0 IME "A ateática é o alfabeto co que Deus escreveu o udo" Galileu Galilei Questão 0 Cosidere log b a 4, co a e b úeros reais positivos. Deterie o valor de, úero real, para que a equação x 8 x log b ab 8 x log b a 0 teha três raízes reais e progressão aritética. Dado que log b a 4, ve b 4 a e, coo a e b são positivos, teos a b. Dessa fora log b ab log b b e log b a log b b. Portato a equação dada equivale a x 8 x 8 x 0 Coo as três raízes estão e PA podeos deoiá-las x r, x, x r e que r é a razão de PA. Pela ª relação de Girard, teos x r x x r 8 x 6 Da ª relação de Girard, teos 6 r 6 6 r 6 r 6 6 r 8 6 6r 6 r 6 6r 8 r 00 (I) Da ª relação de Girard: 6 r 6 6 r r 6 II Igualado I e II, ve: 6 r 00 6 96 Questão 0 Cosidere a, b e c úeros iteiros e a b c. Deterie o(s) valor(es) de x, y e z, que satisfaça o sistea ax by cz abc ax 4by abc de equações by cz 0 xyz 0 Da ª equação, teos by cz Substituido as duas prieiras teos: ax cz cz abc ax 4cz abc (I) ax cz abc ax 4cz abc (II) Fazedo 4 I II, ve a 0 7 ax 7 abc x bc
Substituido e (I), teos: c0 abc cz abc z ab Fialete coo by cz teos by cab ou y ac Na últia equação do sistea tíhaos xyz 0, que equivale a bc ac ab abc 0 0 Da decoposição e fatores prios de 0, teos abc 6 e, coo ab c co a, b, c iteiros podeos fazer a, b e c 6 Portato, x 67, y 8 e z Questão 0 Cosidere a atriz A. 0 Seja a atriz, dos quatro eleetos da atriz B. k B A, co k e úeros iteiros. Deterie a soa, e fução de k k k k k Mostreos, por idução, que A k. Isto é verdade para k pois: 0 0 A 0 0 Supodo verdadeiro para k teos: k k k k k k k k k 0 k k A k k k k k 0, 0 0 0 0k 0 o que ostra ossa tese. Assi: k b b B A k b b co: k b b b k 00 k k k k b, que fora a soa dos teros de ua PAG. Teos: b b...... b 4... b 48... b b Portato a soa dos eleetos de B é: b b b b 0
45 k Cosidere P tg k 0 80, co represetado o produto dos teros desde k 0 até k, sedo k e k 0 úeros iteiros. Deterie o(s) valor(es) de, úero real, que satisfaça() a equação P. 45 cos P k 0 Questão 04 k se 80 k 80 cosk 80 Coo o cosseo de u âgulo é o seo do copleetar e P 45 k 0 k 80 k 80 cosk se 90 se 80 k 90 k, teos: 80 80 Pela fórula de prostaférese, teos: P 45 k 0 k cosk se cos 45 4 80 80 cos 80 80 46 cos 45 44 se 4 cos0 cos 80 Siplificado: 46 P Assi a igualdade P teos cos cos 80 cos0 44 cos45 80 80 Questão 05 Cosidere, Z e Z, coplexos que satisfaze a equação x pxq 0, ode p e q são úeros reais diferetes de zero. Sabe-se que os ódulos de Z e Z são iguais e que a difereça etre os seus arguetos vale, ode é diferete de zero. Deterie o valor de cos e fução de p e q. Coo Z e Z são raízes de ua equação do segudo grau co coeficietes reais, teos que u é cojugado do outro, daí podeos escrever Z rcosise e Z r cos60º ise 60º, e que, se perda de geeralidade, 60º. Desta fora teos: 60º 60º 60º cos cos cos80º cos Coo Z Z rcos e ZZ r, segue que: r q r q e p rcos pcos q p Portato cos, logo q cos p. 4q
Cosidere u triâgulo ABC co lado BC igual a L. São dados u poto D sobre o lado AB e u poto E sobre o lado AC, de odo que seja válidas as relações DA EC, co. Pelo poto édio do segeto DE, DB EA deoiado M, traça-se ua reta paralela ao lado BC, iterceptado o lado AB o poto F e o lado AC o poto H. Calcule o coprieto do segeto MH, e fução e L. Questão 06 Traçado ua paralela à BC passado por D que itercepta o lado AC o poto I, teos a foração do triâgulo ADI que é seelhate ao triâgulo ABC, daí: DI AD DI AD DI BD DI DI L BC AB BC AD BD BC BD BD L Coo o segeto MH é base édia do triâgulo EDI, teos: MH L Questão 07 Cosidere u círculo co cetro C, a orige, e o raio. Esse círculo itercepta o eixo das abscissas os potos A e B, sedo a abscissa de A eor do que a abscissa de B. Cosidere P e Q, dois potos desse círculo, co ordeadas aiores ou iguais a zero. O âgulo forado etre o segeto CP e CQ vale rd. Deterie a equação do lugar geoétrico descrito pelo poto de iterseção dos segetos AP e BQ iteros ao círculo. 4
