Conteúdo 1 Conjunto dos números complexos 1 1.1 Introdução.......................................... 1 1.2 Operações (na forma algébrica).............................. 2 1.3 Conjugado.......................................... 4 1.4 Potências de i........................................ 5 1.5 Representação Gráca (O Plano de Argand-Gauss)................... 6 2 Polinômios 12 2.1 Introdução.......................................... 12 2.2 Operações.......................................... 13 3 Equações Polinomiais 25 3.1 Introdução.......................................... 25 3.2 Rebaixamento do grau de equações polinomiais..................... 25 3.3 Relações de Girard (entre raízes da equação P (x) = 0 e seus coecientes)....... 28 3.4 Exercícios.......................................... 30 3.5 Respostas dos Exercícios.................................. 34 i
Capítulo 1 Conjunto dos números complexos 1.1 Introdução Observação 1.1.1 : Sejam n Z + e par e a R +. Sabemos que n a / R. Observação 1.1.2 : Denindo o número representado por i (chamado unidade imaginária) tal que i 2 = 1, temos: α R (αi) 2 = α 2. De fato, (αi) 2 = α 2 i 2 = α 2 ( 1) = α 2. Exemplo(s) 1.1.1 : (6i) 2 = 36 36 := ±6i ( 2i) 2 = 2 2 := ± 2i. A equação x 2 2x + 10 = 0 possui solução nesse novo conjunto. De fato, = b 2 4ac = 4 4(1)(10) = 36 = 36 = ±6i que são números do tipo a + bi, com a, b R. x 1 = 2 + 6i 2 x 2 = 2 6i 2 = = 2/(1 + 3i) 2/ e 2/(1 3i) 2/ = 1 + 3i = 1 3i Denição 1.1.1 : Todo número que pode ser escrito na forma a + bi com a, b R é denominado número complexo. 1
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 2 Notações: C = {z/z = a + bi com a, b R e i 2 = 1}. Re(a + bi) := a. Im(a + bi) := b. Observação 1.1.3 : (a) R C pois a R temos a = a + 0i (b = 0); (b) b = 0 z é real; (c) b 0 z é dito imaginário; (d) a = 0 e b 0 z é dito imaginário puro; (e) Sejam z = a + bi C e w = c + di C. z = w a = c e b = d. Execício(s) 1.1.1 : Determinar α (α R) para que o complexo z = (α 2 1) + (α + 1)i seja imaginário puro. Resp. α = 1 1.2 Operações (na forma algébrica) I- Adição: z = a + bi e w = c + di z + w := (a + c) + (b + d)i Propriedades: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 (comutativa) (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ) (associativa) 0 + z = z + 0 = z (elemento neutro) z + ( z) = 0 (elemento oposto ou simétrico aditivo: a bi) II- Diferença: z = a + bi e w = c + di z w := z + ( w) = a + bi + ( c di) = (a c) + (b d)i. Propriedades: as mesmas da adição. III- Produto: z = a + bi e w = c + di z w = (a + bi)(c + di) := ac + adi + bci bd = (ac bd) + (ad + bc)i.
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 3 Propriedades: z 1 z 2 = z 2 z 1 (comutativa) (z 1 z 2 ) z 3 = z 1 (z 2 z 3 ) (associativa) z 1 = 1 z = z (elemento neutro) Veremos também que z C,!z 1 := 1 z C tal que z z 1 = z 1 z = 1 (elemento inverso) Observação 1.2.1 : Além das propriedades citadas acima, a distributividade da multiplicação em relação à adição permanece válida. Execício(s) 1.2.1 : Escreva as expressões abaixo na forma algébrica a+bi. (a) 2i + (1 5i) + 7 + (3 + i) (b) (2 + 4i)(3 + 2i) (c) (3 5i)(2 + 4i)3i (d) (1 + i) 2 (1 i) 2 Respostas: (a) 11 2i; (b) 2 + 16i; (c) 6 + 78i; (d) 4i. Execício(s) 1.2.2 : Determine os reais x e y de modo que se tenha (x + yi)(1 + 3i) = 5 + 5i. Resp.: x = 2 e y = 1 Propriedade (elemento inverso): z C,!z 1 := 1 z C tal que z z 1 = z 1 z = 1. De fato, seja z = a + bi C. Considere z 1 = x + yi. ax by = 1 Queremos: (a + bi)(x + yi) = 1 (ax by) + (bx + ay)i = 1 e bx + ay = 0( ) a 2 x aby / = a Daí, + b 2 x + aby / = 0 x(a 2 + b 2 ) = a Assim, z 1 = x + yi := x = a a 2 + b 2 a a 2 + b b 2 a 2 + b i. 2 ( ) y = IV- Divisão: Seja w C. Então z : w = z w 1. Exemplo(s) 1.2.1 : b a 2 + b 2. 3 + i 1 2i = (3 + i)(1 2i) 1 = (3 + i)( 1 5 + 2 5 i) = 1 5 + 7 5 i.
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 4 1.3 Conjugado z = a + bi z := a bi denota o conjugado de z. Observação 1.3.1 : z = a + bi (a) z = z (b) z z = a 2 + b 2 (c) z 0 z 1 = 1 z = z zz = a bi a 2 + b 2 = (d) w 0 z : w = z w = zw ww (e) z 1 z 2 = z 1 z 2 a a 2 + b 2 b a 2 + b 2 i (f) z 1 + z 2 = z 1 + z 2 De fato, esse resultados seguem imediatamente dos cálculos. Exemplo(s) 1.3.1 : (a) z = 2 + 3i z = (2 3i) = 2 + 3i (b) 2 i 3 + 2i = (2 i)(3 2i) (3 + 2i)(3 2i) 6 4i 3i + 2i2 = = 4 7i 3 2 + 2 2 13 = 4 13 7 13 i (c) Resolva a equação iz 2i = 4 + 2z. Seja z = x + yi. Então z = x yi. Assim, iz 2i = 4 + 2z i(x yi) 2i = 4 + 2(x + yi) xi + y 2i = 4 + 2x + 2yi Daí, y 2x 4 = 0 (+)2x 4 4y = 0 3y 8 = 0 y 4 2x + xi 2i 2yi = 0 (y 2x 4) + (x 2 2y)i = 0 y 2x 4 = 0 e x 2 2y = 0 y = 8 3 x = 10 3. Assim, z = 10 3 8 3 i.
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 5 1.4 Potências de i i 0 = 1 i 1 = i i 2 = 1 i 3 = i 2 i = 1 i = i i 4 = i 2 i 2 = ( 1)( 1) = 1 i 5 = i 4 i = 1 i = i i 6 = i 2 = 1. i 91 =? Suponha n N, n 4. Observe que n = 4q + r onde q N e r representa o resto da divisão de n por 4, ou seja, r = 0 ou r = 1 ou r = 2 ou r = 3. Então, i n = i 4q+r = i 4q i r = (i 4 ) q i r = 1 q i r = i r. Logo, i n = i r onde r = 0 ou r = 1 ou r = 2 ou r = 3. Exemplo(s) 1.4.1 : i 91? 91 4 3 22 91 = 4 22+3. Daí, i 91 = i 3 = i.
