Aula 4 Números Complexos - Forma

Aula 4 Números Complexos - Forma algébrica MÓDULO - AULA 4 Autores: Celso Costa e Roberto Geraldo Tavares Arnaut Objetivos 1) Entender o contexto que originou o aparecimento dos números complexos. ) Compreender os números complexos como um conjunto que estende o conjunto dos números reais, guardando as propriedades algébricas fundamentais. ) Dominar as operações fundamentais com números complexos. Introdução Os números complexos, como um conjunto mais abrangente que o conjunto dos números reais R, historicamente, surge da necessidade de dar sentido a soluções de equações polinomiais. Vamos olhar isto mais de perto. Considere no conjunto dos números reais R as equações polinomiais x 0 e x x +0. Temos métodos para resolver. Para encontrar a solução da primeira fazemos x 0 x x. Para solucionar em R a segunda equação, usamos o método de completar o quadrado, ( ) ( ) x x + x x + + ( ) x x + 1 ( 4 x ) 1 4. Portanto, resolver a equação é equivalente a encontrar os valores x em R tais que ( x ) 1 ( 4 0 x ) 1 4 x 1 ± 4. E as duas soluções possíveis são: x 1 + 1 e x 1 1. 4 CEDERJ

De modo geral, se ax + b 0éumaequação polinomial de grau 1, com a 0,então x b a éasolução. Por outro lado, se ax + bx + c, éumaequação polinomial de grau dois, com a 0, conhecemos que o método de completar quadrado, fornece as soluções x b ±, (4.1) a onde b 4ac. Nesta situação se 0aequação possui soluções reais. Se < 0, a equação não tem solução real. O caso de < 0 representa um obstáculo à solução. Para ilustrar, considere a equação Ora, a equação éequivalentea x +x +0. (x +1) +10. (4.) Como (x +1) 0, qualquer que seja o número real x, a igualdade (4.) éimpossível. Portanto a equação não tem solução em R. Por outro lado, a fórmula (4.1) fornece x ± 4. (4.) Enão temos como dar sentido em R ao segundo membro da igualdade (4.). No entanto, desde a antigüidade existe um esforço de interpretação das soluções fornecidas em (4.), denominando-as soluções imaginárias. O que temos visto até aqui? Emsíntese, para equações polinomiais de graus um e dois, existem fórmulas envolvendo no máximo radicais que fornecem as soluções reais destas equações. Agora uma pergunta que sobreviveu a quase dois mil anos até sersolucionada: existe uma fórmula envolvendo no máximo radicais que forneça as soluções reais de uma equação polinomial de grau? Vamos ver alguns detalhes deste problema. Note que a equação de grau em discussão tem a forma geral: ay + by + cy + d 0, onde a, b, c, d são números reais e a 0. Veja que dividindo tudo por a, aequação éequivalentea y + b a y + c a y + d a 0. CEDERJ 44

MÓDULO - AULA 4 Logo é necessário resolver uma equação do tipo y + by + cy + d. No entanto, se fizermos uma mudança de variável y x b, aequação que precisamos resolver se torna, ( x b ) ( + b x b ) ( + c x b ) + d 0. Ou, desenvolvendo, x + ( ) ( b b + c x + 7 bc ) + d 0. Então a equação polinomial de grau mais geral, pode ser colocada na forma x + px + q 0. (4.4) Em 1545 o médico e matemático italiano Cardano, publica em seu livro Ars Magna, a fórmula resolutiva da equação cúbica q x + q D + D, D Em 157, Bombelli, apresentou a equação ( ) q + ( ) p. (4.5) x 15x 40, (4.6) queseresolvidapelafórmula de Cardano apresenta aspectos muito interessantes. Antes de tudo, nossa experiência do ensino médio, nos leva a procuras entre os divisores do termo independente 4, soluções inteirasdaequação. Os divisores de 4 são ±4, ±, ±1. Uma verificação direta mostra que x 4é solução de (4.6). por No entanto a fórmula de Cardano, mostra que as soluções são expressas x + 11 + 11. Daí, a Bombelli, surge a importante questão: se 4 ésolução, como dar sentido a 11, de modo que 4 + 11 + 11? (4.7) 45 CEDERJ

Bombelli observou que escrevendo 11 11 1, usando as propriedades usuais dos números reais com a convenção que ( 1 ) 1, poderia obter a expressão (4.7) como 4+ 1+ 1. Para se convencer do resultado acima façamos uma atividade, Atividade 4.1 a) Vamos calcular ( + 1 ) e ( 1 ). ( ) + 1 ( )( ) + 1 + 1 ( + 1 )[ 4+4 1+ ( 1 ) ] ( + 1 )( 4+4 1 1 ) ( + 1 )( +4 1 ) 6+8 1+ 1 4+11 1 b) Imite o que foi feito acima para encontrar ( 1 ) 11 1 c) Com estes resultados dê um sentido à fórmula (4.7). Em 1777, Leonhard Euler representaria o símbolo 1pori. Assim, i ( 1 ), i i.i i, i 4 i.i ( 1).( 1) 1. Então as contas que fizemos na atividade 1, poderiam ser simplificadas: Por exemplo ( + i) +..i +..i + i 8+1i 6 i +11i. Números Complexos Como vemos, os números reais, mostravam-se insuficientes para expressar as soluções de equações polinomiais de grau. Era preciso dar sentido a expressões onde apareciam 1, por exemplo. O conjunto dos números complexos C surge como um conjunto que contém os números reais R. Umnúmero complexo z arbitrário se expressa como z a + bi, onde a e b são números reais. Isto é a unidade imaginária, i 1ebi éa multiplicação do número real b por i. CEDERJ 46

