a Supoha que um ioiô parte do repouso e desce até uma altura (deslocameto vertical) h, medida desde o poto de ode o ioiô foi solto. Ecotrar a sua velocidade fial de traslação e rotação, e sua aceleração liear. Qual é a tesão a corda esse istate? Solução: Pela coservação da eergia temos K t i + K r i + U i = K t f + K r f + U f ode K é a eergia ciética e U, a potecial. O super ídice r diz respeito à parte rotacioal e t, à traslacioal. O sub ídice i idica a situação o iicio do movimeto e o f a fial. Como o corpo parte do repouso, a equação aterior fica mgh = mv + Iω () ode v = rω () ode r é o raio desde o cetro de massa do ioiô até a parte extera do fio erolado o seu eixo de rotação. Como o ioiô é quase um cilidro, o mometo de iercia estará dado por I = mr o qual é o mometo de iercia de um cilidro de raio R, que é o raio do ioiô. Substituido em mgh =mv + v mr ( r) mgh =mv + R r de ode v = gh (3) + R r
Como as forças lieares e agulares são costate durate todo o movimeto, podemos utilizar de forma que De ˆ v v dv = a v i ˆ h 0 v v i = ah a = ω = dy g (4) + R r gh r + R (5) Para o calculo da tesão a corda utilizamos um diagrama de corpo livre ode observamos que Fy =T mg ma =T mg m g =T mg + R r T =m g + mg + R r de ode R T = mg r + (6) R
b Uma bola cai livremete desde uma altura h sobre um plao icliado que forma um agulo α com a horizotal como mostra a figura. Ecotre a relação das distacias etre a posição dos potos os quais a bola quicado toca o plao icliado. Cosidere as colisões com o plao icliado como sedo totalmete elástica. Figura : problema Solução: Vamos colocar os eixos de coordeadas de tal forma que o eixo x coicida com a hipoteusa do plao icliado e o y com a ormal a este plao. Na figura embaixo podemos observa que com essa referecia a aceleração devida à gravidade pode ser descomposta em g x e g y ode g x =g si α g y = g cos α da lei de coservação da eergia o módulo da velocidade o istate da primeira colisão está dada por v = gh Como a colisão é totalmete elástica o agulo com que a bola se afasta do plao é o mesmo com o qual chegou ao plao e o módulo da sua velocidade é exatamete o mesmo. O tempo etre
as colisões (que é o mesmo para todas as colisões dado que o campo devido à gravidade que age a perpedicular do plao é costate), t v, está dado por pelo dobro do tempo de subida t s : v fy =v y + g y t s 0 =v cos α g cos αt s t s = v g assim t v = v g A compoete horizotal do primeiro quique está dada por v x = v si α. podemos calcular a posição ode a bola realizará o segudo quique Com esse dado l =x x = + v x t v + g xt v ( = (v si α) v ) + ( g (g si α) v g =4 v si α g =8h si α ) O módulo da compoete da velocidade em x com que a bola quica o poto x está dada por v x =v x + g x t v =v si α + (g si α) =3v si α ( v ) g Com essa velocidade podemos calcular a posição do terceiro quique l =x 3 x =v x t v + g xt v ( = (3v si α) v ) + ( g (g si α) v ) g =4 v si α g =6h si α
Facilmete se mostra que v 3x = 5v si α e disso l 3 =x 4 x 3 =4h si α De forma que podemos afirmar que a relação etre as distâcias que separa os diferetes quiques é l : l : l 3 :... = : : 3 :...