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 6 1.5 Representação Gráca (O Plano de Argand-Gauss) z = a + bi P (a, b) Im ou y b P Ox : eixo real Oy : eixo imaginário P : afixo ou imagem geométrica do complexo z 0 a x ou Re a) Forma Trigonométrica (ou forma polar) Im b P(a,b) r 0 θ r b r e θ são chamados coordenadas polares 0 a a Re r 2 = a 2 + b 2 r = a 2 + b 2 (módulo de z ). Notação: r = z sen θ = b r cos θ = a r b = rsen θ. a = r cos θ. θ = arctg b (argumento principal do complexo z ). a
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 7 Então, z = a + bi = r cos θ + (rsen θ)i = r(cos θ + isen θ) := rcisθ (forma trigonométrica de z ). Observação 1.5.1 : Existem innitos argumentos já que cos(θ + 2kπ) = cos θ e sen(θ + 2kπ) = sen θ k Z. Exemplo(s) 1.5.1 : (i) z = 1 + i r = 1 2 + 1 2 = 2 e tg θ = 1 1 = 1 θ = π 4 = 45o z = 2(cos 45 o + i sen 45 o ) = 2cis45 o ou z = 2(cos π 4 + isen π 4 ) = 2cis π 4. (ii) z = 7 z = 7 + 0i r = 7 2 + 0 2 = 7 e tg θ = 0 7 = 0. Como 7 é real positivo, sua imagem pertence ao semi-eixo real positivo θ = 0 o z = 7(cos 0 o + isen, 0 o ) = 7cis 0 o = 7cis 0. Observação 1.5.2 : A determinação de θ (argumento principal de z) pode ser feita usando os valores do seu seno e cosseno ou o valor da sua tangente e o quadrante que contém a imagem geométrica do complexo z. (iii) Escreva na forma algébrica o complexo z = 3cis 60 o. z = 3cis60 o = 3(cos 60 o + isen 60 o ) = 3( 1 3 2 + i 2 ) = 3 2 + 3 3 i. 2 Operações (na forma trigonométrica) (I) Produto: z 1 = r 1 cisθ 1 e z 2 = r 2 cisθ 2 z 1 z 2 = r 1 r 2 cis(θ 1 + θ 2 ) De fato, isto segue imediatamente das fórmulas trigonométricas: cos(a + b) = cos a cos b sen a sen b e sen(a + b) = sen a cos b + sen b cos a. Exemplo(s) 1.5.2 (2cis 45 o ) ( 3cis 60 o ) = 2 3cis 105 o. (II) Divisão: z 1 = r 1 cisθ 1 e z 2 = r 2 cisθ 2 z 1 z 2 = r 1 r 2 cis(θ 1 θ 2 ). De fato, 1 z 2 = z 2 z 2 z 2 = r 2cis(2π θ 2 ) r 2 2 = r 1 cisθ 1 1 r 2 cis( θ 2 ) = r 1 r 2 cis(θ 1 θ 2 ) = 1 cis(2π θ 2 ) = 1 cis( θ 2 ) z 1 = z 1 z2 1 r 2 r 2 z 2
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 8 Exemplo(s) 1.5.3 : 4cis75o 2cis30 o = 4 2 cis(75o 30 o ) = 2cis45 o Observação 1.5.3 : z = rcisθ z 1 = 1 z = 1 r cis( θ) ou z 1 = 1 z 1cis 0o = rcisθ = 1 r cis( θ) = 1 r [cos( θ) + isen ( θ)] = 1 (cos θ isen θ), r já que cos( θ) = cos θ e sen θ = sen( θ). Observação 1.5.4 : (i) z = z (ii) z w = z w (iii) z = z (w 0) w w (III) Potenciação: (Fórmula de De Moivre) z = r cis θ e n Z z n = r n cis nθ Exemplo(s) 1.5.4 : (2 cis 30 o ) 6 = 2 6 cis 180 o = 64(cos 180 o + isen 180 o ) = 64( 1 + i0) = 64 Exemplo(s) 1.5.5 : Uma aplicação: cos 3x e sen 3x? (cos x + isen x) 3 = cos 3x + isen 3x cos 3 x + 3 cos 2 x isen x + 3 cos x (isen x) 2 + (isen x) 3 = cos 3x + isen 3x cos 3 x + 3isen x cos 2 x isen 3 x 3 cos x sen 2 x = cos 3x + isen 3x cos 3 x 3 cos x sen 2 x + i(3sen x cos 2 x sen 3 x) = cos 3x + isen 3x cos 3x = cos 3 x 3 cos x sen 2 x e sen 3x = 3sen x cos 2 x sen 3 x (IV) Radiciação (aplicação da fórmula de De Moivre) Teorema 1.5.1 : z = r cis θ e n N n z = n r cis θ+2kπ n onde k = 0, 1, 2,..., n 1 (n raízes n-ésimas diferentes). De fato, observe que ( n r cis θ+2kπ n ) n = z.
