Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura MECÂNICA I

Transcrição

1 Departamento de Engenhara Cvl e rqutectura Secção de Mecânca Estrutural e Estruturas Mestrado em Engenhara Cvl MECÂNIC I pontamentos sobre equlíbro de estruturas Eduardo Perera Luís Guerrero 2009/2010

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3 Índce Índce... 1 Introdução Concetos fundamentas poos rtculações ou rótulas Equlíbro estátco e estata Estata do corpo rígdo a duas e três dmensões Estata de estruturas Estata nteror e malhas fechadas Método das estruturas arborescentes Exercícos propostos Estruturas artculadas Defnção Modelo de barra de estrutura artculada Estata de estruturas artculadas Cálculo de esforços em estruturas artculadas sostátcas Método dos Nós Método das Secções Estruturas artculadas trdmensonas Exercícos propostos Esforços em peças lneares Introdução Defnção de esforço Dagramas de esforços Relações entre esforços e forças aplcadas para estruturas retculadas planas Exemplo de aplcação Relações entre esforços e forças aplcadas para estruturas retculadas trdmensonas Exercícos propostos...60

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5 1 Introdução Estes apontamentos destnam-se a guar a aprendzagem no domíno do Equlíbro de Estruturas Isostátcas. organzação adoptada segue de perto as metodologas de ensno da undade currcular de Mecânca I, lecconada no 1º ano do curso de mestrado em Engenhara Cvl do Insttuto Superor Técnco. Mutos dos exemplos e exercícos propostos têm como base os exercícos adoptados em enuncados de problemas e de exames das undades currculares de Estátca e Mecânca I, da responsabldade do Prof. Ildefonso Cabrta Neves até ao ano lectvo de 2006/2007. organzação adoptada compreende quatro capítulos: o presente capítulo, Introdução, procura ntroduzr os concetos fundamentas lgados à nálse de Estruturas e que serão utlzados ao longo de todos os apontamentos; no capítulo 2, Equlíbro Estátco e Estata, são apresentados os concetos de ndetermnação estátca; no capítulo 3 procede-se ao estudo das Estruturas rtculadas, trelças na desgnação braslera. análse deste tpo de estruturas, para além do seu nteresse prátco, permte a apreensão de mutos dos concetos lgados ao equlíbro de estruturas, tendo como campo de aplcação estruturas smples; o capítulo 4 é dedcado aos Esforços e Dagramas de Esforços em estruturas retculadas sostátcas. ssunto de negável nteresse no domíno da nálse de Estruturas, é a base essencal onde assentam mutos dos concetos que serão estudados no âmbto da Mecânca Estrutural e Estruturas ao longo de todo o curso de Engenhara Cvl. Em todo o desenvolvmento destes apontamentos procura-se alar o rgor dos concetos com o recurso a modelos ntutvos que permtam uma mas fácl compreensão. apresentação dos dferentes temas fará recurso a exemplos que permtam a aplcação e demonstração dos concetos a casos concretos. O estudo das dferentes matéras é complementado com a apresentação de alguns problemas resolvdos e de um conjunto de problemas cuja resolução se propõe. 1.1 Concetos fundamentas ntes de ncar o estudo do Equlíbro de Estruturas Isostátcas, nteressará defnr alguns concetos báscos para que no desenrolar da apresentação das dferentes matéras não surjam dúvdas sobre qual o seu sgnfcado e âmbto. Procuraremos nestes apontamentos segur a nomenclatura ntroduzda no Vocabuláro de Teora das 1

6 Estruturas 1, com as necessáras adaptações, do qual transcrevemos desde já o segunte conceto: Estrutura Elemento ou conjunto de elementos adequado a resstr às causas exterores capazes de produzr ou alterar o estado de tensão ou de deformação do corpo. Tendo em conta esta defnção, a estrutura de um corpo será o conjunto de elementos que garantem a ntegrdade do corpo perante acções externas. Dferentes óptcas poderão ser adoptadas para a classfcação das estruturas. Estes apontamentos centrarse-ão no estudo de Estruturas retculadas sto é estruturas consttuídas por peças lneares, em que: Peça lnear Corpo que se pode consderar gerado por uma fgura plana, de forma e dmensões não necessaramente constantes, cujo centro de gravdade percorre uma trajectóra ao longo de uma lnha de grande rao de curvatura à qual a fgura se mantém perpendcular e cuja extensão da trajectóra é largamente superor às dmensões da fgura; Exo de uma peça lnear Trajectóra do centro de gravdade da fgura geradora da peça lnear; Secção transversal de uma peça lnear Secção de uma peça lnear resultante da sua ntersecção por um plano normal ao exo. gura 1.1: Exemplo de peça lnear Pórtco Estrutura retculada consttuída prncpalmente por peças lneares horzontas e vertcas. Estrutura retculada plana Estrutura consttuída por peças lneares cuja geometra se pode referr a um mesmo plano (os exos das peças lneares estão no mesmo plano) e estão submetdas à acção de sstemas planos de forças, sto é, forças cujas lnhas de acção estão no mesmo plano da estrutura. 1 Vocabuláro de Teora das Estruturas, Especfcação E , Laboratóro Naconal de Engenhara Cvl, Lsboa,

7 Pórtco Plano Estrutura retculada plana consttuída prncpalmente por peças lneares horzontas e vertcas. De entre os dferentes tpos de peças lneares centraremos a nossa atenção no caso das peças lneares de exo recto e mas concretamente no caso das peças prsmátcas, sto é, peças lneares de exo recto e secção transversal constante. Na fgura 1.2 apresentam-se a título de exemplo representações de dferentes estruturas retculadas consttuídas por peças lneares de exo recto. Salente-se que habtualmente as peças lneares apenas são representadas pelo seu exo. Numa estrutura retculada, os cruzamentos de peças lneares são habtualmente desgnados como nós, desgnando-se como barras as peças lneares compreenddas entre nós consecutvos. a) Pórtco plano de dos psos b) Estrutura retculada plana com uma artculação c) Pórtco trdmensonal de um pso gura 1.2: Exemplos de estruturas retculadas. 1.2 poos lgação das estruturas retculadas ao exteror é materalzada por apoos. Nas fguras 1.3a e 1.3b apresentam-se exemplos de dferentes sstemas de apoo, respectvamente em estruturas retculadas planas e trdmensonas. Nas mesmas fguras ndcam-se quas as forças de lgação que se podem moblzar bem como quas os deslocamentos permtdos. 3

8 Encastramento mpede todos os deslocamentos, através das forças de lgação generalzadas (M, V, H); Encastramento deslzante permte o deslocamento paralelo ao plano de deslzamento (δ), mpede a rotação e o deslocamento perpendcular ao plano de deslzamento através das forças de lgação generalzadas (M, ); poo fxo permte a rotação (θ), mpede todas as translações através de duas forças de lgação (por exemplo: V, H); poo móvel permte a rotação (θ) e o deslocamento paralelo ao plano de deslzamento (δ), mpede a translação perpendcular ao plano de deslzamento através de uma força de lgação (); gura 1.3a: poos para estruturas retculadas planas. 4

