Lcencatura em Engenhara do Ambente Dscplna de Mecânca dos Fludos Propredades dos Fludos e do Campo de Velocdades Ramro ees 00
Índce Introdução... Sóldos e fludos... Massa Volúmca:... 4 Peso olúmco... 5 O fludo como meo contínuo... 4 5. Velocdade... 4 5. Fluo adecto... 7 5. Dergênca da elocdade... 8 5.4 Propredades do campo de elocdades... 0 5.4. Escoamento estaconáro... 0 5.4. Dmensonaldade do escoamento... 5.4. Lnhas de corrente, traectóras e lnhas de emssão... 5.4.4 Forma das lnhas de corrente e forças de pressão... 5.5 Dfusdade... 5 5.6 Vscosdade e Tensão de corte... 8 5.7 Operadores com tensores... 5.7. Gradente... 5.7. Dergênca... 5.7. Laplacano... 4 5.7.4 Rotaconal... 5 5.7.5 Rotaconal e efetos scosos... 0 6 Equação da contnudade... 7 Equação de transporte de quantdade de momento...
8 Equação de Bernoull... 4 9 Nota Fnal... 5
Introdução Este teto é consttuído por um conunto de notas sobre as propredades mas mportantes dos fludos e do campo de elocdades. Os concetos de massa olúmca, peso olúmco e concentração não são noos para os alunos de Mecânca dos Fludos, sendo o obecto de os apresentar aqu chamar a atenção para que são grandezas defndas num ponto e que por sso, sempre que se usam para caracterzar propredades em sstemas de dmensões fntas é necessáro assocar-lhes um olume de fludo. A elocdade e a dfusdade/scosdade são apresentadas como propredades que se complementam e resultantes do conceto de fludo como meo contínuo. Quando se faz esta apromação perde-se nformação sobre os processos assocados ao momento nddual de cada molécula, cuo efeto é quantfcado pela dfusdade. Mas adante eremos que também no caso dos escoamentos turbulentos não é possíel quantfcar eplctamente os processos de assocados às altas-frequêncas da aração da elocdade, sendo eles também quantfcados por uma dfusdade (turbulenta neste caso). Sóldos e fludos A matéra pode encontrar-se na forma sólda ou fluda e os fludos podem anda ddr-se em líqudos e em gases. Nos gases as moléculas são completamente lres e moem-se por todo o espaço ocupado pelo gás com uma energa cnétca que depende da temperatura. Por as moléculas se poderem moer lremente, e terem energa cnétca, uma molécula moe-se até chocar com outra ou com um obstáculo (e.g. uma parede, chocando efectamente com as moléculas da parede!). Destes choques resultam forças que alteram a elocdade de cada molécula. Este momento é normalmente desgnado por momento Brownano em homenagem ao centsta que demonstrou a sua estênca.
Dedo ao momento brownano, os gases ocupam todo o espaço dos recpentes em que são colocados. Se o olume do recpente aumentar a pressão baa, por a frequênca dos choques com as moléculas baar. A pressão que um gás eerce sobre as paredes do reseratóro (que é a pressão a que o gás está sueto) mede a força por undade de área eercda pelos choques das moléculas nas paredes do recpente, dependendo por consegunte da ntensdade e da frequênca dos choques. Nos líqudos as moléculas apresentam-se em grupos, que podem ter momento relato. A dmensão destes grupos de moléculas dmnu com o aumento de temperatura, até que as moléculas têm momento nddual quando os líqudos aporzam. Nos sóldos as moléculas ocupam posções relatas fas, o que lhes permte manterem a forma ao longo do tempo. O aumento da energa cnétca das moléculas com a temperatura aumenta a ampltude dos seus momentos osclatóros fazendo-os aumentar de olume, mas mantendo a forma. Assm, uma dferença básca entre os sóldos e os fludos é que os prmeros podem suportar tensões tangencas sem haer momento relato permanente entre as moléculas, enquanto nos fludos, as tensões tangencas dão sempre orgem a momento do fludo. Veremos mas abao que a relação entre a tensão tangencal e o gradente de elocdades que gera é uma das propredades mas mportantes dos fludos (scosdade). Outra característca mportante dos fludos decorrente da sua estrutura molecular e da lberdade relata das moléculas é a chamada condção de não - escorregamento. Quando um fluído se moe sobre um sóldo, a força de atracção entre as moléculas do sóldo é normalmente superor à força de atracção entre as moléculas do fludo e por sso este adere à parede, sendo a O dro é o fludo mas emblemátco deste momento. Sendo um fluído, a força da gradade dá orgem a escorregamento, do qual resulta com o enelhecmento um aumento da espessura na parte nferor e dmnução da parte superor. Como a scosdade à temperatura ambente é muto eleada, este processo é muto lento.
