TABELA PRICE NÃO EXISTE * Ro, Novembro / 203 * Matéra elaborada por Pedro Schubert. Admstrador, Sóco Fudador da BMA Iformátca & Assessorameto Empresaral Ltda.
TABELA PRICE NÃO EXISTE ÍNDICE Pága - SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO... 4 2- Cálculo do Valor do Juro (Juro Composto e Aatocsmo)... 5 2.- Itrodução... 5 Prazo Facero... 5 2.2- Juro Smples... 5 2.2.- Cálculo do Valor do Juro, a períodos meores do que 2 meses, é acrescdo ao valor do empréstmo... 5 2.2.2- Aatocsmo... 6 2.3- Juro Composto.... 6 Defção Ical... 6 2.4- Mercado Facero o Brasl... 7 Trasformação a Partr de 970..... 7 Coceto de Taxa Equvalete... 7 2.5- Taxa Proporcoal e Taxa Equvalete...... 8 2.5.- Defção da taxa de juro o Cotrato...... 9 2.6- Taxa Nomal e Taxa Efetva... 0 2.7- Solução Materal para o Aatocsmo... Regme de Juro Composto com o Coceto de Taxa Equvalete... Exemplos...... 2 Ocorre o aatocsmo mas ão favorece ao doo do captal... 2 Para Períodos Cotratuas maores de 2 meses ( ao)..... 2 2.8- Descoto... 3 2.8.- Descoto Smples... 3 Descoto Comercal... 3 Descoto Bacáro... 3 Valor Atual Comercal... 4 2.8.2- Descoto Composto... 4 Defção... 4 Cálculo do Descoto Composto... 5 Cálculo do Valor Atual Composto... 5 Exemplo... 6 Comparação etre os custos faceros do descoto bacáro e o descoto composto.... 6 Exemplo do Descoto Composto... 7 2.9- Modaldades de Pagametos ( Amortzações)... 8 o Método Hamburguês... 9 o Sstema Fracês de Amortzação... 9 2.0- O que é o Sstema Fracês de Amortzação... 20 2.- Plao de Amortzação pelo Sstema Fracês de Amortzação... 0 2..- Exemplos... 22 Quadro Pela Taxa Proporcoal... 22 Quadro 2 Pela Taxa Equvalete... 23 2
3- OBJETIVOS DOS ESTUDOS DO SR. RICHARD PRICE... 24 4- O Terrorsmo sobre o Juro Composto... 25 5- Do lvro PERICIAS JUDICIAIS do Autor Pedro Schubert..... 26 O autor glês Rchard Prce publcou em 77, trabalhos para ateder a dos fatos da época I. a Valor Futuro de uma Sére Uforme... 26 I. b Valor presete de Uma Audade de Uma Sére Uforme... 28 II. Juro Composto... 29 Resumo... 30 Tábuas do Sr. Prce x Tábuas Atuas Pagameto Smples Juro Composto Sére Uforme de Pagametos Método do Custo Atual Uforme Tábuas Faceras ão Estudadas pelo Sr. Rchard Prce... 3 Fator de Fudo de Amortzação Fudo de Recuperação de Captal Quadro A... 33 Quadro B... 34 6- A TABELA PRICE E OS CONTRATOS DE FINANCIAMENTOS DO SISTEMA FINANCEIRO DA HABITAÇÃO SFH..... 35 Do lvro PERICIAS JUDICIAIS Captulo II Partes 4 a 7 do Autor Pedro Schubert 7- TABELA PRICE Wkpéda, a Ecclopéda Lvre... 36 Texto baxado da Iteret Para o letor realzar uma aálse comparada etre os tes de a 6 e este tem 7 3
- SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO () (2) Neste texto temos : Cálculo do valor do juro (aatocsmo) Juro Composto Descoto Composto e Descoto Bacáro Sstema Fracês de Amortzação Empréstmos e Redas Importate : Deve fxar que : O Sstema Fracês de Amortzação ão tem : Juro Composto O aatocsmo probdo pela SÚMULA 2 do STF E QUE NOS CONTRATOS ASSINADOS ENTRE AS PARTES SEJA EXPRESSO QUE a taxa aual de juro do cotrato é a TAXA EFETIVA e, por cosequêca, a taxa mesal será a TAXA EQUIVALENTE. Pedro Schubert CRA-RJ 3362-0 pedro.bmaformatca@gmal.com www.bmaformatca.com.br www.percajudcal,adm.br Tel (0xx2) 225 50 () Este Plao de Amortzação fucoa com fudameto o Descoto Composto e ão com fudameto o Juro Composto. Ref. Matemátca Comercal e Facera Thales Mello Carvalho FENAME - 975 (2) O Autor, ctado a Ref., afrma que o Sstema Fracês de Amortzação é vulgar e erroeamete deomado TABELA PRICE 4