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 9 Observação 1.5.5 : r = 0 n 0 = 0 k = 0, 1,..., n 1 (todas as raízes são iguais a zero) r 0 ( ) k = 0 n z = n θ r cis n ( k = 1 n z = n θ r cis n + 2π ) n ( k = 2 n z = n θ r cis n + 4π ) n ( k = 3 n z = n θ r cis n + 6π ) n..................... ( ) k = n 1 n z = n θ (2n 2) r cis + π n n ( ) k = n n z = n θ r cis n + 2π (começamos a obter valores repetidos) Exemplo(s) 1.5.6 : 4 16cis 120o? (calcule as 4 raízes quartas de z = 16cis 120 o ) 4 16cis 120o = 4 16cis 120o +2kπ = 2cis 120o +360 o k = 2cis(30 o + k 90 o ), k = 0, 1, 2, 3. 4 4 k = 0 z 1 = 2cis 30 o k = 1 z 2 = 2cis 120 o k = 2 z 3 = 2cis 210 o k = 3 z 4 = 2cis 300 o Observação 1.5.6 : As 4 raízes encontram-se sobre a mesma circunferência (mesmo módulo) e são vértices de um polígono regular convexo de 4 lados (quadrado de centro na origem). 2cis120 o 2cis30 o 0 30 o 2cis210 o 2cis300 o
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 10 Exemplo(s) 1.5.7 : 6 1 =? 1 = 1 + 0i = 1cis 0 o, assim 6 1 = 6 cis 0 o = 6 1 cis 0o +k 360 o = 1cis k 60 o, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Então: 6 k = 0 z 1 = 1 cis 0 o k = 1 z 2 = 1 cis 60 o k = 2 z 3 = 1 cis 120 o k = 3 z 4 = 1 cis 180 o k = 4 z 5 = 1 cis 240 o k = 5 z 6 = 1 cis 300 o Observação 1.5.7 : As seis raízes estão na circunferência de raio 1 e são vértices de um polígono regular convexo de 6 lados (hexágono regular de centro na origem). Observação 1.5.8 : As n raízes n-ésimas de um complexo encontram-se todas sobre a mesma circunferência, pois têm o mesmo módulo. Além disso, elas são os vértices de um polígono regular convexo de n lados, de centro na origem. Observação 1.5.9 : As n-raízes n-ésimas de um complexo z, podem ser obtidas multiplicando-se uma delas pelas raízes n-ésimas da unidade. b) Forma Exponencial Todo número complexo z = rcis θ pode ser escrito como z = re θi
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 11 onde r = z, θ é o argumento de z e "e"é a base do Sistema Neperiano de Logaritmos. Operações(na forma exponencial) Exemplo(s) 1.5.8 : Escreva o complexo z = 2e π 4 i na forma algébrica. z = 2e π 4 i = 2cis π 4 = 2(cos π 4 + isen π 4 ) = 2( 2 2 + i 2 2 ) = 2 + i 2. Exemplo(s) 1.5.9 : Escreva, na forma exponencial, o complexo z = 3 1i. 2 2 Temos que r = ( 3 2 )2 + ( 1 2 )2 3 = + 1 1/2 = 1 e tg θ = = 1 4 4 3/2 3 = 3 = tg 3 30o. O que acarreta: θ = 2π π 6 = 11π 6. Logo, z = 1e 11 6 πi. Execício(s) 1.5.1 (vestibular - 78) (i) O número e 3πi é: (a) racional positivo (b) inteiro negativo (c) imaginário puro (d) irracional negativo (e) irracional positivo (ii) Calcule 3 2 + 2 3i. Respostas: k = 0 z 1 = 3 4cis 20 o (i)(b); (ii) k = 1 z 2 = 3 4cis 140 o k = 2 z 3 = 3 4cis 260 o
Capítulo 2 Polinômios 2.1 Introdução Denição 2.1.1 : Um polinômio em x é qualquer expressão que pode ser escrita na forma: P (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, onde: a 0, a 1, a 2,..., a n são números complexos denominados coecientes do polinômio; as parcelas a n x n, a n 1 x n 1,..., a 0 são os termos do polinômio; a 0 é chamado termo independente; os expoentes n, n 1, n 2,... são números naturais. Polinômios com um, dois e três termos são chamados monômios, binômios e trinômios, respectivamente. Um polinômio escrito com as potências de x na ordem decrescente está na forma padrão. Denição 2.1.2 (Polinômio nulo ou identicamente nulo): Polinômio nulo é aquele em que todos os seus coecientes são iguais a zero (P (x) 0). Observação 2.1.1 : P (x) 0 P (x) = 0, x C. Denição 2.1.3 (Grau): Dado P (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, não identicamente nulo e na forma padrão, com a n 0, dizemos que o grau do polinômio P (x) é o número n. 12
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 13 Notação: gr(p ) = n. Denição 2.1.4 (Valor numérico e raíz): Seja P (x) um polinômio não nulo. O valor numérico de um polinômio P (x) para x = α C é o número complexo P (α). Quando P (α) = 0, dizemos que α é uma raíz ou um zero de P (x). Exemplo(s) 2.1.1 a (a) P (x) = 2x 3 x 2 3 = 2, a 2 = 1, a 1 = 3, a 0 = 1 e n = 3. + 3x + 1 P (0) = 1 e P ( 1) = 2 1 3 + 1 = 5. a 1 = 3, a 0 = 2 e n = 1. (b) P (x) = 3x 2 P (5) = 15 2 = 13 e P (2/3) = 0. a 10 = 5, a 9 = a 8 = a 7 = a 6 = 0, a 5 = 10, a (c) P (x) = 5 + 10x 5 + 5x 10 4 = a 3 = a 2 = a 1 = 0, a 0 = 5 e n = 10. P (0) = 5, P (1) = 5 + 10 + 5 = 10 e P ( 1) = 5 10 + 5 = 10. Contra-exemplos(não representam polinômios): (a) F (x) = x 3x 1/2 + 5; (b) F (x) = x 7 + 2x + 15; (c) F (x) = 3 x 11x. Denição 2.1.5 (Polinômios idênticos): Os polinômios A(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 e B(x) = b n x n +b n 1 x n 1 + +b 1 x+b 0 são idênticos se, e somente se, a n = b n, a n 1 = b n 1,..., a 1 = b 1 e a 0 = b 0 (A(x) B(x)). Observação 2.1.2 : A(x) B(x) A(x) = B(x), x C. 2.2 Operações Adição (ou subtração) Para adicionar ou subtrair polinômios, usamos a propriedade distributiva e adicionamos ou subtraímos os termos semelhantes, ou seja, os termos dos polinômios que têm a variável x com o mesmo expoente.
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 14 Multiplicação A multiplicação de dois polinômios requer a multiplicação de cada termo de um polinômio por todos os termos do outro. Assim, torna-se natural o uso da propriedade distributiva. Exemplo(s) 2.2.1 : Sejam f(x) = 2x 4 +3x 2 +x 1, g(x) = 3x 2 +x 3 e h(x) = 2x 3 3x 2 x+3. Vamos calcular: (i) f(x) + g(x); (ii) h(x) g(x); (iii) g(x) f(x). Solução: (i) f(x) + g(x) = 2x 4 + 3x 2 + x 1 + 3x 2 + x 3 = 2x 4 + 3x 2 + 3x 2 + x + x 1 3 = 2x 4 + 6x 2 + 2x 4. (ii) h(x) g(x) = 2x 3 3x 2 x + 3 (3x 2 + x 3) = 2x 3 3x 2 x + 3 3x 2 x + 3 = 2x 3 3x 2 3x 2 x x + 3 + 3 = 2x 3 6x 2 2x + 6. (iii) g(x) f(x) = (3x 2 + x 3) ( 2x 4 + 3x 2 + x 1) = 6x 6 + 9x 4 + 3x 3 3x 2 2x 5 + 3x 3 + x 2 x + 6x 4 9x 2 3x + 3 = 6x 6 2x 5 + 9x 4 + 6x 4 + 3x 3 + 3x 3 3x 2 + x 2 9x 2 x 3x + 3 = 6x 6 2x 5 + 15x 4 + 6x 3 11x 2 4x + 3. Divisão Observe a divisão numérica ilustrada a seguir: 91 4 3 22 91 = 4 22+3. A divisão, seja de números inteiros ou de polinômios, envolve um dividendo dividido por um divisor para obter um quociente e um resto. Veja, nos próximos exemplos, como podemos dividir polinômios usando um algoritmo bastante semelhante ao que já conhecemos para a divisão numérica.