MÓDULO - AULA 4 Na forma geral z a + bi de um número complexo, se: a) b 0,então z a éumnúmero real. Assim, o conjunto dos números reais é um subconjunto de C. Istoé, R C. b) a 0eb 0,então z bi éditoumnúmero complexo puro. c) Dadosdoisnúmeros complexos z a + bi e w c + di então z w a c e d b. d) os números reais a e b são ditos, respectivamente, a parte real e a parte imaginária do número complexo z a + bi. Usamos a notação Re(z) a e Im(z) b. Para dar uma estrutura algébrica a C é preciso saber calcular a soma e o produto de números complexos. Por definição, se a+bi e c+di são números complexos, então (a + bi)(c + di) ac bd +(bc + ad)i e (a + bi)+(c + di) a + c +(b + d)i. Com esta definição o conjunto dos números complexos. C {a + bi; a, b R}, possui as propriedades fundamentais herdadas de R. vale: Se z a + bi, w c + di e u e + fi são números complexos, então a) comutatividade, z + w w + z e z.w w.z b) associatividade (z + w)+u z +(w + u) e (z.w)u z(w.u). c) Existência de um único elemento neutro para a adição edeumúnico elemento unidade. O elemento nulo éo0 0 + 0.i e a unidade é 11+0.i. Então: z.i z e z +0z, z. 47 CEDERJ

d) Se z a + bi é diferente de zero, então z possui inverso z 1, z 1 Note que z.z 1 z 1.z 1. a a + b b a + b i. e) Se z e w são números complexos e w 0,então z w z.w 1 z.w 1 z.w 1, w.w 1 1 define a divisão de números complexos. Em torno de 1800, Gauss (1777-1855), teve a idéia genial de dar um significado geométrico ao número complexo z a+ bi, associando um par ordenado (a, b) e representando o número complexo z comoumpontodoplano. Assim, com o plano munido com eixos coordenados teríamos a representação geométrica de z. VejaaFigura 4.1. Im b z a Re Figura 4.1 Módulo de um número complexo Omódulodonúmero complexo z a+bi éonúmero positivo a + b. Usamos para o módulo a notação z a + b. Note, a partir da Figura 4.1, que z representa a distância de z atéaorigem. Exemplo 4.1 a) (1 i)+( 4+i) (1 4) + ( +)i i; b) ( i) (5 i) ( 5) + ( +)i +i; c) ( i)( +i) ( ) + ( i)( ) + (i) +( i)(i) 6 +i + 6i i 4+8i. Número complexo conjugado Dadoonúmero complexo z a + bi, onúmero complexo conjugado de z é a bi é denotado por z CEDERJ 48

MÓDULO - AULA 4 Exemplo 4. (a) z i z +i (b) z 4i z 4i (c) z 5 z 5 Propriedades do conjugado Aoperação de conjugação de um número complexo, possui as propriedades seguintes (1) z z, o conjugado do conjugado do número éoprórpio número; () z z z R, seumnúmero e seu conjugado coincidem o número é real; () z + z Re(z); (4) z z iim(z); (5) z 1 + z z 1 + z ; (6) z 1 z z 1 z ; (7) z 1.z z 1.z ; ( ) z1 (8) z 1,z 0; z z (9) (z) n (z n ), n N; (10) z.z z. Exemplo 4. Divisão de complexos Para efetuar a divisão basta multiplicar o número complexo do denominador pelo seu conjugado. Se c + di 0,então, a + bi c + di (a + bi) di).(c (c + di) (c di) ac adi + bci bdi c d i ac + bd + bc +(bc ad)i c + d ac + bd (bc ad)i +. c + d c + d 49 CEDERJ

Exemplo 4.4 4+5i (4 + 5i) + i).( i ( i) ( + i) 1 + 15i +8i 10i + i 9 4i 9+4 Atividade 4.: Observe a seqüência de potências de i: i 0 1,i 1 i, i 1, i i, i 4 1, i 5 i 4.i i, i 6 i 4.i i 1, i 7 i 4.i i i, i 8 i 4.i 4 1, etc. 1 + 1 i. Observe que as potências de expoentes naturais de i se repetem de quatro em quatro. Logo para calcularmos o resultado de uma potência inteira de i, basta elevarmos i ao resto da divisão desta potência por 4. Calcule (a) i 458,(b)i 8 e(c)i 1001. Exercícios resolvidos 1. Determine o inverso do complexo i. 1 i 1 i. i i i i.. Determine a R de modo que o número complexo z i 1+ai seja real. ( i) (1 ai). (1 + ai) (1 ai) i ai + ai a ( 1 a) + i. 1 a i 1+a 1+a Para que z seja real devemos ter ( 1 a) 0. Istoé, a 1. CEDERJ 50. Determine o valor da expressão i 1 + i + i + i 4. Como i 4 1 e usando as técnicas da atividade, dividimos todos os expoentes por 4 e ficamos apenas com os restos. Então, i 1 + i + i + i 4 i + i 0 + i 1 + i i +1+i 10 4. Determine x, x R, demodoquez xi seja imaginário puro. 1+xi ( xi) (1 xi) z. (1 + xi) (1 xi) 4xi xi +x i x 1 4x i 1+4x 5x 1+4x i. Para que z seja imaginário puro devemos ter Re(z) 0eIm(z) 0. Logo, x 1+4x 0 e 5x 1+4x 0, o que implica x 0. Istoé, x ± 1é a nossa resposta.