elocdade do momento sobre a parede gual à elocdade da parede. Outra razão para baar a elocdade unto à parece é a rugosdade da parede que, mesmo para uma parede lsa é muto superor à dmensão das moléculas, oferecendo por consegunte uma resstênca de forma que se traduz numa redução da elocdade unto à parede. Do mesmo modo, quando dos fludos se moem um sobre o outro, as moléculas de um, ou são atraídas pelas do outro, ou se nterpenetram (fludos mscíes) e por sso a elocdade dos dos fludos, na nterface é também a mesma. Mas abao eremos que a força de atrto entre os fludos é também a mesma, sendo estas as duas condções de frontera que nos permtrão conhecer o perfl de elocdades na nterface entre dos fludos mscíes. Massa Volúmca: É a massa por undade de olume. A massa olúmca só fca obectamente defnda se calculada em cada ponto e em cada nstante, por poder ser aráel no espaço e no tempo. Assm defne-se massa olúmca como: ρ m lm 0 V V dm dv e por consegunte tem dmensões de massa sobre olume: [ ρ ] ML que no sstema SI são (kg m - ), no sstema graítco são (UMM m - ), onde UMM representa Undades Métrcas de Massa e no sstema CGS as undades da massa olúmca são (g cm - ). 4 Peso olúmco É a força com que a undade de olume é atraída para a terra: γ ρg
Como a massa olúmca, defne-se num ponto e em cada nstante de tempo. Tem undades de força por undade de olume: (N m - ) no sstema SI, (kg m - ) no sstema graítco e (dne cm - ) no sstema CGS. A antagem da cração dos sstemas de undades SI e graítco, em que o SI tem como grandezas fundamentas Massa, Comprmento e Tempo e o graítco tem Força, Comprmento e Tempo e de os dos sstemas e de a força do sstema graítco ser 9.8 ezes superor à do SI é que o peso no graítco é dado pelo mesmo número que a massa no SI. É por esta razão que o kg é usado para massa no SI e para força no graítco. A conugação destes dos sstemas é prátca, pos é muto mas fácl medr o peso de um corpo do que a sua massa. 5 O fludo como meo contínuo A apromação do fludo como meo contínuo decorre da nossa ncapacdade de consderarmos as moléculas nddualmente num escoamento. Como tal defnese porção elementar de fludo (olume elementar) como um olume de fludo sufcentemente pequeno para que todas as propredades seam unformes, mas muto maor do que a dstânca entre moléculas, para que não haa descontnudade da matéra. 5. VELOCIDADE Matematcamente defne-se elocdade num fluído como a taa de deslocamento médo das moléculas contdas num olume elementar. Sendo o olume elementar nfntesmal, a elocdade defne-se num ponto. A elocdade de um sóldo defne-se como a taa de deslocamento do sóldo: r r d <> dt d dt (, ), Num fludo, a elocdade defnda do mesmo modo num ponto do escoamento, representa a taa de deslocamento de um olume nfntesmal de fludo. Sendo O que é equalente a dzer que a elocdade num ponto do fludo é a elocdade méda das moléculas que ocupam aquele ponto em cada nstante. 4
o olume elementar consttuído por moléculas, poderemos dzer que a elocdade do escoamento representa a elocdade méda das moléculas contdas no olume nfntesmal, fltrando por consegunte o momento brownano das moléculas (cuo efeto será quantfcado pela dfusdade, defnda mas abao). Poderemos então dzer que atraés de uma superfíce paralela à elocdade, o fluo de moléculas dedo à elocdade (fluo adecto) é nulo (o número de moléculas que passa num sentdo é gual ao que passa em sentdo contráro). Para termos fluo adecto atraés de uma superfíce precsamos então que a normal à superfíce faça com a elocdade um ângulo dferente de 90º (o produto nterno da elocdade pela normal tem que ser dferente de zero). Podemos então defnr elocdade como o olume de fludo que passa por undade de tempo numa undade de área perpendcular à elocdade. Sendo a elocdade um ector, ela é representada por quantdades num espaço trdmensonal. Se consderarmos um olume elementar, com faces perpendculares aos eos coordenados (um cubo no caso de um referencal cartesano), como representado na Fgura, as três componentes da elocdade serão os fluos olúmcos atraés da undade de área de cada uma dessas superfíces. Essas componentes podem ser defndas para cada uma das 6 faces como: dq da Se fzermos tender o olume para zero, as faces perpendculares ao mesmo eo conergem uma para a outra e os alores da elocdade passam a ser os mesmos em faces paralelas. Assm passamos de 6 quantdades para quantdades, que são as componentes da elocdade no ponto para o qual fzemos conergr o olume. 5
X X X V V X V X X Fgura : Fgura representando um olume elementar de dmensões Sendo a elocdade defnda como o deslocamento médo das moléculas contdas num olume de fludo, sso sgnfca que quando a medmos, o alor que obtemos corresponde à elocdade méda num olume com dmensões dêntcas às do nstrumento que a está a medr. Assm, quando se usa um anemómetro de copos com 0 cm de dâmetro por 5 cm de altura, a elocdade que ele mede é o deslocamento médo das moléculas num olume elementar com dmensões da ordem de 0 cm. Este anemómetro, colocado numa sala fechada medrá elocdade nula e por consegunte o fluo adecto calculado com base nesta elocdade será nulo. O transporte de ar correspondente ao deslocamento das moléculas não meddo pelo anemómetro é tratado como fluo dfuso e será analsado mas abao. É por sso que se pode dzer que a elocdade num fludo e a scosdade são grandezas complementares. Se conseguíssemos medr a elocdade em pontos nfntamente prómos (e por sso com nstrumentos de dmensões nfntesmas), o únco momento não caracterzado por esta elocdade sera o brownano, o qual dá orgem à dfusdade molecular. Porque os nstrumentos 6
não são nfntesmas e porque temos que medr num número fnto de pontos, a dfusdade a usar em problemas sem solução analítca depende da rede de amostragem. 5. FLUXO ADVECTIVO O fluo adecto representa o transporte de uma propredade pela elocdade, atraés de uma superfíce. O transporte assocado ao momento das moléculas, não resoldo pelo fluo adecto desgna-se por fluo dfuso e será tratado após a ntrodução do conceto de dfusdade. Se a elocdade for drgda de dentro para fora do olume elementar, o fludo entra para o olume, se for drgda para fora o fludo sa o olume. Se a quantdade de fludo que entra for gual à quantdade de fludo que sa, o somatóro destes caudas será nulo. Consderemos o olume elementar representado na Fgura. Para sabermos se o fludo entra ou se sa do olume atraés de uma face, consderemos a normal eteror a essa face. O produto nterno da elocdade pela normal a uma superfíce dá a componente da elocdade perpendcular a essa superfíce, a qual é responsáel pelo fluo adecto atraés dessa superfíce. r r dq (. n)da Uma área tem duas normas, de sentdos opostos, uma de cada lado. No caso de a área pertencer a um olume de controlo, a normal a consderar na epressão anteror é a eteror (por conenção). Nas faces onde a elocdade ter o mesmo sentdo da normal (produto nterno posto), o fluo é para fora do olume elementar e é para dentro no caso contráro. Assm, se ntegramos o produto nterno ao longo de toda a superfíce do olume obtemos a dferença entre o caudal que sa e o que entra no olume de controlo por undade de tempo (por a do snal do produto nterno). A dferença entre o olume de fludo que sa e o olume de fludo que entra por undade de tempo, é a taa de aração do olume do fludo que atraessa o olume de controlo. 7