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 15 (i) x 3 +2x 2 x 3 x 3 +2x 2 +3x 4x 2 +2x 3 4x 2 +8x+12 10x+9 x 2 2x 3 x+4 Assim, Q(x) = x+4 R(x) = 10x+9 (ii) x 4 3x 2 +5 x 4 +2x 3 x 2 2x 3 4x 2 +5 2x 3 +4x 2 2x 2x+5 x 2 2x+1 x 2 +2x Assim, Q(x) = x 2 +2x R(x) = 2x+5 Exemplo(s) 2.2.2 (Método da chave): O algoritmo da divisão(ou método da chave) para polinômios pode ser apresentado no seguinte esquema: dividendo D(x) d(x)( 0) divisor resto R(x) Q(x) quociente onde: (i) gr(d) gr(d); (ii) gr(r) < gr(d) ou R(x) 0; (iii)!q(x) e!r(x) tais que D(x) = d(x) Q(x) + R(x) x C; (iv) gr(d) = gr(d) + gr(q);
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 16 (v) D(x) é divisível por d(x) ou d(x) é um divisor de D(x) se, e somente se, R(x) = 0 x C (ou seja,r 0). Observação 2.2.1 : Na divisão D(x) R(x) d(x) Q(x) sempre que gr(d) < gr(d), temos: Q(x) 0 e R(x) D(x). Observação 2.2.2 : Além do método acima, existe o Método de Descartes (ou método dos coe- cientes a determinar) que se baseia na análise dos graus dos polinômios e utiliza a resolução de sistemas lineares. Exemplo(s) 2.2.3 : Efetuar a divisão apresentada acima (em (ii)) usando o método de Descartes. D(x) = x 4 3x 2 + 5 e d(x) = x 2 2x + 1. Observe que gr(d) = 4 e gr(d) = 2 gr(q) = 2. Assim, Q(x) é do tipo Q(x) = ax 2 + bx + c com a 0. Por outro lado, como gr(r) < gr(d), o resto da divisão é um polinômio no máximo do primeiro grau. Então, R(x) = αx + β. Assim, a partir da identidade D(x) d(x)q(x) + R(x), podemos escrever x 4 3x 2 + 5 = (x 2 2x + 1)(ax 2 + bx + c) + αx + β e efetuando as operações no segundo membro, obteremos: x 4 3x 2 + 5 ax 4 + (b 2a)x 3 + (c 2b + a)x 2 + (α + b 2c)x + β. Logo, Assim, a = 1 b 2a = 0 b = 2 c 2b + a = 3 c = 0 α + b 2c = 0 α = 2 β = 5 Q(x) = x 2 + 2x e R(x) = 2x + 5.
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 17 Teorema 2.2.1 (Teorema do resto): d(x) = x a R(x) = D(a). Em geral, d(x) = ax b R(x) = D(b/a). Exemplo(s) 2.2.4 : Vamos calcular o resto da divisão de P (x) = x 2 3x + 1 por: (a) x 1 R = P (1) = 1 3 + 1 = 1; (b) x + 1 R = P ( 1) = 1 + 3 + 1 = 5; (c) 2x 1 R = P (1/2) = 1 3 + 1 = 1 6 + 4 4/ 1 2/ 2 1/ 4 4 = 1 4. Teorema 2.2.2 (Teorema de DAlembert): D(x) é divisível por x a se, e somente se, D(a) = 0. Em geral, D(x) é divisível por ax b se, e somente se, D( b a ) = 0 Exemplo(s) 2.2.5 : Podemos fatorar D(x) = 3x 2 + 7x 20, ou seja, escrevê-lo como um produto de polinômios, dividindo D(x) pelo fator x + 4, já que D( 4) = 0. De fato, 3x 2 +7x 20 x+4 3x 2 12x 3x 5 5x 20 5x+20 0 Logo, D(x) = 3x 2 + 7x 20 = (x + 4)(3x 5). O exemplo seguinte exibe um esquema denominado Dispositivo Prático de Briot-Runi. Este método simplica os cálculos usados no Método de Descartes para a obtenção do quociente Q(x) e o resto R da divisão de D(x) por x a. Exemplo(s) 2.2.6 : A divisão de D(x) = 2x 4 3x 3 + x 4 por d(x) = x + 2 pode ser efetuada do seguinte modo:
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 18 raiz de d(x) coef. de D(x) 2 3 0 1 4 2 2 7 14 27 50 resto coef. de Q(x) De fato, 2 ( 2) 3 = 7 (2 o coef.); 7 ( 2) + 0 = 14 (3 o coef.); 14 ( 2) + 1 = 27 (4 o coef.); 27 ( 2) 4 = 50 (resto). Logo, Q(x) = 2x 3 7x 2 + 14x 27 e R = 50. Em geral: se D(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 e d(x) = x a, o Dispositivo Prático de Briot-Runi pode ser ilustrado no seguinte esquema: a n a n 1 a 1 a 0 a b n 1 b n 2 b 0 R coef. de Q(x) resto onde : b n 1 = a n ; b n 2 = a b n 1 +a n 1 ; b 0 = a b 1 +a 1 ; R = a b 0 +a 0.
