Modelagem Matemática - Lista de Exercícios - Ricardo M. S. Rosa

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1 Moelagem Matemática - Lista e Exercícios - Ricaro M. S. Rosa Departamento e Matemática Aplicaa, Instituto e Matemática, Universiae Feeral o Rio e Janeiro, Caixa Postal Ilha o Funão, Rio e Janeiro RJ , Brasil

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3 Sumário Capítulo 1. Introução 5 Capítulo 2. Princípios básicos a Mecânica Clássica 7 1. O universo a mecânica clássica 7 2. Moelagem Newtoniana em referências inerciais 7 3. Forças e interação, forças externas e a terceira lei e Newton 9 4. Forças e interação entre partículas 9 5. Campos e força externos 9 Capítulo 3. Princípios a moelagem Lagrangiana Moelagem Lagrangiana em referenciais inerciais Forças conservativas Campos conservativos Princípio a menor ação e Hamilton Vínculos holônomos Vínculos holônomos e coorenaas generalizaas Moelagem Lagrangiana e sistemas com vínculos Sistemas com vínculos implícitos Sistemas com vínculos implícitos e explícitos Campos e força 33 Capítulo 4. Leis e conservação Leis e conservação via leis e Newton Leis e conservação via simetrias o Lagrangiano 40 Capítulo 5. Corpos rígios Representação o movimento e um corpo rígio Energia cinética e um corpo rígio O operaor e inércia Coorenaas generalizaas e problemas e corpos rígios com simetria Ângulos e Euler como coorenaas generalizaas Quatérnios como coorenaas generalizaas 64 Capítulo 6. Sistemas Hamiltonianos Obteno o Hamiltoniano no caso e um grau e liberae Obteno o Hamiltoniano no caso e vários graus e liberae 67 3

4 4 SUMÁRIO 3. Obteno o Lagrangiano a partir o Hamiltoniano Sistemas não-autônomos 70 Capítulo 7. Relativiae restrita 73 Referências Bibliográficas 75

5 CAPíTULO 1 Introução 5

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7 CAPíTULO 2 Princípios básicos a Mecânica Clássica 1. O universo a mecânica clássica 2. Moelagem Newtoniana em referências inerciais A base a mecânica clássica é a formulação Newtoniana e um sistema formao por n N partículas e massa m i > 0, i = 1,..., n, caa uma sujeita a uma força F i R 3 e cujas coorenaas espaciais são aas por u i = u i (t) = (x i (t), y i (t), z i (t)) R 3, em caa instante t R. Em um referencial inercial, esse sistema satisfaz as equações iferenciais (seguna lei e Newton) m i ü i = F i, i = 1,..., n, (2.1) one ü i inica a aceleração a i-ésima partícula, ou seja a seguna erivaa o vetor posição u i (t) em relação à variável temporal t. Essas equações são as leis e movimento o sistema. A força F i em caa partícula poe epener o instante e tempo t e a posição as várias partículas, representano forças externas ao sistema e forças e interação entre a i-ésima partícula e as outras, e moo que em geral temos one F i = F i (t, u), u = (u 1, u 2,..., u n ) R 3n são as coorenaas o sistema, ou seja, um vetor e imensão 3n com as coorenaas espaciais e toas as partículas. Poemos escrever o sistema (2.1) na forma compacta one Mu = F(t, u), (2.2) F = (F 1, F 2,..., F n ) R 3n é uma representação as forças agino no sistema (um vetor e imensão 3n combinano as forças atuano nas iversas partículas) e M é uma matriz iagonal e massas (uma matriz iagonal e imensões 3n 3n formaa pelas massas e caa partícula, que poemos escrever na forma M = iag(m 1, m 1, m 1, m 2, m 2, m 2,..., m n, m n, m n ), inicano os elementos a iagonal). 7

8 8 2. PRINCÍPIOS BÁSICOS DA MECÂNICA CLÁSSICA Exercícios 2.1. Verifique que o sistema e um corpo e massa m > 0 em quea livre vertical ao longo o eixo z, ao na forma z = g, one g > 0 é a aceleração a graviae próxima à superfície a Terra e z é a altura em relação ao solo, poe ser escrito na forma (2.1) com i = 1, m 1 = m, u 1 = (0, 0, z), F 1 (t, u) = (0, 0, mg) Verifique que o sistema massa-mola horizontal sem amortecimento com uma massa m > 0 e uma mola harmônica com coeficiente e restituição k > 0, ao pela equação mẍ = kx, one x é o eslocamente em relação à posição e equilíbrio a mola, poe ser escrito na forma (2.1) com i = 1, m 1 = m, u 1 = (x, 0, 0) e F 1 (t, u) = ( kx, 0, 0) A força e atração gravitacional entre ois corpos celestes e massas m 1, m 2 > 0 tem magnitue F = Gm 1 m 2 /r 2, one G é a constante gravitacional e r é a istância entre esses planetas. Seno u 1 e u 2 a posição o centro e massa esses planetas em um referencial inercial, verifique que esse sistema e ois corpos celestes poe ser escrito na forma (2.1) com F 1 (t, u) = Gm 1 m 2 u 1 u 2 u 1 u 2 3, F 2 (t, u) = Gm 1 m 2 u 2 u 1 u 2 u 1 3, one é a norma Eucliiana, (x, y, z) = x 2 + y 2 + z Verifique o sistema e uas partículas e massas m 1, m 2 > 0 presas entre si por uma mola com coeficiente e restituição k e comprimento e equilíbrio l 0 e sob a ação gravitacional próxima à superfície a Terra poe ser escrito na forma (2.1) com F 1 (t, u) = k( u 2 u 1 l 0 ) (u 2 u 1 ) u 2 u 1 m 1g u 1, F 2 (t, u) = k(( u 1 u 2 l 0 ) (u 1 u 2 ) u 1 u 2 m 2g u 2, one g é o vetor aceleração a graviae e g u i é o prouto escalar entre os vetores g e u i. No caso a coorenaa z ser a altura em relação ao solo, g = (0, 0, g), mas a formula acima vale mesmo que o referencial esteja em outra posição.

9 5. CAMPOS DE FORÇA EXTERNOS 9 3. Forças e interação, forças externas e a terceira lei e Newton 4. Forças e interação entre partículas 5. Campos e força externos

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11 CAPíTULO 3 Princípios a moelagem Lagrangiana 1. Moelagem Lagrangiana em referenciais inerciais Vamos consierar agora o caso em que as forças no sistema são provenientes e um potencial, ou seja, F = (F 1, F 2,..., F n ) é menos o graiente e uma função escalar V : F(t, u) = u V (t, u), one u inica as erivaas apenas em relação às coorenaas espaciais u = (u 1, u 2,..., u n ), lembrano que caa u i tem três coorenaas. A força em caa partícula i tem a forma F i (t, u) = ui V (t, u), one ui inicaa as erivaas parciais em relação às coorenas u i = (x i, y i, z i ) e caa partícula. Consiere a energia cinética total o sistema como seno a função escalar K( u) = 1 n m j u j 2, (1.1) 2 e efina o Lagrangiano o sistema como seno a função escalar j=1 As equações e Euler-Lagrange têm a forma L(u, u, t) = K( u) V (t, u). (1.2) t ul(u, u, t) u L(u, u, t) = 0. (1.3) Esse sistema poe ser esmembrao em um sistema com equações para a posicão e caa partícula: t u i L(u, u, t) ui L(u, u, t) = 0, i = 1,..., n. (1.4) Caa equação essa é na verae um sistema e três equações, consierano-se que a posição e caa partícula é aa por três coorenaas, e moo que ui L = ( L x i, L y i, L z i 11 ),