dol dt A r r. nda O ntegral dá também a defnção de fluo adecto. Sendo posto quando sa e negato quando entra, quando ntegrado ao longo de toda a área, dá a dferença entre o olume que sa e o que entra. Esta dferença é gual ao olume de fludo produzdo no nteror do olume de ntegração (olume de controlo) que, como eremos mas abao é o ntegral da dergênca no nteror do olume de ntegração. No caso de a superfíce ser aberta, não faz sentdo falar em olume de controlo e o ntegral representa o caudal atraés da superfíce: Q nda A r r. A n da Nesta equação é usada a notação ectoral no prmero ntegral e a notação tensoral no segundo. Na notação tensoral é usada a conenção de soma de Ensten. De acordo com esta conenção, quando um índce aparece repetdo, representa uma soma de termos (soma dos termos que se obtêm fazendo arar o índce entre e o número de dmensões do espaço, neste caso). A epressão mostra que os fluos mas fáces de calcular são os que se fazem atraés de superfíces perpendculares à elocdade, para as quas a conenção de somatóro de Ensten orgna só um termo. A este fluo estão assocados fluos de todas as propredades transportadas pelo fluído (e.g. massa, calor, quantdade de momento). 5. DIVERGÊ CIA DA VELOCIDADE Consderemos de noo o olume de controlo representado na Fgura. Vamos consderar um olume sufcentemente pequeno para podermos admtr que a elocdade é unforme em cada uma das suas faces. Nesse caso o ntegral de superfíce do fluo adecto dá o somatóro: 8
9 ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (. A nda dt dol r r Ddndo a equação pelo olume ( ) e consderando um olume sufcentemente pequeno para que a dergênca da elocdade no seu nteror sea unforme, obtém-se: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] > ol ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( dt dol dt dol No caso de a dergênca da elocdade não ser unforme no nteror do olume, a taa de aração do olume sera obtda ntegrando a dergênca no nteror do olume de fludo: A ol nda dol d dt dol r r. ) ( A equação acma é o teorema da dergênca e mostra que a dergênca da elocdade é gual à taa de aração da undade de olume de fludo, estando por consegunte assocada à compressão e epansão do fludo. Assm, se não estr epansão nem compressão de uma massa de fludo durante o seu deslocamento (escoamento ncompressíel), a dergênca da elocdade tem que ser nula. Para se perceber melhor o papel da dergênca da elocdade, consderemos uma porção de fludo em momento, num campo de elocdade com dergênca posta. Vamos permtr ao olume que se deforme de modo a conter sempre a
mesma massa de fludo. Vamos consderar um caso em que o campo de elocdades tem dergênca posta e, por uma questão de smplcdade, que a elocdade só tem uma componente (e.g. escoamento no nteror de um tubo). No caso do escoamento num tubo, o olume de controlo terá a forma de um clndro. Se o campo de elocdades ter dergênca posta, sso sgnfca que a elocdade a aumentando para usante e por sso que os dos topos do clndro se ão afastando um do outro, para que nenhuma massa de fludo possa sar. A taa de aração do olume ocupado por aquela porção de fludo é o ntegral de olume da dergênca. 5.4 PROPRIEDADES DO CAMPO DE VELOCIDADES Caracterzar um escoamento consste bascamente em caracterzar a elocdade em cada ponto e em cada nstante de tempo. Conhecdo o campo de elocdades podemos calcular as outras propredades do escoamento (fluos, acelerações e forças, aração da massa olúmca, etc.). 5.4. Escoamento estaconáro Um escoamento dz-se estaconáro se todas das suas propredades (P) se mantêm constantes no tempo, em todos os pontos do espaço. P t 0 num escoamento estaconáro Num escoamento estaconáro o campo de elocdades não se altera, o que não sgnfca que a elocdade de uma porção de fludo se mantenha constante no tempo. dp dt 0 num escoamento estaconáro A dstrbução de elocdades é normalmente desgnada por campo de elocdades. 0
5.4. Dmensonaldade do escoamento O número de dmensões do escoamento é o número de dmensões ao longo das quas a elocdade ara 4. Um escoamento trdmensonal é um escoamento onde a elocdade ara nas drecções do espaço. É o escoamento mas compleo que se pode ter. São eemplos de escoamentos trdmensonas, o escoamento na atmosfera e no oceano. Um escoamento é bdmensonal se a elocdade só ara em duas drecções do espaço. É frequentemente o caso dos escoamentos em estuáros de baa profunddade. Nesse caso as propredades aram menos na drecção ertcal do que nas outras drecções do espaço e por sso duas dmensões são sufcentes para as descreer. A elocdade efectamente ara nas drecções do espaço, mas o escoamento pode ser resoldo consderando uma elocdade méda na coluna de água e parametrzando o atrto de fundo em função dessa elocdade méda 5. Um escoamento dz-se undmensonal se a elocdade só ara numa drecção do espaço. Os canas rectangulares e os tubos clíndrcos são eemplos de escoamentos undmensonas, onde a elocdade ara essencalmente entre o fundo e a superfíce lre no canal e entre o rao e a parede no tubo. Nos ros, a as propredades transportadas pela água aram essencalmente ao longo do eo do ro e por sso são normalmente tratados como problemas undmensonas, mas é ao longo da drecção aal que se consdera a arabldade. Nestes casos, como no caso do estuáro, o efeto da aração ertcal da elocdade é parametrzado na forma de uma força de atrto, calculada em função da elocdade méda na secção do ro. 4 Não de dee confundr dmensão do escoamento com dmensão do problema. Com efeto o número de dmensões em que cada propredade pode arar não tem que ser o mesmo. 5 Mas adante eremos como aparece e o que sgnfca a força de atrto.
