Mestrado Profissional em Ensino das Ciências na Educação Básica Área de Concentração: Matemática ALEX DE BRITO COELHO
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- Amadeu Fidalgo Santana
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1 Mestrad Prfissinal em Ensin das Ciências na Educaçã Básica Área de Cncentraçã: Matemática ALEX DE BRITO COELHO Prdut Final da Dissertaçã apresentada à Universidade d Grande Ri Prf. Jsé de Suza Herdy em 14 de utubr de 010: Terema de Pitágras: Qual a sua imprtância para ensin das Ciências da Natureza?
2 1 INTRODUÇÃO A dissertaçã, pr nós desenvlvida, pretendeu mstrar a imprtância d Terema de Pitágras n ensin das ciências, ntadamente n ensin de Matemática. Nesse sentid, fram explrads s seguintes aspects: itinerári históric d Terema de Pitágras dentr da gemetria; algumas demnstrações deste terema; algumas de suas aplicações na Matemática, na Física e na Bilgia, e breve relat de uma experiência em sala de aula cm dis grups de aluns, send trabalhadas duas diferentes frmas de demnstrar terema. Cm prdut final da dissertaçã apresentada, destacams seu terceir capítul nde sã apresentadas algumas das aplicações d Terema de Pitágras nas Ciências da Natureza, cm destaque para camp da Matemática e suas ramificações, cm Gemetria Plana, Analítica e Espacial, e fra dela também, mencinand suas aplicações na Física e na Bilgia. Nssa finalidade é ressaltar que ensin d Terema de Pitágras se justifica também pela imprtância de sua aplicabilidade em utras áreas d cnheciment, além da Matemática, especialmente nas ciências.
3 APLICAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS Desde que Pitágras prvu aquele que talvez seja terema mais imprtante da Matemática, essa disciplina tem tid uma perspectiva bem clara d que está tentand realizar. Pitágras sabia, cm se sabia desde temp ds egípcis, que alguns ds triânguls clássics eram triânguls rets, tal cm triângul de lads 3, 4 e 5. Percebend que = 5, ele pôde generalizar iss para mstrar que, num triângul ret, quadrad da hiptenusa era igual à sma ds quadrads ds dis lads restantes. Ele tinha cnsciência d que queria prvar e, quand prvu, tinha cnsciência d que pssuía. (STEIN, 1000, p.47) Para nde levu Terema de Pitágras? Qual a sua cnseqüência mais imprtante? Essas perguntas têm nã uma única respsta. Talvez uma de suas mais imprtantes cnseqüências tenha sid a descberta de númers que nã pdiam ser escrits cm a razã de dis inteirs - s númers irracinais. Pr exempl; quand Terema de Pitágras é aplicad a um triângul retângul e isósceles de catets iguais a um, resultad é um númer que nã pssui uma quantidade finita de casas decimais. Cm pderia um númer representad pr infinitas casas decimais, que nã pssui um padrã de cmprtament u repetiçã, servir para medir um segment? Cm entender e cnciliar finit e infinit? Cm pensar uma quantidade que nã tem fim? É cert que, sempre que se pensa em um númer, pde-se smar uma unidade e assim bter um númer mair ainda d que ele. Mas, da pura abstraçã humana, Pitágras geru um fat cncret: nã se pde medir cmpriment da diagnal de um quadrad de lad um. Esse fat cncret, adicinad à abstraçã, levu a buscar infinit em utrs camps e também em utras áreas. Se a é cmpriment da hiptenusa de um triângul retângul e b e c sã s cmpriments de seus catets, entã a = b + c. Eis em linhas gerais Terema de
4 Pitágras. Iss já fi demnstrad de diversas frmas diferentes em capítuls anterires. Mas é só iss? Clar que nã! O Terema de Pitágras vem send utilizad pr diverss camps da Matemática e inclusive fra dela. Pr tal mtiv é de grande imprtância que alun de nn an d ensin fundamental e qualquer utr alun d ensin médi saiba utilizar bem esta ferramenta em diferentes cntexts. Diversas aplicações sã derivadas a partir d estud d Terema de Pitágras. A seguir, é apresentada uma pequena amstra de tal afirmaçã. 1.1 NO CAMPO DA MATEMÁTICA.1.1. Em Gemetria Plana a) Cálcul da diagnal d quadrad Seja quadrad de lad l decmpst em dis triânguls retânguls isósceles pela diagnal d, cnfrme a figura abaix. A aplicar Terema de Pitágras, alun bserva que: d l l d l d l, u seja, a partir de agra, basta ter cnheciment d cmpriment d lad d quadrad para, rapidamente, bter a medida de sua diagnal. Exempl: Se lad d quadrad medir 3 cm sua diagnal medirá 3 cm. b) Cálcul da altura d triângul eqüiláter 1 As aplicações em Gemetria sã baseadas nas bras de IEZZI (1993), MORGADO (00) e MACHADO (198).