12 12 3. PRINCÍPIOS DA MODELAGEM LAGRANGIANA e ui L = ( L, L, L ). ẋ i ẏ i ż i Então temos o sistema L t ẋ i L = 0, i = 1,..., n, x i L L = 0, i = 1,..., n., t ẏ i y i L L = 0, i = 1,..., n. t ż i z i Como L(u, u, t) = K( u) V (t, u) e V é inepenente e u, temos ( ) 1 n ( ) 1 ui L = ui K( u) = ui m j u j 2 = ui 2 2 m i u i 2 = m i u i. j=1 Com isso, t u i L = t m i u i = m i ü i. Por outro lao, K( u) é inepenente e u e, assim, usano a hipótese as forças serem potenciais, ui L = ui V (t, u) = F(t, u i ). Portanto, as equações e Euler-Lagrange (1.4) coinciem com as equações e Newton (2.1) nesse caso e forças provenientes e potenciais. Exercícios 1.1. Faça os etalhes os passos acima, convenceno-se e que as equações e Euler-Lagrange (1.4) coinciem com as equações e Newton (2.1) Consiere um corpo e massa m e coorenaas u = (x, y, z) próximo à superfície a Terra, one z inica a istância o objeto ao solo. A força gravitacional que age nessa partícula poe ser aproximaa por F = (0, 0, mg), one g é a aceleração a graviae próxima à superfície a Terra. Verifique que essa força é proveniente o potencial V (x, y, z) = mgz, escreva o Lagrangiano associao a esse problema e euza as equações e Euler-Lagrange para o movimento esse corpo Verifique que as forças gravitacionais F 1 (u) = Gm 1 m 2 u 1 u 2 u 1 u 2 3, F 2 (u) = Gm 1 m 2 u 2 u 1 u 2 u 1 3,

13 1. MODELAGEM LAGRANGIANA EM REFERENCIAIS INERCIAIS 13 entre ois corpos celestes e massas m 1, m 2 > 0 e posições u 1, u 2 R 3 são forças provenientes o potencial ou seja, verifique que V (u) = Gm 1m 2 u 1 u 2, F i (u) = ui V (u), i = 1, Verifique que o sistema e ois corpos celestes e massas m 1, m 2 > 0 e posições u 1, u 2 R 3 poe ser moelao via Lagrangiano L(u, u) = K( u) V (u), one u = (u 1, u 2 ), K( u) é a energia cinética (1.1) o sistema e o potencial gravitacional é ao por V (u) = Gm 1m 2 u 1 u Verifique que o sistema e n N corpos celestes e massas m i > 0 e posições u i R 3, i = 1,..., n, poe ser moelao via Lagrangiano através o potencial gravitacional V (u) = 1 2 j,k=1,...,n j k Gm j m k u j u k = j,k=1,...,n j<k n 1 Gm j m k u j u k = n j=1 k=j+1 Gm j m k u j u k Em relativiae restrita, as equações e movimento e uma partícula livre são aas por t m u 1 u 2 c 2 = 0, one c é a velociae a luz e m é a massa e repouso a partícula. Mostre que essa equação poe ser euzia através as equações e Euler-Lagrange para o Lagrangiano L( u) = mc 2 1 u 2. c Consiere ois Lagrangianos que iferem apenas por um termo que é uma erivaa temporal e uma função que epene apenas o tempo e as coorenaas as partículas, i.e. L(u, u, t) = L(u, u, t) + t G(u, t). Mostre que as equações e Euler-Lagrange associaas aos ois Lagrangianos são iênticas.

14 14 3. PRINCÍPIOS DA MODELAGEM LAGRANGIANA 1.8. Consiere a energia cinética K( u) = 1 2 m u 2, e uma partícula com coorenaas u R 3, em um certo referencial inercial. Seja v 0 R 3 fixo e consiere a muança e variáveis para um referencial se moveno uniformemente em relação ao referencial original com velociae v 0, i.e. as coorenaas v = v(t) a partícula nesse novo sistema são aas por u(t) = v 0 t + v(t). Escreva a energia cinética o sistema nesse novo referencial, i.e. K( v) = K( u) = K(v 0 + v). Mostre que K e K iferem apenas por um termo que é uma erivaa temporal e uma outra função. Mais precisamente, mostre que K(v 0 + v) = K( v) + G(v, t) t para alguma função G(v, t) e v e t, que epene também o parâmetro v Consiere um Lagrangiano L(u, u, t). Faça a muança e variáveis t = τ t, u = µũ. fisicamente representano muanças nas escalas e tempo e espaço. Consierano ũ como a erivaa temporal e ũ = u/µ em relação a nova variável temporal t = t/τ, temos ũ = u t µ = τ u µ t = τ µ u. Consiere agora o novo Lagrangiano Observe que L(ũ, ũ, s) = L(u, u, t) = L(µũ, µ τ ũ, τs). t = τ t, ũ = µ u, ũ = µ τ u. Mostre que as equações e Euler-Lagrange associaas aos ois Lagrangianos são equivalentes, iferino apenas por um fator multiplicativo. Mais precisamente, mostre que ( ) t L(ũ, ũ ũ, t) ũ L(ũ, ũ, t) = µ t ul(u, u, t) u L(ũ, u, t). Logo, se u(t) é solução o sistema com Lagrangiano L(u, u, t), então ũ( t) = u( t/τ)/µ é solução o sistema com o Lagrangiano L(ũ, ũ, t). Ache aina a relação entres os momentos p = u L e p = ũ L. Finalmente, no caso em que p = m u e p = m ũ, ache a relação entre as massas m e m nessas uas escalas.

15 2. FORÇAS CONSERVATIVAS Forças conservativas Vimos acima que a moelagem Lagrangiana epene as forças serem provenientes e um potencial, ou seja, a força F = (F 1, F 2,..., F n ) é menos o graiente e uma função escalar V : F(t, u) = u V (t, u), one u inica as erivaas apenas em relação às coorenaas espaciais u = (u 1, u 2,..., u n ), lembrano que caa u i tem três coorenaas. A função V (t, u) é chamaa e potencial a força F(t, u). Uma força proveniente e um potencial é ita conservativa, pois a energia total o sistema corresponente é conservaa ao longo e caa movimento. Vejamos alguns tipos e forças conservativas: Força gravitacional uniforme: que age em uma partícula e massa m na forma F = mg, one g R 3 é um vetor constante. Se aplica ao caso e uma partícula a massa m sob a ação a graviae próximo à superfície a Terra. No caso e um sistema e referência xyz one z inica a altura, ou seja, o eixo perpenicular à superfície a Terra, então g = (0, 0, g), one g é a aceleração a graviae próximo à superfície a Terra. O vetor g poe assumir outra forma em relação a outros referenciais inerciais, como por exemplo um referencial inclinao ou one z tem o sentio contrário, inicano profuniae. O potencial corresponente tem a forma V(u) = mg u, one u R 3 é a posição a partícula. No caso e um conjunto e n partículas com coorenaas u 1,..., u n sob a ação esse campo, temos F(t, u) = (m 1 g,..., m n g), one m 1,..., m n são as massas as n partículas. O potencial corresponente é V(t, u) = m 1 g u 1 m n g u n, one u = (u 1,..., u n ). Observe que essas expressões são inepenentes as coorenaas inerciais escolhias para representar caa u i. Força e restituição e uma mola harmônica: Age em uas partículas ligaas por uma mola harmônica. A mola possui um comprimento e equilíbrio l 0 > 0 e um coeficiente e restituição k > 0. Se u i, i = 1, 2, são as coorenaas as uas partículas, a força agino na partícula i pela mola ligaa à partícula j é aa por F ij (u) = k( u i u j l 0 ) u j u i u j u i.