No caso de estarmos só nteressados no estudo do escoamento, a elocdade é a únca propredade que temos que ter em consderação para a classfcação da sua dmensonaldade. No caso de escoamentos em canas de secção aráel o escoamento á tem aração longtudnal e na profunddade e por, sso em rgor, o escoamento dee ser consderado bdmensonal ou mesmo trdmensonal. É frequente no entanto contnuar a tratá-lo como undmensonal. Neste caso o efeto da aração da largura é quantfcado atraés das consequêncas para a aração da elocdade méda na secção. Em resumo, os escoamentos são sempre trdmensonas, no entanto, sempre que a aração das propredades numa drecção é muto menor do que nas outras, a consderação de apromações que enolam a redução da dmensonaldade por ter antagens em termos de custo/benefíco, em que o custo é a perda de precsão e o benefíco é a redução do esforço de cálculo. 5.4. Lnhas de corrente, traectóras e lnhas de emssão Entre os aspectos mportantes para a caracterzação de um escoamento, está a caracterzação das forças que estão na orgem das arações da elocdade (acelerações) e dentfcação de zonas de fluos partculares. As lnhas mas frequentes para caracterzar um campo de elocdades são: Lnhas de emssão, Traectóras, Lnhas de corrente. As lnhas de emssão são as mas fáces de dentfcar. Elas correspondem ao lugar geométrco de todas as porções de fludo que passaram num ponto. A pluma de uma chamné sta ao longe é o eemplo mas comum de uma lnha de emssão. Quando sta ao longe, a saída da chamné pode ser consderada como um ponto e o fumo como uma lnha. Uma lnha de emssão pode arar no
tempo e por sso em cada momento podera ser regstada com uma máquna fotográfca. A traectóra de uma porção de fludo é o lugar geométrco de todas as posções ocupadas pelo fludo durante o seu deslocamento. É fácl de dentfcar usando uma câmara de flmar. Lnhas de corrente são lnhas tangentes à elocdade em cada ponto. Estas lnhas são as mas dfíces de dentfcar num escoamento não estaconáro, mas são as mas útes para caracterzar um escoamento. As lnhas de corrente podem ser dentfcadas colocando marcas no escoamento e regstando as suas posções em dos nstantes consecutos (duas fotografas). Sendo o deslocamento tangente à elocdade, a unão dos pontos dá a drecção e sentdo da elocdade. O espaço percorrdo por undade de tempo dá o módulo da elocdade. No caso de escoamentos estaconáros estas três lnhas são concdentes, uma ez que todas as partículas que passam num mesmo ponto se deslocam da mesma manera. No caso de a elocdade num ponto mudar de drecção, as lnhas de corrente deslocam-se perpendcularmente a elas própras. As lnhas de corrente são as mas útes, porque sendo paralelas à elocdade, são lnhas atraés das quas o caudal é nulo. Isso sgnfca que num escoamento estaconáro as lnhas de corrente não podem ter momento perpendcular a elas própras. A estênca desse momento é uma condção sufcente para que o escoamento sea não estaconáro. Com efeto, nesse caso a elocdade num ponto é aráel no tempo. 5.4.4 Forma das lnhas de corrente e forças de pressão As lnhas de corrente são tangentes à elocdade e por consegunte, podemos defnr tubos de corrente no espaço trdmensonal, no nteror dos quas o caudal se mantém constante. Num escoamento bdmensonal em que a elocdade não ara na drecção perpendcular ao papel, poderemos dzer que o caudal se mantém constante entre duas lnhas de corrente. Nesse caso, se duas lnhas de
corrente se afastam sso sgnfca que a elocdade baa, aumentando no caso de se apromarem (em escoamento ncompressíes). Se a elocdade se altera, sso sgnfca que a energa cnétca também se altera e por sso que o trabalho das forças aplcadas sobre o fludo é não nulo. Quando a energa cnétca aumenta, o trabalho das forças é posto e por sso a resultante das forças tem que ser no sentdo do escoamento. As forças aplcadas sobre o fludo podem ser de pressão, másscas (peso) e scosas. Mas adante falaremos das forças scosas. Para á amos admtr que são muto menos mportantes que as de pressão e as graítcas. Vamos admtr um caso em que as forças graítcas são também pouco mportantes (e.g. escoamento na horzontal). Nesses casos, quando a elocdade aumenta, a pressão tem que dmnur e ce-ersa. B A D C Fgura : eemplo de lnhas de corrente. O caudal em A é gual ao caudal em B e o caudal em C é gual ao caudal em D. Como consequênca do afastamento das lnhas de corrente poderemos dzer que a elocdade baa para a dreta e por sso que a pressão aumenta. Do mesmo modo poderemos dzer que quando temos curatura das lnhas de corrente, a pressão tem que ser maor do lado de fora do que do lado de dentro. Com efeto, se este curatura das lnhas de corrente, este aceleração, com redução da componente da elocdade que aponta para o lado de fora da cura e aumento da que aponta para o lado de dentro. A força necessára a esta alteração da elocdade tem que ser uma força perpendcular à lnha de corrente e drgda de fora para dentro da cura. Veremos mas adante que esta força é 4
normalmente a força de pressão. À força medda pela massa ezes a aceleração dá-se normalmente o nome de força centrífuga. A Fgura mostra um escoamento com curatura, ndcando onde é que a pressão é maor. P ρ r θ f c θ θ P - θ Fgura : Eemplo de uma lnha de corrente com curatura. A pressão é maor do lado de fora da lnha para equlbrar a força centrífuga resultante da aceleração assocada à curatura. 5.5 DIFUSIVIDADE A dfusdade é como mos aquando da defnção de elocdade, uma consequênca da hpótese de meo contínuo e da defnção de elocdade de um fludo. As moléculas têm massa e por sso transportam matéra e energa, pelo que o seu momento não pode ser gnorado. Ele é efectamente quantfcado pela dfusdade, que no caso de se falar em quantdade de momento, se chama scosdade. Consderemos uma superfíce plana no seo de um gás em repouso - elocdade méda das moléculas nula - como mostra a Fgura 4. A fgura mostra moléculas de dos tpos e um gradente de concentração. Se consderarmos a superfíce rtual representada na fgura, poderemos calcular o fluo de matéra assocado às moléculas de um dos tpos (e.g. moléculas pretas). O fluo resulta neste caso do momento produzdo pela elocdade brownana e é tanto maor quanto maor for essa elocdade. No entanto, porque esta elocdade é aleatóra, há moléculas pretas a cruzarem a superfíce em ambos os sentdos. O fluo resultante atraés da superfíce de controlo será uma 5