9 Encastramento mpede todos os deslocamentos, através das forças de lgação generalzadas ( x ; y ; z ; M x ; M y ; M z ); poo fxo esférco permte todas as rotações (θ x ; θ y ; θ z ;), mpede todas as translações através de três forças de lgação ( x ; y ; z ); poo fxo clíndrco permte a rotação segundo o exo do clndro (θ x ), mpede os restantes deslocamentos através das forças de lgação generalzadas ( x ; y ; z ; M y ; M z ); Encastramento deslzante permte as translações segundo o plano de deslzamento (δ x ; δ y ), mpede todas as rotações e a translação perpendcular ao plano de deslzamento através das forças de lgação generalzadas ( z ; M x ; M y ; M z ); poo móvel esférco permte todas as rotações (θ x ; θ y ; θ z ;) e as translações segundo o plano de deslzamento (δ x ; δ y ), mpede a translação perpendcular ao plano de deslzamento através da força de lgação ( z ); poo móvel clíndrco permte a rotação segundo o exo do clndro (θ x ) e as translações segundo o plano de deslzamento (δ x ; δ y ), mpede os restantes deslocamentos através das forças de lgação generalzadas ( z ; M y ; M z ); gura 1.3b: poos para estruturas retculadas trdmensonas. 5

10 1.3 rtculações ou rótulas Na lgação entre as dferentes barras consdera-se habtualmente a exstênca de contnudade, sto é, obrgando a que sejam guas todos os deslocamentos, translações e rotações, nas extremdades das barras a lgar. Contudo por vezes pretende-se que a lgação entre as barras não seja completa, podendo ser efectuada obrgando apenas à contnudade de alguns dos deslocamentos. De entre as dferentes lgações ncompletas entre barras as mas habtuas são as artculações, ou rótulas, as quas mpedem a translação relatva entre as extremdades das barras que lgam permtndo no entanto a sua rotação relatva. Nas estruturas artculadas, como a representada na fgura 1.4, a lgação entre as dferentes barras é do tpo artculação ou rótula. gura 1.4: Exemplo de estrutura artculada. 6

11 2 Equlíbro estátco e estata 2.1 Estata do corpo rígdo a duas e três dmensões Consdere-se um corpo no espaço trdmensonal sujeto a um conjunto de forças como o representado na fgura 2.1. De acordo com a generalzação da 1ª le de Newton para o caso dos corpos rígdos, um corpo manter-se-á em repouso ou em movmento rectlíneo e unforme se for nula a resultante das forças aplcadas, o equlíbro estátco do corpo é garantdo se se verfcar o segunte conjunto de equações: P M (2.1) em que os somatóros são estenddos a todas as forças aplcadas no corpo, sendo a equação de equlíbro de momentos referda a um qualquer ponto P do espaço. Tratandose de um corpo rígdo ou de um corpo sujeto a pequenas deformações, as equações de equlíbro (2.1) são estabelecdas na posção ndeformada do corpo. gura 2.1: Corpo rígdo sujeto a um campo de forças genérco. O sstema de equações vectoras (2.1), quando expresso num sstema de coordenadas cartesano (x,y,z) corresponde a um sstema de ses equações escalares do tpo: x y z M M M P x P y P z (2.2) 7

12 Num corpo rígdo em equlíbro nem sempre são conhecdas a pror todas as forças aplcadas sobre o mesmo, vsto que algumas das forças podem resultar da fxação do valor de deslocamentos em alguns pontos do corpo. Estas forças, desgnadas por forças de lgação, tomarão o valor necessáro para que, smultaneamente, seja satsfeto o equlíbro do corpo e seja respetado o valor fxado para os deslocamentos. Nesta stuação, a satsfação do equlíbro do corpo rígdo passa pela obtenção de uma solução para o sstema (2.2) em termos dos valores das forças de lgação. Tome-se como exemplo o caso da vga representada na fgura 2.2a, sujeta à acção de duas forças aplcadas e em que se consdera a ntrodução de restrções ao movmento nas suas extremdades. ssm, consdera-se a exstênca de um apoo fxo na extremdade, o qual mpede qualquer translação deste ponto. Em contrapartda na extremdade, a exstênca de um apoo móvel que mpede a translação desse ponto segundo a drecção y. gura 2.2a: Vga smplesmente apoada. gura 2.2b: Dagrama de corpo lvre da Vga smplesmente apoada s restrções de deslocamento dos pontos e têm como resultado a aplcação nesses pontos de forças, de valor a pror desconhecdo, que garantam o equlíbro da vga. No caso do apoo, esta força terá a drecção correspondente à da translação mpedda, δ y. No apoo, tanto a ntensdade como a drecção da força são desconhecdas, pelo que poder-se-ão consderar como desconhecdas as componentes da força de lgação segundo o referencal cartesano consderado x, y. Na fgura 2.2b representa-se o dagrama de corpo lvre da vga, o qual corresponde à representação, na posção ndeformada da vga, do conjunto de todas as forças aplcadas na vga. 8

13 Tendo em conta o facto de se estar a estudar o equlíbro da vga no plano, o sstema de equações (2.2), pode ser escrto na forma: x y M z = 2 = + X 1 = a + Y 1 + Y + L Y (2.3) O que, como os valores de 1, 2, a e L são conhecdos a pror, corresponde a um sstema de 3 equações a 3 ncógntas (X, Y, Y ). Este sstema de equações é um sstema determnado ao qual corresponde a solução: X = 2 Y = 1 (L a) / L Y = 1 a / L (2.4) O exemplo consderado exemplfca o caso de um corpo rígdo para o qual o equlíbro estátco corresponde à satsfação de um conjunto de três equações sendo que o conjunto de forças a determnar corresponde a três ncógntas estátcas. ssm, consdera-se estar no caso de um problema dto sostátco pos corresponde-lhe um sstema determnado de três equações a três ncógntas. Defne-se como corpo rígdo ou sstema de corpos rígdos sostátco aquele para o qual as condções de equlíbro estátco são descrtas por um sstema de equações determnado. Consdere-se agora a stuação da vga representada nas fguras 2.3a e 2.3b, a qual corresponde à stuação da vga smplesmente apoada (fgura 2.2a), mas consderando agora a exstênca na extremdade de um apoo fxo, logo o mpedmento das translações segundo x e y desse ponto. gura 2.3a: Vga com dos apoos fxos. 9