MÓDULO - AULA 4 5. Determine o complexo z tal que z 1+0i. Seja z a + bi com a R e b R. Então z 1+0iimplica a b +abi 1+0i. Destaúltima equação resulta que a b 1 e a.b 0. Da segunda equação encontramos a 10. Este valor substituído na b primeira equaçãoo resulta ( ) 10 b 1 b 4 +1b 100 0. b Resolvendo, obtemos b 1 ± 441 + 400. Istoimplicaqueb 1 + 9 4 ou b 1 9 5 (não serve!). Logo b ± o que implica a 10 ± ±5. Daí temosdoisnúmeros complexos tal que z 1 + 0i que são z 1 5+i e z 5 i. 6. Provar que se z e w são dois números complexos então z + w z + w. Sejam z a 1 + b 1 i e z a + b i.então z + w (a 1 + a )+(b 1 + b )i z + w (a 1 + a ) (b 1 + b )i z + w (a 1 b 1 i)+(a b i) z + w. Daí z + w z + w. 7. Dê ovalorde 1 i 1 i 1 i. 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i i. i i 1 i i i 1 i + i i 51 CEDERJ

8. Determine z tal que z z. Seja z a + bi. Então { (a + bi) a bi a +abi b a bi. Daí a b a tem-se o sistema ab b Se b 0então a a, istoé, a a 0 o que implica a 0oua 1. Logo os dois números z 1 0ez 1são soluções. Se b 0então a 1 0 que implica a 1. Substituindo este valor de a em a b a temos que b ±. Tem-se mais dois números complexos z e z 4 asaber: z 1 + i e z 4 1 i. 9. Dê o conjugado do número complexo 1+i i. (1 + i) ( i). ( + 1) ( + i) +6i + i +i + 7 4 i 5 5 i 1 5 + 7 5 i. O conjugado de 1 5 + 7 5 i é 1 5 7 5 i. 10. Qual a condição para que o produto de dois números complexos a + bi e c + di dê umnúmero real? (a + bi)(c + di) ac + bci + adi + bdi (ac bd)+(bc + ad)i. Logoacondição para que o produto seja um número real équebc+ad 0. Exercícios propostos 1. Verficar se as afirmações são verdadeiras ou falsas justificando. (a) z i é o elemento neutro da multiplicação de números complexos. (b) Se z x + yi então x 1ey. (c) Se x+i1-yi então x 1ey. (d) Se z z então z énúmero real. CEDERJ 5

MÓDULO - AULA 4. Efetue ( i). +i. Efetue (1 + i) 1 (1 + i )(1 + i). 4. Determine uv se u 4+i e v 6 i. 5. Determine o conjugado do número complexo 6i +. 6. Se f(z) z z + 1 determine f(1 i). 7. Considere os complexos z 1 4 i, z +i e z 7i. Determine: (a) z 1 + z (b) z 1 + z (c) z z 1 (d) z z 1 8. Se z 1 i e z 5+i calcule: (a) z 1.z (b) z 1.z (c) z 1 z 9. Resolva as equações: (a) x +50 (b) x 6x +150 (c) x 4 49 0 (d) x x +0 10. Determine todos os números reais x e y tais que (x +6) (y 16)i seja: (a) Um número real (b) Um imaginário puro 11. Determine os números reais a e b tais que z ai b +4i 6 seja real. 5 CEDERJ

1. Determine os números reais a e b de modo que seja verficada a igualdade (4ai ) + (b 5i) 8 1. 1. Determine a equação do o grau cujas raízes são 5 + i e5 i. 14. Determine x R e y R de modo que (x y)+6i +(x +y)i. 15. Resolver as equações onde z C. (a) z 4z + i (b) 5z z 7i 16. Calcule o valor de cada uma das expressões: (a) ( + i)(1 i)+i 48 i 507 (b) ( + i)( i)+i 7 i 48 17. Calcule o valor de m sabendo que m i.i.i 5.i 7...i 59. 18. Seja 1 i a + bi. Obtenha a R e b R. +i { (1 i)z 1 + z i 19. Resolva o sistema z 1 +(1+i)z 0 onde z 1 e z são números complexos de partes reais iguais. 0. Seja o número complexo z tal que zi i z. Obtenha o conjugado de z. CEDERJ 54