quantdade proporconal à dferença de concentrações entre ambos os lados da superfíce e à ntensdade da elocdade do momento brownano (u b ): Φ d ( c l c l l ) u b A dstânca l é o comprmento típco do deslocamento de uma molécula até chocar com outra e mudar de drecção. O fluo atraés da superfíce de controlo resultante do momento brownano das moléculas é então proporconal à elocdade das moléculas e ao lre percurso de cada uma delas. Na equação acma este percurso aparece mplctamente na dferença de concentrações, que aumenta com a dstânca entre os pontos em que são aaladas. A dferença de concentrações pode ser estmada conhecendo a dstânca entre os pontos em que são aaladas e o gradente: ( c c ) l l l c l l Onde o snal - tem em conta o facto de o gradente ser posto no sentdo crescente do eo. Substtundo a equação anteror na equação do fluo obtêm-se: Φ d l. ub c l Sendo o eo perpendcular à superfíce de controlo, o fluo atraés da superfíce de controlo pode ser escrto como: c Φd ν Onde ν é a dfusdade, que é proporconal ao produto da componente da elocdade das moléculas não ncluída na nossa defnção de elocdade pelo comprmento do deslocamento assocado a essa componente da elocdade. A dfusdade tem por consegunte dmensões de [m s - ]. Esta le fo proposta por Fck no século XIX, a partr de obserações empírcas. 6
Nos escoamentos de gases em que a únca componente do momento não resolda pela elocdade é o momento brownano (escoamentos lamnares), a dfusdade é só função das propredades das moléculas (.e. do fludo), da energa cnétca das moléculas (temperatura) e da dstânca percorrda por uma molécula até chocar com outra (da pressão e temperatura). Esta dfusdade pode ser por sso tabelada para cada gás, em função da temperatura e da pressão. C C Fgura 4: Fludo com um gradente de concentração (sualzado pela cor das moléculas) e uma superfíce rtual. As setas representam a elocdade do momento Brownano. No eemplo que demos, falámos de concentrações (e por sso de massa). Poderíamos no entanto falar de qualquer propredade transportada pela molécula (e.g. calor, quantdade de momento). No caso da propredade transportada ser a quantdade de momento a dfusdade toma o nome de scosdade e é responsáel pela estênca de força de atrto nos escoamentos, a qual é tanto maor quanto mas scoso for o fludo. No caso dos líqudos as moléculas estão assocadas formando grupos que se moem uns em relação aos outros. Estes grupos são demasado pequenos para que a elocdade de cada um deles pudesse ser analsada nddualmente e estão permanentemente a ser partdos e reconsttuídos. A sua dnâmca tem por sso que ser também tratada atraés de uma dfusdade. Como os líqudos são pratcamente ncompressíes, a sua dfusdade só depende da temperatura, a 7
qual reduz a dmensão dos grupos de moléculas em momento e por sso a dfusdade. 5.6 VISCOSIDADE E TE SÃO DE CORTE A dfusdade toma o nome de scosdade quando se fala de dfusão de quantdade de momento. Quando se fala de dfusão de massa, as moléculas têm efectamente de alterar a sua posção relata, para que esta um transporte efecto. No caso da quantdade de momento, basta que uma molécula eerça uma força sobre outra (e.g. um choque) para que haa transferênca de quantdade de momento. A quantdade de momento é por consegunte uma grandeza com maor dfusdade do que a massa 6. O facto de a quantdade de momento poder ser dfundda atraés de choques faz também com que nos líqudos e nos gases os processos de dfusão seam um pouco dferentes. Nos gases a dfusão é feta eclusamente atraés de moléculas que mudam de local e de choques entre moléculas. Nos líqudos as moléculas moem-se em grupos sendo a dfusão proporconal à dmensão dos grupos de moléculas. Esta dferença tem consequêncas ao níel da aração (dmnução) da scosdade com a temperatura. Nos gases o aumento da energa cnétca das moléculas com a temperatura resulta numa maor capacdade de dfundr quantdade de momento porque a elocdade do momento brownano aumenta e porque a quantdade de momento de cada molécula aumenta. Como consequênca a scosdade dos gases aumenta com a temperatura. Nos líqudos a energa cnétca das moléculas também aumenta com a temperatura, mas a dmensão dos grupos de moléculas dmnu, e por sso dmnu também a quantdade de momento assocada a cada um deles. Como consequênca o choque de grupos de 6 Também o calor é mas fácl de dfundr do que a massa. Sendo a temperatura uma medda da energa cnétca das moléculas, basta que uma transmta energa cnétca a outra para que haa dfusão de calor. É por essa razão que o calor se pode dfundr atraés de um corpo sóldo. Também por esta razão a dfusdade de calor toma o nome de condutdade e neste caso a le de Fck é normalmente desgnada por le de Fourer. 8
moléculas é menos efcente a dfundr quantdade de momento, quando a temperatura aumenta. Como resultado, a scosdade dos fludos baa com a temperatura 7. No caso da quantdade de momento a grandeza dfundda é a elocdade 8. Então utlzando as epressões apresentadas aquando da descrção da dfusdade, é fácl erfcar que o fluo dfuso de quantdade de momento é dado por: τ ρν µ n n onde n é a drecção do espaço perpendcular à elocdade 9 e µ é a chamada scosdade dnâmca e tem como dmensões [µ]ml - L T-. No sstema CGS a undade de scosdade é o Pose (g cm - s - ). No sstema SI as undades são (kg m - s - ). Num escoamento undmensonal a dfusão de quantdade de momento ocorre sempre que a elocdade ara perpendcularmente a ela própra (neste caso o 7 Os óleos estão entre os fludos mas scosos usados em engenhara. Os petroleros têm que manter os tanques aquecdos, para facltar a descarga. Tpcamente a temperatura do petróleo é de 60 C e unto à aspração das bombas estão stuadas resstêncas eléctrcas que aumentam a temperatura para cerca de 90 C na conduta de descarga. 