INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL

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1 INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL Victor O. Rivelles Instituto de Física da Universidade de São Paulo

2 ROTEIRO Relatividade Restrita Geometria Diferencial Relatividade Geral Efeitos da Relatividade Geral Ondas Gravitacionais Buracos Negros Cosmologia

3 RELATIVIDADE RESTRITA Formulada por Einstein em A velocidade da luz é a mesma em qualquer referencial inercial. Contração de Lorentz: comprimentos dependem do observador l = l 0 1 v 2 /c 2

4 RELATIVIDADE RESTRITA Dilatação temporal: intervalos de tempo dependem do observador. t = A relatividade restrita muda a geometria: geometria de Minkowski. Na geometria Euclidiana: comprimentos são constantes. t 0 1 v 2 /c 2

5 DIAGRAMAS DO ESPAÇO-TEMPO

6 GEOMETRIA DE MINKOWSKI Quadri-vetor A µ se transforma como o intervalo: A µ = Λ µ νa µ Vetores de base: e µ (4 vetores de base) A = A 0 e 0 + A 1 e 1 + A 2 e 2 + A 3 e 3 = A µ e µ e 0 = (1, 0, 0, 0) e 1 = (0, 1, 0, 0) e 2 = (0, 0, 1, 0) e 3 = (0, 0, 0, 1) Produto escalar de dois vetores: A B = A 0 B 0 + A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 Norma de um vetor não é sempre positiva definida! A A = (A 0 ) 2 + (A 1 ) 2 + (A 2 ) 2 + (A 3 ) 2 Ortogonalidade: Se A B = 0 não significa que são perpendiculares: P. ex. n = e 0 + e 1 tem n n = = 0 e não é o vetor zero!

7 GRAVITAÇÃO NA RELATIVIDADE RESTRITA A força gravitacional Newtoniana propaga-se instantâneamente. É necessário conciliar a relatividade restrita com a gravitação. Einstein demorou 10 anos para compatibilizar a relatividade restrita com a gravitação. E o resultado foi:

8 RELATIVIDADE GERAL Relatividade geral = teoria da gravitação relativística Não há força gravitacional. A gravitação devido à curvatura do espaço. Matéria causa a curvatura do espaço. A curvatura determina o movimento da matéria. Objeto fundamental: métrica g µν Determina todas as propriedades locais do espaço curvo.

9 ESPAÇOS CURVOS O que é um espaço curvo? Geometria Euclidiana: soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus. Geometria Riemanniana: a soma pode ser diferente! Sem curvatura: igual à 180 graus. Curvatura positiva: maior que 180 graus. Curvatura negativa: menor que 180 graus. Geometria extrínsica X geometria intrínsica

10 ESPAÇO EUCLIDIANO EM 3 DIMENSÕES Sistema de coordenadas Cartesiano (x, y, z) Vetores unitários ortogonais i, j, k Sistema de coordenadas arbitrário (u, v, w) P. ex. esféricas (r, θ, φ). Não precisam ser ortogonais. Transformação de coodenadas: x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w) u = u(x, y, z), v = v(x, y, z), w = w(x, y, z) Vetor posição r = x(u, v, w) i + y(u, v, w) j + z(u, v, w) k

11 ESPAÇO EUCLIDIANO EM 3 DIMENSÕES Base natural no novo sistema de coordenadas: e u = r u, r ev = v, r ew = w Em geral não são normalizados e nem ortogonais. Base dual: tomando-se o gradiente e u = u = u u i + u j + x y z z e v = v =..., e w = w =... Para um sistema de coordenadas ortogonal base dual = base natural, mas, em geral, são diferentes. Notação: coordenadas u i = (u, v, w), i = 1, 2, 3 base natural e i = ( e u, e v, e w ) base dual e i = ( e u, e v, e w )

12 ESPAÇO EUCLIDIANO EM 3 DIMENSÕES Expansão de um vetor v = v i e i = v i e i v i componentes contravariantes de v v i componentes covariantes de v Vetor posição infinitesimal d r = r u i dui = e i du i Norma ds 2 = d r d r = e i e j du i du j = g ij du i du j g ij = e i e j é a métrica no sistema de coordenadas dado. Coordenadas Cartesianas g ij = Coordenadas esféricas g ij = 0 r r 2 sin 2 θ ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 ds 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdφ 2

13 ESPAÇO EUCLIDIANO EM 3 DIMENSÕES Tranformação de coordenadas: (u, v, w) para (u, v : w ) e i = u j u i e j, ei = ui e j u j v i = u i u j v j, v i = uj u i v j Tensor tipo (r, s) contravariante de ordem r e covariante de ordem s: T i 1...i r j 1...j s = u i 1 u k... ul 1 1 u j... T k 1...k r 1 l 1...l s A métrica é um tensor covariante de segunda ordem. Isto é o cálculo tensorial no espaço Euclidiano. Pode ser estendido para a relatividade restrita.

