artig POLÍGONOS DE REULEAUX E A GENERALIZAÇÃO DE PI Jsé Luiz Pastre Mell Sã Paul SP Um mecanism muit cnhecid desde s temps antigs para transprtar blcs de pedra cnsiste em apiá-ls sbre cilindrs rlantes. Tal métd, usad, pr exempl, pels antigs egípcis durante a cnstruçã das pirâmides, permitia que imenss mnlits fssem deslcads de maneira relativamente estável pr cnta de que cilindrs sã sólids frmads pr figuras de diâmetr cnstante (círculs) a lng d seu cmpriment, e iss assegura que blc arrastad fique sempre à mesma distância d chã durante transprte. A figura abaix mstra, em vista lateral, um mnlit send transprtad sbre cilindrs de diâmetr da base igual a 1 m. A pergunta que prpnh a leitr, para iníci da nssa investigaçã, é a seguinte: além da circular, existe alguma utra frma que, a rlar, também preserve a distância d blc transprtad até sl? 34 n. 81 revista d prfessr de matemática
Pr mais estranh que pareça, além d círcul, existem infinitas utras frmas gemétricas planas de diâmetr cnstante e, send assim, qualquer sólid ret cm secções paralelas à base (e que seguem seu cmpriment) cm uma mesma dessas frmas gemétricas planas de diâmetr cnstante será um substitut d cilindr n prblema em questã. O triângul de Reuleaux é um exempl simples de frma gemétrica plana nã circular de diâmetr cnstante. O nme desse triângul fi dad em hmenagem a engenheir alemã Franz Reuleaux, que, n sécul 19, prjetu mecanisms envlvend essa frma gemétrica. Reuleaux é cnsiderad pr muits histriadres da ciência pai da cinemática pr suas cntribuições nessa área. Apesar d nme, triângul de Reuleaux nã é prpriamente um triângul, mas, sim, uma curva frmada a partir de um triângul equiláter da seguinte maneira: partind de um triângul equiláter ABC de lad L, fazems três arcs de circunferência de rai L, centrads em A, B e C, cnfrme indica a figura a lad; a curva btida é chamada de triângul de Reuleaux. De frma geral, dizems que um plígn de Reuleaux é uma frma gemétrica particular de diâmetr cnstante btida a partir de um númer finit de arcs circulares de mesm rai, centrads sempre n vértice pst. Se um plígn de Reuleaux é frmad pr arcs de mesm cmpriment, entã ele é chamad de regular. Nã é difícil imaginar um sólid ret cm triânguls de Reuleaux nas secções paralelas substituind cilindr n prblema d transprte d blc. A rlar esse sólid sbre chã, a distância entre pnt d blc em cntat cm sólid e chã será sempre de 1 m. Nrmalmente s texts de Matemática se referem às figuras cm círcul e triângul de Reuleaux cm frmas de largura cnstante, prém, pr razões particulares que ficarã claras a final deste artig, estams dizend que sã frmas de diâmetr cnstante. Nesse cas, é imprtante que seja esclarecid que estams chamand de diâmetr de uma figura plana. Sem apel a rigr matemátic, imaginems a seguinte situaçã: sejam r e s retas paralelas girand em trn de uma curva fechada cnvexa l de frma que l sempre fique perfeitamente espremida entre r e s, send P e Q s pnts de intersecçã de r e s cm l (assuma que esses pnts sejam únics). Nesse cas, chamarems a distância entre P e Q de um diâmetr de l. A girarms r e s na cndiçã estabelecida, pdems verificar intuitivamente que diâmetr de l pderá ser cnstante, cm n cas d círcul e d triângul de Reuleaux, u nã, cm n cas da figura abaix na qual tems P 2 Q 2 < P 1 Q 1 < P 3 Q 3. r P 3 s As leitres interessads em uma definiçã precisa de curvas de largura (diâmetr) cnstante envlvend cnheciments elementares de cálcul, recmendams a referência [1]. Nas figuras a seguir, indicams mair diâmetr de três curvas fechadas cnvexas. Q 3 Q 2 P 2 r s Plígns de Reuleaux e a generalizaçã de pi Círcul de centr C (diâmetrs cnstantes iguais a P revista d prfessr de matemática n. 81 35
