramos que a definição covariante da derivada de Lie de um tensor admite que usemos uma conexão qualquer que seja simétrica - assim, optamos por utilizar a conexão de Levi-Civita da métrica g ab, que nos permitiu uma série de cancelamentos nos cálculos acima. Por outro lado, ξ g ab = a ξ b + b ξ a, onde, agora, é a conexão de Levi-Civita associada à metrica g ab. esse modo, onde a ξ b + b ξ a = 2α(x) g ab, α(x) = ξ c c ω(x). Esta é precisamente a equação de Killing conforme. Observe que no caso particular de ω ser constante ao longo das curvas integrais de ξ a, então ξ a será um vetor de Killing propriamente dito. Um vetor de Killing conforme que não é obtido de um vetor de Killing após uma transformação conforme é dito essencial.

5 1.3. TENSORES E KILLING E KILLING-YANO Tensores de Killing e Killing-Yano Vamos relembrar o procedimento básico pelo qual obtivemos grandezas conservadas a partir de vetores de Killing, de modo a podermos generalizar este processo. A equação de Killing se escreve como qualquer uma das seguintes formas: (a ξ b) = 0 a ξ b = [a ξ b]. Usando também a equação da geodésica u a a u b = 0 fornece a grandeza conservada ξ a u a a partir de dτ (ξ au a ) = u b b (ξ a u a ) = u a u b b ξ a = 0. Na última passagem, utilizamos a simetria dos termos u a u b e a antissimetria de a ξ b. Usando esse procedimento, podemos obter dois tipos de generalizações. efinição 1. Um tensor ξ a1...a n de ordem n totalmente simétrico é dito ser um tensor de Killing se satisfizer a equação de Killing tensorial: (a ξ b1...b n) = 0. (1.3.1) Proposição 5. Seja uma geodésica com vetor tangente u a, e seja ξ a1...a n Killing. Então, a grandeza Q = ξ a1...a n u a1 u an é constante ao longo da geodésica. um tensor de dτ Q = ( b ξ a1...a n )u b u a1 u an = 0, pois os termos u a u a1 u an são obviamente simétricos. Observe que devido ao fato de estarmos numa geodésica as primeiras n derivadas covariantes (dos vetores tangentes à geodésica) se anulam identicamente. O segundo tipo de generalização de vetores de Killing são os chamados tensores de Killing-Yano: efinição 2. Um tensor ξ a1...a n de ordem n totalmente antissimétrico é dito ser um tensor de Killing-Yano se satisfizer a equação de Killing-Yano: (a ξ b1 )b 2...b n = 0 a ξ b1...b n = [a ξ b1...b n]. (1.3.2) Proposição 6. Seja uma geodésica com vetor tangente u a, e seja ξ a1...a n Killing-Yano. Então, a corrente um tensor de Y a1...a n 1 = u b ξ ba1...a n 1 é paralelamente transportada ao longo da geodésica.

6 6 CAPÍTULO 1. SIMETRIAS E GRANEZAS CONSERVAAS dτ Y a 1...a n 1 = u a u b b ξ ab1...b n 1 = 0 onde usamos o fato, já usual, de os produtos dos vetores tangente serem simétricos, enquanto b ξ ab1...b n 1 é totalmente antissimétrico. Exemplos: Alguns exemplos imediatos de tensores de Killing são o tensor métrico, cuja grandeza conservada é a própria Lagrangiana (como já vimos neste mesmo capítulo) e produtos de vetores de Killing. Para ver este último fato, sejam ξ a e ζ a dois vetores de Killing. Então dτ (ua u b ξ a ζ b ) = u c c (u a u b ξ a ζ b ) = u a u b u c (ξ a c ζ b + ζ b c ξ a ) = 0, onde usamos o fato de ambos ξ e ζ satisfazerem a equação de Killing e das somas serem simétricas. É fácil generalizar este raciocínio para um número arbitrário de vetores. o raciocínio acima fica evidente que constantes obtidas a partir destes tensores de Killing triviais não acrescentam nada àquelas já obtidas anteriormente. No caso de tensores de Killing-Yano, alguns exemplos triviais são os próprios vetores de Killing. 1.4 Propriedades geométricas de vetores de Killing Voltemos ao estudo dos vetores de Killing. Mostraremos que, de modo surpreendente, estes vetores possum relações diretas com a geometria da variedade onde vivem. Teorema 1. Seja ξ a um vetor de Killing. Então, a b ξ c = R d abcξ d. (1.4.1) comece com a definição do tensor de Riemann [ a, b ]ξ c = a b ξ c b a ξ c = R c dabξ d no caso particular de um vetor de Killing. Vale então a equação de Killing; aplicando-a e baixando os índices, obtemos a b ξ c b a ξ c = R cdab ξ d. Reescreva esta expressão permutando (abc) (bca) e (bca) (cab), e tome (abc) + (bca) (cab); teremos 2 b c ξ a = (R dcab + R dabc R dbca )ξ d = 2R dbca ξ d, onde usamos a simetria do tensor de Riemann. Assim, R d[abc] = 0 a b ξ c = R d abcξ d.

7 Bibliografia [1] M. Blau, Lecture Notes on General Relativity. isponível em Acesso em 8/11/2012. [2] R. M. Wald, General Relativity, The University of Chicago Press (1984). 7