a Cosidere um sistema termodiâmico costituído de um gás particular, que está ecerrado detro de um cilidro com um pistão móvel. Observa-se que as paredes são adiabáticas, um aumeto quase estático o volume resulta um decréscimo da pressão de acordo com a equação P V 5/3 = C ode C é uma costate. Uma pequea pá está istalada detro do sistema e é girada por um motor extero (por meio de um acoplameto magético através da parede do cilidro). Sabedo que o motor exerce um torque τ, girado a pá com uma velocidade agular ω, mostre se é possível calcular a difereça de eergia etre dois estados quaisquer se supomos que a pressão do gás a volume costate aumeta segudo uma taxa dada pela relação dp dt = C ωτ V para os casos em que a costate C está dada por (a) C = 3 ou (b) C = 5 Solução: Vamos admitir que o estado O (P, V ) seja o estado de referêcia. A partir deste estado podemos atigir o estado A (P A, V A ) via um processo reversível adiabático (ou seja A está sobre a adiabáticas P V 5/3 = C que passa por O). A diferecia de eergia U A U O é igual ao trabalho realizado sobre o sistema ao passar pela adiabática desde O até A: ˆ VA C U A U O = dv V V 5/3 = 3 P AV A 3 P V U A = 3 P AV A 3 P V ode utilizamos C = P A V 5/3 A = P V 5/3 e U O = 0 (dado que o poto O foi escolhido como o estado referêcia). A expressão aterior é a eergia para qualquer estado sobre a adiabática que passa por O. Para outros estados fora dessa adiabática a expressão aterior ão seria válida,
por exemplo o estado B da figura. Cotudo, o processo adiabática irreversível de agitação das pás do fluído resultará em outro estado que poderá estar (está) fora da adiabática aalisada. Vamos supor que o estado resultate da agitação das pás o fluído é o estado B (P B, V B ). Suporemos, por comodidade, que tal estado correspode a um poto o diagrama de Clapeyro ode V B = V A e P A > P B, dessa forma dizemos que o poto B está por cima da adiabática. O trabalho feito pelas pás sobre o sistema está dado por ˆ B U B U A = = = = dw adia A ˆ B A ˆ B A ˆ B = V C τdθ τωdt V C A ˆ PB P A dp dt dt dp = C (P BV B P A V A ) ode se utilizou V B = V A. Para o caso em que C = /3, U B U A = 3 P BV B 3 P AV A U B = 3 P BV B 3 P AV A U B = 3 P BV B 3 P V ( 3 P AV A 3 ) P V Observe que o estados por debaixo da adiabática origial ão pode ser atigido mediate o trabalho adiabático irreversível feito pelas pás, cotudo, sim é possível partir do estado C (P C, V C ), ode V C = V C e P A < P B, e atigir o poto B via o trabalho irreversível feio pelas pás, assim de forma similar ao passo aterior, U A U C = 3 P AV A 3 P BV B U B = 3 P AV A 3 P V de ode podemos geeralizar que para qualquer estado do sistema é valido que U = 3 P V 3 P V
ode (P, V ) defiem o estado de referecia. Para o caso em que C = /5, Ao logo da adiabática cotiua sedo válido que U A = 3 P AV A 3 P V mas fora da adiabática teremos que, por exemplo para o poto B: U B U A = 5 P BV B 5 P AV A U B = 5 P BV B 5 P AV A U B = 5 P BV B 3 P V P A V A ( 3 P AV A 3 ) P V o qual é um resultado impossível dado que a eergia itera é uma fução de estado e cosequetemete ão pode depeder dos parâmetros termodiâmicos que defiem um outro estado.
b Um sistema termodiâmico particular obedece as seguites equações de estado: T = 3As v (7) P = As3 v (8) ode A é uma costate. Ecotre µ como fução de s e v. A partir daí ecotre a equação fudametal. Solução: Como a eergia itera é uma fução de estado extesiva e como todas as variáveis termodiâmicas extesivas são fuções homogêeas de grau I os parâmetros itesivos podemos aplicar o teorema de Euler a fim de expressar a eergia itera em fução dos parâmetros que defiem o estado: U(S, V, N) =S ( ) U + V S V,N ( ) ( ) U U + N V S,N N U =ST P V + µn (9) de ode du = T ds + SdT P dv V dp + µdn + Ndµ A I lei da termodiâmica os diz du = T ds P dv + µdn elimiado du e dividido por N obtemos 0 = SdT V dp + Ndµ dµ = sdt + vdp (0) que é a equação de equação de Gibbs-Duhem (se você sabia essa equação podia ter partido direto deste poto). Da primeira equação do problema temos: dt = 6Asv ds 3As v dv e da seguda: dp = 3AS v ds As 3 v 3 dv substituido em 0 Questão aulada devido a erro de digitação, foi trocado o P por T a equação 8
dµ = 6As v ds + 3As 3 v dv + 3AS v ds As 3 v dv = 3AS v ds + As 3 v dv = Ad ( s 3 v ) itegrado µ = As3 v + µ 0 Substituido a equação de Euler (9) este resultado e as equações de estado dadas o problema e passado estas equações de sua forma molar para a forma extesiva U =T S P V + µn = 3AS3 NV AS3 NV AS3 NV + µ 0N obtemos U = AS3 NV + µ 0N
