UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática SEMESTRE CÓDIGO DISCIPLINA TURMA 09-1 MTM5327 Variável Complexa 0549 Professor Lista de Exercícios Local e Data Observações Félix P. Q. Gómez Primeira Fpólis, 08/03/2009 Seis Seç~oes 1 Números Complexos e Plano Complexo 1. Expressar na forma x + i y: (a) (1 i)(2 i)(3 i) (b) ( 3 + i) 6 (c) 2. Calcular os números reais x, y, u, v satisfazendo: 3 + 5 i 7 i + 1 (d) ( 1 + ) 3 3 i 2 z = x + i, w = 3 + i y, z + w = u i e zw = 14 + i v 3. Encontre o módulo e o conjugado de: (a) 3 i 2 + 3 i (b) i i + 3 (c) (1 + i) 6 (d) i 17 4. Seja z = x + i y, encontre as condições sobre x e y de maneira que; (a) z 4 seja real (b) z 4 seja imaginário puro 5. Prove que z 1 + z 2 z 1 + z 2 para z 1, z 2 C e use o resultado anterior para deduzir z 1 z 2 z 1 + z 2. Aproveite a demonstração anterior para verificar que quando z 1 z 2 0 então z 1 + z 2 = z 1 + z 2 Re(z 1 z 2 ) = z 1 z 2 Observe que a conclusão equivale a dizer z 1 z 2 R + Sugestão: Expandir z 1 + z 2 2 e utilizar z z = z 2, 2Re(z) = z + z e Re(z) z z C
6. Prove que z + w 2 + z w 2 = 2( z 2 + w 2 ), z, w C 7. O que há de errado no seguinte racicíonio? 1 = 1 2 = ( 1) 2 = ( 1) 2 = i 2 = 1 8. Utilizar a forma polar para calcular (a) i(1 i 3)(i + 3) (b) ( 3 i) 6 (c) 9. Resolver as seguintes equações 5 i 2 + i (d) ( 1 + i) 7 (a) z 3 i = 0 (b) z 5 + 32 = 0 (c) z 6 1 = 0 10. Calcular: (a) 8 1/6 (b) ( 3 + 3 i) 1/2 (c) ( 1 + i 3) 3/4 ( de duas maneiras ) 11. Identificar no plano complexo os conjuntos dados pelas seguintes expressões: a) Re (z) < 2 b) z 4 > 3 c) z 1 + 3 i 1 d) Im [z] > 1 e) Re (z 2 ) > 0 f) 0 arg[z] π 4, z 0 g) π arg [z] π, z > 2 h) 1 z 2 i < 2 i) Im (z 3 ) > 0 12. Mostre as potencias da unidade imaginária (a) i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1, i 5 = i,, (b) 1 i = i, 1 i 2 = 1, 1 i 3 = i,, 13. Sejam z 1 = 4 5i e z 2 = 2 + 3i. Escreva na forma z = x + yi os seguintes numeros: a) z 1 z 2 b) (z 1 + z 2 ) 2 c) 1/z 1 d) z 2 /z 1 e) 3z 1 6z 2 f) 0, 2z 3 1 g) z 1 /(z 1 + z 2 ) h) 338/z 2 2 2
14. Encontre os seguinte valores a) 1 Re 1 + i c) (2 3i)2 Re 2 + 3i b) Im 3 + 4i 7 i d) Im z z e) (0, 3 + 0, 4i) 4 f) Re z 2, (Re z) 2 g) Im z 3, h) (Im z) 3, (1 + i) 8 15. Mostre que z é um imaginário puro se e somente se z = z. 16. Verifique todas as fórmulas obtidas com os números conjugados, para os seguintes complexos; z 1 = 31 34i e z 2 = 2 5i. 17. Se o produto de dois números complexos é zero, então mostre que ao menos um fator deve ser zero. 2 Forma Polar, Potências e Raízes Complexas 1. Mostre que a multiplicação de um complexo pela unidade imaginária, i, corresponde a uma rotação no sentido horário de um ângulo de π/2 do vetor correspondente. 2. Encontre os seguintes valores absolutos a) 0, 2i b) 1, 5 + 2i c) z 4, d) z 4 e) cos(θ) + i sen(θ) f) z z g) 5 + 7i 7 5i h) z + 1 z 1 i) (1 + i) 6 i 3 (1 + 4i) 2 j) z 2 3
3. Represente na forma polar a) 2i, 2i b) 1 + i c) 3 d) 6 + 8i e) g) 1 + i 1 i 3 2 + 2i 2 2i/3 f) h) i 2 4 + 4i 2 + 3i 5 + 4i 4. Determine o valor principal do argumento dos seguintes numeros complexos: 5. Represente na forma x + y i: a) 6 6i b) 10 i c) π d) 2 + 2i a) cos (π/3) + i sen (π/3) b) 10 [cos(0, 4) + i sen(0, 4)] c) 2 [ 2 cos 3π 4 + i sen 3π ] d) cos (0, 8) + i sen (1, 8) 4 6. Encontre todas as raízes e faça o gráfico de cada um deles no plano complexo: a) c) i b) 8i 7 24i d) 8 1 e) 4 7 + 24i 4 1 f) 5 1 3 1 + i 7. Resolva as seguintes equações a) z 2 + z + 1 i = 0 b) z 4 3(1 + 2i)z 2 8 + 6i = 0 c) z 2 (5 + i)z + 8 + i = 0 d) z 2 + z + 1 = 0 8. Prove as seguintes desigualdades muito úteis: Re [z] z, Im [z] z 9. Verifique a desigualdade triangular para z 1 = 4 + 5i e z 2 = 2 + 1, 5i. 10. Prove a desigualdade Triangular. 11. Mostre a igualdade do paralegramo; z 1 + z 2 2 + z 1 z 2 2 = 2 ( z 1 2 + z 2 2 ) 4
