NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR

ESPAÇO VETORIAL REAL NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR ESPAÇOS VETORIAIS Seja um conjunto V φ no qual estão definidas duas operações: adição e multiplicação por escalar, tais que u, v V, u+v V e α R, u V, αu V O conjunto V com as operações acima é chamado espaço vetorial real se forem verificadas as seguintes propriedades: Em relação à adição: A u + v = v + u, u,v V (a adição deve ser comutatividade ) A (u + v) + w = u + (v + w), u,v,w V (a adição deve ser associativa ) A 0 V, u V, u + 0 = u ( deve existir em V o elemento neutro 0 da adição) A 4 u V, (-u) V, u + (-u) = 0 (deve existir em V o simétrico de cada elemento de V) Em relação à multiplicação por escalar: M (α + β)u = αu + βu, α,β R e u V (a multiplicação deve ser distributiva em relação a adição de escalares) Μ α(u + v) = αu + αv, α R e u,v V (a multiplicação deve ser distributiva em relação a adição de vetores) M (αβ)u = α(βu), α,β R e u V (a multiplicação deve ser associativa em relação a multiplicação de escalares) M 4 u = u, u V (o (um) deve ser o elemento neutro da multiplicação por escalar) Os elementos de um espaço vetorial são chamados vetores independente de sua natureza Exemplos de espaços vetoriais: n O conjunto R das n-uplas de números reais com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar O conjunto Mmxn das matrizes mxn com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar O conjunto P n ={a 0 x n n + a x + + a n ; a i R } dos polinômios de grau menor ou igual a n, incluindo o polinômio identicamente nulo, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar 4 O conjunto das funções definidas no intervalo [a;b] em relação às operações definidas por (f + g)(x)= f(x)+ g(x) e (αf)(x) = αf(x), α R COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES Sejam os vetores v, v,, v n de um espaço vetorial V Um vetor v V é combinação linear (CL) dos vetores v, v,, vn se existem os reais a,a,, an, tais que a v + a v + + a nvn = v E) Verifique se o vetor v = (, 8, 7) é combinação linear dos vetores v = (,,) e v = (4,,5) Em caso afirmativo, escreva o vetor v como combinação linear de v e v

Importante: A combinação linear a v + a v + + a n v n = v pode ser representada matricialmente por MA=V, onde: M é a matriz cujas colunas são os vetores v, v,,, A é a matriz coluna formada pelos coeficientes a,a,, e V é a representação matricial do vetor v an vn E) Escreva o vetor v = (-,) como combinação linear dos vetores i = (,0) e j = (0,) E) Escreva o vetor v = (,,-) como combinação linear dos vetores i = (,0,0), j = (0,,0) e k = (0,0,) E4) Sejam os vetores = (,,), = (0,, ) e v = (4,,0) v v a) Escreva, se possível, o vetor v = (,5, ) como CL dos vetores v e v b) Escreva, se possível, o vetor v como CL dos vetores v e v c) Determine o valor de m para que o vetor u = (6,0, m) seja CL dos vetores v e v RESPOSTAS E) v = v - v E) v = -i + j E) v = i + j k E4) a) v = v + v b) Impossível c) m=4 4 PRODUTO ESCALAR Chama-se produto escalar (ou produto interno usual) de dois vetores u e v o número real representado por u v ou < u, v > e calculado pela soma dos produtos das componentes correspondentes dos vetores Se u = (x, y ) R e v = ( x, y ) R então uv = x x + y y R Se u = (x, y, z ) e v = ( x, y, z ) R então uv = x x + y y + z z E) Determinar u v,sabendo que u = (, -) e v = (4,) E) Dados os pontos A(,-,0), B(,-,-) e C(4,,), calcular AB BC PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR a) u v = v u b) u ( v + w ) = u v + u w c) α ( u v ) = (α u ) v = u (α v ), comα R d) uu = u 5 MÓDULO DE UM VETOR Chama-se módulo(ou comprimento) do vetor v o número real não negativo calculado por No R, se v =(x,y ) então v = x + y v v No R, se v =(x,y,z ) então v = x + y + z E) Dados os vetores u = (,-,) e v = (4,), calcular u e v E4) Dados os pontos A(,,0) e B(-,m, -), calcular m para que AB = 7 PROPRIEDADES DO MÓDULO: a) u 0 e u = 0 u = 0 b) -u = u c) α u = α u