2- Cálculo do Valor do Juro (Juro Composto e Aatocsmo) 2.- Itrodução Prazo Facero Por coveção o prazo facero para o cálculo do valor do juro é de (um) ao. Esta coveção permte calcular e comparar o custo facero etre cotratos. Assm, a prátca do cálculo do valor do juro é de ao a ao, quado o seu valor era pago ou acrescdo ao saldo devedor (acrescdo ao valor do empréstmo de ao a ao). 2.2- Juro Smples Este é o modo de calcular o valor do juro pelo regme de juro smples, cuja fórmula é : c.. t ao ou taxa aual de juro expressa em decmal c.. t 00 dvde por 00 quado a taxa aual de juro estver expressa em úmero tero No ao segute será feto o cálculo do valor do juro sobre o valor do empréstmo, mas o valor do juro do ao ateror. Há a captalzação do juro de ao a ao e é legal e é aceto como ormal. Esta fgura do aatocsmo ão é questoada. 2.2.- Cálculo do Valor do Juro, a períodos meores do que 2 meses, é acrescdo ao valor do empréstmo A dâmca do mercado levou a realzar empréstmos a períodos meores de 2 meses, mês a mês por exemplo e a fórmula para o cálculo do valor do juro smples ajustou-se para : c.. t 2 00 taxa aual de juro expressa em úmero tero o tempo está expresso em meses dvde por 00 quado a taxa aual de juro estver expressa em úmero tero dvde por 2 quado a taxa de juro estver expressa em ao e o tempo t estver expresso em meses e o modo de calcular cotua pelo regme de juros smples e com o coceto de taxa proporcoal, taxa mesal (taxa aual 2), podedo ser trmestral (taxa aual 4), etc. Esta dâmca do mercado também levou a realzar empréstmos a períodos dferetes de mês, com o prazo em das e ovamete a fórmula para o cálculo do valor do juro, pelo regme de juro smples ajustou-se para : c.. t 360 x 00 taxa aual de juro expressa em úmero tero o tempo está expresso em das dvde por 00 quado a taxa de juro estver expressa em úmero tero dvde por 360 quado a taxa de juro estver expressa em ao e o tempo t estver expresso em das 5
Com este procedmeto o valor do juro é pago ou acrescdo ao saldo devedor (acrescdo ao valor do empréstmo), de da a da, de mês a mês, de ao a ao e, sobre o valor do juro o da segute do mês segute, aualmete cde o cálculo do valor do juro. Aparece a fgura do juro sobre juro deomado de aatocsmo captalzação de juro sobre o juro, a períodos meores de 2 meses. Houve a reação e este aatocsmo é probdo por le. O aatocsmo favorece ao doo do dhero. 