Formulação integral da dinâmica de fluidos

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1 Formulação integral a inâmica e fluios Paulo R. e Souza Menes Grupo e Reologia Departamento e Engenharia Mecânica Pontifícia Universiae Católica - RJ agosto e 2010

2 Sumário o teorema o transporte e Reynols características as leis e conservação emonstração o teorema o transporte conservação e massa interpretação física os termos a equação casos especiais conservação e quantiae e movimento linear volume e controle fixo volume e controle com velociae constante volume e controle com aceleração linear

3 leis e conservação em linguagem matemática massa: M t = 0 t ρ = 0 quantiae e movimento linear: V ρ = F t one F é a soma e toas as forças que agem sobre a massa M contia em. M = const r r O t = n.t n A V(t) V V g V

4 quantiae e movimento angular: r V ρ = M t M...soma os torques que agem sobre a massa M. energia: ( u + V V ) ρ = t 2 Q+Ẇ u... energia interna, Q, Ẇ... taxas e calor e trabalho. O M = const r r g t = n.t V(t) V n A V V

5 t = n.t 2 a lei a termoinâmica: sρ Q t T s... entropia T... temperatura M = const r r O g n A V(t) V V V

6 observa-se que aparece sempre um termo na forma α(t) t one α é uma graneza por uniae e volume conservação e massa: α = ρ conservação e quantiae e movimento linear: α = ρv cons. e quantiae e movimento angular: α = ρr V conservação e energia: α = ρ ( u + V V ) 2 2 a lei a termoinâmica: α = ρs

7 cálculo e t α(t) { } 1 α(t) = lim α(t + t) α(t) t t 0 t (t+ t) {( ) 1 = lim α(t + t) α(t) t 0 t (t+ t) (t+ t) ( )} + α(t) α(t) (t+ t) = lim t 0 ( 1 + lim t 0 t (t+ t) ( α(t + t) α(t) t α(t) (t+ t) ) α(t) )

8 α(t) = t α t ( ) 1 + lim α(t) t 0 t (t+ t) ou α(t) = t α t + α(t)v n A S(t) V(t+ t) V V.n t n A V=V.n ta V(t) V(t+ t)-v(t)

9 A eq. acima vale para qualquer massa fixa e volume, incluino as massas que, a caa instante, ocupam um volume e controle fixo no espaço : α(t) = t ou α t + α(t)v n A α(t) = α(t) + α(t)v n A t t V(t) VC (fixo no espaço)

10 conservação e massa M t = 0 t ρ = 0 M = const V(t) logo, o teorema o transporte, ρ + ρv n A = 0 t O

11 significao físico os termos t ρ é a taxa e variação com o tempo a massa entro o ρv V(t) ρv VC t tempo t t+ t V n A é o volume que sai por A por uniae e tempo A sobre a superfície e controle n V V=V.n ta V.n t

12 casos especiais escoamento permanente ( t = 0): ρ = 0 t ρv n A = 0 fluio incompressível (ρ = constante): ρ = ρ = 0 t t e, como ρ 0, V n A = 0 ρv n A = 0

13 para um volume e controle fixo: one V ρ = F t S + F B F S... forças e superfície, i.e. forças que agem sobre F B... forças e corpo, i.e. forças que agem sobre a massa em logo, o teorema o transporte, F S +F B = V ρ + V ρv n A t M = const t = n.t n A V(t) V g

14 no sist. e coorenaas cartesianas em que V = uî + vĵ + w ˆk, ir. x: F Sx +F Bx = t ir. y: F Sy +F By = t ir. z: F Sz +F Bz = t uρ + uρv n A vρ + vρv n A wρ + wρv n A t t+ t A sobre a superfície e controle V=V.n ta n u V V.n t v

15 velociae o fluio no referencial móvel Em certas situações é conveniente utilizar um móvel (e.g. esc. em torno e um veículo). Neste caso, utiliza-se um referencial preso ao. Quano a velociae o é constante, o referencial continua seno inercial, e moo que as eqs. para um fixo aina valem, mas as velociaes são agora avaliaas o referencial móvel: V rf V XYZ V rf Y V xyz z y x VC V XYZ = V xyz + V rf Z X V xyz... velociae meia o referencial preso ao V XYZ... velociae meia o referencial preso à terra V rf... vel. o referencial preso ao com relação à terra

16 equação para um com velociae constante F S + F B = t em coorenaas cartesianas, ir. x: ir. y: ir. z: F Sx + F Bx = t F Sy + F By = t F Sz + F Bz = t V xyz ρ + V xyz ρv xyz n A u xyz ρ + u xyz ρv xyz n A v xyz ρ + v xyz ρv xyz n A w xyz ρ + w xyz ρv xyz n A

17 2 a lei e Newton para um referencial não inercial Quano a velociae o não é constante, o referencial preso a ele eixa e ser inercial, e moo que as eqs. para um fixo não valem mais, pois a quant. e movimento tem que ser escrita e um ref. inercial: F S + F B = V XYZ ρ = V XYZ M t t M = M V XYZ t M = M a XYZ M = a XYZ ρ

18 equação para um referencial não inercial mas, quano o movimento é retilíneo, a XYZ = a rf + a xyz a XYZ a rf a xyz logo, F S + F B = = Ma rf + t (a rf + a xyz )ρ V xyz ρ a rf Z Y X z y x VC

19 usano o teorema o transporte, F S + F B Ma rf = V xyz ρ + t em coorenaas cartesianas, ir. x: F Sx + F Bx Ma rfx = t ir. y: F Sy + F By Ma rfy = t ir. z: F Sz + F Bz Ma rfz = t V xyz ρv xyz n A u xyz ρ + u xyz ρv xyz n A v xyz ρ + v xyz ρv xyz n A w xyz ρ + w xyz ρv xyz n A