Elipse de centr C e eix mair PQ (diâmetrs nã cnstantes send mair igual a P A frma aprximada d triângul de Reuleaux é usada na fabricaçã de algumas palhetas para tcar vilã, e em alguns tips de lápis. Em ambs s cass, que se supõe é que curvas de diâmetr cnstante sã mais ergnômicas para manusei. p Triângul qualquer ( mair diâmetr é PQ, que é mair lad d triângul) É curis bservar que, além d círcul e d triângul de Reuleaux, existem muitas utras curvas de diâmetr cnstante frmadas a partir de plígns regulares cm um númer ímpar de lads. Curvas cm essas sã usadas, pr exempi, na fabricaçã das medas britânicas de 20 e de 50 pence, cuja frma se aprxima de um heptágn regular de Reuleaux. N cas das medas, cnsegue-se cm iss uma estética diferente d padrã circular, mantend-se diâmetr bem determinad, que é um imperativ para seu us em máquinas de refrigerantes u de jgs. Meda inglesa de 50 pence (heptágn de Reuleaux) Outra curisa aplicaçã d triângul de Reuleaux se deve a engenheir inglês Harry James Watt, que, em 1914, aprveitand as prpriedades da curva, cncebeu uma brca de furadeira cm eix flexível para fazer furs cm a frma aprximada de um quadrad. Brca cm frma de triângul de Reuleaux para fazer furs "quadrads" ( eix é flexível, pis nã há um centr em psiçã fixa) Lápis cm a frma aprximada de um triângul de Reuleaux nas secções transversais Atividades cm curvas de diâmetr cnstante n ensin fundamental Famsa palheta em frma aprximada de triângul de Reuleaux Nós, prfessres, frequentemente ns vems diante de temas matemátics de grande ptencial para mbilizar interesse d alun e, pr vezes, desperdiçams a prtunidade de mergulhar n assunt pr julgá-l cmplex. Em alguns cass, esse recei está assciad a fat de que prfessr de Matemática nã se sente cnfrtáver em cntexts nde tem que abrir mã da precisã da linguagem, d rigr cnceitual u das demnstrações. Outr pnt de vista, d qual cmpartilh, é de que nã devems perder a prtunidade de abrdar temas cmplexs se pr mei deles fr pssível fazer Matemática interessante e desafiadra cm nsss aluns. Nesse cas, é decisiv para êxit da aula que prfessr faça uma ba seleçã ds prblemas que serã prpsts as aluns, e que faça uma esclha cuidadsa da escala de aprfundament, abrangência e rigr que irá utilizar. A seguir sã sugeridas algumas atividades cm curvas de diâmetr cnstante n ensin fundamental que, se pr um lad abrem mã d apr-.: I 'e. sta d prfessr de matemática~
fundament que tema exigiria n escp de uma pesquisa matemática, pr utr tem mérit de clcar alun na linha de frente de interessantes prblemas matemátics. A final de cada prblema segue a respsta e um cmentári para aprfundament d prfessr n assunt em questã. Prblema 1 Calcule e cmpare as áreas de um triângul de Reuleaux (AT), frmad a partir de um triângul equiláter de lad 1, e de um círcul (Ac) de diâmetr 1. n- J3 Respsta: Ay = ---< Ac = n. 2 Cmentári: dentre tdas as curvas de uma mesma largura cnstante, triângul de Reuleaux é a de menr área e círcul é a de mair área. Prblema2 Calcule e cmpare s perímetrs de um triângul de Reuleaux (P T), frmad a partir de um triângul equiláter de lad 1, e de um círcul (P c) de diâmetr 1.. Respsta: P T = P c = n. Cmentári: curvas de um mesm diâmetr cnstante, cm n cas das figuras deste prblema, têm sempre mesm perímetr. Esse resultad é cnhecid cm terema de Barbier [1 ]. Prblema 3 Cnstrua cm régua e cmpass um pentágn de Reuleaux. Respsta: prcedimenta é análg a d triângul de Reuleaux, partind de um pentágn regular. Cmentári: Partind de um plígn regular cm númer ímpar de lads, sempre será pssível utilizá-l cm "gabarit" para cnstruir um plígn de Reuleaux. Também é pssível cnstruir uma curva de diâmetr cnstante a partir de um plígn nã regular, prém a curva nã será um plígn de Reuleaux regular. Prblema4 c Cnstrua em papel-cartã um triângul de Reuleaux e um círcul. As duas figuras têm que ter mesm diâmetr. Recrte-as cm te aura e m tre experimentalmente que, quand clcadas en:re dua réguas psicinadas em paralel, as réguas 'eslizam suavemente sbre as figuras, seja qual fr ua p icã. Respsta: Cmentári: Havend pssibilidades, recmend cnstruçã de peças em madeira u metal a par:ir ds mldes em papel-cartã btids pels alun A respeit diss, nã deixe de visitar a página-11 - indicada na referência [2]. Sólids em metal cnstruíds a partir de mldes de círcul e de triângul de Reuleaux. Uma generalizaçã de pi Ns círculs, a razã cnstante entre perímetr e diâmetr é dentada pr n. Agra que b ervams utras curvas planas de diâmetr cnstante e natural que se pergunte se a razã entre perímetr e diâmetr é igual para tdas essas curvas. Pdems fazer essa pergunta para curvas planas fecha limitadas e cnvexas mesm sem diâmetr cn tante. Para iss definirems diâmetr de uma curva n - cndições estabelecidas, cm send valr má..üm ds diâmetrs da curva (segund a definiçã da anterirmente de um diâmetr de uma cun a i.. Para essa investigaçã, a partir de agra dentarems a generalizaçã dessa razã pr pi, e a definire- ~revi s ta d prfessr as ~a:s~;:,- :::.::. n. 81 1 37
õ.. C) u!rd '-"' _ ~ c 0..0 rd X :::l r ~ :::l ~ u U) c,q:o Q.._ ms da seguinte maneira: pi(curva) =perímetr da curva/diâmetr da curva Cm essa definiçã, valr de pi depende apenas da frma da curva, e nã d seu tamanh. Pr exempl: pi (círcul) = 1t: pi (quadrad) =.fi (N quadrad, diâmetr é sua diagnal.) Pde-se demnstrar que diâmetr de um triângul qualquer sempre será seu mair lad; lg: pi (triângul qualquer) = perímetr/ cmpriment d mair lad Entã pi (triângul equiláter)= 3 pi (triângul retângul isósceles) = 1 +.fi ~ 2, 414 Talvez, neste mment, leitr esteja levantand a hipótese de que, dentre tdas as curvas de mesm diâmetr, círcul seja a de mair valr de pi. Iss de fat é verdadeir, prém, é necessári ressaltar mais uma vez que as curvas permitidas nessa "disputà' devem ser fechadas, limitadas e cnvexas, cas cntrári seria perfeitamente pssível encntrar uma curva de mesm perímetr de um círcul e cm valr de pi mair d que n, cm mstra a figura abaix: B CD~ Círcul de perímetr 1 e diâmetr AB e curva nã cnvexa de perímetr 1 e diâmetr A'B' < AB. pi = (1/A'B') > 1/AB = TC Pde-se demnstrar que, se dmíni de pi estiver restrit às curvas fechadas, limitadas e cnvexas, entã círcul será a curva que maximiza valr de pi. A analisarms pi para s quadriláters cnvexs, é fácil demnstrar que s lsangs nã quadrads têm pi menr d que pi ds quadrads de mesm perímetr, cm se vê a seguir: A '[SJ B Quadrad de lad 1, perímetr 41 e diâmetr AB = 1J2. Lsang de lad 1, perímetr 41 e diâmetr A'B' > AB. Nte que A'B' > 21 (cndiçã de existência d triângul). Segue que 1.J2 <A' B' < 21 e, prtant, pi (quadrad)> pi (lsang). Um puc mais difícil seria a demnstraçã d seguinte resultad: dentre tds s retânguls de lads x e y, de mair pi será aquele cm x = y, u seja, quadrad. Para uma demnstraçã desse resultad, cnsulte a referência [ 3]. Além daquil tud que já fi dit, um resultad verdadeiramente surpreendente é de que quadrad, que tem mair pi dentre s quadriláters usualmente chamads de ntáveis, nã é quadriláter cnvex de mair pi. O quadriláter cnvex de mair pi é uma pipa. Essa investigaçã será prpsta em um ds exercícis sugerids a segj.iir. A' Atividades cm a generalizaçã de pi n ensin médi Inúmers prblemas interessantes