16 16 3. PRINCÍPIOS DA MODELAGEM LAGRANGIANA one u = (u 1, u 2 ). Mais uma vez, essa representação inepene o sistema inercial e coorenaas. O potencial corresponente é V ij (u) = 1 2 k( u i u j l 0 ) 2. No caso e um sistema com várias molas, caa uma ligano um certo par e partículas, basta somar os potenciais e caa mola para obter o potencial total. Mas cuiao para não contar o potencial uas vezes ao fazer o somatório uplo i j ; o certo é fazer i<j, ou então iviir o potencial V ij por ois e somá-lo uas vezes, com i < j e com i > j. Força gravitacional universal: Essa força age entre ois corpos celestes e massas m 1, m 2 > 0 e posições u 1, u 2. A força e atração gravitacional que a partícula j exerce na partícula i é aa por u i u j F ij (u) = Gm i m j u i u j. 3 O potencial corresponente é V ij (u) = Gm im j u i u j. No caso e vários corpos celestes, basta somar o potencial para caa par e corpos, com a mesma ressalva feita no caso e várias molas harmônicas, para evitar contar caa potencial uas vezes. Força elétrica: Essa força age entre ois corpos carregaos eletricamente. Consierano corpos com cargas q 1, q 2 0 e posições u 1, u 2, a força elétrica que a partícula j exerce na partícula i é aa por F ij (u) = q iq j u i u j 4πɛ 0 u i u j, 3 Exercícios one ɛ 0 é a constante e permissiviae o meio. O potencial corresponente é V ij (u) = 1 q i q j 4πɛ 0 u i u j. No caso e várias partículas carregaas eletricamente, basta somar o potencial para caa par e cargas, com a mesma ressalva feita nos casos anteriores, para evitar contar caa potencial uas vezes Verifique que uma força F(u) R 3 e um sistema e uma partícula com coorenaas u R 3 é conservativo se e somente se o rotacional e F(u) se anula para too u R 3, i.e. F(u) = 0, u R 3.

17 4. PRINCÍPIO DA MENOR AÇÃO DE HAMILTON Verifique que uma força F(u) R 3 e um sistema e uma partícula com coorenaas u R 3 é conservativo se e somente se o trabalho F(u) u = 0, γ ao longo e qualquer caminho fechao γ (i.e. γ é uma curva parametrizaa por uma trajetória u : [t 0, t 1 ] R 3 com u(t 0 ) = u(t 1 ).) 2.3. Escreva o potencial gravitacional uniforme em um referencial inclinao e uma ângulo α, apropriao para o movimento e uma partícula eslizano sobre um plano inclinao próximo à superfície a Terra Escreva o potencial associao a três molas harmônicas, ligano em série três partículas no espaço, como em um triângulo, e one caa mola tem um coeficiente e restituição k i e um comprimento e equilíbrio l i, i = 1, 2, Mostre que se as forças entre uas partículas atuam na ireção que une essas uas partículas, têm sentios contrários, têm a mesma magnitue e essa magnitue epenente apenas a istância entre essas uas partículas, então essas forças são conservativas. Mais precisamente, assuma que F ij (u) tem a forma F ij (u) = ϕ( u i u j ) u i u j u i u j, one ϕ : (0, ) R, e mostre que o potencial é ao por V ij (u) = ψ( u i u j ), one ψ é uma primitiva qualquer e ϕ, i.e. ψ (r) = ϕ(r), para too r > Campos conservativos 4. Princípio a menor ação e Hamilton As equações e Euler-Lagrange aparecem o princípio a menor ação. Enquanto na moelagem Newtoniana um sistema é efinio pelas massas as partículas e o conjunto e forças que agem em caa partícula, na moelagem Lagrangiana, um sistema é efinio função Lagrangiana. A Lagrangiana epene as posições e velociaes as partículas e o instante e tempo e contém as informações necessárias sobre as massas e as forças. Daa uma Lagrangiana L = L(u, u, t), a ação ao longo e um caminho u é efinia pela integral S(u) = t1 t 0 L(u(t), u(t), t) t. O princípio a menor ação afirma que a trajetória que um sistema percorre saino e uma posição u(t 0 ), no instante t 0, e ino até uma posição u(t 1 ), em um instante

18 18 3. PRINCÍPIOS DA MODELAGEM LAGRANGIANA subseqüente t 1 é ao pelo mínimo a ação ao longo e toos os caminhos possíveis, i.e. S(u) = min v V S(v), one o mínimo é tomao em relação a toos os possíveis caminhos ligano u(t 0 ) a u(t 1 ) urante esse intervalo e tempo, i.e. logo V = V(t 0, t 1, u(t 0 ), u(t 1 )) = {v = v(t); t 0 t t 1, v(t 0 ) = u(t 0 ), v(t 1 ) = u(t 1 )}. Escreveno v = u + w, poemos consierar o conjunto W(t 0, t 1 ) = {w = w(t); t 0 t t 1, w(t 0 ) = 0, w(t 1 ) = 0}, V = u + W, e o problema e minimização poe ser escrito como S(u) = min S(u + w), w W Assim como no Cálculo e Várias Variáveis, um ponto e mínimo e S(v) é um ponto crítico e a sua erivaa, em algum sentio, se anula. A expressão nas equações e Euler-Lagrange são, essencialmente, o graiente e S(v), e essas equações representam a conição esse graiente se anular. Assim, resolveno as equações e Euler-Lagrange, estamos encontrano um ponto crítico a ação, que poe, em particular, ser um ponto e mínimo, epeneno a forma a ação. Daa uma função w W, usano expansão em série e Taylor o Lagrangiano em torno o ponto u e utilizano integração por partes, temos S(u + εw) S(u) t1 ( lim = u L(u, u, t) ) ε 0 ε t ul(u, u, t) w(t) t. t 0 Esta expressão é a erivaa irecional e S(u) no ponto u e na ireção w. Em Análise Funcional e no Cálculo as Variações, essa erivaa leva o nome e erivaa e Gâteaux. Para u ser um ponto crítico, a erivaa e Gâteaux e S em u na ireção w eve se anular para toas as ireções possíveis w W. Isso ocorre se e somente se a expressão entre parênteses na erivaa e Gâteaux se anula em toos os intantes t [t 1, t 2 ], o que nos leva às equações e Euler-Lagrange, t ul(u, u, t) u L(u, u, t) = 0, para o ponto crítico u. Pelo princípio a menor ação, a trajetória percorria pelo sistema físico efinio por um certo Lagrangiano eve satisfazer as equações e Euler- Lagrange corresponentes. Exercícios