060º 0 tg Seja t tg Reta AP tg y0 tgx y tgx y tx y t x Reta BQ tg 60º tg y0 x tg tg y x tg t y x t Eliiado o parâetro: y y x x y x y x y x y x xy y y xy y x x x 4 y y y x 4 x y y 4 4 4 4 x y y x y 6 Circuferêcia de cetro C 0, e raio 4 R. Cosidere os liites para o parâetro t : 0, 0 t, te-se iterseção e t, te-se iterseção e, 0. Logo, o lugar geoétrico descrito é o arco de circuferêcia de cetro ati-horário. 0, e raio 4, do poto,0 ao,0 o setido Coo o euciado se refere a potos iteros ao círculo os potos,0 e,0 ão participa do L.G. 5
5 São dadas duas atrizes A e B tais que A.B 5 e x 4 B.A 4 y Deterie: A) o(s) valore(s) de x e y ; B) as atrizes A e B que satisfaze as equações apresetadas. a) i) Lebreos que det AB detba ii) Questão 08 : 5 x 4 5 4 y 5 xy96 x y 00 Sabeos aida que tr BA tr AB, e que: tr x é o traço da atriz x. Assi: x y 0 De i e ii ve: xy 00 x y 0 Coo x y teos: x 0 e y 0. b) Multiplicado por A pela direita a prieira relação ve 5 ABA A 5 0 4 Coo BA, 4 0 teos: 0 4 5 A A 4 0 5 a b Fazedo A c d, ve a b 0 4 5 a b c d 4 0 5 c d Que equivale ao sistea 0a4b5ac 4a0b5bd 0c4d a5c 4c0d b5d 5a4bc0 4a5bd 0 a5c4d 0 b4c5d 0 5a4bc 0 b 54c 65d 0 54b 96c 0d 0 b4c5d 0, co x e y reais e x y. 6
5a4bc 0 b4c5d 0 b4c5d 0 b4c5d 0 Eliiado as duas últias equações e fazedo 4α 5β 5α 4β b e a 5α 4β 4α 5β Assi: A α β c α e d β, co α,β e αβ 0 ve B Calculado a iversa de A : 4α 5β β A 4α 0αβ 4β 5α 4β α 0 4 Voltado o produto BA 4 0 e ultiplicado a direita por A 0 4 B A 4 0 50α 496β 0β 4α 4α 0αβ4β 46α 50β 4β 0α teos: Cosidere u tetraedro regular ABCD e u plao π, oblíquo à base ABC. As arestas DA, DB e DC, desse tetraedro são seccioadas, por este plao, os potos E, F e G, respectivaete. O poto T é a iterseção da altura do tetraedro, correspodete ao vértice D, co o plao π. Deterie o valor de DT sabedo que Questão 09 Seja DE a, DF b, DG c, DT x e AB L: abc a b c 6 bcacab 6 DE DF DG 6. 7
O volue da pirâide EFGD é igual à soa dos volues das pirâides de bases DEF,DFG e DGE co vértices e T, ou seja: bc se 60º ab se 60º ac se 60º bc se 60º H h h h bc H ab ac bc h, e que H é a distâcia de E até a base DFG e h é a distâcia de T até as bases das pirâides eores, e particular toeos tabé a base DFG. Cálculo de H e h : L AM DM L OM AM 6 L OM 6 se α DM L h x h x h se α x L DA No triâgulo isósceles DAM teos cosβ DM L Da relação fudaetal: 6 se β cos β se β se β 9 9 Coo β é agudo teos: 6 seβ No triâgulo retâgulo de hipoteusa DE da figura: H 6 seβ H a a Voltado e : bch abacbc h 6 x bc a ab ac bc abc x 6 ab ac bc abc Lebrado que 6 ab ac bc ve x 6 6 x 6 8
Questão 0 Cosidere a seguite defiição: dois potos P e Q, de coordeadas (x P, y P ) e (x q, y q ), respectivaete, possue coordeadas e cou se e soete se x p = x q ou y p = y q Dado o cojuto S 00,, 0,, 0,, 0,,,,,, 0,,,,, f :S S existe, tais que para todos os potos P e Q pertecetes ao cojuto S, f P e coordeadas e cou se e soete se P e Q possue coordeadas e cou.. Deterie quatas fuções bijetoras f Q possue Cosidereos iicialete os cojutos: A 00,, 0,, 0, 0 0 B,,,,, C,,,,, Noteos que eles tê as seguites propriedades: P : quaisquer dois eleetos de u eso cojuto tê coordeadas e cou. P : quaisquer dois eleetos de cojutos distitos tê, o áxio, ua coordeada cou. Coo quaisquer dois eleetos de A tê coordeadas cous, suas iages tabé deve ter coordeadas cous. Assi a iage de A, f A, tabé deve gozar da propriedade P. Outros três cojutos são adequados: 00 0 0 0 0 D,,,,, E,,,,, F,,,,, Assi ua prieira etapa é associar a cada A,B,C u cojuto iage distito detre A,B,C ou detre D,E,F. Há!! aeiras de fazê-lo. Já escolhida a orde dos cojutos acia, existe! 6 00,, 0,, 0, : 6 iage iage iage do, 00 do 0, do 0, ordes para associar os eleetos de f A aos eleetos Fialete, cosidere a associação de exeplo, se perda de geeralidade: 00, k,a 0, k,b 0, k,c 0, w, α, w, β, w, γ E que k w. Note que a orde das ordeadas a,b,c deve ser exataete a esa de α,β,γ. Pois se assi ão fosse, seria possível obter P e Q violado as codições do euciado. Desta fora, escolhida a orde das iages f A,f B,f C e a fução que associa A a f escolha. A quatidade de fuções é: 6 7 fuções. A, ão há ais possibilidade de 9
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