14 gura 2.3b: Dagrama de corpo lvre da vga com dos apoos fxos. Nesta stuação haverá que consderar a exstênca de duas componentes na força de lgação em, X e Y, tomando as equações de equlíbro a segunte forma: x y M z = 2 = + X 1 = a + Y 1 + X + Y + L Y (2.5) Este sstema é agora ndetermnado pos correspondem-lhe três equações e quatro ncógntas (X, Y, X e Y ). Consderando que o grau de ndetermnação pode ser defndo como o número mínmo de ncógntas cujo valor é necessáro conhecer para que o sstema se torne determnado, este sstema é ndetermnado do 1º grau. O grau de ndetermnação também pode ser defndo como a dferença entre o número de ncógntas e o número de equações dsponíves. Defne-se como corpo rígdo ou sstema de corpos rígdos hperstátco do grau n aquele para o qual as condções de equlíbro estátco são descrtas por um sstema de equações ndetermnado de grau n. Retome-se novamente o exemplo da vga da fgura 2.2a mas consderando agora que o apoo em apenas mpede o deslocamento segundo y (ver fguras 2.4a e 2.4b). gura 2.4a: Vga com dos apoos móves. 10

15 gura 2.4b: Dagrama de corpo lvre da vga com dos apoos móves. Para estas condções de apoo, as equações de equlíbro tomam a segunte forma: x y M z = 2 = 1 = a + Y 1 + Y + L Y (2.6) Para além do facto de estarmos em presença de um sstema de três equações a duas ncógntas, no caso geral, 2 0, este sstema é mpossível pos não exste nenhuma solução, par de valores Y e Y, que satsfaça a prmera equação de equlíbro. Contudo, é possível obter uma solução que respete smultaneamente as equações de equlíbro de forças segundo y e de momentos. Defne-se como corpo rígdo ou sstema de corpos rígdos hpostátco do grau n aquele para o qual as condções de equlíbro estátco são descrtas por um sstema de equações mpossível, caracterzado pela exstênca de um número de equações superor ao número de ncógntas, tal que: n = nº de equações nº de ncógntas. Os casos apresentados anterormente dzem respeto ao equlíbro de corpos rígdos no espaço bdmensonal sendo o equlíbro estátco estabelecdo através de um conjunto de três equações de equlíbro. Nesta stuação é necessáro, para que se garanta a exstênca de uma solução únca para este sstema de equações, que o número de ncógntas, forças de lgação, seja gual a três. Nesta stuação consdera-se o corpo como sostátco. Se o número de lgações corresponder à exstênca de mas do que três forças de lgação, consdera-se o corpo como hperstátco. Se o número de lgações corresponder à exstênca de menos do que três forças de lgação, consdera-se o corpo como hpostátco. Para o equlíbro de um corpo rígdo no espaço trdmensonal é necessáro a satsfação de ses equações de equlíbro. ssm, consdera-se o corpo como sostátco se o numero de forças de lgação for gual a ses, hperstátco se superor a ses e hpostátco se nferor a ses. 11

16 Convrá referr que exstrão casos em que, apesar das equações de equlíbro estátco e das forças de fxação serem em gual número, podermos estar na presença de problemas não sostátcos. Tome-se por exemplo a vga representada nas fguras 2.5a e 2.5b. Para estas condções de apoo, as equações de equlíbro tomam a segunte forma: x y M z = 2 = + X 1 = a + Y 1 + X (2.7) pesar de estarmos na presença de um sstema de três equações a três ncógntas, este sstema não tem solução. prmera equação é ndetermnada, a segunda tem solução e a tercera equação é mpossível. gura 2.5a: Vga com lgações mal dstrbuídas. gura 2.5b: Dagrama de corpo lvre da vga com lgações mal dstrbuídas. Estas stuações em que smultaneamente o sstema de equações é ndetermnado e mpossível correspondem em geral ao caso de corpos com lgações mal dstrbuídas. Na verdade, a vga representada na fgura 2.5a apresenta um excesso de forças de lgação na drecção x, enquanto que apresenta uma falta de forças de lgação que lhe permta o equlíbro de momentos segundo z. mesma conclusão podera ser retrada se se tvesse em conta que todas as forças de lgação são concorrentes num ponto, permtndo apenas o equlíbro de sstemas de forças aplcadas cuja resultante passe também nesse ponto. 12

17 2.2 Estata de estruturas Na secção anteror abordou-se a questão da estata de um corpo rígdo, no entanto uma estrutura pode ser consttuída como a assocação de corpos rígdos para os quas se especfcam as condções de lgação entre s e entre s e o exteror. No âmbto destes apontamentos consderar-se-ão estruturas consttuídas pela assocação de peças lneares, sto é, corpos em que uma dmensão é bastante superor às outras, de forma a poderem ser representados por uma lnha, o seu exo. Tome-se como exemplo a estrutura representada na fgura 6a, consttuída por duas barras de exo recto lgadas entre s por uma artculação (rótula). gura 2.6a: Pórtco de duas barras e uma rótula. gura 2.6b: Dagrama de corpo lvre do pórtco de duas barras e uma rótula. Tendo em conta o dagrama de corpo lvre da estrutura (fgura 2.6b) e adoptando a metodologa seguda na secção anteror podem-se estabelecer as seguntes equações de equlíbro, consderando toda a estrutura como um únco corpo: x y M z = X = Y = L 1 + X + Y Y + + X + Y H 1 C C X + L Y C + H X C (2.8) 13

18 Este sstema é ndetermnado pos correspondem-lhe três equações e quatro ncógntas (X, Y, X C e Y C ), podendo classfcar-se a estrutura como sendo exterormente hperstátca do 1º grau. desgnação de exterormente hperstátca corresponde a salentar o facto de exstrem forças de lgação ao exteror em excesso em relação ao número de equações de equlíbro estátco dsponíves para a estrutura quando consderada como um só corpo rígdo. Da mesma forma e analogamente ao procedmento segudo na secção anteror poderemos consderar uma estrutura como exterormente sostátca quando as equações de equlíbro estátco estabelecdas consderando a estrutura como um só corpo permtem determnar todas as forças de lgação exteror e exterormente hpostátca quando este sstema de equações de equlíbro estátco não tem solução. Retomemos agora a análse da estrutura representada na fgura 2.6a. pesar de consderada como consttuída por corpos rígdos, a forma como os mesmos estão lgados não a torna num corpo rígdo, a lgação artculada exstente em permte a rotação relatva das barras, mpedndo a transmssão de momento na lgação. Consderem-se então os dagramas de corpo lvre de cada uma das suas barras como representado na fgura 2.6c. Estes dagramas são elaborados tendo em conta que as úncas forças de lgação entre as barras (X e Y ), pelo prncípo da acção-reacção apresentam sentdos opostos, quando referdas a cada um dos corpos que lgam gura 2.6c: Dagrama de corpo lvre das barras consttuntes do pórtco de duas barras e uma rótula. s equações de equlíbro de cada um dos corpos podem ser escrtas na forma: x y M z = = X Y = L Y + X + Y + L + 1 Y Y (2.9) 14