a respeit de curvas de diâmetr cnstante, e da determinaçã de pi, pdem ser prpsts para aluns d ensin médi, seja em aulas regulares d curs, seja em clubes de Matemática. A seguir, apresent alguns exempls. Prblema 1 Calcule pi de um retângul em que lad mair mede dbr d lad menr. Respsta: pi (retângul x pr 2x) = B' 6.JS. 5 Cmentári: A atividade pde ser repetida para retânguls cm lads cnsecutivs de medidas cada vez mais próximas uma da utra, cm, pr exempl, x e 3x/2; x e Sx/4; u x e 9x/8. Em seguida, pde-se cnjecturar que, quand cmpriment d retângul se aprxima de sua largura, pi (retângul) n. s1 1 revista d prfessr de m atem áti c a~
aumenta e se aprxima, n limite, de pi (quadrad). Prblema2 A pipa PQRS está inscrita n quadrad ABCD de lad Z, cnfrme figura abaix. Se PQ = PS = l, mstre que pi (pipa)> pi (quadrad). B Q C Respsta: pi*(triângul de Reuleaux) = pi* (círcul) = n Cmentári: Pde-se demnstrar que as fórm as pi (curva) e pi* (curva) sã equivalentes. :Jesdbraments dessa ideia sã encntrads em h]. Prblema 5 Seria pssível cnstruir uma bicicleta cu. as tenham a frma de triânguls de Reuleaux! Respsta: Sim. Ver víde de uma bicidesim na referência [5]. A D Respsta: Prve inicialmente que s ânguls interns da pipa medem 60, 75, 75 e 150. Cm us da trignmetria, s cálculs cnduzem a seguinte resultad pi(pipa) = 2 + 2~ 2 - J3 :::: 3, 035 > pi( quadrad) = 2J2"" 2,828. Cmentári: O caminh da demnstraçã de que pi da pipa analisada nesse prblema é mair valr pssível de pi de um quadriláter cnvex pde ser encntrad na referência [3]. Prblema 3 Mstre que pdems inscrever a pipa d prblema anterir em um triângul de Reuleaux. Faça essa cnstruçã cm régua e cmpass. p Respsta: Cmentári: A principal truçã é a de que, diferentemente de um cír triângul de Reuleaux nã tem um centr fix.. er referência [ 6]. Nta da RPM Expandind a definiçã d triângul de Reulea!.::X para a terceira dimensã, chama-se tetraedr de leaux, u tetraedr esféric, sólid btid a partir da intersecçã de quatr esferas de rai r centradas ns vértices de um tetraedr regular de aresta r. Diferentemente d triângul de Reuleaux, que é uma figura plana de largura cnstante, tetraedr de Reuleaux é uma figura espacial que nã pssui largura cnstante. Esse resultad fi demnstrad pel matemátic m- Ernest Meissner, em 1911, que também prpôs s a,iustes necessáris a tetraedr de Reuleaux para que ele se cnverta em um sólid de largura cnstante. Tal sólid e cnhecid cm tetraedr de Meissner. Q R Cmentári: Outr exercíci interessante seria da inscriçã de um hexágn em um triângul de Reuleaux. O hexágn btid dessa maneira nã será regular (é equiláter, prém nã é equiângul). Interessantes extensões dessa ideia pdem ser encntradas na referência [ 4]. Prblema4 Cmpare s valres de pi de um triângul de Reuleaux e de um círcul, ambs calculads pr mei de uma nva fórmula, indicada pr pi*: pi*( curva) = (4xárea interir a curva)/( diâmetr de curva) 2 Referências bibligráficas [1) VLOCH, J. F. Curvas de largura cnstante. Matemática Universitária, n 2 5, junh de 1987, IMPA, RJ. [2) http:/ /www.yutube.cm/watch?v=ody9y-6dsgu ( cnsultad em 10/02/2013) [3) Ball, Derek G. A generalisatin f 1r. The Mathematica! Gazette, vl. 57, nº 402, december 1973. [4) GRIFFITHS, D., CuLPIN, D. Pi-Optimal Plygns. The Mathematical Gazette, vl. 59, nº409, ctber 19;:>. ([3) e [4) estã em inglês e pdem ser btids gratuitamente n endereç http:/ /www.jstr.rg/ mediante um cadastr d \isita::ite n site). [ 5) http:/ /www.yutube.cm/watch?v=xq4fnhtkjus [ 6) http:/ /mathwrld.wlfram.cm/reuleaux:triangle.html ([5) e [6] fram cnsultads em 10/02 ::!Ob) 1tlrevista d prfessr ds 'Tlâie~a;;ca 1 n. s1 1 39