3a Um modelo para uma molécula que pode rotar livremete, porém ão pode vibrar, cosiste em duas massa ligadas por uma haste. Nessa cofiguração o mometo de iercia em toro do eixo de simetria que liga as massa pode ser cosiderado como igual a zero. Calcule o C v para um gás costituído por esse tipo de partículas utilizado o teorema de equipartição. Solução: O teorema de equipartição da eergia diz que por cada termo quadrático a expressão da eergia do sistema teremos uma cotribuição de k BT o promédio da eergia por molécula. No caso da molécula aqui aalisada a eergia da molécula é costituída pela sua eergia ciética mais a eergia de rotação, isto é E = ( ) p m x + p y + p z + 0 I ω + I ω + I 3ω3 ode o termo da eergia de rotação relacioado ao eixo ao logo da haste foi desprezado como idica o problema (além disso I = I 3 por simetria). Figura : Molécula diatômica simples Assim a eergia itera de uma mole de um gás diatômico estará dada pela eergia de uma molécula vezes o úmero de molécula uma mole de gás ( ) U =5N a k BT = 5 N ak B T ode N a é a costate de Avogadro. Da expressão aterior calculamos C v : C v = ( ) U T v = 5 N ak B = 5 R
3b Supoha que a eergia acústica é trasportada a través de uma estrutura cristalia em quatidades quatizadas de valor hν por quase partículas que chamaremos de fôos, os quais são bósos. Obteha a expressão matemática para a eergia acústica (vibracioal) que poderá ser portada por um grupo de d fôos detro de uma rede sabedo que a desidade de estado de ocupação dos fôos está dada por ode ν d é a frequêcia de Debye. Solução: g(ν) = 9N ν νd 3 Como os fôos são bósos a estatística adequada para descrever a suas propriedades física é a estatística de Bose-Eistei f BE = e E/k BT Cosiderado o aterior, o úmero médio de fôos, d, com frequêcias o itervalo ν e ν +dν está dado por d =g(ν)f BE dν ( ) ( 9N = ν ν 3 d hν e E/k BT ) dν A eergia de cada fôo está dada por E = hν, por tato, a eergia média trasportada por d fôos será de =Ed = 9Nh ν d ν e hν/k BT dν
4A) Uma casca cilídrica grossa e loga cuja seção trasversal possui raio itero a e raio extero 3a é feita de material dielétrico, com polarização elétrica permaete dada por k P rˆ, r ode k é uma costate, r é a distâcia de um poto até o eixo do cilidro, e r, a respectiva direção. O campo elétrico para r = a é: e) Nehuma das ateriores. Temos que a desidade de carga de polarização volumétrica é k l. P. 3 r Aplicado a lei de Gauss itegral, obtemos k E( r a) 4a 0, resposta e). 4B) A bobia de Helmholtz é um dispositivo frequetemete utilizado para se obter um campo magético relativamete uiforme em uma pequea região do espaço. Ela cosiste de duas bobias circulares de raio a e com um eixo comum, separadas por uma distâcia h. Se cada uma dessas bobias possui N espiras e é percorrida por uma correte I, e se h = a, a magitude do campo magético o poto médio do sistema será: a) 8 0 NI 5a 5 Aplicado a lei de Biot-Savart para o eixo de uma espira de raio a: B( z) Ia 0 z a 3 / cosiderado duas bobias de N espiras, o campo o poto médio é dado pela alterativa a).
5A) Uma espira quadrada de lado a e resistêcia R está a uma distâcia d de um fio reto ifiito pelo qual passa uma correte costate I. Repetiamete essa correte vai a zero. Determie a carga total que passa por um poto da espira durate o tempo em que a correte iduzida a espira flui. I0a a d) l R d 0I O campo magético a uma distâcia r do fio é dado por B. Calculado o fluxo a espira, r dq d e cosiderado que RI R, cocluímos que a carga é dada pela resposta d). dt dt 5B) Uma espira de fio, quadrada e com lados de comprimeto a, está o primeiro quadrate do plao xy, com um dos vértices a origem. Ecotre a força eletromotriz iduzida a espira, se essa região, o potecial vetorial é dado por 3 4 Ar, t kt 5 xy yˆ y xˆ, ode k é uma costate. e) Nehuma das ateriores. Calcula-se primeiro o campo magético, B da d.. Etão ka 5 t. dt B A e etão o fluxo através da espira,
6A) Uma carga potual q de massa m é liberada do repouso a uma distâcia d de um plao codutor ifiito aterrado. Quato tempo a carga irá demorar para atigir o plao? (despreze a gravidade) d c) 0 md q Cosiderado que a força sobre a carga será a mesma de uma carga imagem a uma distâcia d abaixo do plao, essa força será q F. 4 d 0 4 d x A Teremos etão,, itegrado a equação duas vezes (com as costates adequadas, e dt x usado a itegral do formulário) obtemos a resposta c). 6B) Cosidere a colisão de um fóto com um próto (de massa de repouso m) em repouso, produzido um pío (de massa de repouso ) e um êutro (de massa m, aproximadamete). A frequêcia míima do fóto para que esse processo ocorra é: m d) hm c A soma dos 4-mometos ao quadrado das partículas ates e depois da colisão se coserva. Calculado e resolvedo para a frequêcia, obtemos a resposta acima.