19 x y M z = = X Y C C = H X X Y C + + L Y C X L Y + H 1 X (2.10) O conjunto de equações de equlíbro, (2.9) e (2.10) permte estabelecer um sstema de ses equações a ses ncógntas, o qual é determnado, desta forma podemos afrmar que este sstema de corpos rígdos é globalmente sostátco. De forma a smplfcar o problema, adconem-se separadamente as duas equações de equlíbro de forças em X, as duas equações de equlíbro de forças em Y e as duas equações de equlíbro de momentos presentes nas equações (2.9) e (2.10). Desta operação resulta a elmnação das forças de lgação (X e Y ), recuperando-se as equações globas de equlíbro (2.8). Contudo, o conjunto de equações (2.9) e (2.10) contem mas nformação do que a contda nas equações de equlíbro global (2.8). Por exemplo, para o sstema de equações (2.9), é possível reescrever as duas prmeras equações de equlíbro de forma a determnar as forças de lgação nterores em função das forças de lgação exterores: X Y = X = Y Y (2.11) e, smultaneamente, escrever a equação de equlíbro de momentos em função apenas das forças de lgação exterores: L Y ( L L ) 0 + (2.12) 1 Y = equação (2.12) corresponde ao equlíbro de momentos em estabelecdo para a barra, exprmndo a não transmssão de momentos entre as barras e C através da lgação em. assocação da equação (2.12) ao sstema de equações de equlíbro global (2.8), permte escrever o segunte sstema de equações: x y M M z 1 z = X = Y = L 1 + X + Y = L Y Y X + Y H 1 C C X ( L L ) 1 + L Y Y C + H X C (2.13) Este sstema de quatro equações a quatro ncógntas permte a determnação das forças de lgação exterores. Salente-se mas uma vez que o sstema (2.13) resulta da assocação das três equações de equlíbro global (2.8) com a equação de equlíbro nterno (2.12) assocada à lbertação exstente em. s forças de lgação poderão ser 15

20 faclmente obtdas, após a determnação da solução do sstema (2.13), bastando para tal utlzar as equações (2.11). Da análse deste exemplo pode-se conclur que a estrutura é globalmente sostátca pos tendo como base apenas equações de equlíbro estátco é possível determnar todas as forças de lgação ao exteror e anda as forças de lgação nternas. pesar de hperstátca exterormente, sto é, na análse da sua lgação ao exteror se dentfcar um número maor de forças de lgação externas do que de equações de equlíbro, a hpostata nteror, exstênca de uma lgação ncompleta entre os seus elementos materalzada pela artculação em, permte a resolução da estrutura. Com base nos resultados anterores, pode-se conclur que a análse da estata de corpos rígdos pode ser feta a dferentes níves. ssm, a estata exteror permte classfcar qual o grau de ndetermnação estátca do sstema tendo em conta as equações de equlíbro global e o número de forças de lgação ao exteror. estata global permte, tendo em conta as equações de equlíbro de cada um dos corpos que consttuem o sstema e o conjunto de forças de lgação nterores e exterores, classfcar o grau de ndetermnação estátca do sstema de corpos rígdos. estata nteror permte classfcar o grau de ndetermnação estátca do sstema de corpos consderando as equações de equlíbro de cada um dos corpos consttuntes do sstema e admtndo que o equlíbro global do sstema se encontra a pror garantdo. No caso geral, o grau de ndetermnação estátca exteror (α e ), sto é, a estata exteror pode ser calculada através da dferença entre o número de forças de lgação exterores e o número de equações de equlíbro global dsponíves. No caso de estruturas trdmensonas o número de equações de equlíbro será em geral ses, enquanto que no caso de estruturas planas será gual a três. O grau de ndetermnação estátca global (α g ), sto é, a estata global pode ser determnada pela dferença entre o número total de forças de lgação, nterores e exterores, e o número de equações de equlíbro estátco, consderando o equlíbro em separado de cada um dos corpos que consttu o sstema. O grau de ndetermnação estátca nteror (α ), sto é, a estata nteror pode ser determnada, consderando o equlíbro em separado de cada um dos corpos que consttu o sstema, através da dferença entre o número de forças de lgação nterores e o número de equações de equlíbro nteror. O número de equações de equlíbro nteror pode ser determnado, no caso trdmensonal, consderando a exstênca de ses equações de equlíbro por corpo rígdo ao qual se subtra o número de equações de equlíbro global (ses). No caso plano, o número de equações de equlíbro nteror é gual 16

21 a três vezes o número de corpos rígdos descontado do número de equações de equlíbro global (três) lternatvamente, o grau de ndetermnação estátca global (α g ) pode ser determnado através da soma do grau de hperstata exteror com o grau de hperstata nteror. Na tabela 2.1 apresenta-se um resumo destas defnções consderando: n R - o número de forças de lgação exterores; n L - número de forças de lgação nterores; n - número de corpos consttuntes do sstema. Plano Trdmensonal Estata exteror α = 3 α = 6 e n R Estata nteror α = n 3 ( n 1) α = n 6 ( n 1) L e L n R Estata global α g = αe + α = nr + nl 3 n α g = α e + α = nr + nl 6 n Tabela 2.1: Defnção dos graus de ndetermnação estátca para sstemas de corpos rígdos 2.3 Estata nteror e malhas fechadas Como se vu anterormente, a estata nteror de uma estrutura depende do balanço entre equações de equlíbro nteror e número de forças nterores de lgação. Consdere-se a propósto a estrutura representada na fgura 2.7a. gura 2.7a: Estrutura retculada plana de três rótulas. De acordo com os crtéros defndos anterormente para estruturas planas, esta estrutura pode ser classfcada como hperstátca exteror do 1º grau pos exstem quatro forças de lgação exterores e apenas três equações de equlíbro global. Em relação à estata nteror consderem-se as subdvsões em barras representadas nas fguras 2.7b e 2.7c. De acordo com a subdvsão representada na fgura 2.7b, consdera-se a exstênca de 17

22 oto forças de lgação nternas generalzadas (forças e momentos) e quatro corpos rígdos, logo nove equações de equlíbro nterno, e consequentemente uma hpostata nteror do 1º grau. No caso da subdvsão representada na fgura 2.7c, consdera-se a exstênca de duas forças de lgação nternas generalzadas e dos corpos rígdos, logo três equações de equlíbro nterno, correspondendo também a uma hpostata nteror do 1º grau. gura 2.7b: Estrutura retculada plana de três rótulas subdvsão em quatro barras. gura 2.7c: Estrutura retculada plana de três rótulas subdvsão em duas barras. Conclu-se assm que o número de corpos rígdos em que se subdvdu a estrutura não teve nfluênca na determnação da estata nternas. Esta conclusão não pode contudo ser generalzada para todas as estruturas. Consdere-se o caso de uma estrutura contendo uma malha fechada, sto é, uma estrutura em que exste no seu nteror um conjunto de barras que formam uma crculação fechada, como por exemplo as barras C, CD, DE e E do pórtco plano de dos psos representado na fgura 2.8a. 18