19 5. VÍNCULOS HOLÔNOMOS Faça a expansão em série e Taylor e L(u+εw, u+εẇ, t) no ponto (u, u), na ireção em (w, ẇ) até a primeira orem em ε, i.e. esprezano os termos envolveno ε p, com p Usano integração por partes e a expansão em série e Taylor o exercício acima mostre que S(u + εw) S(u) ε = ε t1 t 0 ( u L(u, u, t) ) t ul(u, u, t) w(t) t + O(ε 2 ), one O(ε 2 ) representam os termos e orem maior ou igual a ois em ε esprezaos na expansão e Taylor. Conclua que S(u + εw) S(u) t1 ( lim = u L(u, u, t) ) ε 0 ε t ul(u, u, t) w(t) t. t O Lema Funamental o Cálculo as Variações iz que se uma função contínua f : [t 0, t 1 ] R é tal que t1 g(t)w(t) t = 0, t 0 para toa w : [t 0, t 1 ] R contínua com w(t 0 ) = w(t 1 ) = 0, então f(t) = 0 para too t [t 0, t 1 ]. Mostre esse resultao Se L = L(u, u, ü), u : [t 0, t 1 ] R, ache a erivaa e Gâteaux e L no ponto u e na ireção w, i.e. ache g : [t 0, t 1 ] R tal que 1 lim (S(u + εw) S(u)) = ε 0 ε t1 t 0 g(t)w(t) t, para too w : [t 0, t 1 ] R com w(t 0 ) = w(t 1 ) = w (t 0 ) = w (t 1 ) = 0, one S(u) = t1 t 0 L(u, u, ü) t. 5. Vínculos holônomos As leis e movimento são sistemas e equações iferenciais orinárias e seguna orem. Assim, em geral, o movimento as partículas está eterminao pelas leis e movimento e pelos aos iniciais o sistema, que vêm a ser as coorenaas espaciais a posição e a velociae e caa partícula. Dessa maneira, o sistema está restrito a percorrer um certo caminho eterminao por essas leis e movimento. Essa é uma restrição inâmica, pois está eterminaa pelas leis e movimento. Mas a configuração inicial está livre para assumir qualquer valor. Há outros tipos e restrições que limitam as possíveis configurações o sistema inepenentemente as equações e movimento. Por exemplo, no movimento e um pênulo planar, com uma haste e comprimento l e com uma as extremiaes presa a um certo ponto P, o movimento a extremiae livre a haste está restrito a uma circunferência e raio l e centro em P. Esta não é uma restrição inâmica, é uma

20 20 3. PRINCÍPIOS DA MODELAGEM LAGRANGIANA restrição imposta inepenentemente as leis e movimento e as forças externas que atuam no sistema. Restrições esse tipo levam o nome especial e vínculos. No caso o pênulo planar, consierano o ponto P como a origem o sistema e referências e consierano o plano e movimento como seno o plano yz, o vínculo poe ser ao implicitamente pelas equações { x 2 + y 2 + z 2 = l 2, x = 0. Como a seguna equação etermina que x = 0, poemos omitir x na primeira equação e escrever o vínculo na forma equivalente { y 2 + z 2 = l 2, x = 0. Na realiae, o problema o pênulo é composto por uma quantiae enorme e átomos ligaos por forças atômicas e subatômicas, one as restrições são e fato inâmicas. Mas macroscopicamente, poemos consierar a haste rígia e a restrição como seno uma imposição física, ou seja, um vínculo, conforme escrito acima. Restrições mais gerais poem envolver sistemas e equações e/ou esigualaes envolveno as posições u i e as velociaes u i as várias partículas. Por exemplo, uma partícula representano uma bola quicano sobre uma superfície plana horizontal possui o vínculo z 0, consierano a superfície rígia ao longo o eixo z = 0. Um pênulo planar restrito a oscilar paralelamente ao plano yz e one uma as extremiaes está presa a um carrinho que se move com velociae constante v ao longo o eixo x, transversal ao seu plano e oscilação, poe ser escrito pela posição u = (x, y, z) a extremiae livre a haste, com as restrições { y 2 + z 2 = l 2, ẋ = v. Vimos acima vínculos que são igualaes ou esigualaes e envolveno as posições e as velociaes as partículas. Mas no que se segue, vamos consierar apenas os chamaos vínculos holônomos, que são os que poem ser escritos através e equações envolveno apenas as posições u i as partículas, ou seja, sem esigualaes e sem epener intrinsicamente as erivaas u i. Matematicamente, poemos escrever vínculos holônomos na forma geral e r equações escalares Φ k (u 1, u 2,..., u n, t) = 0, k = 1,... r, one caa vínculo é ao pela curva e nível zero e uma função Φ k : R 3n R R. Em forma vetorial, poemos consierar Φ = (Φ 1,..., Φ r ) : R 3n R R r, e moo

21 6. VÍNCULOS HOLÔNOMOS E COORDENADAS GENERALIZADAS 21 o sistema e r restrições escalares se escreve como uma única equação vetorial com valores em R r : Φ(t, u) = 0. No caso o pênulo planar, temos u = (x, y, z), r = 2, Φ = (Φ 1, Φ 2 ) e Φ 1 (x, y, z) = y 2 + z 2, Φ 2 (x, y, z) = x. O caso a bola quicano sobre uma superfícia não é e um vínculo holônomo e não será consierao. Mas o caso o pênulo se moveno transversalmente ao plano e oscilação, apesar e não estar na forma e um vínculo holônomo, poe ser reescrito como tal. De fato, a conição ẋ = v poe ser integraa para ar a relação x = vt, assumino a posição inicial como seno x = 0. Assim, nesse caso, poemos escrever u = (x, y, z), r = 2, Φ = (Φ 1, Φ 2 ) e Φ 1 (x, y, z) = y 2 + z 2, Φ 2 (x, y, z, t) = xt. Observe que nesse caso a restrição aparece explicitamente com a variável temporal t. Exercícios 5.1. Verifique que o problema e um corpo em quea livre vertical poe ser escrito com os vínculos x = 0 e y = Escreva a equação e vínculo e uma partícula eslizano em um plano inclinao normal ao vetor n = (a, b, c), com a, b R, c 0, e passano pela origem Escreva as equações e vínculo e um sistema tipo pênulo formao por uas partículas presas por uma haste e comprimento l em que uma as partículas está restrita a uma superfície e equação z = h(x, y). Ignore a colisão entre a outra partícula e a superfície, ou seja, a outra partícula partícula poe atravessar a superfície (caso contrário teríamos um vínculo não-holônomo) Escreva as equações e vínculo e um sistema semelhante ao o item anterior, com a iferença e que ao invés e uma haste rígia ligano as partículas temos uma mola Escreva as equações e vínculo na forma holônoma e um sistema tipo pênulo com uma haste e comprimento l e one uma as extremiaes a haste é aceleraa ao longo o eixo y com aceleração constante a Um sistema e ois corpos celestes está restrito a um movimento planar. Escolheno esse plano como seno o plano xy, escreva as equações e vínculo para esse sistema. 6. Vínculos holônomos e coorenaas generalizaas Os vínculos restringem os movimentos possíveis e um sistema e, com isso, restringem o número e graus e liberae o mesmo. O número e graus e liberae o sistema é o número e coorenaas necessárias para representar as posições e toas as partículas o sistema. Em um sistema e n partículas sem vínculo, o número e