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 19 Exercícios 1. Dados os polinômios A(x) = 2x 3 x + 2, B(x) = x 2 + x + 1 e C(x) = 3x 1, calcule: a) A(x) + B(x); e) A(x) B(x); b) A(x) + C(x) B(x); f) [A(x) + B(x)] C(x); c) A(x) C(x); g) [A(x) 2x B(x)] [B(x) + C(x)]. d) B(x) C(x); 2. Sendo P (x) = x 3 + 2x 1, calcule [P (x)] 2. 3. Se A(x) = x 2 3x, determine: a) A(x + 1); b) A(2 x); c) [A(x 1)] 2. 4. Qual é o grau dos polinômios seguintes? a) f(x) = 5x 3 + 2x; b) g(x) = 9x 2 + 2 3x 5 ; c) h(x) = 10x + 5; d) i(x) = 52; e) j(x) = 4x + 10x 15. 5. Dado o polinômio f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 2, calcule o seu valor numérico para: a) x = 0; b) x = 1; c) x = 2; d) x = 1/2. 6. Determine o valor de k de modo que os polinômios abaixo tenham uma raiz igual a 1. a) f(x) = (k + 2)x 2 + 5k; b) h(x) = (2k + 1) kx + (7 + k)x 2. 7. Determine: a) o valor de k de modo que 0 seja raiz do polinômio f(x) = 2k x 3 + x + kx 2. b) o valor de m, sabendo que i é uma raiz do polinômio A(x) = 2x 3 + mx 2 + 2x + 3. 8. Determine um polinômio cujas raízes são 2, -1 e 3. 9. Dados os polinômios f(x) = x 2 + 1, g(x) = 2x + 3 e h(x) = x 2 + x, calcule:
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 20 a) f(x) + g(x) + h(x); b) f(x) g(x); c) h(x) f(x); d) f(x) g(x) + h(x). 10. Efetue os seguintes produtos: a) ( x 3 + 2x 2 + 1) (2x + 3); b) (4x 2 + 3x + 5) ( x 4); c) (x 3 + 7x) ( x 2 2x). 11. Efetue a divisão dos seguintes polinômios pelo método da chave: a) x 3 5x 2 4x + 2 e x 3; b) x 5 3x 2 + 6x 1 e x 2 + x + 1; c) x 10 + x 5 + 1 e x 2 + x + 1. 12. Efetue a divisão dos seguintes polinômios pelo dispositivo de Briot-Runi: a) 3x 2 7x + 3 e x 2; b) 9x 2 33x + 37 e x + 7; c) 2x 2 + 13x 27 e x + 6; d) 2x 3 7x 2 2x + 5 por 2x + 1. 13. Determine, sem efetuar a divisão, o resto da divisão de: a) x 6 x 4 + x 2 1 por x 1/2; b) x 8 + 1 por 2x 4; c) x 2 + x + 1 por x + 1. 14. Determine k R, de modo que: a) x 3 + 5x 2 + kx + 1 seja divisível por x 1; b) 2x 3 + kx 2 (2k + 1)x 13k + 3 seja divisível por x + 4;
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 21 c) x 142 + k seja divisível por x + 1. 15. Dividindo-se um polinômio P (x) por x 3, resulta um resto de -7 e um quociente de x 4. Qual é P (x)? 16. Calcule a, de modo que dividindo-se f(x) = 4x 3 + ax 2 3x + 4 por x 2 seja obtido resto 4. 17. Dividindo o polinômio P (x) = x 3 + x 2 + x + 1 pelo polinômio Q(x), obtemos o quociente S(x) = 1 + x e o resto R(x) = x + 1. O polinômio Q(x) satisfaz a: a) Q(2) = 0; b) Q(3) = 0; c) Q(0) 0; d) Q(1) 0; e) n.d.a. 18. O polinômio x 3 + px + q é divisível por x 2 + 2x + 5. Os valores de p e q são respectivamente: a) 2 e 5; b) 5 e 2; c) 1 e 5; d) 1 e -10; e) 3 e 6. 19. Um polinômio f, dividido por x 1 e x+3, dá restos -2 e 1, respectivamente. O resto da divisão de f por (x 1)(x + 3) é: a) 3 4 x 5 4 ; b) 3 4 x + 5 4 ; c) 3 4 x 5 4 ; d) 3 2 x + 5 2 ; e) 3 2 x 5 2.
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 22 Respostas dos Exercícios 1. a) 2x 3 + x 2 + 3; b) 2x 3 x 2 + x; c) 6x 4 2x 3 3x 2 + 7x 2; d) 3x 3 + 2x 2 + 2x 1; e) 2x 5 + 2x 4 + x 3 + x 2 + x + 2; f) 6x 4 + x 3 x 2 + 9x 3; g) 2x 4 11x 3 10x 2 + 8x. 2. x 6 + 4x 4 2x 3 + 4x 2 4x + 1. 3. a) x 2 x 2; b) x 2 x 2; c) x 4 10x 3 + 33x 2 40x + 16. 4. a) 3; b) 5; c) 1; d) 0; e) 15. 5. a) 2; b) 4; c) 22; d) 7/4. 6. a) 1/3; b) 4. 7. a) k = 0; b) m = 3. 8. f(x) = x 3 4x 2 + x + 6. 9. a) 3x + 4; b) x 2 2x 2; c) 2x 2 + x 1; d) x 2. 10. a) 2x 4 + x 3 + 6x 2 + 2x + 3; b) 4x 3 19x 2 17x 20; c) x 5 2x 4 7x 3 14x 2. 11. a) Q(x) = x 2 2x 10 e R(x) = 28; b) Q(x) = x 3 x 2 2 e R(x) = 8x + 1; c) Q(x) = x 8 x 7 + x 5 x 4 + x 3 x + 1 e R(x) = 0.
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 23 12. a) Q(x) = 3x 1 e R = 1; b) Q(x) = 9x 30 e R = 247; c) Q(x) = 2x + 1 e R(x) = 33; d) Q(x) = x 2 4x + 1 e R = 4. 13. a) 51 ; b) 257; c) 1. 64 14. a) k = 7; b) k = 11; c) k = 1. 15. P (x) = x 2 7x + 5. 16. a = 13 2. 17. (d). 18. (d). 19. (a). Teorema 2.2.3 (divisão por (x a)(x b)) Seja P (x) um polinômio de grau n 2. P (x) é divisível por (x a) e por (x b) com a b P (x) é divisível por (x a) (x b). Demonstração: De fato, P (x) é divisível por (x a) e por (x b) P (a) = 0 e P (b) = 0 (Teorema de D'Alembert). Além disso, Q(x) e R(x) = αx + β tais que P (x) (x a)(x b) Q(x) + R(x). Assim, temos que: P (a) = αa + β = 0 e P (b) = αb + β = 0 αa αb = 0 α(a b) = 0 a b α = 0 β = 0. Então R(x) 0. Logo, P (x) é divisível por (x a)(x b). Observação 2.2.3 : (i) Se P (x) (x a)(x b)q(x) então o quociente da divisão de P (x) por (x a) é divisível por (x b).
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 24 (ii) O teorema acima se generaliza, isto é, se P (x) é divisível por (x α 1 ), por (x α 2 ),... e por (x α k ), com α 1, α 2,... e α k, distintos dois a dois, então P (x) é divisível por (x α 1 ) (x α 2 )... (x α k ). Além disso, a recíproca é verdadeira. Exemplo(s) 2.2.7 : P (x) = x 20 + x 10 2 é divisível por x 2 1. De fato, como x 2 1 = (x 1)(x + 1) e P ( 1) = P (1) = 0, temos que P (x) é divisível por (x + 1) e por (x 1). Logo, P (x) é divisível por (x + 1)(x 1) = x 2 1.