23 gura 2.8a: Pórtco plano de dos psos. Consderando o pórtco como um únco corpo rígdo, a estrutura podera ser consderada como nterormente sostátca, contudo, subdvdndo a estrutura em dos corpos rígdos como os representados na fgura 2.8b, conclu-se que para três equações de equlíbro nterno há a consderar ses forças de lgação generalzadas, logo uma hperstata nteror do 3º grau. gura 2.8b: Pórtco plano de dos psos subdvsão em dos corpos rígdos. razão para que o prmero racocíno não seja correcto radca no facto desta estrutura conter uma malha fechada, logo a estrutura fechar-se sobre s mesma, tendo lgações nterores super-abundantes. mesma conclusão podera ser extraída se, em vez da separação do pórtco em dos corpos rígdos, se consderasse apenas a quebra da malha fechada dentfcando as forças de lgação nternas super-abundantes, como exemplfcado na fgura 2.8c. 19

24 gura 2.8c: Pórtco plano de dos psos consderação de apenas um corpo rígdo. Do que fo exposto conclu-se que na análse da estata de estruturas que contenham malhas fechadas há que consderar as forças de lgação correspondentes às lgações super-abundantes, no caso de estruturas planas corresponderão a três forças de lgação generalzadas por malha fechada, enquanto que em estruturas trdmensonas corresponderão a ses forças de lgação generalzadas por malha fechada. 2.4 Método das estruturas arborescentes Para a determnação da estata global de uma estrutura é possível o recurso, em alternatva às metodologas apresentadas anterormente, ao Método das Estruturas rborescentes. O Método das Estruturas rborescentes tem como base o facto de uma estrutura encastrada, sem malhas fechadas nem lbertações, como a representada na fgura 2.9, ser uma estrutura sostátca. Tendo como base este prncípo, este método aplca-se através da ntrodução de cortes ou lgações ntroduzdas na estrutura em análse até a tornar num conjunto de estruturas arborescentes ndependentes. O número de estruturas arborescentes a consderar deverá ser, no mínmo, gual ao número de apoos da estrutura. gura 2.9: Estrutura arborescente. 20

25 ntrodução de um corte numa barra de uma estrutura plana corresponde à lbertação de três forças generalzadas de lgação o que corresponde à dentfcação de três ncógntas estátcas. No caso de uma barra de uma estrutura trdmensonal, um corte corresponderá à dentfcação de ses ncógntas estátcas. Cada lgação ntroduzda corresponderá à dentfcação de uma equação de equlíbro. Nas fguras 2.10a, 2.10b, 2.10c e 2.10d apresenta-se a aplcação deste método ao caso das estruturas apresentadas nas fguras 2.2a, 2.6a, 2.7a e 2.8a, respectvamente. Para exemplfcar a utlzação do método das estruturas arborescentes em estruturas retculadas trdmensonas, apresenta-se na fgura 2.10e a aplcação deste método ao caso de um pórtco trdmensonal de um pso. 3 Lgações cortadas ( ) 3 Lgações ntroduzdas ( ) Estata global - sostátca gura 2.10a: Vga smplesmente apoada aplcação do método das estruturas arborescentes. 3 Lgações cortadas ( ) 3 Lgações ntroduzdas ( ) Estata global - sostátca gura 2.10b: Pórtco de duas barras e uma rótula aplcação do método das estruturas arborescentes. 3 Lgações cortadas ( ) 3 Lgações ntroduzdas ( ) Estata global - sostátca gura 2.10c: Estrutura retculada plana de três rótulas aplcação do método das estruturas arborescentes. 21

26 6 (2x3) Lgações cortadas ( ) 2 Lgações ntroduzdas ( ) Estata global - hperstátca do 4º grau gura 2.10d: Pórtco plano de dos psos aplcação do método das estruturas arborescentes. 24 (4x6) Lgações cortadas ( ) 0 Lgações ntroduzdas ( ) Estata global - hperstátca do 24º grau gura 2.10e: Pórtco trdmensonal de um pso aplcação do método das estruturas arborescentes. 2.5 Exercícos propostos P2.1 nalse os corpos rígdos planos ndcados, quanto à estata exteror. Dga se o equlíbro é possível ou não em face das acções ndcadas. (Nota: nas alíneas a, b e c as cargas são complanares e com qualquer drecção) 22

27 23

28 P2.2 nalse a estata exteror, nteror e global das estruturas planas seguntes. a) b) c) d) e) f) g) h) ) j) k) 24

29 l) m) n) o) P2.3 O pórtco trdmensonal ndcado na fgura tem três lgações ao exteror, em, e C. O apoo permte os três movmentos de rotação, o apoo apenas restrnge os movmentos de translação segundo Z e o apoo C restrnge os movmentos de translação segundo Y e Z. nalse a estata exteror, nteror e global da estrutura. 25

30

31 3 Estruturas artculadas 3.1 Defnção Defnem-se como estruturas artculadas, trelças na termnologa portuguesa do rasl, as estruturas retculadas cujas barras estão lgadas entre s e com o exteror por artculações ou rótulas. Este modelo estrutural procura representar estruturas, trdmensonas ou planas, consttuídas por barras de exo recto, que estão sujetas predomnantemente a cargas nos nós e cujos nós têm uma capacdade de transmssão de momentos desprezável. Em Portugal é possível encontrar números exemplos deste tpo de estruturas, nomeadamente no caso das pontes ferrováras metálcas no fnal do sec XIX e em mutos sstemas estruturas assocados a coberturas. 3.2 Modelo de barra de estrutura artculada Tendo em conta a defnção de estrutura artculada, é possível estudar o equlíbro de uma barra genérca deste tpo de estrutura como a representada na fgura 3.1. Sendo uma barra com artculações em ambas as extremdades, os momentos de lgação ncas e fnas consderam-se nulos. ssm, apenas haverá que consderar forças de lgação nas extremdades da barra. Na fgura 3.1 representam-se estas forças de lgação através das suas componentes num referencal cartesano (x,y,z), em que a drecção do exo x concde com a drecção do exo da barra. gura 3.1: Dagrama de corpo lvre de barra de estrutura artculada. Tendo em conta que nas estruturas artculadas não se consdera a exstênca de forças aplcadas no vão das barras, as forças representadas na fgura 3.1 representam a 27

