TEORIA DA PROBABILIDADE

TEORIA DA PROBABILIDADE Lucas Santana da Cunha lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ Universidade Estadual de Londrina 22 de maio de 2017

Introdução Conceitos probabiĺısticos são necessários para se estudar fenômenos aleatórios, isto é, situações em que os resultados possíveis são conhecidos, mas não se pode saber a priori qual deles ocorrerá. Em particular, a distribuição de frequências é um instrumento importante para avaliar a variabilidade das observações de um fenômeno aleatório. Assim, podemos criar um modelo teórico que reproduza de maneira razoável a distribuição de frequências. Tais modelos são chamados modelos probabiĺısticos.

É um processo de coleta de dados relativo a um fenômeno que acusa variabilidade em seus resultados, mesmo que as condições iniciais sejam sempre as mesmas.

É um processo de coleta de dados relativo a um fenômeno que acusa variabilidade em seus resultados, mesmo que as condições iniciais sejam sempre as mesmas. Exemplo 1 a) o lançamento de uma moeda; b) lançar três moedas justas e observar as faces voltadas pra cima; c) lançar um dado e observar a face voltada para cima; d) resultado de um exame de gravidez; e) resultado da eleição de certo candidato.

Introdução Quando se tem um experimento aleatório, não se pode prever com certeza o resultado. Pode-se, no entanto, descrever todos os possíveis resultados deste experimento. O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é chamado de espaço amostral. Vamos representá-lo por Ω.

Exemplo 2 a) o lançamento de uma moeda: Ω = {C, K}, em que C = cara e K = coroa.

Exemplo 2 a) o lançamento de uma moeda: Ω = {C, K}, em que C = cara e K = coroa. b) lançar três moedas justas e observar as faces voltadas pra cima; Ω = {CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KKC, KCK, KKK}.

Exemplo 2 a) o lançamento de uma moeda: Ω = {C, K}, em que C = cara e K = coroa. b) lançar três moedas justas e observar as faces voltadas pra cima; Ω = {CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KKC, KCK, KKK}. c) lançar um dado e observar a face voltada para cima; Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Exemplo 2 a) o lançamento de uma moeda: Ω = {C, K}, em que C = cara e K = coroa. b) lançar três moedas justas e observar as faces voltadas pra cima; Ω = {CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KKC, KCK, KKK}. c) lançar um dado e observar a face voltada para cima; Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. d) resultado de um exame de gravidez; Ω = {Positivo, Negativo}.

Exemplo 2 a) o lançamento de uma moeda: Ω = {C, K}, em que C = cara e K = coroa. b) lançar três moedas justas e observar as faces voltadas pra cima; Ω = {CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KKC, KCK, KKK}. c) lançar um dado e observar a face voltada para cima; Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. d) resultado de um exame de gravidez; Ω = {Positivo, Negativo}. e) resultado da eleição de certo candidato. Ω = {Elegeu, Não elegeu}.

Introdução É qualquer subconjunto do espaço amostral. Os eventos são geralmente representados por letras maiúsculas, como A, B, C,.... Dentre os eventos a considerar, deve-se incluir o próprio espaço amostral, Ω, que denominamos evento certo e o conjunto vazio,, que denominamos evento impossível.

Exemplo 3 a) No lançamento de um dado, considere os seguintes eventos: A: ser sorteado o número 2; B: ser sorteado um número par; C: ser sorteado número primo.

Exemplo 3 a) No lançamento de um dado, considere os seguintes eventos: A: ser sorteado o número 2; B: ser sorteado um número par; C: ser sorteado número primo. b) Suponha que em um lote de 12 peças, 4 sejam defeituosas. Duas peças são retiradas aleatoriamente sem reposição. Assim, o espaço amostral é Ω = {DD, D D, DD, D D}, em que D é peça defeituosa e D é peça não defeituosa. Considere os seguintes eventos: A: ambas sejam defeituosas; B: pelo menos uma seja defeituosa; C: ambas sejam perfeitas.

Operações com s Em muitos problemas de probabilidade interessam-nos eventos que podem ser expressos em termos de dois ou mais eventos, formando uniões, interseções e complementos. Os espaços amostrais e os eventos, especialmente as relações entre os eventos, costumam ser ilustrados por diagramas de Venn.