5 Na figura abaix, ABC é um triângul equiláter de lad l e AH é a altura relativa a vértice A, de cmpriment h. O triângul ACH frmad é retângul, de catets medind l/ e h e sua hiptenusa mede l. Aplicand Terema de Pitágras: l l h l h l 4 3l l 3 h h 4 Em relaçã a essa segunda aplicaçã, alun pde perceber a facilidade de calcular a altura d triângul equiláter cnhecend apenas a medida d seu lad. Exempl: dad um triângul equiláter de lad 4 cm sua altura medirá 3 cm. Deste pnt em diante, alun também passa a bservar que pde calcular a altura de utrs plígns, cm retângul, trapézi; calcular cmpriment das diagnais d lsang, cnhecend as medidas ds lads; enfim, há uma infinidade de prblemas cuja resluçã mais eficaz é feita através da aplicaçã d terema de Pitágras. O próxim item trata de algumas aplicações na Trignmetria, tais cm calcul de sen, cssen e tangente de arcs ntáveis, Relaçã Fundamental da Trignmetria e a Lei ds Cssens.
6 .1. Em Trignmetria a) Cálcul d Sen, Cssen e Tangente ds arcs ntáveis (30º, 45º e 60º) N triângul retângul ABC abaix, frmad a partir de um quadrad, pdem ser btids s valres de sen, cssen e tangente de 45º. Observe: sen45 cs45 tg45 catet pst l sen45 hiptenusa l catet pst catet adjascente l l tg45 1 catet adjascente l cs45 hiptenusa l De frma análga, btem-se valres de sen, cssen e tangente de 30 e 60, tmand-se, agra, um triângul equiláter de lad l:
7 Após as definições de sen, cssen e tangente de um ângul, verifica-se facilmente algumas relações entre as linhas trignmétricas. Pr exempl, se a e b sã dis ânguls cmplementares, entã sen a = cs b e sen b = cs a. Send assim: Da mesma frma, l sen30 1 l 60 sen30 cs. l 3 h 3 sen60 30 l l sen60 cs. Ainda em relaçã as ânguls cmplementares a e b, tg30 tga 1 tgb, lg: l 3 1 tg30 tg60 tg60 3. l 3 3 tg30 b) Relaçã Fundamental da Trignmetria Cnsidere ângul x assinalad n triângul retângul ABC da figura abaix. Cm sen x = a b e cs x = a c, entã: ( senx) b c b c (cs x). a a Cm, pel Terema de Pitágras, b + c = a, entã: sen a x cs x sen x cs x 1. a a
8 Esta relaçã acima é muit utilizada em td estud de trignmetria. Outras relações trignmétricas também sã btidas a partir d Terema de Pitágras, mas cm grau de imprtância um puc menr se cmparadas cm a Relaçã Fundamental da Trignmetria e sã mitidas neste text. c) Lei ds Cssens Seja ABC um triângul qualquer (figura abaix) e BH a altura relativa a lad AC. Fram, entã, frmads s triânguls retânguls ABH e BCH. Aplicand-se Terema de Pitágras em ambs, btém-se: h m c, n triângul ABH e h (b m) a n triângul BCH. Desenvlvend a segunda equaçã: h b bm m a. Cm h m c, entã: b c bm a. csâ b Entretant, d triângul ABH pde-se escrever que m m c.csâ. E substituind valr de m na equaçã anterir, c c bc.csâ a. Tal prcediment pde ser repetid para um triângul btusângul e resultad btid será exatamente mesm, pis cssen de um ângul btus crrespnde a simétric d seu cmplement. Esta relaçã é cnhecida cm Lei ds Cssens e utilizada nã smente na Trignmetria, mas também na Gemetria Plana, Gemetria Analítica e Espacial e também pela Física, n estud ds vetres que representam as frças atuantes sbre s crps.