32 totaldade das acções a consderar no equlíbro da barra. ssm, o equlíbro da barra pode ser descrto através do segunte sstema de ses equações de equlíbro: x y z M M M x y z = X = Y = Z = L Z = L Y + X + Y + Z (3.1) resolução deste sstema permte conclur que todas as forças de lgação são nulas à excepção das forças segundo x que deverão obedecer à condção: X = X = N (3.2) em que N é defndo como sendo o Esforço Normal da barra, consderando-se postvo quando é de tracção e negatvo quando é de compressão como ndcado na fgura 3.2. Esforço normal de tracção N = > 0 Esforço normal de compressão N = - < 0 gura 3.2: Convenção de snal para o esforço normal. Contudo, tendo-se partdo de um sstema de ses equações de equlíbro com ses ncógntas, não fo possível a determnação de todas as forças de lgação. cresce que a equação de equlíbro de momentos segundo a drecção do exo da barra presente no sstema (3.1) resulta numa dentdade 0=0. O anulamento de todos os momentos de lgação na barra b-artculada não permte a resolução completa desta barra, resultando na exstênca de uma força ndetermnada, o esforço normal na barra, e de uma equação redundante, a correspondente ao equlíbro de momentos segundo o exo. Esta equação redundante está assocada à falta de lgações que mpeçam a rotação da barra em torno do seu exo. 28

33 Tendo em conta os resultados anterores, pode conclur-se que nas barras bartculadas de exo recto não sujetas a cargas de vão, como as consttuntes das estruturas artculadas, é possível exprmr o seu equlíbro em função de uma únca força de lgação, o esforço normal da barra. 3.3 Estata de estruturas artculadas No capítulo anteror analsaram-se dferentes metodologas para a determnação da estata de estruturas retculadas, sendo essas metodologas aplcáves ao caso das estruturas artculadas. Contudo tendo em conta a smplcdade de comportamento das barras consttuntes deste tpo de estrutura será possível adoptar uma metodologa mas smples para a determnação da sua estata. Tome-se como exemplo a estrutura artculada representada na fgura 3.3. Tendo em conta as lgações ao exteror desta estrutura, faclmente se conclu como sendo a estrutura sostátca exterormente. gura 3.3: Estrutura artculada plana. Em relação à determnação da estata nteror, as metodologas anterormente utlzadas (Tabela 2.1) consstam na avalação do número de forças de lgação e do número de equações de equlíbro dsponíves. O número de forças de lgação nternas em cada artculação, n L, depende do número de barras envolvdas na artculação. ssm, consderando-se por um lado a exstênca de duas forças de lgação por cada barra na artculação e por outro a satsfação das duas equações de equlíbro de forças no nó, então apenas se podem consderar como ndependentes n L = 2 x (nº de barras na artculação 1). O número de equações de equlíbro nterno será gual a 3x(nº de barras da estrutura -1). ssm, para a estrutura representada na fgura 3.3 ter-se-á: rtculações lgando 2 barras 2 nº de lgações = 2 x 2 = 4 rtculações lgando 3 barras 2 nº de lgações = 2 x 4 = 8 rtculações lgando 4 barras 5 nº de lgações = 5 x 6 = 30 Total de forças de lgação nternas n L = 42 29

34 Nº total de barras 15, nº de total de equações de equlíbro nterno = 3 x (15 1) = 42 Conclu-se assm que o número de forças de lgação é gual ao número total de equações de equlíbro nterno logo que a estrutura é nterormente sostátca. Esta avalação da estata nterna não teve em conta o resultado obtdo na análse do equlíbro do elemento de barra bartculada, tendo sdo usada a metodologa geral de análse da estata de estruturas retculadas. Na secção anteror, em resultado da análse do equlíbro do elemento de barra bartculada, conclu-se que no caso das estruturas artculadas haverá apenas que consderar uma força de lgação nterna por barra, logo um número de total de forças de lgação nternas gual ao número de barras, 15 no caso consderado. Smultaneamente, tendo em conta que no equlíbro do elemento de barra já foram utlzadas algumas das equações de equlíbro, não será possível consderar todas as equações de equlíbro nterno determnadas anterormente, mas sm apenas duas equações de equlíbro de forças por nó (três no caso trdmensonal) às quas há que subtrar as três de equações de equlíbro global (ses no caso trdmensonal) utlzadas para o estabelecmento da estata exteror. ssm, no caso geral de uma estrutura artculada plana, o grau de ndetermnação estátca nterna resultará da dferença entre o número de ncógntas (n ) e o número de equações de equlíbro resultando em: α = n (2 n 3) (3.3) N em que n representa o número de barras da estrutura e n N o número de nós. No caso trdmensonal ter-se-á: α = n (3 n 6) (3.4) N Para o caso da estrutura representada na fgura 3.3, a aplcação da metodologa expressa pela equação (3.1) resulta em: α = 15 (2 9 3) 0. = nalogamente é possível defnr a estata global, para o caso plano, como, α = n + n 2 n (3.5) g R N em que n R representa o número de lgações exterores da estrutura, e para o caso trdmensonal, α = n + n 3 n (3.6) g R N 30

35 3.4 Cálculo de esforços em estruturas artculadas sostátcas Nesta secção tratar-se-á apenas do caso partcular das estruturas artculadas sostátcas, sto é, estruturas artculadas para as quas é possível determnar as forças de lgação exterores e nterores tendo como base apenas as equações de equlíbro. Interessará assm, para uma estrutura artculada sujeta apenas a forças nodas, analsar as metodologas que possbltem o cálculo do esforço normal em cada uma das barras. forma de proceder ao cálculo dos esforços normas em estruturas artculadas sostátcas, basea-se no estabelecmento das equações de equlíbro para cada lgação artculada (duas no caso plano e três no caso trdmensonal) em função dos esforços normas das barras e das forças de lgação exterores, as reacções de apoo. Este procedmento corresponde à aplcação drecta dos concetos expressos pelas equações (3.5) e (3.6). Na fgura 3.4a apresenta-se o caso de uma estrutura artculada, sujeta à acção de um conjunto de forças nodas, para a qual se pretende efectuar o cálculo das reacções de apoo e dos esforços nas barras. gura 3.4a: Estrutura artculada plana. O cálculo destas dferentes grandezas pode ser feto com base no estabelecmento das equações de equlíbro de cada nó. Na fgura 3.4b apresenta-se esquematzado o equlíbro em cada um dos nós da estrutura, sendo arbtrados como de tracção os esforços nas dferentes barras. 31

36 gura 3.4b: Equlíbro dos nós numa estrutura artculada plana. O sstema de equações correspondente às dez equações de equlíbro de forças nos nós pode ser escrto na forma: Nó Nó Nó C Nó D Nó E x = H + N + ND cos( α ) y = V + ND sen( α ) x = N ND cos( α ) + NC + NE cos( α ) y = ND sen( α ) + NE sen( α ) C x = NC NCE cos( α ) C y = VC + NCE sen( α ) D x = NDE + ND cos( α) ND cos( α ) D y = ND sen( α) ND sen( α) 5 E x = NDE NE cos( α ) + NCE cos( α ) + 3 E y = NE sen( α) NCE sen( α) 5 32