2.2.2- Aatocsmo 2.3- Juro Composto 3 O aatocsmo é erete a quasquer operações faceras. É como o ascer e o pôr do sol; ele exste depedete da votade das pessoas e das les. A le proíbe (e a SÚMULA 2 do STF cosolda) o acréscmo do valor do juro ao saldo devedor (ao empréstmo / facameto) a períodos meores de 2 meses. Aqu o Brasl, o aatocsmo está probdo desde 25.06.850 Códgo Comercal Artgo 253. E o Decreto 22.626 de 07.04.933, cohecdo como Le da Usura, o seu artgo 4º, repetu o Códgo Comercal quado dz : É probdo cotar juros dos juros;... Cometáro : Não pode acrescetar ao saldo do empréstmo o valor do juro do da, do mês vecdo, por que, o da, o mês segute, será calculado o valor do juro sobre o valor do empréstmo, acrescdo do juro dos das, de meses aterores. Importate : Se a cotabldade regstrar os valores dos juros em cota dstta da cota do saldo devedor do empréstmo (e ão calcular também o juro sobre o saldo da cota de juros) ão haverá juros dos juros. A razão desta probção é que a acumulação de juros vecdos aos saldos líqudos, de mês a mês, rá gerar, o fal de 2 meses, um valor maor de juros, a favor do doo do captal. Este é o aatocsmo probdo, clusve, com o reforço da SÚMULA 2 do STF, de 963 que dz : É vedada a captalzação de juros, ada que expressamete covecoada. e cotuado o texto do artgo 4º : Defção Ical... ; esta probção ão compreede a acumulação de juros vecdos aos saldos líqudos em cota correte, de ao a ao. Dz-se que um captal está colocado a juros compostos ou o regme de captalzação composta se, o fm de cada período facero (este período facero é de ao), prevamete estpulado, o juro produzdo é adcoado ao captal e passa a reder juro. 3 Ver Matemátca Comercal e Facera Thales Mello Carvalho FENAME 975 3ª Edção de ode fo retrado o extrato a segur, com adaptações. 6
Seja etão, C um captal, colocado a juros compostos, a taxa utára relatvo a um certo período. Sedo C. o juro produzdo por C, o fal do prmero período. O motate do fm desse período será : C = C + C. = C ( + ) Mostra que se obtém o motate C, o fm do período facero, multplcado-se o captal C o íco deste período, pelo fator de captalzação ( + ) O Motate o fm de um período tora-se o captal a ser aplcado, o período medato Etão, o fm do período C 2 temos : temos : No termo teremos : 2.4- Mercado Facero o Brasl C 2 = C ( + ) Substtudo C por seu valor C ( + ) C 2 = C ( + ) ( + ) ou C ( + ) 2 C = C ( + ) Trasformação a Partr de 970 Houve grade trasformação a partr da Le da Reforma Bacára Le 4.595 de 3.2.964 ; e da Le de Mercado de Captas Le 4.728 de Novembro / 965. O mercado facero moderzou-se e juto, a matemátca facera passou a ser usada tesamete, com as aálses de retabldade de projetos e especalmete, as prátcas do mercado facero, a partr de 970, com as operações do mercado aberto, com destaque para as operações de overght (aplcações de sobras de caxa das empresas e das pessoas por períodos de a das), ode os bacos, lastreados com títulos adqurdos do Govero (destaque para as Obrgações Reajustáves do Tesouro Nacoal ORTN), facavam o Govero, adqurdo estes títulos com correção moetára + juros e alugavam os recursos de seus corretstas, deomados de doadores, de suas sobras de caxa, por, 2, das. Os corretstas passaram a ter uma receta facera até etão exstete e, a maora das vezes, pelas suas hpossufcêcas téccas (ão cohecam a operação), fcavam felzes por esta receta extra e ão questoavam a taxa de juro da aplcação. Coceto de Taxa Equvalete Os bacos para estas operações calculavam