d) u + v u + v 6 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS A distância d e ntre dois pontos A e B é o comprimento do vetor No R, se A(x, y ) e B( x, y ) então AB AB =(x -x, y -y ) e d AB = ( x x ) + (y y No R, se A(x, y, z ) e B( x, y, z ) então AB =(x -x, y -y, z - z ) e d AB = ( x x ) + (y y ) + (z z ) ) E5) Determinar no eixo das ordenadas um ponto eqüidistante dos pontos A(,-,7) e B(5,7,-5) E6) Determine o ponto do plano eqüidistante dos pontos (-,-), (,0) e (,-) 7 ÂNGULO DE DOIS VETORES Se u 0, v 0 e θ é o ângulo dos vetores u e v, com 0 θ 80 v v u Da lei dos co-senos: u v = u + v u v cosθ () θ u Mas u v = (u v)(u v) = uu uv + vv = u uv + v () uv Comparando () e (): uv = u v cosθ ou cos θ = u v E7) O que se pode afirmar sobre uv, se 0 < θ < 90 E8) O que se pode afirmar sobre uv, se 90 < θ < 80 E9) O que se pode afirmar sobre uv, se θ = 90 E0) O que se pode afirmar sobre u e v, se θ = 0 E) O que se pode afirmar sobre u e v, se θ = 80 E) Calcular os ângulos entre os vetores u e v, sendo: a) u =(,) e v =(-,) b) u =(,-) e v =(,) c) u =(0,) e v =(0,) d) u =(,,4) e v =(-,,) e) u =(,-,) e v =(-,,) f) u =(0,,4) e v =(0,,) E) Sabendo que o ângulo entre os vetores u =(,,-) e v =(,-,m+) é π, calcular m 8 VETORES ORTOGONAIS Seu é ortogonal a v, o ângulo θ entre os vetores u e v é 90 o e portanto, u v = 0 u v u v = 0 E4) Dados os vetores u = (,-,) e v = (4,m,-5), calcular m para que u e v sejam ortogonais E5) O triângulo de vértices A(5,,5), B(4,,) e C(-,-,) é retângulo? E6) Determinar um vetor ortogonal ao vetor w = (,,) 9 RESPOSTAS E) 0 E) E) e 5 E4) m = - ou m = 9 E5) (0,,0) E6) (,-) E7) uv > 0 E8) uv < 0 E9) uv = 0 E0) Paralelos de mesma direção e mesmo sentido

E) Paralelos de mesma direção e sentidos contrários E) a) θ = arc cos (/5) b) 90 o c) 0 o d) 45 o e) 90 o f) 0 o E) m = -4 E4) m = - E5) SIM E6) qualquer v = (a,b,c), tal que b = a c BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL SUBESPAÇO VETORIAL GERADO E) Sejam os vetores = (,,), = (0,, ) e v = (4,,0) v a) Determine os vetores do v R que podem ser escritos como CL dos vetores v, v e v b) Determine os vetores do R que podem ser escritos como CL dos vetores v e v4 = (,,0 ) Seja A = {,v,, v n } S ={ v V / v = a v + a v + + a v, R} [, v,, vn v um conjunto de vetores de um espaço vetorial V, e seja n n a i O conjunto S, também representado por G(A) ou v ], é denominado subespaço vetorial gerado por A ou pelos vetores v, v,, vn E) Se V = R, determine o subespaço gerado por: a) v = (, ) b) v = (, ) e v = (,) c) v = (,0 ) e v = (,) d) v = (, ), v = (, ) e = (, ) e) v = (,) e = (0, ) v E) Se V = R, determine o subespaço gerado por: a) v = (,,) b) v = (,,) e = (, 6, 4) c) = (,,) e v = (,, ) v d) = (,, ), = (,, ) e v = (,, ) e) v = (,0,0), v = (0,,0) e v = (0,0,) v v f) v = (,,0), v = (0,, ), v = (,, ) e = (,0, ) RESPOSTAS E) a) v R b) v=(y,y,0), y R v 4 E) a) {(x, y) R / y = x} b) {(x, y) R / y = x} c) R d) R E) a) {(x, y, z) R / y = x e z = x} b) {(x, y, z) R / y = x e z = x} c) {(x, y, z) R / x y + z = 0} d) {(x, y, z) R / z = x} e) R f) R DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR v v R e) Sejam os vetores v, v,, de um espaço vetorial V e a equação a v + a v + + a v 0 () vn, v,, v n a a = = a n = n n = Os vetores v são ditos linearmente independentes (LI) caso a equação () admita apenas a solução trivial = 0 Se a equação () admitir soluções distintas da trivial, então os vetores v, v,, v n são ditos linearmente dependentes (LD) E) Verifique se os vetores são LI ou LD a) v = (,,) e = (, 4, 6) v b) v = (0,,), v = (,,) e v = (,,0) c) = (,,), v = (,0,) e = (0,, ) v v 4