8 A quantdade de momento é efectamente o produto da massa pela elocdade ( r ρ ). No entanto a aração de ρ tem assocada a epansão/contracção do fludo e por sso é contablzada pela elocdade (mas precsamente pela dergênca da elocdade como eremos mas adante). 9 Poderá perguntar-se porque é que a elocdade não se dfunde na drecção perpendcular a ela própra. Pensando nos concetos físcos assocados à defnção de dfusdade e no conceto de quantdade de momento é fácl erfcar que sso não é possíel. Efectamente a dfusão de quantdade de momento tem que estar assocada a um deso da drecção do escoamento que, na presença de uma aração da elocdade perpendcular a ela própra, a fazer com que o fludo adacente aprome a sua elocdade da elocdade do fludo que para aí se deslocou. Quando a flutuação da elocdade é na própra drecção da elocdade, é a própra elocdade que se altera e essa alteração não é mas do que o própro momento brownano. 9
rotaconal é não - nulo) e é tanto maor quanto maor for a sua taa de aração 0. A Fgura 5 mostra um escoamento sobre uma superfíce alnhada com o eo dos. Neste caso a elocdade só tem componente segundo e a dfusão de quantdade de momento faz-se segundo y. O fluo é negato, sgnfcando que as camadas que se deslocam em alores de y maores, perdem quantdade de momento para as que se deslocam mas perto da parede. A análse do fluo dfuso mostra que ele é mámo unto à parece, onde a taa de aração da elocdade é máma (admtndo que a scosdade é unforme). y Fgura 5: Eemplo de um escoamento sobre uma superfíce plana alnhada com o eo dos. Neste caso a elocdade só tem componente segundo e a dfusão de quantdade de momento faz-se segundo y. O fluo é negato, sgnfcando que as camadas que se deslocam em alores de y maores, perdem quantdade de momento para as que se deslocam mas perto da parede. Então da dfusão de quantdade de momento resulta o arrastamento do fludo que se desloca a menor elocdade e o traamento do fludo que se desloca a maor elocdade. Do fluo dfuso de quantdade de momento resulta por 0 Há casos em que a elocdade pode arar na drecção perpendcular a ela própra e ter rotaconal nulo (é o caso do escoamento assocado a ondas em águas profundas). Ver detalhes no parágrafo abao, dedcado ao operador rotaconal. 0
consegunte uma força. Essa força é normalmente desgnada por força scosa ou força de atrto ou força de corte. Ao seu alor por undade de área chama-se normalmente tensão de corte. A equação anteror fo escrta para o caso de um escoamento com uma únca componente de elocdade que ara numa únca drecção do espaço. Veremos mas adante que esta equação se escree para o caso geral como: τ µ µδ k k onde δ é o delta de Kronecker, que ale se e 0 no caso contráro. No caso de escoamento ncompressíel o segundo termo ale zero. 5.7 OPERADORES COM TE SORES Na Mecânca dos fludos ldamos com ectores, (elocdades e forças, tensores de ordem ) e com escalares (tensores de ordem 0 ), enolendo as equações operações com estes operadores (dergênca, gradente, rotaconal e laplacano). A bom conhecmento destes operadores é por consegunte essencal para a compreensão das equações. 5.7. Gradente O gradente de uma propredade faz subr de uma undade a ordem do tensor que a representa. Assm o gradente de um escalar é um ector que aponta no sentdo em que a taa de aração é máma e cuo módulo é a taa de aração nessa drecção. O gradente de um ector é um tensor de segunda ordem (representado por 9 quantdades, referentes a cada uma das coordenadas do ector). grad( P) P P P e e P e P Sendo o ector na drecção da taa de aração espacal máma, ele é perpendcular às solnhas da propredade.
Quando este dfusão, ela faz-se no sentdo contráro do gradente e por sso o fluo dfuso é um ector perpendcular à solnhas da propredade a que se refere. Como consequênca, o fluo dfuso atraés de uma superfíce com normal n, é dado pela epressão geral de um fluo assocado a um ector: Φ df A p ϑ n da A ( ϑ ( p). n)da Neste ntegral não fo consderado o snal - do fluo dfuso porque, no caso de a superfíce A ser fechada, a normal a consderar é a eteror e por consegunte, se o fluo entra, então o produto nterno do fluo pela normal é negato. No caso de A ser fechada, o ntegral acma dá a dferença entre o que sa e o que entra atraés da superfíce do olume de controlo. Pelo teorema da dergênca, este fluo é gual ao ntegral de olume da dergênca do fluo: Φ df A p ϑ n da Vol p dvol ϑ Este termo aparece nas equações de eolução a que chegaremos na dscplna de Mecânca dos Fludos e desgna-se por termo dfuso. X P Q X Fgura 6: Isolnhas de concentração e eemplos de gradentes em dos pontos (P e Q). O gradente é um ector perpendcular às solnhas e o comprmento do ector que o representa é nersamente proporconal à dstânca entre as solnhas.
5.7. Dergênca A dergênca é um operador que, ao contráro do gradente, faz baar a ordem do tensor e por consegunte não se aplca a escalares. A dergênca de um ector defne-se como: d ( ) Para se perceber o sgnfcado físco da dergênca, consderemos um escoamento genérco que atraessa um olume de controlo de dmensões nfntesmas e quantfquemos os fluos de olume que entram e que saem do olume de controlo. Sendo o olume nfntesmal, podemos consderar a elocdade unforme nas faces do olume e por sso os fluos são dados por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) entre o olume fludo que entra e o olume de fludo que sa} {Dferença q q Ddndo a equação pelo olume e fazendo o olume tender para zero obtém-se: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( entre o olume fludo que entra e o olume de fludo que sa}/volume {Dferença d q q Que mostra que a dergênca da elocdade é o smétrco da taa de aração de olume por undade de olume de fludo. Esta é a razão de ser do nome deste operador. No caso de a elocdade ser aráel nas faces do olume de controlo e no seu nteror, os fluos e a dergênca teram que ser ntegrados ao longo do olume e obter-se-a: ( ) dvol da n Vol A r.