9 A seguir serã apresentadas algumas aplicações na Gemetria Analítica e na Espacial que envlvem a distancia euclidiana entre dis pnts, calcul d mdul de um vetr, a diagnal d cub e altura d cne..1.3 Em Gemetria Analítica a) Distância euclidiana entre dis pnts Dads dis pnts A e B d plan cartesian, pde-se calcular a distância entre eles utilizand-se Terema de Pitágras. Na figura abaix, pde-se bter um triângul retângul prlngand-se segment tracejad que determina a rdenada d pnt A até que este encntre segment que determina a abscissa d pnt B. Os catets d triângul assim frmad sã (x x 1 ) e (y y 1 ). Observe: Pel triângul assim frmad, tem-se d x x y y x x y d 1 y E, prtant,
10 b) Módul de um vetr Seja u= (a,b) um vetr de e seu cmpriment pde ser btid facilmente através da aplicaçã d Terema de Pitágras. Observe: u a b u a b Vale lembrar que u representa módul, u cmpriment, d vetr u. Também é pssível verificar tal demnstraçã através d prdut escalar, calculad da seguinte frma, segund Machad (p.16): Chamams prdut escalar (u prdut intern) de dis vetres u = (x 1, y 1 ) e v = (x, y ) d R a númer real x 1 x + y 1 y. Indicams este númer pel símbl u.v cuja leitura é u escalar v. Nte que: a,b a,b a.a b.b a b u u u e, prtant, u a b..1.4 Em Gemetria Espacial a) Diagnal d Cub Observe, abaix, cub de aresta a. Chamand de d a diagnal de qualquer uma de suas faces, já fi mstrad anterirmente que d a (diagnal d quadrad). N triângul retângul destacad, pde-se aplicar Terema de Pitágras. Entã:
11 D a a D 3a D a 3 d a D. Ou seja, dad um cub de aresta a, sua diagnal é a 3. Pr exempl, uma caixa d água cúbica cm 1 metr de aresta pssui diagnal de cmpriment 1 3 m 1, 73m. b) Cálcul da altura d cne N cne circular ret da figura abaix, sejam R rai da base, h a altura e g a sua geratriz. Facilmente bserva-se que: h R g h g R, que nã chega a ser apresentad cm uma fórmula, haja vista ser uma aplicaçã direta d Terema de Pitágras. A próxima seçã trata da aplicaçã d Terema de Pitágras na Física relacinada às grandezas vetriais.
12 . APLICAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS NA FÍSICA Na Física sã estudads dis tips de grandezas: as escalares e grandezas vetriais. A escalar é aquela que fica perfeitamente caracterizada quand se cnhece apenas sua intensidade acmpanhada pela crrespndente unidade de medida. Cm exempls de grandeza física escalar há a massa de um crp (pr exempl, 50 kg), a temperatura de um crp 37º, vlume de um reservatóri, m 3, a energia, 50 J e muitas utras. Nas perações cm grandezas escalares, seguem-se as regras de perações algébricas usuais (sma, subtraçã, multiplicaçã e divisã), e s cálculs sã arredndads, quand necessári (CALÇADA, 1998 p.141). Quand se lê que a velcidade d carr n mment da clisã era de 90 km/h, nã se pde afirmar que mesm estava rápid u nã, pis tal infrmaçã é insuficiente para qualquer cnclusã. Iss acntece prque a velcidade é uma grandeza vetrial. Para uma grandeza física vetrial ficar ttalmente caracterizada, é necessári saber nã smente a sua intensidade (u módul), mas também a sua direçã e seu sentid. Pr iss sã representadas pr vetres. E quand se pera cm a representaçã de vetres n plan, a gemetria plana se faz necessária. Imagine, pr exempl, um veícul que parte de uma cidade A e sfre um deslcament n sentid leste (d 1 ), chegand até uma cidade B e, em seguida, se deslca nvamente n sentid nrte, para chegar até a cidade C (d ). Fnte: CALÇADA, C.S. Física Clássica: Cinemática, 1985, p.143.