4 PROPRIEDADES a) Um conjunto com dois ou mais vetores é LD se, e somente se, pelo menos um dos vetores é CL dos demais b) Se um dos vetores de um conjunto é o vetor nulo então este conjunto é LD 5 RESPOSTAS E) a) LD b)li c) LD 6 BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL Seja B = { v, v, } a) B é LI; b) B gera V v n um subconjunto de um espaço vetorial V B é uma base de V, se: E) Seja B o conjunto dado pelos vetores v = (,0), v = (-,0) e v = (,) Verifique se B é uma base do R a) B = { v } b) B = { v, v } c) B = { v, v, v } d) B = { v, v } E) Seja B o conjunto formado pelos vetores v = (,,0), v = (0,, ), = (,0,0) e = (,, ) Verifique se B é uma base do R a) B = { v, v } b) B = { v, v, v } c) B = { v, v, v 4 } d) B = { v, v, v, v 4 } 7 PROPRIEDADES Todo conjunto LI de vetores de um espaço vetorial é uma base do subespaço por ele gerado Se B = { v, v,, v n } é uma base de um espaço vetorial V, então todo subconjunto de V com mais de n vetores é LD Se B = { v, v,, v n } é uma base de um espaço vetorial V, qualquer vetor de V se escreve de modo único como combinação linear dos vetores de B 4 Todas as bases de um espaço vetorial V têm o mesmo número de vetores Exemplo: Qualquer base do R tem vetores e qualquer base do R tem vetores Observações: a) No sistema de eixos adotado no R, temos dois vetores padrão i = (,0) e j = (0,) y v v 4 j = (0,) 0 i = (,0) x b) No sistema de eixos adotado nor, temos três vetores padrão i = (,0,0), j = (0,,0) e k = (0,0,) z x k = (0,0,) 0 j = (0,,0) y i = (,0,0) 5

c) Os vetores i = (,0) e j = (0,) formam a denominada base canônica do R, enquanto que os vetores i = (,0,0), j = (0,,0) e k = (0,0,) formam a denominada base canônica do R Os vetores i, j e k também são representados, respectivamente, por e, e e e 8 RESPOSTAS E) a) Não b) Não c) Não d) Sim E) a) Não b) Sim c) Não d) Não TRANSFORMAÇÃO LINEAR TRANSFORMAÇÕES LINEARES Sejam V e W espaços vetoriais Uma função f de V em W é chamada transformação linear (TL), se i) f(u+v) = f(u) + f(v), u, v V ii) f(α u) = α f(u), α R e u V No caso de V = W, f é chamada operador linear sobre V E) Mostre que as transformações abaixo são lineares: a) f: R R, dada por f(x) = x b) f: R R, dada por f(x,y) = (x,0) E) Quais das seguintes transformações são lineares? a) f(x)= x + b)f(x,y) = xy c)f(x,y,z) = ( 0, 0, z ) d)f(x,y) = x+y E) Numa TL f: V W, f (u) =u e f(v)=v, calcule : a) f(u+v) b) f(u) c) f(u -v) d) f(u+5v) PROPRIEDADES a) Se f: V W é uma TL então f(0 V ) = 0 W b) Em qualquer TL, a imagem de uma combinação linear de vetores é igual a combinação linear das imagens com os mesmos coeficientes, isto é, f(a v + a v + + a n v n ) = a f(v ) + a f(v ) + + a n f(v n ) E4) Se f: R R é linear e u = (,), v = (-,), f(u) = (, -,-) e f(v) = (-,-4,-) calcule: a) f(u+v) b) f(u) c) f(,4) d) f(u-v) MATRIZ NATURAL OU MATRIZ CANÔNICA Seja a matriz A= 0 5 4 x y x =, por multiplicação, o resultado será o vetor u = Av = y x 5x 4y Se pensarmos na matriz A como um objeto que atua sobre um vetor v Logo, a matriz A define uma transformação f: R R, onde f(v) = Av ou f(x,y) = (x-y,x,5x-4y) Pode-se mostrar que essa transformação é linear n Toda matriz A mxn define uma TL f: R R, com f(v) = Av Neste caso, A é chamada matriz natural ou matriz canônica de f e A pode ser representada também por [f] As linhas de A são, respectivamente, os coeficientes das componentes da imagem de f m 6