14 GEOMETRIA RIEMANNIANA Podemos estudar um espaço curvo como imerso num espaço externo maior: geometria extrínsica. P. ex. a superfície de uma esfera descrita com 3 coordenadas (x, y, z). Podemos estudar o espaço curvo sem fazer referência à um espaço externo: geometria intrínsica. P. ex. a superfície de uma esfera descrita com 2 coordenadas (θ, φ). Usa-se a geometria intrínsica. Usa-se o cálculo tensorial. O tensor métrico g µν caracteriza o espaço completamente. Objetos geométricos como o tensor de Riemann R σ µνρ medem a curvatura do espaço. δv µ = δx ρ δx σ R ρλσ µ V λ O tensor de Riemann é escrito como derivadas de g µν e sua inversa

15 GEOMETRIA RIEMANNIANA Símbolos do Christoffel: eν x λ = Γµ νλ eµ Γ µ νρ = 1 2 gµλ ( νg λρ + ρg λν λ g νρ) Tensor de Riemann: R µ νρσ = ργ µ νσ σγ µ νρ + Γ µ ρτ Γ τ νσ Γ µ στ Γ τ νρ Tensor de Ricci: R µν = R λ µλν Escalar de curvatura: R = g µν R µν Tensor de Einstein: G µν = R µν 1 2 gµνr

16 RELATIVIDADE GERAL Espaço-tempo é um espaço Riemanniano com 4 dimensões e com uma métrica. Métrica é utilizada para medir intervalos no espaço-tempo ds 2 = g µνdx µ dx ν. Métrica g µν pode ser escolhida, num ponto, por uma transformação de coordenadas apropriada, como a métrica de Minkowski η µν: princípio da equivalência. Partículas movem-se em geodésicas no espaço-tempo 2 x µ τ 2 + x ν x ρ Γµ νρ τ τ = 0 Princípio da Covariância: Qualquer lei física que pode ser expressa em notação tensorial na relatividade restrita tem exatamente a mesma forma num sistema localmente inercial no espaço-tempo curvo. Equações de Einstein R µν 1 gµνr = 8πTµν 2 onde R µν = R ρ µρν, R = g µν R µν e T µν é o tensor energia-momento que representa a matéria contida no espaço-tempo. As eqs. de Einstein generalizam a eq. para o potencial gravitacional Newtoniano. Não há sistema de coordenadas preferido pois está escrito em forma tensorial. São 10 eqs. para 10 incógnitas, a métrica g µν. O número de eqs. independentes é menor.

17 LENTES GRAVITACIONAIS Lentes Gravitacionais A curvatura do espaço-tempo distorce o caminho dos raios de luz

18 LENTES GRAVITACIONAIS

19 BURACOS NEGROS ( ds 2 = 1 2MG ) ( dt GM ) 1 dr 2 + r 2 dω 2 r r A métrica é singular em r = 2GM, o horizonte do buraco negro (para o Sol 3 Km!!!) A métrica é singular em r = 0 (singularidade verdadeira) Para r < 2GM espaço e tempo trocam de papel. Andar para a frente no tempo signfica andar para r decrescente dentro do buraco negro Uma vez dentro do buraco negro o único caminho é cair na singularidade. Não há como sair do buraco negro. Próximo da singularidade a força gravitacional é tão intensa que é necessário levar em conta efeitos quânticos. Ninguém sabe como fazer isso.

20 EXISTEM BURACOS NEGROS? Cygnus-X1: buraco negro com 10 massas solares orbitando uma estrela gigante azul Jato emitido pela galáxia M87 causado por um buraco negro supermassivo no centro da galáxia O buraco negro no centro de nossa galaxia!