37 resolução deste sstema de equações permte obter a segunte solução: H V N N N N N N N V D C D E CE DE C = 3 kn = 4 kn = 6 kn = 5 kn = 4,5 kn = 1,25 kn = 1,25 kn = 7,5 kn = 2,25 kn = 6 kn 3.5 Método dos Nós O procedmento de resolução de um sstema de equações de equlíbro para toda a estrutura, utlzado anterormente para a estrutura da fgura 3.4a, não é aquele que habtualmente se utlza. lternatvamente, é resolvda a estrutura através da obtenção e resolução das equações de equlíbro nó a nó, obtendo-se o valor dos esforços normas das barras concorrentes nesse nó. Esta metodologa, desgnada como Método dos Nós, só é possível adoptar quando em cada nó, no caso plano, apenas se desconhecem o esforço em duas barras, três no caso trdmensonal. De forma a aumentar o número de nós onde é possível, a pror, aplcar este método, o procedmento de cálculo nca-se com a determnação do valor das reacções de apoo utlzando as equações de equlíbro global da estrutura. Segudamente resolvem-se as equações nó a nó, tendo por base os nós onde o número de equações de equlíbro é maor ou gual ao número de esforços não conhecdos. aplcação do Método dos Nós à estrutura representada na fgura 3.4a resultara na segunte sequênca: Determnação das reacções de apoo: = H + 3 x = V + V 10 y C M = 12 V C H = 3 kn V = 4 kn VC = 6 kn 33

38 Resolução do Nó C C x = NC NCE cos( α ) NC NCE cos( α ) NC = 4,5 kn C 6 N y = VC + NCE sen( α ) + CE sen( α ) NCE = 7,5 kn Resolução do Nó E E x = NDE NE cos( α ) + NCE cos( α ) + 3 E y = NE sen( α) NCE sen( α) 5 NDE NE cos( α) 4,5 + 3 NDE = 2,25 kn NE sen( α ) NE = 1,25 kn Resolução do Nó x = N ND cos( α ) + NC + NE cos( α ) y = ND sen( α ) + NE sen( α ) N ND cos( α ) + 4,5 + 0,75 N = 6 kn ND sen( α ) + 1 ND = 1,25 kn Resolução do Nó D D x = NDE + ND cos( α) ND cos( α ) D y = ND sen( α) ND sen( α) 5 2,25 0,75 ND cos( α ) ND = 5 kn 1 ND sen( α) 5 ND = 5 kn 34

39 3.6 Método das Secções Em algumas stuações de resolução de estruturas artculadas, apenas se pretende obter os esforços em algumas barras. Tome-se como exemplo a estrutura e acções representadas na fgura 3.5a para as quas se pretende determnar os esforços normas nas barras CD, ID e IJ. Nesta fgura assnalam-se anda as notações e sentdos utlzados para as reacções de apoo. gura 3.5a: Estrutura artculada plana. Da mesma forma que para a resolução da estrutura pelo método dos nós, determne-se em prmero lugar o valor das reacções de apoo. Para tal, sendo a estrutura exterormente sostátca, resolva-se o sstema consttuído pelas equações de equlíbro de forças horzontas, vertcas e de momentos referdos ao ponto. ssm: donde, H V V = H + 3 x = V + V 25 y M = 30 V = 3 kn = 12,1kN = 12,9 kn Para a determnação dos esforços normas nas barras CD, ID e IJ, consdere-se agora uma dvsão da estrutura em duas sub estruturas através de um corte que seccone estas três barras. Na fgura 3.5b representa-se uma das sub estruturas resultante. 35

40 gura 3.5b: Sub estrutura para cálculo de esforços normas nas barras CD, ID e IJ. partr do equlíbro da sub estrutura representada na fgura 3.5b é possível calcular os esforços pretenddos. Por exemplo utlzando as equações de equlíbro de forças vertcas, de momentos em I e de momentos em D, é possível obter, N N N ID = 12,1 15 N sen( α ) y I D CD IJ ID M = 4 N ,1 M = 4 N ,1 CD IJ = 3,625 kn = 25,875 kn = 20,7 kn O mesmo resultado podera ser obtdo se, em vez da sub estrutura da fgura 3.5b, fosse utlzada a sub estrutura representada na fgura 3.5c, gura 3.5c: Sub estrutura para cálculo de esforços normas nas barras CD, ID e IJ. 36

41 = 12, N sen( α ) y I D IJ CD ID M = 4 N ,9 M = 4 N ,9 logo, N N N ID CD IJ = 3,625 kn = 25,875 kn = 20,7 kn 3.7 Estruturas artculadas trdmensonas De forma a exemplfcar a aplcação dos concetos apresentados ao caso de estruturas artculadas trdmensonas, apresenta-se na fgura 3.6 o exemplo de uma estrutura artculada trdmensonal. estrutura é consttuída nove barras e está apoada nos nós, C e D. O apoo em mpede todas as translações, o apoo em D mpede o deslocamento segundo x e o apoo em C mpede os deslocamentos segundo x e z. estrutura está sujeta a uma força vertcal (segundo z) de 5kN no nó E. Pretende-se determnar o valor dos esforços normas em todas as barras. gura 3.6: Estrutura artculada trdmensonal. 37

42 determnação da estata da estrutura é feta tendo em conta os resultados apresentados no capítulo 2 e na secção 3.3. ssm, em relação à estata exteror há a consderar a exstênca de ses forças de lgação exterores, logo: α e = 6 6 Para o caso da estata nteror consdere-se a equação (3.4) e tendo em conta o número de barras, n = 9, e o número de nós, n N = 5, obtém-se para a estata nteror: α = n (3 n 6) 0. N = ssm a estrutura é consderada como exterormente e nterormente sostátca, logo globalmente sostátca. O mesmo resultado poder-se-a obter recorrendo à equação (3.6) e tendo em conta a exstênca de ses forças de lgação exterores, n R = 6 : α = n + n 3 n 0. g R N = O cálculo de esforços na estrutura, quer pelo método dos nós quer pelo método das secções, segue um procedmento análogo ao utlzado para o caso das estruturas artculadas planas. ssm, pode ser ncado com o cálculo das reacções de apoo utlzando para tal as equações de equlíbro global da estrutura. No caso da estrutura apresentada estas podem tomar a forma: x y z M M M x y z = X = Y = Z + X + Z = 6 Z C = 3 X D C C = 3 X donde, X = 3,333 kn Y Z = 2,5 kn ZC = 2,5 kn XD = 6,667 kn XC = 3,333 kn + X D D 6 X C 38

43 Conhecdos os valores das reacções de apoo é possível a aplcação do método dos nós a partr das equações de equlíbro para cada nó, em que se consderam à partda as barras submetdas a esforços de tracção: x x = X + NE y y y Nó y = Y + N + ND + NE z z = Z + ND x x = NE y y Nó y = N + NC z z = ND C x x = XC + NCE C y y y Nó C y = NC NCE NCD C z z = ZC + NCD D x x = XD + NDE D y y Nó D y = ND + NCD D z z z z = ND NCD NDE E x x x x x = NE NE NCE NDE E y y Nó E y = NE + NCE E z z = NDE 5 39