Que é o Teorema da Dergênca. No caso de o escoamento ser ncompressíel, o olume de fludo que entra no olume de controlo é gual ao que sa e por sso a dergênca da elocdade é nula. Fgura 7: Volume de controlo nfntesmal de dmensões de faces normas aos eos coordenados. 5.7. Laplacano O laplacano é a dergênca do gradente. Tem partcular nteresse para analsar o fluo dfuso. Com efeto o fluo dfuso de uma propredade é proporconal ao gradente dessa propredade. A dergênca desse fluo dá a dferença entre o que entra e o que sa. Assm, nos casos em que a dfusdade é unforme, a dergênca do fluo dfuso é gual à dfusdade ezes o laplacano: P P ν ν ν ( P) Sendo o laplacano uma segunda derada, ele mostra que a dfusão só orgna aração da propredade num ponto se a segunda derada for não-nula. 4
5.7.4 Rotaconal Em coordenadas rectangulares o rotaconal da elocdade é dado por: rot e e e Para que o rotaconal da elocdade sea nulo é sufcente que as deradas de uma componente da elocdade em relação às drecções perpendculares a essa componente seam nulas. No caso de um escoamento undmensonal sso mplca que a elocdade não are perpendcularmente a ela própra. Se sso acontecesse, as tensões de corte seram nulas e não estram efetos scosos no escoamento. Mas para que o rotaconal sea nulo, é sufcente que as deradas transersas e anulem. Veamos então o que sto sgnfca fscamente. Consderemos a componente do rotaconal segundo. e O termo orgna a rotação de lnhas ertcas, no sentdo horáro e o termo orgna a rotação de lnhas horzontas no sentdo contráro dos ponteros do relógo. Assm, no caso de escoamentos rrotaconas, se desenharmos uma cruz num ponto, as lnhas que a consttuem ou não rodam, ou se rodarem rodam em sentdos contráros. Imagnemos que essas lnhas são os lados de um quadrado, como mostra a Fgura 8. No caso deste escoamento as duas deradas que compões o rotaconal são smétrcas e as lnhas horzontal e ertcal rodam do mesmo modo. Assm, o quadrado roda sem se deformar. Imagnemos que este quadrado era uma cadernha de uma roda ertcal de fera popular. Nesta cadernha os utlzadores fcaram alternadamente de cabeça para cma e de cabeça para bao. Neste caso os utlzadores teram rotação, mas não seram deformados. 5
X A θ X A Fgura 8: Eemplo de um escoamento rotaconal, com rotação pura. O escoamento é um órtce forçado (rotação do tpo corpo sóldo). Consderemos agora o caso do escoamento representado na Fgura 9. Nesse escoamento a componente da elocdade é gual à do eemplo anteror, mas a componente é smétrca. Sendo assm, o rotaconal passa a ser nulo, mas o mesmo quadrado do eemplo anteror deforma-se como mostra a fgura. Neste eemplo um quadrado colocado na bssectrz dos quadrantes desloca-se ao longo da bssectrz, mas a-se alongando, pos o értce mas afastado da orgem tem mas elocdade do que o que está mas prómo. Se téssemos colocado o quadrado noutro ponto do escoamento ele ra deslocar-se ao longo da lnha de corrente que passa pelo seu centro e ra deformar-se, mas não rodara porque o rotaconal da elocdade é zero. Consderemos dos pontos sobre essa dagonal, afastados de uma dstânca ds. Se a y elocdade de num dos pontos for (, y ), então ( ) ( ) d y ( ) ( ) dy y d y dy como estamos na bssectrz do quadrante, então d dy e, como as y deradas são guas, então a elocdade no segundo ponto é também alnhada com a bssectrz. y e 6
Y Y X Fgura 9: Eemplo de um escoamento rrotaconal onde a elocdade tem deradas cruzadas. Neste caso o quadrado deforma-se mas as dagonas não rodam (nota: as setas mas prómas do eo posto dos têm os sentdos ao contráro). A Fgura 0 mostra o perfl de elocdades de um órtce lre. Neste caso o escoamento também roda em torno da orgem. Mas ao contráro do órtce forçado, a elocdade dmnu à medda que nos afastamos da orgem. Neste escoamento a elocdade tangencal só depende da dstânca à orgem e as lnhas de corrente são crculares. Neste aspecto é um escoamento dêntco ao do órtce forçado representado na Fgura 8, mas aqu a elocdade dmnu à medda que nos afastamos da orgem, sendo dada por: ( θ,0,0) 7
8 r k θ, onde r é ao coordenada radal. No sstema de coordenadas rectangulares representado na fgura, θ θ rsen r e cos e as componentes da elocdade são ( ) ( ) cos e k k sen θ θ θ θ. Assm, neste escoamento, o rotaconal será dado por: 0 e e e e rot Sendo o rotaconal nulo, então os elementos de fludo deslocam-se também sem rodar, ao longo de lnhas de corrente crculares. Se essas cruzes fossem as dagonas de um quadrado, então este deslocar-se-a como mostra a Fgura 0. Fgura 0: Perfl de elocdades num escoamento do tpo órtce. No caso de o perfl ser o representado na fgura, o escoamento sera rrotaconal. O círculo representa uma lnha de corrente (concdente com uma traectóra e o quadrado representado nos pontos e desloca-se, sem que as suas dagonas rodem uma sobre a outra. X X A A
Este escoamento é nteressante pos a elocdade das lnhas de corrente mas prómas da orgem é maor do que as que estão mas afastadas. Se analsarmos as dferenças entre as elocdades dos értces dos quadrados temos a mpressão de que este se deforma e que tem rotação. Analsemos a dagonal ertcal na posção superor. O ponto mas prómo da orgem deslocase mas rapdamente que o ponto mas afastado e sso dá por s orgem a uma rotação no sentdo contráro ao dos ponteros do relógo. Do mesmo modo os lados que se untam no értce A parecem rodar no mesmo sentdo, o que sugere rotaconal não - nulo, com rotação no sentdo ant-horáro. O rotaconal é nulo porque esta rotação é anulada pela rotação global do quadrado assocada ao momento do seu centro. Este conunto de eemplos mostra então que:. Quando falamos de olumes elementares e da lnha de corrente ao longo da qual se desloca o elemento de olume, estamos a falar da lnha de corrente que passa pelo seu centro.. O rotaconal da elocdade dá a rotação que um elemento de olume sofre globalmente, em torno do seu centro. Na natureza o escoamento nos furações é do tpo órtce lre e como eremos mas abao é pouco afectado pelas forças de orgem scosa, dsspando pouca energa e permtndo que esses escoamentos se mantenham por bastante tempo (os habtantes da enolente do Golfo do Méco que o dgam...). As cadernhas nas rodas da Fera Popular estão penduradas numa lnha de corrente e rodam em torno do ponto de suspensão, de modo que os utentes têm a certeza de que não fcam de cabeça para bao, como sera o caso se tessem rotação sólda (caderas soldadas à roda). Consderemos agora um escoamento típco dos problemas de engenhara, como o representado na Fgura. Neste escoamento a elocdade tem só uma componente (segundo ), que ara segundo yy. Temos por sso rotaconal não nulo, com componente segundo zz. Neste caso lnhas paralelas a não podem 9
rodar porque y 0, mas as lnhas paralelas ao eo dos yy rodam dedo y > 0. Estas lnhas ão-se nclnando como mostra a fgura. X θ α <90º P X Fgura : Escoamento undmensonal onde o rotaconal é dferente de zero. A derada da elocdade no ponto P é dada pela tangente do ângulo θ. Um elemento quadrado colocado naquele ponto deforma-se como mostra a fgura. 5.7.5 Rotaconal e efetos scosos No caso de o rotaconal da elocdade ser nulo poderemos afrmar que: Este resultado tem consequêncas para a resultante das forças scosas. A resultante das forças scosas é dada pela dergênca do fluo dfuso de quantdade de momento representado pela tensão de corte. No caso de escoamento ncompressíel teremos: 0
( ) 0 µ µ µ µ τ Nesta equação temos em consderação que as deradas cruzadas de uma função contínua são guas e que o escoamento é ncompressíel. Poderemos então afrmar que em escoamentos rrotaconas os efetos scosos são nulos. Na realdade a afrmação para ser útl em termos de smplfcação das equações, coném ser formulada ao contráro Se os efetos scosos são pouco mportantes, então o rotaconal da elocdade é bao. Analsemos as forças de pressão e as forças másscas. As forças de pressão são orgem a forças normas com resultante no sentdo contráro ao gradente de pressão. As forças de pressão podem por sso orgnar aceleração no sentdo do gradente de pressão, mas não dão orgem a rotação do elemento de olume. Do mesmo modo as forças másscas dão orgem a força ertcal, mas não a rotação. Para produzrmos rotação precsamos então de forças tangencas. Estas forças podem ser eercdas pelas forças scosas. A tensão de corte é dada por: ( ) 0 µ µ µ µ τ µ τ Esta tensão aplcada a um olume de fludo dara a dstrbução de tensões representada na Fgura. A fgura mostra que a resultante das tensões tangencas pode fazer rodar o fludo, sendo a aração do momento angular gual ao momento desta resultante de tensões. No escoamento undmensonal da Fgura a elocdade só tem uma componente e por sso e as deradas em são nulas. Assm a resultante das tensões de corte paralelas a é nula. O bnáro destas tensões é gual ao das tensões paralelas a, que têm resultante não - nula.