Capítulo 3 Equações Polinomiais 3.1 Introdução Denição 3.1.1 : Uma equação polinomial, ou algébrica, é toda sentença da forma P (x) = 0, onde P (x) é um polinômio qualquer. O grau do polinômio P (x) é também denominado grau da equação P (x) = 0. Exemplo(s) 3.1.1 : (a) 2x + 5 = 0 (1 o grau) (b) x 3 3x 2 + 7 = 0 (3 o grau) (c) x 6 + x 5 4x 2 1 = 0 (6 o grau) 3.2 Rebaixamento do grau de equações polinomiais Já vimos (Teorema de DAlembert) que A(x) é divisível por x a A(a) = 0. Nesse caso, Q(x) polinômio tal que A(x) = (x a) Q(x). Esta propriedade pode ser útil nas resoluções de equações polinomiais das quais se conhecem uma ou mais raízes. Exemplo(s) 3.2.1 : Resolva a equação x 4 5x 3 + 5x 2 + 5x 6 = 0 sabendo que 1 e 2 são suas raízes. De fato, como P (x) = x 4 5x 3 + 5x 2 + 5x 6 é divisível por x 1 e por x 2, podemos aplicar o dispositivo de Briot-Runi: 25
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 26 1-5 5 5-6 1 1-4 1 6 0 2 1-2 -3 0 x 2 2x 3 Assim, P (x) = (x 1)(x 2)(x 2 2x 3). Então x 1 = 0 x = 1 P (x) = 0 Logo, S = { 1, 1, 2, 3}. ou (raízes dadas) x 2 = 0 x = 2 ou x 2 2x 3 = 0 x = 1 ou x = 3 Observação 3.2.1 : Toda equação polinomial de grau n 1 possui pelo menos uma raiz complexa (Teorema Fundamental da Álgebra - Gauss). Teorema 3.2.1 (da decomposição) : Todo polinômio P (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 1 x + a o com a n 0 pode ser decomposto em n fatores do 1 o grau na forma P (x) = a n (x α 1 )(x α 2 )(x α 3 )... (x α n ) onde os números complexos α 1, α 2, α 3,..., α n são as raízes de P (x). Além disso, sem considerar a ordem dos fatores, esta decomposição é única. Demonstração: De fato, seja P (x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0. Como n 1, P (x) possui pelo menos uma raiz complexa α 1 (T.F.A.). Assim, podemos escrever: P (x) = (x α 1 )Q 1 (x), onde Q 1 (x) é de grau n 1 com coeciente dominante a n. Como grau de Q 1 (x) 1, podemos novamente usar o T.F.A. e escrever Q 1 (x) = (x α 2 )Q 2 (x). Assim, temos: P (x) = (x α 1 )(x α 2 )Q 2 (x).
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 27 De forma análoga, podemos decompor Q 2 (x) e os sucessivos quocientes e escrever P (x) na forma P (x) = (x α 1 )(x α 2 )... (x α n )Q n (x) onde Q n (x) é de grau zero com coeciente dominante a n. Logo, P (x) = a n (x α 1 )(x α 2 )... (x α n ). Exemplo(s) 3.2.2 : Se as raízes de P (x) = 2x 3 + x 2 13x + 6 são 3, 1 2 decompô-lo na forma: P (x) = 2(x + 3)(x 1 )(x 2) 2 e 2, então podemos Observação 3.2.2 : As raízes α 1, α 2,..., α n de um polinômio de grau n não são necessariamente distintas. Caso um fator (x α i ) ocorrra m vezes, dizemos que α i é uma raiz de multiplicidade m. Se (x α i ) ocorrer uma única vez, então α i é uma raiz simples. Exemplo(s) 3.2.3 : Para P (x) = 5(x 2)(x 2)(x 2)(x 1)(x 1)(x + 3) temos: 2 é uma raiz tripla (ou de multiplicidade 3) de P (x). 1 é uma raiz dupla (ou de multiplicidade 2) de P (x). -3 é uma raiz simples de P (x). Teorema 3.2.2 (das raízes conjugadas) : Sejam P (x) um polinômio de grau n 2, e de coecientes reais e z um número imaginário. P (z) = 0 P (z) = 0. Além disso, z e z são raízes com a mesma multiplicidade. Demonstração: De fato, P (z) = a n z n + a n 1 z n 1 +... + a 1 z + a 0 = a n z n + a n 1 z n 1 +... + a 1 z + a 0 = a n z n + a n 1 z n 1 +... + a 1 z + a 0 = a n z n + a n 1 z n 1 +... + a 1 z + a 0 = P (z) Exemplo(s) 3.2.4
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 28 (a) Obtenha um polinômio com coecientes reais, de menor grau possível, que admite -3 e 1+2i como raízes. Pelo teorema anterior, P (x) deve admitir no mínimo três raízes: -3, 1+2i e 1-2i. teremos: P (x) = a(x + 3)(x 1 2i)(x 1 + 2i) = a(x + 3)(x 2 4x + 5) = a(x 3 x 2 7x + 15), onde a R Logo, por exemplo, P (x) = x 3 x 2 7x + 15. Então, (b) Resolva a equação x 4 + 4x 3 17x 2 + 26x 14 = 0 sabendo que 1-i é uma de suas raízes. Pelo teorema anterior, se 1-i é uma raiz da equação, então 1+i também será raiz. Assim, temos x 4 + 4x 3 17x 2 + 26x 14 = (x 1 + i)q(x) Q(x) = x 3 + (5 i)x 2 + ( 13 6i)x + 7 + 7i = (x 1 i)(x 2 + 6x 7) Então, Daí, Logo, x 4 + 4x 3 17x 2 + 26x 14 = (x 1 + i)(x 1 i)(x 2 + 6x 7). x 4 + 4x 3 17x 2 + 26x 14 = 0 x 1 + i = 0 x = 1 i ou x 1 i = 0 x = 1 + i ou x 2 + 6x 7 = 0 x = 1 ou x = 7 S = { 7, 1, 1 i, 1 + i} 3.3 Relações de Girard (entre raízes da equação P (x) = 0 e seus coecientes) Seja a equação ax 2 + bx + c = 0 (a 0) com raízes α 1 e α 2. Então ax 2 + bx + c = a(x α 1 )(x α 2 ) ax 2 + bx + c = a[x 2 (α 1 + α 2 )x + α 1 α 2 ] x 2 + b a x + c a = x2 (α 1 + α 2 )x + α 1 α 2.