22 22 3. PRINCÍPIOS DA MODELAGEM LAGRANGIANA graus e liberae é 3n, pois para caa partícula precisamos e três coorenaas para eterminar a sua posição. Em um sistema com vínculos, esse número é menos. Por exemplo, no caso e um pênulo planar, temos ois vínculos e, com isso, ao invés e três graus e liberae, temos apenas um, seno apenas necessário saber o ângulo que o pênulo faz com o eixo vertical para eterminar toas as outras três coorenaas. Poemos escrever isso explicitamente através as relações x = 0, y = l sin θ, z = l cos θ. Observe que nessa forma escolhemos o ângulo θ como seno o ângulo entre eixo z e o vetor posição a extremiae livre, no sentio anti-horário. Isso foi escolhio e forma a tornar o ângulo θ = 0 corresponeno à posição e equilíbrio (x, y, z) = (0, 0, l), no caso e consierarmos a atração gravitacional ao longo o eixo z e no sentio contrário ao e crescimento e z. Logo, z representa a altura a extremiae livre o pênulo. De outra forma, poemos escrever (x, y, z) = (0, l sin θ, l cos θ). Nesse caso, chamos θ e coorenaas generalizaas o sistema. Em muitos casos, as coorenaas e um sistema e n partículas com r vínculos poe ser escrito explicitamente em termos a variável temporal t e e = n r coorenaas generalizaas q 1,..., q, ou seja u i = u i (q 1,..., q, t), i = 1,..., n. Para isso, os vínculos têm que ser, em particular, inepenentes. De fato, poemos escrever três vínculos para o sistema o pênulo planar, x 2 + y 2 + z 2 = l 2, y 2 + z 2 = l 2, x = 0. mas é óbvio que eles são reunantes. Poemos pegar quaisquer uas equações essas três que continuamos com os mesmo vínculos. Dessa forma, se tivermos r vínculos inepenentes, então em geral poemos escrever as coorenaas as partículas o sistema em termos e = 3n r coorenaas generalizaas. Esconio nessa afirmação está o Teorema a Função Implícita, que á conições para escrevermos as 3n coorenaas em função e apenas coorenaas. Mas lembrem-se que esse teorema é local, ou seja as conições o teorema só ão uma representação esse tipo localmente, próximo a um ponto one a iferencial a função e vínculo Φ em relação a certas r coorenaas é inversível. Mas não vamos nos preocupar com essas conições. Trataremos e exemplos em que essa representação poe ser aa globalmente e e maneira natural em termos e certas coorenaas generalizaas, como

23 6. VÍNCULOS HOLÔNOMOS E COORDENADAS GENERALIZADAS 23 em coorenaas polares, esféricas, cilinricas ou apenas algumas as coorenaas cartesianas, como no caso e uma partícula restrita a uma superfície z = h(x, y). Em certos casos, poe ser natural tratar alguns vínculos e forma explícita e outros e forma implícita. Por exemplo, o pênulo girante é um sistema em que um pênulo é forçao a girar com velociae angular constante ω em torno e um eixo vertical passano pelo ponto one fica a extremiae fixa a haste. Usano coorenaas esféricas para eterminar a posição u = (x, y, z) a extremiae livre a haste, temos, explicitamente, as conições x = l sin ϕ cos θ, y = l sin ϕ sin θ, z = l cos ϕ. observe que essa forma a extremiae fixa a haste está na origem o sistema e o ângulo ϕ representa o ângulo o eixo z e o vetor posição u, e moo que ϕ = 0 correspone ao ponto e equilíbrio u = (0, 0, l) o pênulo. Mas a representação acima não leva em consieração aina a conição o pênulo girar com velociae angular constante ω em torno o eixo vertical z. Isso poe ser expresso através o vínculo θ = ω. Temos, assim, coorenaas generalizaas θ e ϕ, com a representação u = u(θ, ϕ) = (l sin ϕ cos θ, l sin ϕ sin θ, l cos ϕ), com o vínculo θ = ω. Esse vínculo não está na forma holônoma, mas poe ser transformao em vínculo holônomo escreveno-o como θ = ωt, e consierano θ = 0 como representano a situação no instante inicial. Assim, poemos reuzir aina mais o sistema, a um único grau e liberae, com coorenaa generalizaa ϕ, escreveno u = u(ϕ, t) = (l sin ϕ cos(ωt), l sin ϕ sin(ωt), l cos ϕ). Exercícios 6.1. Consiere um sistema e pênulo uplo planar, com hastes e comprimento l 1, l 2 > 0. Use como coorenaas generalizaas os ângulos θ 1 e θ 2 que caa pênulo faz com o eixo vertical, a partir a posição e equilíbrio com os pênulos para baixo e cresceno no sentio anti-horário. Escreve as coorenaas u 1 e u 2 e caa pênulo em termos e θ 1 e θ Generalize a questão anterior para o caso e n pênulos e comprimento l 1,..., l n > 0 e massas m 1,..., m n > 0.

24 24 3. PRINCÍPIOS DA MODELAGEM LAGRANGIANA 6.3. Consiere um objeto preso a uma mola one a outra extremiae a mola está presa à origem e um sistema e coorenaas xyz. Consiere apenas movimentos planares a mola, com o objeto restrito ao plano yz. Use como coorenaas generalizaas o comprimento r a mola e o ângulo θ que o vetor posição o objeto faz com o eixo z, no sentio anti-horário. Escreva as coorenaas a posição o objeto em termos e r e θ Escolha uas variáveis generalizaas apropriaas para representar o sistema e um pênulo e comprimento l one uma as extremiaas a haste está restrita à circunferência e raio a > 0 no plano xy e centro na origem o eixo xyz e a outra extremiae está restrita a oscilar no plano perpenicular à reta que liga a origem a extremiae restrita à circunferência. 7. Moelagem Lagrangiana e sistemas com vínculos A grane vantagem a moelagem Lagrangiano é o tratamento e sistemas com vínculos. Nessa moelagem, não é necessário achar as forças e tensão que mantém os vínculos. As forças e vínculo aparecem naturalmente. Assim, se os vínculos poem ser escritos explicitamente em termos e coorenaas generalizaas, ou seja, se a posição u i e caa partícula poe ser escrita em termos a variável temporal e e coorenaas generalizaas q 1,..., q : u i = u i (q 1,..., q, t), então poemos escrever o Lagrangiano em termos a variável temporal t, as coorenaas generalizaas q 1,..., q e as suas velociaes generalizaas q 1,..., q, L = L(q, q, t), one q = (q 1,..., q ) e q = ( q 1,..., q ). As equações e Euler-Lagrange para esse Lagrangiano são equações e seguna orem para as coorenaas generalizaas q: t ql(q, q, t) q L(q, q, t) = 0. (7.1) Este é um sistema e equações e seguna orem, L(q, q, t) L(q, q, t) = 0, t q k q k k = 1,...,. (7.2) No caso o Lagrangiano o sistema sem vínculos ter a forma L(u, u, t) = K( u) V (t, u), então, para o sistema com vínculos, basta substituir u por u(q, t), em função e q, e usar a regra a caeia para substituir u por u = t u(q, t) = D qu(q, t) q + t u(q, t), one t u(q, t) inica simplesmente a erivaa partial e u(q, t) em relação a seguna variável, t, e D q u(q, t) inica o operaor iferencial as erivaas parciais e u =