44 s componentes no referencal (x,y,z) do esforço normal para uma barra genérca j ( N, y N j, N ) podem ser escrtas em função do esforço normal da barra ( N ): z j em que x L j, y L j e x y L j j, L j L j respectvamente. z L L j, L j L L L N N, N N, N N x y z x j y j z j j = j j = j j = j Lj Lj L j, representam os cossenos drectores da drecção da barra e z L j representam o comprmento da projecção da barra segundo os exos x, y e z, ssm, é possível obter os esforços nas dferentes barras começando o processo pelos nós para os quas o número de ncógntas é gual ou nferor ao número de equações: j x j 4 3,333 + NE Nó 0 + N + ND + NE ,5 + ND 3 2 NE = 4,167 kn N = 5 kn ND = 3,536 kn NE NE Nó 5 + NC NC = 5 kn ND ND 4 3,333 + NCE 5 NCE = 4,167 kn 3 3 Nó C 5 NCE NCD NCD = 3,536 kn ,5 + NCD ,667 + NDE 5 NDE = 8,333 kn Nó D 2,5 2, ,5 2,5 NDE 0 + = 5 40

45 3, ,333 6,667 0 Nó E Como se pode verfcar da análse da resolução dos dferentes nós, exstem ses equações drectamente satsfetas. Estas equações resultam do facto de terem sdo mpostas a pror ses equações de equlíbro global, para a determnação das reacções de apoo. 3.8 Exercícos propostos P3.1 nalse a estata exteror, nteror e global das seguntes estruturas artculadas planas. a) b) c) d) e) f) g) 41

46 h) ) P3.2 Determne os esforços axas nas barras HD e IE do arco artculado representado na fgura, utlzando o método dos nós. P3.3 Para as estruturas artculadas sujetas às acções representadas nas fguras seguntes, determne os esforços normas em todas as barras, utlzando o método dos nós. a) 80 kn 80 kn 60 kn 60 kn G H I J K L 30 kn 3,2 m C D E 2,4 m 2,4 m 2,4 m 2,4 m 2,4 m 42

47 b) 60 kn 60 kn 80 kn 80 kn H I J K L 30 kn 2,8 m C D E G 2,8 m 2,1 m 2,1 m 2,1 m 2,1 m 2,1 m c) I J 30º 2,0 m 4 kn G 2,0 m H 20 kn 3 kn E 2,0 m 2,0 m 2 kn C D 30º d) 1,5 m 4 kn D 1,5 m 1,5 m 1,5 m 5 kn E 3 kn C 2 kn I H G N M L K J 2,0 m 2,0 m 43

48 P3.4 Para a estrutura artculada sujeta à acção do problema P3.3a, confrme, utlzando o método das secções, o resultado obtdo para o esforço normal nas barras IJ e JC. P3.5 Para a estrutura artculada sujeta à acção do problema P3.3c, confrme, utlzando o método das secções, o resultado obtdo para o esforço normal nas barras EC e D. P3.6 Para a estrutura artculada sujeta à acção do problema P3.3d, confrme, utlzando o método das secções, o resultado obtdo para o esforço normal nas barras C e KL. P3.7 Determne o esforço axal na barra IM da estrutura artculada representada na fgura, utlzando o método das secções. P3.8 Consdere a estrutura representada na fgura segunte, sujeta ao carregamento nela ndcado. a) Calcule as reacções de apoo. b) Calcule o esforço axal na barra dagonal 1. c) Calcule os esforços axas nas barras 2 e 3. 44

49 P3.9 Para a estrutura e acção representadas na fgura segunte, determne: a) O valor das reacções nos apoos; b) O valor dos esforços nas barras I e JK. 50 kn H I 100 kn J K 100 kn 100 kn L M N 100 kn O 3,2 m 2,4 m C 2,4 m 2,4 m 2,4 m 2,4 m D E 2,4 m 2,4 m G P3.10 Determne o esforço axal na barra da estrutura artculada representada na fgura, utlzando o método das secções. carga P está aplcada no nó e os trângulos C e DE são equláteros. 45

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51 4 Esforços em peças lneares 4.1 Introdução O presente capítulo pretende ntroduzr as noções báscas de esforços em peças lneares, bem como as relaconadas com a determnação e traçado de dagramas de esforços em estruturas sostátcas. No âmbto do presente capítulo consderar-se-á que as estruturas em análse estão sujetas a pequenas deformações e deslocamentos pelo que se consderará que as equações de equlíbro podem, sem grande margem de erro, ser estabelecdas na sua confguração ndeformada. Esta hpótese faz com que se possa consderar que, para a determnação das condções de equlíbro, os dferentes elementos consttuntes das estruturas se comportam como corpos rígdos. 4.2 Defnção de esforço Consdere-se uma estrutura composta por peças prsmátcas e sujeta à acção de dferentes forças como a representada na fgura 4.1a. gura 4.1a: Pórtco plano. Em resultado das acções a que a estrutura está sujeta geram-se nos seus dferentes elementos tensões nternas as quas contrbuem para que os dferentes elementos da estrutura se mantenham em equlíbro. Tome-se por exemplo a secção transversal C da barra CD e consdere-se os dagramas de corpo lvre das duas sub-estruturas que resultam de um corte ao longo da secção C como representado na fgura 4.1b. Consderando que a estrutura está em equlíbro, cada uma das sub-estruturas também deverá estar em equlíbro. ssm, na secção C deverá estar nstalada uma dstrbução de tensões que garanta o equlíbro de cada uma das sub-estruturas. Esta dstrbução de 47

52 tensões terá como elementos de redução, quando referdos a um ponto de referênca, uma força e um momento. Consderando estarmos na presença de uma estrutura plana com acções no própro plano, poder-se-á consderar como elementos de redução duas componentes cartesanas da força e um momento perpendcular ao plano, como representado na fgura 4.1b. gura 4.1b: Pórtco plano forças de lgação na secção C. Defnem-se como esforços o conjunto de forças generalzadas (força e momento) de lgação nterna numa secção transversal. Salente-se que, sendo forças de lgação, apresentam gual drecção e ntensdade mas sentdos opostos em cada uma das facetas da secção. De forma a unformzar a desgnação e convenção de snas a utlzar na defnção dos esforços, surge a necessdade de consderar, para as peças lneares, um sstema de exos de referênca. ssm, consdere-se a peça lnear trdmensonal representada na fgura 4.2a, para a qual se defne um sstema local de exos de referênca (x,y,z). Este sstema de exos de referênca é escolhdo por forma a que o exo x concda com o exo da peça lnear, sendo a sua orentação arbtrára. Os exos y e z formam com o exo x um sstema de exos drecto. No caso das estruturas planas o exo y é perpendcular ao plano da estrutura. gura 4.2a: Peça lnear trdmensonal sstema de exos de referênca. 48