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 29 Assim, obtemos: α 1 + α 2 = b a e α 1α 2 = c a Seja a equação ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (a 0) com raízes α 1, α 2 e α 3. Então ax 3 + bx 2 + cx + d = a(x α 1 )(x α 2 )(x α 3 ) ax 3 + bx 2 + cx + d = a[x 3 (α 1 + α 2 + α 3 )x 2 + (α 1 α 2 + α 1 α 3 + α 2 α 3 )x α 1 α 2 α 3 ] x 3 + b a x2 + c a x + d a = x3 (α 1 + α 2 + α 3 )x 2 + (α 1 α 2 + α 1 α 3 + α 2 α 3 )x α 1 α 2 α 3. Assim, obtemos: α 1 + α 2 + α 3 = b a, α 1α 2 + α 1 α 3 + α 2 α 3 = c a e α 1 α 2 α 3 = d a. De forma geral, considere a equação a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 + + a 1 x + a 0 = 0 (a n 0) com raízes α 1, α 2, α 3,..., α n. São válidas as seguintes relações (de Girard): 1 a ) Soma das raízes: α 1 + α 2 + + α n = a n 1 a n 2 a ) Soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas: α 1 α 2 + α 1 α 3 + + α n 1 α n = a n 2 a n 3 a ) Soma dos produtos das raízes tomadas três a três:. n a ) Produto das n raízes: Exemplo(s) 3.3.1 : α 1 α 2 α 3 + α 1 α 2 α 4 + + α n 2 α n 1 α n = a n 3 a n α 1 α 2 α 3 α n = ( 1) n a 0 a n (a) Resolva a equação x 3 5x 2 + 2x + 8 = 0, sabendo que uma de suas raízes é o dobro da outra. De fato, pelas relações de Girard, temos: a + b + c = 5 b=2a 3a + c = 5 c = 5 3a ab + bc + ac = 2 b=2a 2a 2 + 3ac = 2 7a 2 15a + 2 = 0 a = 2 ou a = 1 7. abc = 8
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 30 Então, obtemos: a = 2 b = 4 e c = 1(satisfazem a 3 a relação de Girard) ou a = 1 7 b = 2 e c = 32 7 7 (não satisfazem a 3a relação de Girard) Logo, S = { 1, 2, 4} (b) Se a, b, c e d são as raízes da equação x 4 2x 3 + 3x 2 5x + 7 = 0, calcule o valor da expressão E = 1 a + 1 b + 1 c + 1 d. De fato, pelas relações de Girard, temos: a + b + c + d = 2 ab + ac + ad + bc + bd + cd = 3 abc + abd + acd + bcd = 5 abcd = 7 Logo, E = bcd + acd + abd + abc abcd = 5 7 3.4 Exercícios Nos exercícios de 1 a 3 verique se A(x) é divisível or B(x). 1) A(x) = (x 2) 10 + (x 1) 8 1 e B(x) = (x 2)(x 1). 2) A(x) = x 7 x 5 12x 3 + 5x 2 20 e B(x) = x 2 4. 3) A(x) = x 5 + x 4 6x 3 3x 2 + 5x + 2 e B(x) = (x 2)(x 2 1). 4) Determine m e n para que P (x) = x 6 + mx 4 + nx 3 3x 2 seja divisível por (x + 1)(x 2). 5) Seja P (x) = x 6 + 2x 5 4x 4 + 2x 2 2x + 1. (a) Verique que P (x) é divisível por (x + 1)(x 1). (b) Obtenha o quociente da divisão de P (x) por x + 1 e verique que esse quociente é divisível por x 1.
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 31 6) Verique que A(x) = 2x 5 15x 3 + 12x 2 + 7x 6 é divisível por (x 1)(x 2)(x + 3) e obtenha o quociente dessa divisão. Nos exercícios de 7 a 9 verique se A(x) é divisível por B(x). 7) A(x) = 2x 3 11x 2 + 4x + 5 e B(x) = (x 1)(x 5). 8) A(x) = x 51 + x 49 + x 47 3x 45 e B(x) = x 2 1. 9) A(x) = 2x 4 + 5x 3 5x 2 20x 12 e B(x) = (x + 1)(x 2 4). 10) Determine m e n para que P (x) = 2x 4 + 3x 3 + mx 2 nx 3 seja divisível por (x + 1)(x 3). 11) Seja A(x) = 3x 3 +ax 2 +bx+c. Determine a, b e c sabendo que A(x) é divisível por (x+2)(x+3) e que o resto da divisão de A(x) por x + 1 é -8. 12) Obtenha o resto da divisão de P (x) = x 50 + 2x 49 3x 3 + 2x + 5 por (x 1)(x + 2). 13) Os restos das divisões de P (x) por x 1 e por x 2 são 3 e 4, respectivamente. Qual é o resto da divisão de P (x) por (x 1)(x 2)? Nos exercícios de 14 a 24 resolva cada equação nas quais os números α i são raízes conhecidas. 14) x 3 12x 2 + 41x 42 = 0, α 1 = 2. 15) x 3 3x 2 5x + 39 = 0, α 1 = 3. 16) x 4 2x 3 13x 2 + 14x + 24 = 0, α 1 = 4 e α 2 = 1. 17) x 4 9x 3 + 26x 2 24x = 0, α 1 = 3. 18) x 4 4x 3 9x 2 + 26x 30 = 0, α 1 = 1 + i e α 2 = 1 i. 19) x 3 x 2 14x + 24 = 0, α 1 = 4. 20) x 3 7x 2 + 14x 8 = 0, α 1 = 4. 21) x 4 5x 3 + 5x 2 + 5x 6 = 0, α 1 = 2 e α 2 = 1. 22) 2x 4 + 3x 3 17x 2 30x = 0, α 1 = 5 2. 23) x 4 4x 3 20x 2 4x 21 = 0, α 1 = i e α 2 = i.
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 32 24) x 4 4x 3 + 4x 2 + 4x 5 = 0, α 1 = 2 + i e α 2 = 2 i. 25) Dê a multiplicidade de cada raiz de P (x) nos casos: (a) P (x) = 1 (x + 1)(x + 1)(x + 2)(x + 2)(x + 2). 3 (b) P (x) = 4(x 3)(x + 5) 3 (x 1 3 )6. (c) P (x) = x 3 (x i)(x + i)(x 7) 4. Nos exercícios 26 a 33 decomponha P (x) e resolva a equação P (x) = 0. 26) P (x) = 3x 3 16x 2 + 23x 6, sabendo que 3 é uma de suas raízes. 27) P (x) = 2x 4 13x 3 + 23x 2 3x 9, sabendo que 3 é uma raiz dupla de P (x). 28) P (x) = x 4 6x 3 + 9x 2 6x + 8, sabendo que i e -i são duas raízes. 29) P (x) = 5x 5 33x 4 + 76x 3 64x 2 + 16, sabendo que 2 é uma raiz tripla de P (x). 30) P (x) = x 3 5x 2 8x + 48, sabendo que 4 é uma raiz. 31) P (x) = x 4 + 4x 3 + 13x 2 + 36x + 36, sabendo que -2 é uma raiz dupla. 32) P (x) = 3x 5 16x 4 + 32x 3 30x 2 + 13x 2, sabendo que 1 é uma raiz tripla. 33) P (x) = x 4 4x 3 + 7x 3 6x + 2, sabendo que 1 + i e 1 i são raízes. 34) Dê a multiplicidade de cada raiz de A(x) nos seguintes casos: (a) A(x) = 3(x 2)(x 2)(x 2)(x + 7)(x + 7)(x + 10) (b) A(x) = 2(x + 1)(x 3) 4 (x + 4) 3. (c) A(x) = x 2 (x 3 2 )5 (x + 5) 6. 35) O número 2 é uma raiz da equação x 5 6x 4 +17x 3 38x 2 +60x 40 = 0. Qual é a multiplicidade dessa raiz? 36) Qual é o menor grau de um polinômio de coecientes reais que admite: (a) 2, 1+i e 3-2i como raízes? (b) -2, i e 1+2i como raízes de multiplicidades 3, 1 e 2, respectivamente?