União de eventos: O evento união de A e B equivale à ocorrência de A, ou de B, ou ambos. Contém os elementos do espaço amostral que estão em pelo menos um dos dois conjuntos. Diz-se ocorre A ou B. Notação: A B Figura 1: Diagrama de Venn

Intersecção de eventos: A intersecção de dois eventos A e B é o evento que consiste de todos os elementos contidos simultaneamente em A e em B. Contém todos os pontos comuns a A e B. Notação: A B Figura 2: Diagrama de Venn

Sub-Conjuntos: Diz-se: B é sub-conjunto de A ou B implica em A. Notação: B A Figura 3: Diagrama de Venn { B A = A, B A = B.

s Disjuntos: Dois eventos A e B, dizem-se disjuntos ou mutuamente exclusivos, quando a ocorrência de um deles impossibilita a ocorrência do outro. Os dois eventos não têm elementos em comum. Notação: A B = Figura 4: Diagrama de Venn

Complemento: É o evento que consiste de todos os elementos do espaço amostral que não estão contidos em A, ou seja, é a negação de A. Notação: A c Figura 5: Diagrama de Venn { A c A = Ω, A c A =.

Exemplo 4 Em um lançamento de um dado, considere os seguintes eventos: A: sair uma face par; B: sair uma face maior que 3; C: sair a face 1. Calcule: a) sair uma face par e maior que 3. b) sair uma face par e face 1. c) sair uma face par ou maior que 3. d) sair uma face par ou face 1. e) não sair face par;

Definição clássica Introdução Definição clássica Definição frequentista O conceito clássico ou a priori surgiu no século XVII a partir dos jogos de azar e define a probabilidade de o evento A ocorrer como sendo: P(A) = número de resultados favoráveis a A número de resultados possíveis = n(a) n(ω) Esse conceito aplica-se somente quando todos os resultados possíveis são igualmente prováveis.

Definição clássica Definição frequentista Exemplo 5 No lançamento de um dado honesto, qual é a probabilidade de o resultado ser um número: a) ímpar? b) Menor que 3? c) primo? d) Maior que 6? e) entre 1 e 6?

Definição clássica Definição frequentista Mas como podemos calcular as probabilidades a priori nas seguintes situações: Uma pessoa que fuma um pacote de cigarros por dia desenvolver câncer; Ocorrer uma geada no próximo inverno; Sair cara em uma moeda desonesta; As vendas decrescerem se aumentarmos os preços; Um novo método de montagem aumentar a produtividade. É importante notar que a definição clássica exige que os resultados tenham todos a mesma chance. Se os resultados não têm a mesma chance, deve-se apelar para a estimativa pela frequência relativa.

Definição frequentista Definição clássica Definição frequentista Suponhamos que realizamos um experimento n vezes (n grande) e destas o evento A ocorre exatamente n A < n vezes, então a frequência relativa de vezes que ocorreu o evento A, n A /n, é a estimação da probabilidade que ocorra o evento A, ou seja, P(A) = f A = n A n Essa estimação da probabilidade por frequência relativa de um evento A, é próxima da verdadeira probabilidade do evento A, quando n tende ao infinito.

Definição clássica Definição frequentista Exemplo 6 a) Considere o lançamento de uma moeda desonesta. Calcular a probabilidade de A = {resultado obtido é cara}. b) Considere o lançamento de uma moeda honesta. Calcular a probabilidade de A = {resultado obtido é coroa}.

Definição clássica Definição frequentista Exercício 1 Um casal pretende ter filhos. Admitindo probabilidades iguais para ambos os sexos, qual a probabilidade de que venha a ter três filhos do mesmo sexo? Exercício 2 Suponha que em um lote de 12 peças, 4 sejam defeituosas. Duas peças são retiradas aleatoriamente sem reposição. Calcule a probabilidade de: a) ambas sejam defeituosas; b) ambas sejam perfeitas; c) pelo menos uma seja defeituosa.

Definição clássica Definição frequentista Exercício 3 Os registros indicam que 34 de de 956 pessoas que recentemente visitaram África Central contraíram malária. Qual a probabilidade de que uma pessoa que recentemente visitou a África Central não tenha contraído malária?