E5) Seja a matriz A =, determine : 4 5 a) a lei da TL definida por A b) a imagem de v = (,-,), usando a matriz A c) a imagem de v = (,-,), usando a lei d) o vetor u, tal que f(u) = 0 E6) Escreva a matriz natural associada a transformação linear f (x,y) = (x+y,x-y,x-5y) E7) Escreva a matriz natural associada a transformação linear: a) f(x,y,z)=(x+y-z,0) b) f(x)=(x,0,-x) c) f(x,y)=x+y d) f(x)=x E8) Um operador linear no R é definida pela matriz [ f ] = Determine u e v, tal que : 0 a) f(u)=u b) f(v)=-v E9)Um operador linear no R é definido pela matriz A = Determine v e w tais que: 0 a) f(v) = 0 b) f(w) = (,-,-) E0)Um operador linear é definido pela matriz A = Determine v 0 e u 0 tal que: 4 a) Av = 5v b) Au = -u TL DEFINIDA PELAS IMAGENS DOS VETORES DA BASE CANÔNICA Uma TL f está perfeitamente definida quando são conhecidas as imagens dos vetores da base canônica do domínio de f e, nesse caso, as imagens dos vetores da base canônica são, respectivamente, as colunas da matriz canônica de f E) Seja f: R R a TL definida por f(,0) = (,,) e f(0,) = (-,4, -) Determine: a) f(5,4) b) f(x,y) c) f(5,4) pela lei E) Seja f: R R a TL definida por f(,0,0) = (,), f (0,,0) = (-4,) e f(0,0,) = (-,-) Encontre f(x,y,z) e [f] E) Seja f a TL definida por f(,0) = (,-,) e f(0,) = (4,0,) Encontre f(x,y) e [f] E4) Seja f a TL definida por f(,0,0) = (,0), f (0,,0) = (,-) e f(0,0,) = (4,) Encontre f(x,y,z) e [f] 4 COMPOSTA DE DUAS TL Sejam f : V W e f : W U transformações lineares A composta de f com f é a TL f of : V U definida por (f of )(v) = f (f (v)) W w=f (v)= [f ]v f f [f ] [f ] V v f of [f of ] = [f ] [f ] U u= f (w)= [f ][f ]v Importante: A matriz que representa uma seqüência de TL é o produto das matrizes das TL na ordem inversa E5) Sejam os operadores lineares definidos por f (x,y) = (x+y, y-x) e f (x,y) = (x-y, x) a) as matrizes das compostas f of e f of 7

b) as leis das compostas f of e f of E6) Sejam as TL dadas por f (x,y) = (x +y, x+y, x) e f (x,y,z) = ( x-y, y -z) Determine: a) as matrizes das compostas fof e fof b) as leis das compostas f of e f of 5 RESPOSTAS E) a) Não b) Não c) Sim d) Não E) a) u + v b) 6u c) u v d) 4u + 5v E4) a) (0,-5,-5) b) (6,-,-6) c) (4,-,-4) d) (0,0,5) E5) a) f(x,y,z) = (x + y z, 4x + 5y + z) b) (-4,) c) (-4,) d) (-7z,5z,z), z R E6) A = E7) a) A = b) A = 5 0 0 0 0 c) A = [ ] d) A =[] E8) a) (y, y), y R b) (x, 0), x R E9) a) (z, z, z), z R b) (z, z, z), z R E0) a) (x, x) x R b) NE E) a) (7, 6, -7) b) f(x,y) = (x y, x + 4y, x y) c) (7, 6, -7) 4 E) f(x,y,z) = (x 4y z,x+y z ), [ f ] = 4 4 E) f(x,y) = (x+4y,-x,x+y), [ f ] = 0 E4) f(x,y,z) = (x+y+4z, y+z), [ f ] = 0 9 7 E5) a) e 9 b) b) f(x,y) = (9x - y, x + y ) e f(x,y) = (7x + y, 9x + y) E6) a) 0 e 0 b) f(x,y,z) = (x + y - z, x z, x y ) e f(x,y) = (x + y, -x + y) 4 VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS 4 DEFINIÇÃO Seja f:v V um operador linear Um vetor não-nulo v V é chamado vetor próprio ou autovetor de f se existe λ R vetor próprio v, tal que f(v) = λ v O real λ é chamado valor próprio ou autovalor de f associado ao E) Considere a figura abaixo e identifique os vetores próprios e o s valores próprios correspondentes do operador linear f y f(v ) v f(v ) v v f(v ) 0 x 8