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 33 37) Dado um polinômio A(x), de grau ímpar e de coecientes reais, é possível concluir que A(x) possui ao menos uma raiz real? 38) Resolva x 4 + 3x 3 6x 2 + 12x 40 = 0 sabendo que 2i é uma de suas raízes. 39) Resolva x 6 2x 5 + 3x 4 4x 3 + 3x 2 2x + 1 = 0 sabendo que i é uma raiz dupla. 40) Dada a equação x 3 x 2 + mx + n = 0 determine os reais m e n de modo que 1+i seja uma de suas raízes e dê o seu conjunto-solução. 41) Determine um polinômio P (x), de coecientes reais e de grau mínimo, que possua 1 e 3+2i como raízes. 42) Qual é o menor grau de um polinômio de coecientes reais que admite: (a) -3, 2 e 4+i como raízes? (b) i, 1-i e 1 como raízes de multiplicidade 2, 1 e 3, respectivamente? 43) Existe algum polinômio de 3 o grau com coecientes reais, que tenha 2, 3 e i como raízes? 44) Resolva a equação x 4 4x 3 + 9x 2 16x + 20 = 0 sabendo que 2+i é uma de suas raízes. 45) Determine a, b e o conjunto-solução da equação 2x 3 + ax 2 + bx 27 = 0, sabendo que 3i é uma de suas raízes e que a e b são reais. 46) Escreva um polinômio de coecientes reais e de grau mínimo que possua: (a) 2, -3 e i como raízes. (b) -1 e i como raízes tripla e dupla, respectivamente. 47) Resolva a equação x 3 3x 2 4x + 12 = 0 sabendo que ela possui duas raízes opostas. 48) Resolva a equação 2x 3 + x 2 13x + 6 = 0 sabendo que ela possui duas raízes inversas. 49) Resolva a equação x 3 6x 2 + mx + 10 = 0 e encontre o valor de m sabendo que suas raízes estão em P.A. 50) Sejam a, b e c as raízes da equação x 3 4x 2 + 6x 2 = 0. Calcule o valor de: (a) 1 a + 1 b + 1 c
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 34 (b) 1 ab + 1 ac + 1 bc (c) a 2 + b 2 + c 2 51) Resolva a equação x 3 4x 2 3x + 18 = 0 sabendo que ela admite uma raiz dupla. 52) Resolva a equação x 3 2x 2 5x + 6 = 0 sabendo que uma de suas raízes é o triplo de uma outra. 53) Resolva a equação 2x 4 + 25x 3 + 108x 2 + 176x + 64 = 0 sabendo que ela admite uma raiz tripla. Nos exercícios 54 a 58 resolva as equações a partir das informações dadas sobre suas raízes. 54) x 3 4x 2 + x + 6 = 0. Uma das raízes é igual à soma das outras duas. 55) x 3 11x 2 + 36x 36 = 0. Uma das raízes é igual ao produto das outras duas. 56) x 3 3x 2 4x + 12 = 0. Duas raízes são simétricas. 57) x 3 9x 2 + 24x 20 = 0. Há uma raiz dupla. 58) 64x 3 56x 2 + 14x 1 = 0. As raízes estão em P.G. 59) Dê a soma dos produtos distintos das raízes tomadas três a três, da equação 6x 5 8x 4 3x 3 x 2 + 5x 1 = 0. 60) Determine m em cada uma das equações seguintes, de modo que quem satisfeitas as condições indicadas: (a) x 3 7x + m = 0, tenha uma raiz igual ao dobro da outra; (b) x 3 x 2 + mx + 21 = 0, tenha a soma de duas de suas raízes igual a 4; (c) 2x 3 21x 2 + mx 16 = 0, tenha suas raízes em P.G. 3.5 Respostas dos Exercícios 1. Sim 2. Sim 3. Sim
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 35 4. m = 3 e n = 1 5. a) Q(x) = x 5 + x 4 5x 3 + 5x 2 ; b) Q(x) x 1 = x4 + 2x 3 3x 2 + 2x 1. 6. Q(x) = 2x 2 1 7. Sim 8. Sim 9. Sim 10. m = 19 e n = 23 11. a = 14; b = 13 e c = 6. 12. R(x) = 6x + 13 13. R(x) = x + 2 14. S = {2, 3, 7} 15. S = { 3, 3 2i, 3 + 2i} 16. S = { 3, 1, 2, 4} 17. S = {0, 2, 3, 4} 18. S = {1 i, 1 + i, 3, 5} 19. S = { 4, 2, 3} 20. S = {1, 2, 4} 21. S = { 1, 1, 2, 3} 22. S = { 5, 2, 0, 3} 2 23. S = { i, i, 3, 7} 24. S = {2 i, 2 + i, 1, 1}
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 36 25. (a) -1 é raiz dupla e -2 é raiz tripla; (b) 3 é raiz simples, -5 é raiz tripla e 1 3 é raiz sêxtupla; (c) 0 é raiz tripla, i e -i são raízes simples e 7 é raiz quádrupla. 26. P (x) = 3(x 3)(x 2)(x 1/3) e S = {3, 2, 1/3} 27. P (x) = 2(x 3) 2 (x 1)(x + 1/2) e S = {3, 1, 1/2} 28. P (x) = (x i)(x + i)(x 4)(x 2) e S = {i, i, 4, 2} 29. P (x) = 5(x 2) 3 (x 1)(x + 2/5) e S = {2, 1, 2/5} 30. P (x) = (x 4) 2 (x + 3) e S = { 3, 4} 31. P (x) = (x + 2) 2 (x 3i)(x + 3i) e S = { 2, 3i, 3i} 32. P (x) = 3(x 1) 3 (x 2)(x 1/3) e S = {1, 2, 1/3} 33. P (x) = (x 1) 2 (x 1 i)(x 1 + i) e S = {1, 1 + i, 1 i} 34. (a) 2 é raiz tripla, -7 é raiz dupla e -10 é raiz simples; (b) -1 é raiz simples, 3 é raiz quádrupla e -4 é raiz tripla; (c) 0 é raiz dupla, 3/2 é raiz quíntupla e -5 é raiz sêxtupla. 35. Multiplicidade 3 36. (a ) 5 o grau; (b) 9 o grau 37. Sim 38. S = { 2i, 2i, 5, 2} 39. S = { i, i, 1} 40. m = 0, n = 2 e S = {1 + i, 1 i, 1} 41. P (x) = x 3 7x 2 + 19x 13 42. (a) 4 o grau; (b) 9 o grau. 43. Não 44. S = {2 + i, 2 i, 2i, 2i} 45. a = 3, b = 18 e S = { 3i, 3i, 3/2}
Números Complexos Simone D. Ramos & Edezio 37 46. (a) x 4 + x 3 5x 2 + x 6; (b) x 7 + 3x 6 + 5x 5 + 7x 4 + 7x 3 + 5x 2 + 3x + 1 47. S = { 2, 2, 3} 48. S = { 3, 1/2, 2} 49. m = 3 e S = { 1, 2, 5} 50. (a) 3; (b) 2; (c) 4. 51. S = { 2, 3} 52. S = { 2, 1, 3} 53. S = { 1/2, 4} 54. S = { 1, 2, 3} 55. S = {2, 3, 6} 56. S = { 2, 2, 3} 57. S = {2, 5} 58. S = {1/2, 1/4, 1/8} 59. 1/6 60. (a) m = ±6; (b) m = 5; (c) m = 42.