25 7. MODELAGEM LAGRANGIANA DE SISTEMAS COM VÍNCULOS 25 (u 1,..., u n ) em relação às variáveis q = (q 1,..., q ). Observe que esse operaor iferencial é um operaor e R em R 3n. Assim, L(q, q, t) = K(D q u(q, t) q + t u(q, t)) V (t, u(q, t)). Por exemplo, no caso o pênulo planar, temos um grau e liberae, = 1, com a coorenaa generalizaa q 1 = θ, e a posição u = u 1 aa em termos e θ pela relação u = u(θ) = (0, l sin θ, l cos θ). Assim, a velociae se escreve em termos e θ e θ como u = t (0, l sin θ, l cos θ) = (0, l θ cos θ, l θ sin θ). E a energia cinética é aa por 1 2 m u 2 = 1 2 m(l2 θ2 cos 2 θ + l 2 θ2 sin 2 θ) = 1 2 ml2 θ2. Em geral, a energia cinética poe epener a própria coorenaa generalizaa, no caso θ, mas nesse caso em particular, a epenência em θ esaparece e a energia cinética epene apenas e θ: K( θ) = 1 2 ml2 θ2. A energia potencial é mgz, com z = mg cos θ, ou seja, Assim, o Lagrangiano toma a forma V (θ) = mgl cos θ. L(θ, θ) = K( θ) V (θ) = 1 2 ml2 θ2 + mgl cos θ. Para achar as equações e Euler-Lagrange associaas a esse Lagrangiano, calculamos as erivaas θ L(θ, θ) = mgl sin θ, θ L(θ, θ) = ml 2 θ, t θ L(θ, θ) = ml 2 θ. Logo, as equações e Euler-Lagrange para o sistema tomam a forma ml 2 θ + mgl sin θ = 0. Essa equação é equivalente à equação obtia pela seguna lei e Newton, one fazemos a ecomposição a força gravitacional em uma componente tangencial ao movimento, cancelano a parte normal com a força e tensão na haste, e que leva à equação ml θ = mg sin θ.

26 26 3. PRINCÍPIOS DA MODELAGEM LAGRANGIANA Exercícios 7.1. Verifique que o problema e um corpo e massa m e altura z em quea livre vertical próximo a superfície a Terra poe ser moelao via equações e Euler-Lagrange com o Lagrangiano L(z, ż) = 1 2 mż2 mgz, one V (z) = mgz é o potencial a força gravitacional próximo à superfície a Terra. Mais precisamente, consiere z como coorenaa generalizaa, obtenha o Lagrangiano acima em termos essa coorenaa generalizaa e mostre que as equações e Euler-Lagrange para esse Lagrangiano coinciem com as equações e Newton para esse problema Da mesma forma, verifique que o sistema massa-mola horizontal com um corpo e massa m > 0 e uma mola harmônica com coeficiente e restituição k > 0 poe ser moelao através o Lagrangiano L(x, ẋ) = 1 2 mẋ2 1 2 kx2, one V (x) = kx 2 /2 é o potencial a mola harmônica Ache a equação e movimento para o problema o pênulo girante tratao na seção Consiere um problema em que uma partícula e massa m 1 está penuraa por um fio e tal forma que ela está restrita a um movimento vertical ao longo o eixo z. Imagine que há uma mesa no plano xy e que o fio passa através a mesa por um buraco localizao na origem. A outra ponta o fio está presa a uma partícula e massa m 2 que está restrita a se movimentar no plano xy. O comprimento o fio é l. Use coorenaas polares para representar a posição a seguna partícula, e moo que u 2 = (r cos θ, r sin θ, 0), e tal forma que a primeira partícula está localizaa em u 1 = (0, 0, r l), assumino que r l, caso contrário, em termos físicos, a primeira partícula teria atravessao o buraco a mesa e se encontraria em cima a mesa e fora o eixo z. Usano (r, θ) como coorenaas generalizaas, encontre o Lagrangiano esse sistema e as equações e movimento corresponentes. Em seguia, encontre para caa raio R < l, uma velociae angular ω tal que a primeira partícula se mantém em equilíbrio, i.e. encontre ω tal que (r(t), θ(t)) = (R, ωt) é uma solução o sistema Consiere uma partícula e massa m se moveno sobre a curva z = h(y), x = 0 e sob a atração gravitacional uniforme ao longo e z e no sentio

27 7. MODELAGEM LAGRANGIANA DE SISTEMAS COM VÍNCULOS 27 contrário ao e crescimento e z (ou seja, z é uma altura ). Poemos consierar y como uma coorenaa generalizaa. Escreva o Lagrangiano L = L(y, ẏ) esse sistema com vínculo e ache a equação e Euler-Lagrange associaa a esse sistema Consiere uma partícula e massa m se moveno sobre uma superfície z = h(x, y) e sob a ação gravitacional ao longo o eixo z e contrária ao sentio e crescimento e z. Tomano x e y como coorenaas generalizaas, escreve o Lagragiano L(x, y, ẋ, ẏ) e as equações e Euler-Lagrange corresponentes Consiere uas partículas e massas m 1 e m 2 se moveno ao longo e uma curva convexa z = h(y), x = 0, sob a ação gravitacional ao longo a altura z e unias por uma mola e harmônica com coeficiente e restituição k e comprimento e equilíbrio l 0. Use como coorenaas generalizaas as coorenaas y 1 e y 2 e caa partícula. Ache o Lagrangiano L(y 1, y 2, ẏ 1, ẏ 2 ) esse sistema e escreva as equações e Euler-Lagrange esse sistema Consiere um sistema e pênulo uplo planar, com hastes e comprimento l 1, l 2 > 0 e massas m 1, m 2 > 0, sob a ação a graviae próxima à superfície a Terra. Use como coorenaas generalizaas os ângulos θ 1 e θ 2 que caa pênulo faz com o eixo vertical, a partir a posição e equilíbrio com os pênulos para baixo e cresceno no sentio anti-horário. Ache o Lagrangiano esse sistema e as equações e Euler-Lagrange corresponentes Generalize a questão anterior para o caso e n pênulos e comprimento l 1,..., l n > 0 e massas m 1,..., m n > Consiere um objeto e massa m > 0 preso a uma mola harmônica com coeficiente e restituição k > 0 e comprimento e equilíbrio l 0, one a outra extremiae a mola está presa à origem e um sistema e coorenaas xyz. Consiere apenas movimentos planares a mola, com a massa restrita ao plano yz. Use como coorenaas generalizaas o comprimento r a mola e o ângulo θ que o vetor posição a massa faz com o eixo z, no sentio anti-horário. Escreva o Lagrangiano esse sistema e as equações e Euler- Lagrange corresponentes Consiere ois Lagrangianos que iferem apenas por um termo que é uma erivaa temporal e uma função que epene apenas o tempo e as coorenaas generalizaas, i.e. L(q, q, t) = L(q, q, t) + G(q, t). t Mostre que as equações e Euler-Lagrange associaas aos ois Lagrangianos são iênticas.