7A ) Dada a fução de oda uidimesioal ax ( x) Ae para x 0 ax ( x) Ae para x 0 Determie a probabilidade, de uma medida, se ecotrar a partícula etre A) ( ) P / B) ( ) C) ( ) P ae P e e 4 e e D) ( x ) P E) ( ) A fução ão é ormalizável, logo ão podemos saber a probabilidade. x / a e x / a. Gabarito: 0 ax ax Normalizado temos: A e dx e dx 0 Com esse resultado, calculamos P a a e ax dx a a que resulta resultado A a. e P e 4 7B) As auto fuções ( ) e ( ) são tais que H ( x) ( / ) ( x ), ode H é a x x hamiltoiaa do oscilador harmôico. Para o estado quâtico ( x) ( x) ( x) 3 3 determie o valor esperado da eergia total do sistema. A) E x 6 B) E 3 C) E 6 D) E 9 E) Nehuma das ateriores. Gabarito: A fução está ormalizada, etão: E H 3 3 3 3 Como H 3 3 3 3 E como as auto-fuções são ortogoais, temos etão E. 6
,,,,0, sedo as auto-fuções do átomo sem cosiderarmos o spi. A soma do valor esperado de 8A) Um átomo de hidrogêio está o estado quâtico ( r,, ), l, m o valor esperado de A) B) C) L L L L L L z z z L para o estado ( r,, ) será: z 3 5 7 5 D) L Lz x E) Nehuma das ateriores. L com Gabarito: L z,, O que resulta L z Temos também: L,, O que resulta L Ou seja L 0,,0,,,,0 L z 5,,0,,,,0
8B) Cosidere uma partícula uma caixa uidimesioal de comprimeto L. Calcule a razão E, ode E é a eergia de um estado com úmero quâtico e E é a difereça etre E E e E. A) B) E E E E E C) E E D) E E) Nehuma das ateriores x Gabarito. A eergia de poço quadrado é E E E E 0 logo 9A) Cosidere que um istate t 0, um tem seu mometo liear dado por p p0 Determie, o formalismo de Heiserberg, qual a equação que defie a evolução temporal do operador p, dado que o sistema é descrito pela hamiltoiaa uidimesioal H gx. m x A) p( t) p0 B) p( t) p gt x 0 C) p ( t) 0 D) p( t) it E) Nehuma das ateriores. Gabarito. dp dt i Usado p, H, e como p H i, obtemos p( t) p gt. 0
9B) O valor do comutador, p A) i B) 0 C) ip x D) i p E) Nehuma das ateriores. x é: Gabarito: O método mais fácil é avaliar os colchetes de Poiso, O que resulta x, p p, logo pela correspodêcia, p x = ip 0A) Respoda se as afirmativas são verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta. (Alterativas sem justificativa serão descosideradas.) A) ( ) Todo movimeto sob ação de força cetral pode ser reduzido a um movimeto em duas dimesões. R: Verdadeira. Bosta lembrar que o vetor mometo agular se coserva. B) ( ) Se dois estados quâticos tem mesma eergia, etão suas fuções de oda são iguais. R: Falso, sistemas degeerados tem fuções de oda distitas. C) ( ) Se cavarmos um túel que atravesse a Terra passado pelo cetro, a força setida por alguém que caísse esse túel seria proporcioal a r com r sedo medido a partir do cetro da Terra. R: Falso, é proporcioal a r D) ( ) O pricípio de exclusão de Pauli afirma que a fução de oda de quaisquer duas partículas deve ser atissimétrica por troca de pares. R: Falso, só se forem idêticas. E) ( ) Se um corpo carregado é esférico, etão sempre podemos cosiderá-lo como uma carga potual localizada o seu cetro. R: Falso, só se a distribuição de carga for homogêea.
0B) Respoda se as afirmativas são verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta. (Alterativas sem justificativa serão descosideradas.) A) ( ) O pricípio de icerteza proíbe a determiação exata da posição de uma partícula quâtica. R: Falso, só proíbe a determiação do par caôico p-q. f ( x, t) f ( x, t) B) ( ) A equação de oda uidimesioal x v t propagação de uma oda uidimesioal é sempre costate. R: Falso, a velocidade depede das propriedades do meio. implica que a velocidade de C) ( ) Se aumetarmos a temperatura de um corpo em um determiado estado, o volume desse corpo sempre aumetará. R: Falso, vide por exemplo a água. D) ( ) Se, um átomo de hidrogêio, fizermos uma medida de L z, seguida de uma medida de L, o resultado será o mesmo que se fizermos primeiro a medida de medida de L z. R: Verdadeiro, esses operadores são compatíveis. L e posteriormete a E) ( ) A etropia de qualquer sistema sempre aumeta ou se matém costate durate um processo termodiâmico. R: Falso, Só para sistemas isolados. Formulário. R Y,, Z ( r) a 0 3/ 3 Zr Zr exp a0 a0 5 (cosse ) exp i 8 Y 5 (3cos, ) 6 L se se se L z i L Yl, m l( l ) Yl, m L zyl, m myl, m p i da i A, H dt