INTRODUÇÃO ÀS PROBABILIDADES15 Vanderlei S. Bagnato 15.1 Introdução 15.2 Definição de Probabilidade 15.3 Adição de probabilidade 15.4 Multiplicação de probabilidades Referências Licenciatura em Ciências USP/ Univesp
Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 2 297 15.1 Introdução Probabilidade é um conceito que se torna relevante quando temos situações onde existe a ocorrência de fenômenos aleatórios, que são aqueles em que não é possível a previsão absoluta do resultado a ser obtido. Situações típicas onde encontramos uma certa aleatoriedade são: lançamento de uma moeda e a observação da face para cima: cara ou coroa. jogo de dados e observação do número obtido. sorteio de uma urna contendo pedras com números distintos. escolha de uma carta num jogo de baralho. número de grãos de areia em um punhado de areia. tamanho dos pedaços de palito quando tomamos um feixe de palitos e os quebramos. Nenhuma dessas situações permite saber o resultado exato a ser obtido. Sabemos obviamente que o resultado tem de estar dentro de um elenco de possibilidades. O conjunto que envolve todas as possibilidades é chamado universo de eventos, ou simplesmente conjunto universo. Nesse conjunto estão todas as possibilidades de ocorrência de resultados. No caso de jogarmos um dado e observar o número obtido, o universo de eventos é constituído dos números {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Qualquer que seja o resultado, tem de estar contido nesse conjunto universo de eventos. Imagine agora outra situação, onde um jogador vai jogar simultaneamente dois dados e ler o resultado de cada um. Cada evento vai se constituir de um par de números. Nesse caso, o conjunto universo de eventos vai ser da forma: U = {(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) ( 5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) ( 6,4) (6,5) (6,6)} Qualquer subconjunto do conjunto universo pode ser considerado como um evento que pode ser escolhido para ocorrer. Podemos tomar o subconjunto como a soma dos números igual a 4. Nesse caso, o subconjunto será A = {(1, 3) (2, 2) (3, 1)} possuindo apenas três elementos.
298 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 2 Se escolhermos esse subconjunto como um evento, todos os demais elementos do conjunto U, exceto os de A, constituem o chamado conjunto complementar ao conjunto A, e normalmente é denotado por um A e uma barra superior ( A ). Em termos matemáticos, podemos escrever que A U A =. O conjunto complementar de um determinado conjunto são todos os elementos do universo, retirados os elementos de A. Na natureza, existem diversas situações em que os fenômenos envolvidos são de natureza aleatória. Esta característica aleatória dos eventos é fundamental na determinação do desenrolar de diversos processos na natureza. Para entendermos um pouco desses eventos, é importante termos uma boa noção das definições de probabilidade. 15.2 Definição de Probabilidade Dado um conjunto Universo de Eventos U, representando um determinado efeito aleatório, ao escolhermos qualquer subconjunto desse universo, temos um evento possível de ocorrer. Definimos como probabilidade P(A) de ocorrência do evento A como: P(A) = n(a) / n(u) onde n(a) é o número de elementos no subconjunto A, enquanto n(u) é o número total de elementos no universo de eventos. Para o exemplo colocado acima, onde tomamos como Evento o lançamento de dois dados simultaneamente e de ser 4 a soma dos pontos, temos, como probabilidade de isso ocorrer 3 1 P(soma = 4) = = 36 12 Isto significa que, a cada 13 lançamentos dos dois dados, espera-se que um dos resultados obtidos represente o desejado de ter a soma igual a 4. Existem algumas propriedades importantes a serem observadas: A probabilidade é um número real contido no intervalo [0, 1]. Como o universo constitui todas as possibilidades, temos P(U) = 1. Para qualquer evento, temos P(A) + P(A) =1, ou seja, a probabilidade de eventos complementares soma uma unidade. 15 Introdução às Probabilidades
Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 2 299 Como exemplo, considere o jogo de dois dados simultaneamente. Qual é a probabilidade de um dos números ser 6? Se olharmos o conjunto universo U, temos n(u) = 36. Ao olharmos todos os elementos, vemos que o número 6 aparece em 11 elementos. Dessa forma, temos n(a) = 11. Com isso podemos calcular que a probabilidade de termos pelo menos um dos números igual a 6 é P(pelo menos um 6) = 11 36 15.3 Adição de probabilidade Em muitas situações que envolvem eventos aleatórios, é comum considerarmos dois eventos simultâneos. Por exemplo, no jogo de um único dado, poderíamos selecionar o evento o número é par ou o número é ímpar. Esses dois eventos são dois subconjuntos denominados mutuamente exclusivos. Eles são ditos mutuamente exclusivos quando não há elementos comuns entre eles. No exemplo, ou um número é par ou é ímpar. Não há como serem os dois ao mesmo tempo. Os eventos mutuamente exclusivos, na linguagem de conjuntos, são aqueles que pertencem ao universo, mas que apresentam intersecção nula. Se A e B são dois subconjuntos de U, e A B, então, eles são mutuamente excludentes (ou mutuamente exclusivos). Já para o seguinte exemplo, a situação é diferente. Um baralho contém 52 cartas. Se considerarmos os eventos: A. retirar do baralho uma carta de ouros; e B. retirar do baralho um rei; esses eventos não são mutuamente exclusivos, pois podemos ter uma carta de ouros que pode ser um rei. De um modo geral, podemos escrever que, se dois eventos A e B pertencem ao universo U de certo fenômeno aleatório, então, a probabilidade de ocorrer um elemento de A ou de B é escrita como: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) O número de elementos do conjunto A B é a soma dos números de elementos de A com o número de elementos de B menos o número de elementos comuns a ambos, representados assim: ( n(a B) = n(a) + n(b) n( A B) ).
300 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 2 Um exemplo dessa soma de probabilidades é o seguinte: Qual é a probabilidade de jogarmos um dado e obter o número 4 ou um número par de pontos? Os eventos são: A = obter quatro pontos; e B = o número ser par. Enquanto A = {4}, B = {2,4,6}, ocorre que o elemento 4 pertence a ambos. Dessa forma, P( 4 ou par) = 1 3 1 6 + 3 6 6 = 6 = Isso mostra que, em cada duas jogadas, teremos o resultado esperado de um deles ser o número 4 ou ser um número par. No caso de dois eventos serem mutuamente exclusivos, temos: P(A B) = P(A) + P(B) 1 2 15.4 Multiplicação de probabilidades Em determinadas situações, em vez de somar probabilidades, teremos de multiplicá-las. Vamos considerar o seguinte exemplo: Um grupo de pessoas é composto de homens e mulheres, sendo eles brasileiros, argentinos e chilenos. A distribuição deles está descrita abaixo: Homens (H) Mulheres (M) Argentinos (A) 5 15 Brasileiros (B) 10 10 Chilenos (C ) 35 25 Vamos calcular a probabilidade da seguinte situação: escolhido um homem, qual a probabilidade de ele ser argentino? Nesse caso, queremos a intersecção dos eventos ser argentino e ser homem. Temos então: 5 1 P(A\ H) = = 50 10 15 Introdução às Probabilidades
Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 2 De um modo geral, a probabilidade de intersecção de eventos independentes é dada por: 301 P(A B) = P(A) P(A\ B) Vamos considerar mais um exemplo: jogamos dois dados e perguntamos a probabilidade de a soma ser 7 e um deles ser o número 2. Estamos exigindo eventos que ocorram simultaneamente. Nesse caso, queremos a intersecção de dois eventos: a soma ser 7 e um deles ser 2. Olhando o conjunto U da jogada de dois dados dado no início, vemos que, sendo A obter 7 pontos na soma, e B obter um dos dados o número 2, temos n(a) = 6; n(a B) = 2; n(u) = 36 Dessa forma, 6 2 1 P(A B) = P(A).P(B\ A) = = 36 6 18 Isso mostra que, em cada 18 jogadas, esperamos que uma delas mostre o resultado desejado. Referências Costa Neto, P. L. O. Probabilidades. São Paulo: Edgard Blucher. Filho, A. B. Probabilidades. Porto Alegre: DIartes.