E) Mostre que se v é um vetor próprio de um operador linear f associado ao valor próprio λ então qualquer vetor α v, com α 0, é também vetor próprio associado ao mesmo λ E) Sejam v = (, ) e v = (, -), vetores próprios de um operador linear associados aos valores próprios λ = 4 e λ = -, respectivamente Encontre: a) f(4, 6) b) f(, -) c) f(/, ) d) f(/, -/) E4) Verifique se o vetor v é vetor próprio da matriz A e determine, se possível, o valor próprio correspondente 4 5 a) v = (5, ), A = b) v = (, ), A = 4 DETERMINAÇÃO DOS VALORES E VETORES PRÓPRIOS Seja f:v V um operador linear e [f] = A Determinação dos Valores próprios: f(v) = λ v Av = λ v Av - λ v = 0 Av - λ Iv = 0 (A - λ I)v = 0 O sistema homogêneo correspondente admitirá soluções v 0 se, e somente se, det(a - λ I) = 0 () A equação () é chamada equação característica de f e suas raízes são os valores próprios de f Determinação dos Vetores próprios: Os vetores próprios são as soluções da equação (A - λ I)v = 0 para cada valor próprio encontrado Exemplo: Encontre os valores e vetores próprios do operador linear definido por f(x,y) = (x,4x+y) Solução: Cálculo dos valores próprios : det(a - λ I) = 0 A = 4 0 λ A - λ I = 4 0 λ det(a - λ I) = λ 4 0 λ = 0 λ 4λ + = 0 λ = ou λ = Cálculo dos vetores próprios: Para λ = e v = (x,y) (A - λ I)v = 0 0 x 0 (A - λ I)v = 0 4 0 = y 0 v = (0,y), com y 0 Para λ = e v = (x,y) 0 0 x 0 (A - λ I)v = 0 4 = y 0 v = (x,x), com x 0 E5) Calcule os valores e vetores próprios : a) do operador linear definido por f(x,y) = (4x + 5y, x + y) 9

b) do operador linear definido por f(x,y) = (x + y, x + y) c) do operador linear definido por f(x,y,z) = (x, -x - y, x + y + z) 0 0 0 d) da matriz A = 0 0 9 0 4 0 E6) Sabendo que λ = é valor próprio de A = 4 calcule os vetores próprios correspondentes 4 RESPOSTAS E) v =(,), λ = e v =(4,), λ = E) a) (6,4) b) (-, ) c) (8/,4) d) ( -/, / ) E4) a) Sim λ = 6 b) Não E5) a) λ =, v = (x, x), x 0 e λ = 6 e v = (5t,t), t 0 b) λ =, = (x, x), x 0 e λ 4 e v = (t,t), t 0 v = c) λ =, = (0, z, z), z 0 e λ e = ( z, z, z), z 0 e λ, = (0,0, z),z 0 v = d) λ = 6, v = (0, t, t), t 0 e λ = 0 e v = (x,0,0), x 0 e λ = 6, v = (0,t,t), t 0 E6) v= (x,y,- x - y), com x e y não simultaneamente nulos v = v 5 BIBLIOGRAFIA ANTON, Howard, RORES, Chris Algebra Linear com aplicações 8ed Ed Bookman BOLDRINI, José Luiz; COSTA, Sueli I Rodrigues;Ribeiro,Vera Lúcia SS;Wetzler,Henry G Algebra Linear Ed Harbra, 980 KOLMAN, Bernard Introdução à Algebra Linear com aplicações 6ed Ed Prentice-Hall do Brasil, 998 LAY, David C Algebra Linear e suas aplicações Ed Livros Técnicos e Científicos S A, 999 MOREIRA, Francisco Leal Álgebra linear e geometria analítica, Material Didático, FAMAT/PUCRS, 004 STEINBRUCH, Alfredo, WINTERLE, Paulo Álgebra linear McGraw-Hill, 987 0