3 Curvas e Regiões do Plano Complexo 1. Calcule e faça o gráfico dos seguintes conjuntos representados por: a) z 4i = 4 b) z + 1 > 2 c) 3 < z a < 6 d) π < Im [z] π e) 0 < Re [z] < π/2 f) Re [z] 1 g) z 1 z + 1 h) arg [z] π/4 i) Im [z 2 ] = 2 j) z + 1 z 1 k) z + 1 z 1 2z i iz 2 4 Miscelânea 1. Mostre que para quaisquer número complexo z e w a) z + w 2 = z 2 + w 2 + 2Re[z w] b) z + w 2 + z w 2 = 2 z 2 + 2 w 2. 2. Encontre todos os número complexos z tal que z 2 = i. Encontre todos os números complexos w tal que w 4 = 1. 3. Mostre a seguinte identidade 1 z w 1 zw 2 = (1 z 2 )(1 w 2 ) 1 zw 2, z w 1. 4. Considere o polinômio P (z) = a 0 + a 1 z + + a n z n cujos coeficintes sejam reais. Mostre que se z 0 satisfaz P (z 0 ), então também P (z 0 ). Forneça um contra exemplo para esta afirmação no caso em que não todos seus coeficientes sejam reais. 5. Calcular todas as raízes quntas de 1 + i, todas as raízes cúbicas de i, todas as raízes sextas de 1 e todas as raízes quadradas de 3/2 + i/2. 6. A desigualdade de Cauchy-Schwartz pode ser provada por indução. Tente fazer isso. 5
7. A desigualdade de Cauchy-Schwartz é uma consequência da identidade de Lagrange, n 2 n n z j w j = z j 2 w j 2 z j w k w j z k 2. j=1 j=1 j=1 1 j<k n Mostre a identidade de Lagrange, logo faça a dedução da desigualdade de Cauchy- Schwartz. 8. Encontre condições necessárias e suficientes sobre {z j }, {w j } para que a igualdade seja válida na desigualdade de Cauchy-Schwartz. Ilustrar a sua resposta com uma representação geométrica. 9. Fixando um inteiro posito n. Suponha que z 1,..., z n são números complexos satisfazendo n 2 z j w j 1 j=1 para todo w 1,..., w n C tal que w j 2 1. Mostre que z j 2 1. Formule e mostre a afirmação recíproca. 10. A identidade seguinte, e i θ = cos(θ) + i sen(θ) é conhecida como a fórmula de Euler. Utilize essa fórmula para mostrar a fórmula de Moivre, [cos(θ) + i sen(θ)] n = cos(n θ) + i sen(n θ). Use esse último resultado para deduzir as fórmulas para o cos(θ/2) e sen(θ/2). 11. Encontre todas as raízes de z 2 + z + 1. Escreva todas na forma polar. 12. Fornecer interpretações geométricas para a adição e multiplicação de números complexos ( em termos de vetores). 13. Prove que a função z z é contínua no sentido que z j z ( z j z 0) z j z ( z j z 0). 14. Se z é um número complexo não nulo e k > 1 inteiro, então mostre que a soma das k-ésimas raízes de z é zero. 6
5 Polinômios Complexos 1. Escreva cada um dos seguintes polinômios complexos na notação x e y reais, a) F (z, z) = z 3 z 2 z b) F (z, z) = (z + z) 2 c) F (z, z) = z 2 z z 2 z d) F (z, z) = z 3 e) F (z, z) = z 4 f) F (z, z) = (z z) 2 2. Escreva cada um dos seguintes polinômios como um polinômios em z e z, a) F (x, y) = (x y 2 ) + i(y 2 + x) b) F (x, y) = (x 2 y y 2 x) + i(2yx) c) F (x, y) = (x 2 y 2 ) + i(2yx) d) F (x, y) = (x 3 3xy 2 ) + i( 3xy 2 + y 3 ) 3. Calcule cada uma das seguintes derivadas, a) z (4z 2 z 3 ) b) z (z 2 z 2 z 3 ) c) 3 x 2 y (3z2 z 4 2z 3 z + z 4 z 5 ) d) 4. Calcule cada uma das seguintes derivadas, a) z (x 2 y) b) z (x + y 2 ) c) 5. Prove que se os operadores e também satisfazem 4 z z 3 (xy2 ) d) 5 z 3 z 2 (z2 zz + 4z 6z 2 ) 2 z z (zz2 z 3 z + 7z) L = a x + b y e M = c x + d y com a, b, c, d C então devem ser da seguinte forma Lz 1, Lz 0 Mz 0, Mz 1, L = 1 2 ( x i y ) = z e M = 1 2 ( x + i y ) = z Isto é, as definições de z e z são as únicas possíveis. 6. Se f é uma função de classe C 1 num conjunto aberto Ω C, então prove z f = z f 7
6 Funções Holomorfas, Equações de Cauchy-Riemann, Funções Harmônicas 1. Se f : Ω C de classe C 1 e se f satisfaz as condições de Cauchy-Riemann, então mostre que z f x f i y f 2. Se a função u é de classe C 2, então 4 z z u 4 z z u u 3. Seja F uma função harmônica. Mostre que F é harmônica. 8