estas taxas de juros por a das, pelo regme de juro composto e com o coceto da taxa equvalete, para ão ter erros a determação do cálculo de seus lucros pos, a taxa de retabldade de um da, por ser míma, tem aproxmação acma de 5 casas decmas. E como é aalsado aqu, a taxa equvalete é eutra e o baco ão ra alugar o dhero de seus corretstas pelo regme de juro smples com o coceto de taxa proporcoal que favorece ao doo do dhero. Veja a dfereça da taxa de juro de 2% a.a. etre o regme de juro smples e o regme de juro composto, para um da : 7
- pelo regme de juro smples : 0,000333333% a.d. - pelo regme de juro composto : 0,0003485% a.d. O que muto cotrbuu para este aperfeçoameto fo o aparecmeto das máquas calculadoras faceras que, em questão de segudos, determa a taxa de juro a ser paga ao doador pelo regme de juro composto, com o coceto de taxa equvalete, para a captação dos seus recursos a cada operação de overght. 2.5- Taxa Proporcoal e Taxa Equvalete 4 Já vmos que, se é a taxa relatva a um período t, a taxa proporcoal a e t relatva ao período é (m) = m m Seja t (m) uma taxa relatva ao período e tal que, todo captal, colocado a juros m t compostos a taxa (m), captalzados o fm de cada período, produza, o fm do m período t, o mesmo motate que produzra se estvesse colocado a juros compostos à taxa, captalzados o fm do período t. A matemátca facera explca sto provado a gualdade : ( + ( m ) ) m =,2 Esta comparação (ou gualdade) é verdadera : Nesta hpótese sedo C um captal qualquer temos : C [ + ( m ) ] m = C ( + ) (cacelado C os dos termos) ou [ + ( m ) ] m = ( + ) ( ) m ( m ) = ( + ) m - ( taxa equvalete a períodos meores ) ( 2 ) = ( + 0,2 ) 2 - taxa de juro aual real taxa de juro a períodos meores de 2 meses Dz etão que as taxas e ( m ) são equvaletes. Para períodos meores : (sedo ( m ) = dáro, mesal, bmestral, trmestral, aual) A gualdade ( ) acma, utlzado a radcação pode ser escrta : Exemplo : + ( m ) = ( + ) ou, ( 2 ) =,009488793 - A taxa equvalete mesal é : ( 2 ) = 0,009488793 ou 0,9488793 % a.m. Esta fórmula dá a taxa equvalete a período os meores de 2 meses. 4 Ver o Lvro Períca Judcal Capítulo I Partes - Juro Composto e 2- Aatocsmo Autor: Pedro Schubert 8
Para períodos maores : Retorado a fórmula ( ) e vertedo os termos : + = [ + ( m ) ] m ou = [ + ( m ) ] m - (taxa equvalete a períodos maores) Esta fórmula dá a taxa equvalete a períodos maores. Exemplo : Tedo a taxa ( m ) de,00% a.m., pelos mesmos processos ctados, para períodos maores, este caso 2 meses, será ecotrada a taxa de 2,6825 % a.a. = ( + 0,0 ) 2 - =,26825 - ou 2,6825 % a.a. 2.5.- Defção da taxa de juro aual o Cotrato Fato mportate que deve ser destacado os cotratos de empréstmo / facameto é a defção da taxa aual de juro do cotrato, se é : taxa efetva ou taxa omal Sedo defdo a taxa efetva aual ou real (de 2,00% a.a. ou qualquer outra) a taxa equvalete mesal será calculada pela fórmula : m ( m ) = ( + ) - ( 2 ) = ( + 0,2) 2 - = 0,9488793% a.m. m = ( + m ) - sedo = taxa aual efetva de 2,00 % ( m ) = a taxa equvalete mesal Sedo defdo a taxa omal aual (de 2,00% a.a. ou qualquer outra) a taxa efetva aual será calculada pela fórmula : 2 = ( + 0,0 ) - = 2,6825 sedo = taxa efetva aual de 2,6825 % a.a = a taxa omal mesal m = o caso 2 vezes Neste caso a taxa mesal será a taxa proporcoal de,00% a. m. ( 2,00% 2 ). O facado fca prejudcado este caso. m 9