28 28 3. PRINCÍPIOS DA MODELAGEM LAGRANGIANA 8. Sistemas com vínculos implícitos Às vezes não é tão óbvio ou não é necessário escrever os vínculos e maneira explícita. É possível trabalhar com eles e maneira implícita, baseao no métoo e multiplicaores e Lagrange. Consierano um sistema e n N partículas com posições u 1,..., u n e com r N, 1 r < n, vínculos implícitos representaos pelas equações Φ k (u 1,..., u n, t) = 0, k = 1,... r. temos um sistema com = n r graus e liberae. Mas não vamos reuzir o sistema explicitamente em termos e coorenaas generalizaas, Vamos trabalhar com os vínculos e maneira implícita. Caso o sistema sem os r vínculos implícitos tenha o Lagrangiano L(u, u, t), então, para o sistema com os vínculos implícitos, consieramos o novo Lagrangiano nas novas 3n + r coorenaas L λ (u, λ, u, λ, t) = L(u, u, t) + λ Φ(u, t), (u, λ) = (u 1,..., u n, λ 1,..., λ r ), one Φ = (Φ 1,..., Φ r ). As equações e Euler-Lagrange para esse novo Lagrangiano são t ( u, λ) L(u, λ, u, λ) (u,λ) L λ (u, λ, u, λ) = 0. Mas como L λ na verae não epene explicitamente e λ e a epenência em λ é linear, essas equações poem ser reuzias à seguinte forma t ul(u, u, t) u L(u, u, t) = λ D u Φ(u, t). (8.1) Φ(u, t) = 0. Na equação acima, λ é um vetor e r coorenaas e D u Φ(u, t) é a matriz r 3n as erivas parciais e Φ(u, t) = (Φ 1,..., Φ r ) em relação a u = (u 1,..., u n ), e o prouto λ D u Φ(u, t) é para ser entenio como o vetor e coorenaas formaas pelo prouto escalar entre λ e caa coluna essa matriz. Lembrem-se que as 3n colunas essa matriz são as erivaas parciais o vetor Φ(u, t) em relação às coorenaas (x 1, y 1, z 1,..., x n, y n, z n ) e u, enquanto que as suas r linhas são os graientes u Φ k. Interpretano p = u L(u, u, t) como o momento o sistema e F = u L(u, u, t) + λ D u Φ(u, t)

29 8. SISTEMAS COM VÍNCULOS IMPLÍCITOS 29 como as forças atuano no sistema, poemos interpretar o termo F λ = λ D u Φ(u, t) como representano as tensões, ou forças e vínculo o sistema (provenientes os vínculos implícitos Φ = 0), enquanto que F 0 = u L(u, u, t) são as forças aplicaas inepenentes os vínculos implícitos. Observe que em caa instante e tempo t, o conjunto {u R 3n ; Φ(u, t) = 0} forma uma superfície e imensão no espaço R 3n ; é a superfície e nível zero e Φ(, t). Por sua vez, o vetor λ D u Φ(u, t) poe ser reinterpretao como uma combinação linear os graientes u Φ k, k = 1,..., r, i.e. λ D u Φ(u, t) = λ 1 u Φ 1 (u, t) λ r u Φ r (u, t). Esses graientes geram o espaço normal à superfície e nível zero e Φ(, t), em caa instante e tempo t. As tensões, ou forças e vínculo, são, então, normais à superfície à qual o movimento está restrito, e são forças necessárias para manter o movimento nessa superfície. Exercícios 8.1. Obtenha o sistema x = 0, ÿ = bcg b 2 + c, 2 z = by, c para o movimento e uma partícula e massa m e centro e massa u = (x, y, z) eslizano sobre a reta e equações by + cz =, x = 0, com c 0, b, R, a partir as equações e Euler-Lagrange o sistema com vínculo implícito representao pelo Lagrangiano L λ (u, λ, u) = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) mgz + λ 1 x + λ 2 (by + cz ), one λ = (λ 1, λ 2 ) é o vetor e multiplicaores e Lagrange associaos aos vínculos Φ(x, y, z) = 0, one Φ(x, y, z) = (Φ 1 (x, y, z), Φ 2 (x, y, z)) = (x, by + cz ) Obter as equações iferenciais e seguna orem para x e y associao ao eslizamento e uma partícula sobre o plano ax + by + cz =, com c 0, a, b, R, a partir o métoo e multiplicaores e Lagrange, ou seja, tratano esses vínculos implicitamente, e maneira semelhante ao exercício 1.

30 30 3. PRINCÍPIOS DA MODELAGEM LAGRANGIANA 8.3. Consiere o problema o movimento e uma partícula sobre uma curva z = h(y), x = 0, sob a ação a graviae com aceleração uniforme (0, 0, g). Esse problema foi tratao no exercício 5 a seção 7. Obtenhas a mesma equação para y mas esta vez tratano os vínculos e maneira implícita Vimos que as equações (8.1) poem ser interpretaas na forma p t = F 0 + F λ one p é o momento generalizao o sistema, F 0 são as forças aplicaas inepenentes os vínculos e F λ são as tensões relacionaas às forças e vínculo. Essas tensões são a forma F λ = λ D u Φ(u, t), inicano que elas são normais à superfície. O termo λ = λ(t) varia ao longo o movimento e está iretamente associao à magnitue as forças e tensão. Quano λ = 0, as tensões são nulas e o momento p e as forças F 0 estão em equilíbrio. Em um problema em que uma partícula esliza sobre uma superfície, as tensões são perpeniculares à superfície e naturalmente apontam para cima, contrabalançano a componente normal a força a graviae. O momento t 0 em que essas tensões se anulam, i.e. λ(t 0 ) = 0, é um possível momento e escolamento a partícula a superfície. Esse escolamento ocorre no caso em que λ troca e sentio ao passar pelo instante t 0. A partir esse momento, o moelo passa a não ser mais válio, pois as tensões teriam o mesmo sentio que a força a graviae. O moelo real associao a esse problema é o caso e uma partícula eslizano entre uas superfícies superpostas, one em certos momentos a partícula está seno pressionaa contra a superfície inferior e em outros momentos, contra a superfície superior, epeneno o sentio e λ. Mas no caso e apenas uma superfície, one a partícula se apóia, ela se escola a superfície quano o λ troca e sentio, tornano o vínculo inválio, invaliano também o moelo baseao nesse vínculo; a partir esse momento, a partícula sofre apenas a ação a graviae, até cair e tocar e novo na superfície. Em um exemplo prático, consiere uma partícula eslizano sobre uma superfíce e gráfico z = h(y). Para simplificar, vamos assumir que x = 0 e, na verae, o movimento é sobre uma curva, como no exercício 3. Então temos ois vínculos, com ois multiplicaores e Lagrange, λ = (λ 1, λ 2 ). O vínculo associao a x = 0 é trivial e o multiplicaor e Lagrange corresponente é nulo, igamos λ 1 = 0. O multiplicaor e Lagrange λ 2 associao ao vínculo z h(y) = 0 é, em geral, não nulo. Como zx (z h(y)) = ( h (y), 1), vemos que esse vetor normal à superfície aponta para cima, pois a sua componente z é positiva. Assim, a partícula se mantém apoiaa na superfície enquanto λ 2 for positivo, inicano que a força e tensão aponta para cima,