21 ONDAS GRAVITACIONAIS Ondas gravitacionais produzidas pela colisão de dois buracos negros Detector esférico Mário Schenberg na USP (massa ressonante) LIGO: detector de ondas gravitacionais (interferometria com laser) 4 Km LISA: Conjunto de tres satélites usando interferometria. Distância de 5 milhões Km, lançamento em 2015

22 COSMOLOGIA Cosmologia é o estudo da origem, estrutura e evolução do Universo. Princípio cosmológico: o universo é homogeneo e isotrópico Friedmann encontra soluções cosmológicas da relatividade geral: ds 2 = dt 2 + R 2 (t) ( dr 2 1 kr 2 + r 2 dω 2 ) k = 1 universo fechado k = 1 universo aberto k = 0 universo plano R(t) é o fator de escala do universo. Volume do universo R 3 ( ) 2 Ṙ = k R R 2 + 8π 3 ρ O universo está em expansão (ou

23 UNIVERSO EM EXPANSÃO Na época acreditava-se que o Universo era estático! Em 1917 Einstein modifica suas equações para obter um universo estático. Introduz a constante cosmológica! R µν 1 gµνr + Λgµν = Tµν 2 Em 1929 Hubble descobriu que as galáxias estão se afastando de nós e portanto o Universo está em expansão! Einstein afirma que cometeu o maior erro de sua vida! Lei de Hubble: A velocidade de recessão é proporcional à distância da galáxia. v = H 0 r H 0 = Ṙ R hoje.

24 UNIVERSO EM EXPANSÃO Descreve o comportamento médio das galáxias. Não está em contradição com o Princípio Cosmológico. Como as galáxias estão se afastando uma das outras elas deveriam estar mais próximas no passado. Portanto, no passado, aconteceu o...

25 BIG BANG A explosão inicial, há cerca de 13.7 bilhões de anos atrás. Cosmologia do Big Bang. Em 1949 Gamow prevê a existência da radiação cósmica de fundo deixada pelo Big Bang.

26 RADIAÇÃO CÓSMICA DE FUNDO Em 1965 a radiação cósmica de fundo é descoberta por Penzias e Wilson. Hoje em dia utilizam-se satélites: WMAP Detecta a radiação de fundo à 2.7K e diferenças de temperatura de micro-kelvin.

27 UNIVERSO INFLACIONÁRIO O Universo passou por uma fase de expansão exponencial. Dobrava de tamanho a cada s.!!! A inflação foi gerada pelo inflaton.

28 CURVAS DE ROTAÇÃO Em 1933 o aglomerado de galáxias de Coma é estudado. O movimento das galáxias não pode ser explicado pela atração gravitacional. O mesmo acontece com estrelas na borda das galáxias.

29 CURVAS DE ROTAÇÃO mv 2 r = GMm r v = GM Como a massa da galáxia M 1/r p então a velocidade diminui com r. r Velocidade orbital como função da distância ao centro da galáxia. A - prevista B - observada Parece que há mais massa no aglomerado do aquela vista pelos telescópicos. É então postulado a existência da...

30 MATÉRIA ESCURA É um novo tipo de matéria que praticamente não emite nem reflete luz. Sua natureza é desconhecida. Propostas que provém do modêlo de partículas elementares: axions, WIMPs, neutralino, outras partículas supersimétricas. Há vários experimentos tentando detectar tais partículas. Matéria escura constitui 23% do conteúdo do Universo. Matéria comum constitui apenas 4% do Universo. Ainda faltam 73%!!!

31 EXPANSÃO ACELERADA DO UNIVERSO Em 1998 é descoberta através da observação de supernovas do tipo IA que a expansão do Universo é acelerada. Para explica-la é necessário postular a existência de uma energia que produza pressão negativa: a energia escura. Na relatividade geral o efeito de uma pressão negativa é gerar uma força que se opõem à força gravitacional. A energia escura pode estar na forma da constante cosmológica. Outras alternativas mais exóticas existem: quintessência, cosmologia de branas, etc. A energia escura constitui 73% do conteúdo do Universo.

32 RESUMO Assista ao Big Bang Qual é o destino do universo?

33 Big Rip A gravitação será tão fraca que não manterá unida a Via Láctea. e outras galáxias. Depois o sistema solar não estará mais ligado pela gravitação. Estrelas e planetas serão... E finalmente os átomos serão destruídos.