MODELOS DE EQUILÍBRIO DE FLUXO EM REDES Pro. Sérgio Myerle Depo. Eng. Produção e Sisems UFSC/CTC
Deinição Bási A rede é deinid por um gro ( N A onde: { } N...n G é um onjuno de nós { m} A... é um onjuno de ros 5 onde ( i j A é um pr ordendo de i j N. elemenos do onjuno N iso é Diz-se ue érmino em j. é um ro om origem em i e 4
Problems de Fluo em Redes Deinição Um Problem de Fluo em Redes onsise em enonrr um pdrão de luo Φ ssoido o gro ( A N G ue end s ondições de onservção de luo pidde e não-negividde. O onjuno Φ depende ds rerísis priulres de d problem e pode ser deinido omo segue: Modelos de Tráego Φ s r s r 0 Modelos Eonômios Φ N i d p i i A i A i m min ( ( 0
Problems de Fluo em Redes
Problems de Euilíbrio em Redes de Tráego
Fluo de Euilíbrio Deinição Fluo de Euilíbrio Deinição UE Um pdrão de luo viável Φ em G ( N A esá em euilíbrio undo não eise um menismo undo no senido de modiiá-lo. (Myerle 006 Um luo em redes orresponde solução de Euilíbrio do Usuário (UE undo nenhum usuário onsegue diminuir seu próprio empo de vigem rvés de um mudnç unilerl de ro. (Wrdrop 95 Deinição SUE Um luo em redes orresponde solução de Euilíbrio Esoásio do Usuário (SUE undo nenhum usuário redi ser possível diminuir seu próprio empo de vigem rvés de um mudnç unilerl de ro. (Dgnzo e Shei 977
Premisss do UE. É onheido ( ( ( (... m ( : R m R m um mpemeno onínuo diereniável e não deresene em relção às omponenes do veor de luo dos ros denodo por... onde ( R m R é unção do empo de vigem do ro.. ( m : ( o Jobino de ( em relção (... m siméri e semideinid posiiv.. São onheids s demnds r s N pr odo pr ( s é um mriz r d mriz O/D. 4. Cd usuário onhee eses empos e é pz de deerminr e esolher om bse neles ul o minho mis uro ser omdo ddo o luo produzido pelos demis usuários d rede.
Algums Funções Empíris BPR U. S. Bureu o Publi Rods (964 ( β o α C A Dvidson (966 o ( γ C A Onde: luo do ro A o empo de vigem om luo livre do ro A α β γ C pidde prái e eóri do ro A prâmeros ds unções jusdos om bse em ddos C
Formulção de Modelos de NLP. Sem inerção enre ros Min s.: z( ( w dw (. A 0 r s A δ (.b ( Φ (.. Com inerção em vis de mão-dupl z( ( w dw ( w0 dw (. A 0 0 Min s.: (.b e (.
Condição de Euivlêni Modelo Lgrngeno Euivlene o problem (. (. om respeio às resrições de onservção de luo: Min s.: L ( u z( ( r s δ 0 r s u A Aplindo s ondições de primeir ordem de KKT pr ese problem L( u 0 e L( u 0 r s L( u 0 r s u
Obém-se: ( u 0 r s u 0 r s r s 0 r s Porndo n solução óim do problem (. (. sisz Φ e eisindo luo no -ésimo minho ue one o pr ( r s d mriz O/D enão u. Se não eise luo no -ésimo minho ue one o pr ( r s d mriz O/D enão u. Assim n solução óim do problem (. (. não hverá inenivo pr ue usuários rouem de ro e o luo esrá em euilíbrio. (Wrdrop 95
Condições de Uniidde d Solução. Φ é um onjuno ompo e não vzio é semideinid posiiv ( (. z( ( z é um unção onve. As dus ondições im grnem eisêni de um únio mínimo globl 4. Se eise um únio mínimo globl enão o pono de euilíbrio é únio Observção: As ondições de KKT mbém se plim o problem om inerção em vis de mão-dupl ue mbém em solução úni e onseuenemene um únio pono de eulíbrio.
Eensões de Super-redes Demnd Elási D ( u u D ( ou u D ( e W ( e A demnd ssoid um pr O/D ( r s é unção do empo de vigem mínimo enre o nó de origem r e o nó de desino s.
Eensões de Super-redes Esolh enre Modis Independenes ˆ u ˆ ˆ uˆ ln u u θ ( ˆ e θ r s O priionmeno d demnd enre os diveos modis de rnspore obedee um unção disribuição de probbilidde logi mulinomil. ˆ ˆ ( ˆ ln θ ˆ uˆ ˆ
Méodo de Frn-Wole (956 Algorimo P0. Iniilizção. Fç um loção udo-ou-nd bsed em ( 0 gerndo { }. Fç :. P. Aulizção. Fç : (. P. Obenção d direção. Fç um loção udo-ou-nd bsed em } gerndo o pdrão de luo uilir { y }. P. Bus em linh. Enonre α ue resolve: 0 α ( y { min 0 α ( w dw P4. Movimeno. Fç : α ( y. P5. Tese de Convergêni. Se ε pre. Em so onrário ç e vole pr P. :
Formulção VI Teorem (dpdo de Ngurney 999 * Φ sobre minhos de ( N A G Um pdrão de luo * se e somene se sisz o seguine problem de VI: * * ( 0 Φ é solução do UE Algorimo de Projeção. Fç 0 0 P. Obenh :. P. Clule P ( α ( Φ : P. Se > ε ç : vole pr P. P4. Apresene
Eemplo 4 4 4 0 5 0 5 6 4 0 5 4 00 50 θ 0 uˆ 0 Fluo de Cminhos: 4 4 4 ˆ
Formulção (ddos Fluos e empos de vigem nos ros d rede 4 4 4 4 4 4 4 4 ( 05 6 ( 05 ( 05 ( 4 ( 4 4 4 ˆ 0 ˆ ˆ ln ˆ ˆ(
Formulção Φ 0 ˆ 5 ˆ ˆ ( ˆ Enonrr * * * 0 ( Φ.
Cálulos
Solução 500 000 500 CONVERGÊNCIA Aro - Aro - Aro - Aro -4 Aro -4 Ferrovi ˆ ˆ e θ ( uˆ 0787 000 u 094 Fluo 000 0500 e θ ( uˆ u 08-0 5 0 5 0 Ierção 094 08
Solução
Conlusão... F I M