13 Nta-se facilmente que deslcament d 1, de A para B, e deslcament d, de B para C, equivalem a um únic deslcament d, de A para C (figura 6). Desta frma, deslcament d é a sma vetrial u resultante ds deslcaments d 1 e d, u seja, d = d 1 + d. Este resultad é válid para qualquer grandeza vetrial. E para calcular módul d vetr resultante (u vetr sma), basta aplicar Terema de Pitágras, haja vista que s vetres d 1, d e d frmam um triângul retângul de catets d 1 e d e hiptenusa d. Prtant d d d 1. Ainda segund Calçada (1998), na página 4, d vlume II, a intensidade da frça resultante é, pr diversas vezes, calculada através da aplicaçã direta d Terema de Pitágras, tend em vista triângul retângul frmad pelas cmpnentes vetriais. Cm cita autr n exempl: Um pnt material de massa m = 10 kg está sb a açã de apenas duas frças cm mstra a figura. Sabend que F 1 = 1 N e F = 5 N, calcule módul da aceleraçã d pnt material.(p.14). A figura a que se refere autr está dispsta lg a seguir. Fnte: CALÇADA, C.S. Física Clássica: Dinâmica, 1985, p.14. A partir dela, alun deve aplicar Terema de Pitágras para calcular módul da frça resultante (figura 7) e lg em seguida, a segunda Lei de Newtn para, entã, finalizar prblema. Observe:
14 Fnte: CALÇADA, C.S. Física Clássica, 1985, p.143. F 1 F F F 1 5 F 169 F 13 N Cm F = m.a segue que 13 = 10.a, e, prtant, a = 1,3 m/s. A seguir, utras aplicações d terema de Pitágras, mas ainda utilizand cnceit de frça resultante..3 APLICAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS NA BIOLOGIA O Terema de Pitágras é utilizad em utrs camps que nã sejam a matemática e a física, cm pr exempl, a bilgia. Batscheletet (1978), em Intrduçã à Matemática para Bicientistas, faz um resum ds principais assunts que estes prfissinais irã utilizar a lng da sua carreira. Dentre eles, destaca-se Terema de Pitágras. A Matemática e a Bilgia sempre estiveram muit próximas. Cm prva, enfque gemétric ds desenhs e prprções entre hmens e animais, a cntagem, mesm que de frma primitiva, de pções curativas, enfim, s númers e prcediments sempre estiveram ligads à Bilgia.
15 Abaix, seguem algumas dessas aplicações citadas pel autr nas páginas 46 e 463, d livr supracitad. (i) O plan inclinad gerad pel repus ds crps Qual é a frça que tenta puxar crp para baix a lng d plan e qual é a frça que pressina crp cntra plan? Send F 1 a frça que empurra crp para baix (cmpnente hrizntal da frça Pes) e F a frça perpendicular a chã (cmpnente vertical da frça Pes), a sma desses vetres é a frça gravitacinal representada pr F(também chamada de frça Pes), u seja, F = F 1 + F. O módul da frça F é calculad através da aplicaçã d Terema de Pitágras n triângul retângul frmad pels vetres F 1, F e F. (ii) As alavancas prmvidas pels mviments ds sss d braç Na figura abaix sã bservadas as frças que agem sbre um braç. A frça F é decmpsta em duas partes: uma cmpnente F 1, perpendicular a antebraç; e uma cmpnente F, paralela a antebraç. A frça F 1 é chamada de frça de cisalhament.
16 Mais uma vez, para se calcular módul da frça resultante F, aplica-se terema de Pitágras a triângul retângul frmad pelas cmpnentes de F e a própria frça F. Mas vale lembrar que em tds esses cass Terema de Pitágras está assciad a cálcul da frça resultante que atua sbre s crps nas diversas situações descritas acima. Após serem vists alguns aspects que mstram a imprtância d Terema de Pitágras, tant na suas abrdagens histórica e de aplicações cm também n seu ensin; será relatada, n próxim capítul, uma experiência feita cm dis grups de aluns n que se refere a duas frmas diferentes de demnstraçã d terema e a análise (superficial) de questões cntextualizadas que fram aplicadas em um teste, send que a partir da análise dessa experiência, serã levantadas algumas cnclusões parciais desta dissertaçã.
17 3 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BATSCHELET, Edward. Intrduçã a Matemática para Bicientistas. Sã Paul: Ed. Da Universidade de Sã Paul, CALÇADA, Cai Sérgi. Física Clássica: Dinâmica, estática e hidrstática. Sã Paul: Atual, DOLCE, Osvald; POMPEO, Jsé Niclau. Fundaments de Matemática Elementar v.9. 8.ed. Sã Paul: Atual, 005. (.) Fundaments de Matemática Elementar ed. Sã Paul: Atual, 005. LIMA, Eln Lages. Meu prfessr de Matemática e utras histórias. Ri de Janeir: SBM, MACHADO, Antôni ds Sants. Álgebra Linear e Gemetria Analítica.. Ed. Sã Paul: Atual, 198. MORGADO, A. C. Gemetria II: Métrica Plana. Ri de Janeir: F. C. Araúj da Silva, 00.
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