31 9. SISTEMAS COM VÍNCULOS IMPLÍCITOS E EXPLÍCITOS 31 contrabalançano o peso o objeto. O eslocamento ocorre no instante a partir o qual λ 2 passa a ser negativo. Assumino que h seja uas vezes continuamente iferenciável, mostre o fato natural e que o escolamento só poe ocorrer em um ponto y one a curvatura é negativa, ou seja h (y) < Utilizano o resultao o exercício 4, consiere h(y) uas vezes continuamente iferenciável e com uma certa forma e rampa, aa por h(y) = ay para y 0, com h (y) < 0 para y > 0, e observe que o escolamento não poe ocorrer em y = 0, apenas em algum ponto y > 0. Ou seja, a inclinação obtia pela partícula no momento o escolamento é sempre inferior à inclinação a rampa! 8.6. Consiere aina o problema e uma partícula e massa m eslizano sobre a curva z = h(y), x = 0, tratao no exercício 4. Suponha que a curva seja uma parábola com concaviae para cima (h > 0 e h = 0). Mostre que força normal é máxima exatamente no ponto e mínimo a parábola. (Tome cuiao com o fato e que a magnitue a força normal não é apenas λ, pois o vetor graiente Φ(y, z) = ( h (y), 1) à superfície Φ(y, z) = z h(y) nem sempre é unitário.) 9. Sistemas com vínculos implícitos e explícitos Em vários casos, poe ser prático escrever apenas parte os vínculos e maneira implícita e a outra parte, explícita, ou seja u i = u i (q 1,..., q, t), i = 1,..., n, em N coorenaas generalizaas q 1,..., q, com certos vínculos implícitos nessas coorenaas generalizaas, i.e. Φ k (q 1,..., q, t) = 0, k = 1,... r. Nesse caso, assumino os vínculos inepenentes, o número e graus e liberae o sistema é = r. Caso o sistema com os vínculos explícitos mas sem os r vínculos implícitos tenha o Lagrangiano L(q, q, t), então, para o sistema com os vínculos implícitos, consieramos o novo Lagrangiano nas novas coorenaas one L λ (q, λ, q, λ, t) = L(q, q, t) + λ Φ(q, t), (q, λ) = (q 1,..., q, λ 1,..., λ r ), Φ = (Φ 1,..., Φ r ).

32 32 3. PRINCÍPIOS DA MODELAGEM LAGRANGIANA As equações e Euler-Lagrange para esse novo Lagrangiano são t ( q, λ) L(q, λ, q, λ) (q,λ) L λ (q, λ, q, λ) = 0. Mais uma vez, como L λ não epene explicitamente e λ e a epenência em λ é linear, essas equações poem ser reuzias à forma t ql(q, q, t) q L(q, q, t) = λ D q Φ(q, t). (9.1) Φ(q, t) = 0. Analogamente, o prouto λ D q Φ(q, t) é o o vetor e coorenaas formaas pelo prouto escalar entre λ e caa coluna qj Φ(q, t) essa matriz. Exercícios 9.1. Consiere novamente o problema em que uma partícula e massa m 1 está penuraa por um fio e comprimento l e tal forma que ela está restrita a um movimento vertical ao longo o eixo z e com uma mesa no plano xy com um buraco na origem por one passa o fio, que tem na sua outra ponta uma partícula e massa m 2 que está restrita a se movimentar no plano xy. Use coorenaas polares para representar a posição a seguna partícula, e moo que u 2 = (r cos θ, r sin θ, 0), e use a istância h a primeira partícula à mesa, e tal forma que u 1 = (0, 0, h). Nesse caso, tratamos o fio como uma restrição implícita, aa por Φ(r, h) = r + h = l, com 0 r, h < l por razões físicas. Usano (r, θ, h) como coorenaas generalizaas e utilizano um multiplicaor e Lagrange λ associao à essa restrição implícita, encontre o Lagrangiano L λ (r, θ, h, ṙ, λ, θ, ḣ) esse sistema. Encontre as equações e Euler-Lagrange para esse sistema e, em seguia, elimine λ o sistema para obter as equações e movimento em (r, θ) como no exercício 7.4. Finalmente, resolva para λ em função apenas e r e θ e euza que a tensão no fio é aa por T = m 1m 2 m 1 + m 2 (r θ 2 + g). Para que a primeira partícula se mantenha em equilíbrio, a tensão eve compensar o peso, ou seja, T = m 2 g. Use essas uas informações para obter a relação entre ω e R para que o sistema se mantenha em equilíbrio, com

33 10. CAMPOS DE FORÇA 33 a seguna partícula girano com velociae angular θ = ω a uma istância r = R a origem. Compare esse resultao com o resultao corresponente obtio no exercício 7.4 e outra maneira. 10. Campos e força Escrever sobre campos e força. Escrever sobre campos conservativos. Escrever especificamente sobre campos gravitacionais, campos elétricos, campos magnéticos e campos eletromagnéticos.

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35 CAPíTULO 4 Leis e conservação 1. Leis e conservação via leis e Newton Nesta parte, vamos consierar um sistema e n partículas, com coorenaas u = (u 1,..., u n ) em um referencial inercial, one u i R 3 são as coorenaas espaciais e caa partícula, i = 1,..., n. Nesse sistema age um conjunto e forças F(t, u) = (F 1 (t, u),..., F n (t, u)), representano a combinação as forças agino em caa partícula e epeneno a configuração geral o sistema. Pela seguna lei e Newton, temos m i ü i = F i (t, u), i = 1,..., n. Vamos consierar uma separação as forças entre forças internas, e interação entre partículas, e forças externas, F(t, u) = F (i) (u) + F (e) (t, u). one as forças internas são assuminas agino entre pares e partículas e inepenentes explicitamente o tempo. Mais precisamente, a força interna F (i) i (u) agino na partícula i é suposta como seno um somatório e forças e interação com caa uma as outras partículas: F (i) i (u) = F ij (u i, u j ). j i Consieramos, aina, ois casos e sistemas, satisfazeno iferentes versões a terceira lei e Newton, e ação e reação: Forma fraca a terceira lei e Newton: As forças e interação entre uas partículas agem, em caa uma elas, com a mesma intensiae e em sentios contrários: F ij (u i, u j ) = F ji (u j, u i ). Forma forte a terceira lei e Newton: As forças e interação entre uas partículas agem, em caa uma elas, com a mesma intensiae, em sentios contrários e na ireção que une essas uas partículas, F ij (u i, u j ) = ϕ(u i, u j ) u i u j u i u j, ϕ ij(u i, u j ) = ϕ ji (u j, u i ). 35

36 36 4. LEIS DE CONSERVAÇÃO Não assumimos naa e especial em relação à força externa, mas em geral ela epene apenas a posição a partícula em questão, ou seja F (e) i = F (e) i (u i, t). A terceira lei e Newton é relevante para a conservação os momentos linear e angular o sistema. Para a conservação e energia, fazemos a hipótese e que as forças são conservativas, i.e. provenientes e um potencial V (t, u): F i (u) = ui V(t, u), i = 1,..., n Conservação e momento linear. O momento linear total P R 3 o sistema é efinio pela somatório o momento linear p i = m i u i e toas as partículas: n P = m i u i. Definino C M = 1 m como o centro e massa o sistema, one m = n m i u i n é a massa total o sistema, observe o momento linear total o sistema é igual ao momento linear e uma partícula e massa m localizaa no centro e massa: m i P = mċm, como se o sistema estivesse too concentrao no centro e massa. Somano as equações e movimento e toas as partículas obtemos one F T (t, u) = Ṗ = F T, n F i (t, u) é a força total exercia no sistema. Essa força total poe ser separaa em força total interna e força total externa: F T = F (i) T + F(e) T, F(i) T (t, u) = n F (i) i, F (e) T (t, u) = n O momento linear é conservao no caso em que as uas conições a seguir são satisfeitas: (i) As forças internas satisfazem a forma fraca a terceira lei e Newton; e (iii) O força externa total é nula. F (e) i