X ( τ ) ( τ ) ( τ ) ( τ ) X Fgura : Tensões de corte aplcadas num olume de fludo. O momento destas tensões determna a taa de aração do momento angular do elemento de olume e a resultante das tensões determna a taa de acumulação de quantdade de momento em cada uma das drecções. Se o rotaconal da elocdade fosse zero, então estas tensões seram guas duas a duas (as duas que estão apontadas ao mesmo értce) e por sso daram orgem a deformação do olume, mas teram resultante nula e por sso não daram orgem a dfusão de quantdade de momento. Podemos então dzer que: Num escoamento rrotaconal a resultante das forças scosas é nula e por sso não produzem aceleração, e não aprecem na equação de transporte de quantdade de momento. Num escoamento as forças scosas são as úncas capazes de geral rotação. Assm, se um escoamento for pouco scoso, a rotação tem que ser aplcada nectando fludo no domíno com uma dstrbução de elocdades que á contenha o rotaconal. Isso sgnfca que em geral,
quando os efetos scosos são baos, o rotaconal da elocdade é bao. 6 Equação da contnudade Depos do que fo dto sobre a elocdade e sobre a dergênca da elocdade, á é possíel escreer a equação da contnudade - que deduzremos de forma mas físca noutro local - e que representa a le da conseração da massa. A le de conseração da massa dz A massa de um corpo não ara no tempo. Aplcando esta le a uma porção de fludo com olume V e massa olúmca ρ, poderemos dzer que: dm dt d dt dρ dvol dρ r ( ρ dv ) dv ρ dv ρ (. )dv dt dt Admtndo um olume sufcentemente pequeno para que as propredades possam ser consderadas unformes no seu nteror e referndo à undade de olume em: dρ r ρ. 0 dt ou, num referencal eulerano: ρ r r. ρ ρ. t que, no caso de fludo ncompressíel se transforma em dergênca nula da elocdade. dt 7 Equação de transporte de quantdade de momento A equação de transporte de quantdade de momento obtém-se drectamente da le de Newton: F d dt F Vol d dt t m > f ρ ρ ρ Para obtermos a equação precsamos das forças por undade de olume. As forças podem ser de pressão, scosas ou graítcas.
4 Pressão: p p f Graítcas: g gz g f ρ ρ Vscosas (para escoamento ncompressíel): ( ) µ µ µ µ τ porque as deradas cruzadas são guas e o escoamento é ncompressíel, a segunda parte da tensão de corte anula-se. Substtundo na equação acma obtém-se: ( ) gz p t dt d µ ρ ρ ρ ρ Esta equação desgna-se por Equação de Naer-Stokes e será deduzda mas adante com mas detalhe. 8 Equação de Bernoull Se o escoamento for rrotaconal então o termo das forças scosas da equação de Naer-Stokes anula-se (er parágrafo 5.7.5) e, na derada conecta poderemos substtur. Consderando anda escoamento estaconáro e ncompressíel, anula-se a contrbução da derada local temporal da aceleração e a massa olúmca pode passar para o nteror da derada, obtendo-se:
ρ p ρ p ρ ( p ρgz) ρgz 0 ρgz Const Esta é a equação de Bernoull que dz que num escoamento rrotaconal, estaconáro, ncompressíel, a energa mecânca é a mesma em qualquer ponto do escoamento. No caso de o escoamento não ser rrotaconal, mas os efetos scosos poderem ser desprezados e o escoamento ser estaconáro e ncompressíel, a mesma equação pode ser obtda, mas com a restrção de ser ao longo de uma lnha de corrente. Nesse caso, a aceleração conecta só pode ser transformada na derada espacal da energa cnétca se a elocdade só ter uma componente, o que só acontece se o referencal acompanhar uma lnha de corrente. 9 Nota Fnal Este teto consttu um conunto de notas sobre a parte ntrodutóra da dscplna e pretende apresentar a mecânca dos fludos como sendo um caso partcular da físca. Efectamente a dscplna consttu essencalmente no trabalhar dos concetos que são apresentados neste teto e que são ntegrados nas equações da contnudade e de Naer-Stokes, analsando casos smples, com soluções analítcas e mostrando qualtatamente os escoamentos mas mportantes que não têm solução analítca e anda como em Engenhara se resolem os problemas usando nformação epermental. As soluções das equações para casos de dmensões fntas, obtdos consderando hpóteses smplfcatas para o cálculo dos fluos serão também analsadas com detalhe nas aulas prátcas. 5