Como está demostrado em outra parte, o Sstema Fracês de Amortzação (vulgar e erroeamete deomado Tabela Prce) ão tem aatocsmo e tão pouco, juro composto mas, o cotrato, deve ser defda que a taxa aual é a efetva. Acolhmeto de Processos pela Justça Varas Cíves O clete da sttução facera ao petcoar uma reclamação cotra o seu agete facador, esta petção deve ser acolhda para ser examada, por perto qualfcado, para cofrmar se a taxa do cotrato, embora mecoe que é taxa efetva mas, a cobraça do valor do juro mesal é omal. 2.6- Taxa Nomal e Taxa Efetva 5 Seja, etão, ( m ) uma taxa omal coversível m vezes ao ao e seja a taxa efetva aual correspodete. Do que fo dto resulta que é a taxa aual, equvalete à taxa período m do ao. m = (m) m relatva ao Etão, de acordo com a fórmula = [ + ( m ) ] m ode que dá a taxa equvalete a períodos maores e ( m ) = (+ ) equvalete a períodos meores, podemos escrever respectvamete : (m) m, fórmula que dá a taxa m (m) = + m - ( a ) ( taxa efetva cohecda a taxa omal m ) Processado temos : (m) m = ( + ) m - ou (m) = m. ( + ) m - ( b ) ( taxa omal m cohecda taxa efetva ) As fórmulas ( a ) e ( b ) que dão, respectvamete, a taxa efetva, cohecda a taxa omal (m) e a taxa omal (m), cohecda a taxa efetva. Exemplos : Taxa Nomal ao Ao Baco paga juros efetvos de 4,50% a.a., captalzado semestralmete. Qual é a taxa omal ao ao? (m) m = m. ( + ) ( taxa omal ( m ) ) cotedo a taxa efetva 5 Ver Ref. 0
Juro efetvo de 4,50 % a.a. pago semestralmete 2 ( m ) = 2. [ ( + 0,045 ) ] ( m ) = 2. [,022252 ] = 2. [ 0,022252 ] ou 4,450 % a.a. Taxa Efetva ao Ao Baco paga juros omas de 4,50% a.a., captalzado semestralmete. Qual é a taxa efetva aual? m (m) = + m [ taxa efetva, cohecda a taxa omal ( m ) ] Juro omal de 4,50 % a.a pago semestralmete Ao ao será a segute taxa efetva : 0,045 2 2 = + =,045506 = 0,045506 ou 4,550% a.a. (taxa efetva) 2.7- Solução Materal para o Aatocsmo 6 A matemátca facera tem solução para elmar o valor maor de juros quado o seu valor é calculado a períodos meores de ao. Fcaremos com o cálculo do valor do juro mês a mês, mas pode ser qualquer outro período múltplo de 2 meses, semestre, quadrmestre, trmestre, bmestre ou o prazo em das. Regme de Juro Composto com o coceto de Taxa Equvalete Ao aplcar este regme, o cálculo do valor do juro será realzado de modo que, ao fal de 2 meses, o seu valor será gual ao valor calculado pelo regme de juros smples de ao a ao. Demostraremos que a taxa de juro, em vez de ser,00% ao mês, será a sua taxa equvalete de 0,9488793% ao mês Será aplcada a segute fórmula para o cálculo mesal : ( m ) = ( + ) m sedo = 2,00% a.a. e = 2 ( m ) = (,0 ) 2 0,009488793 ou 0,9488793 % a.m. Em 24 meses teremos : ( + 0,009488793 ) 24 = 25,44 6 Lvro Períca Judcal Capítulo I Partes e 2 Autor: Pedro Schubert
Exemplo : Empréstmo $ 00,00 a juro de 2,00% a.a. - Cálculo de Juro Smples de ao a ao 00 x 2 x 00 = 00 x 0,2 x = $ 2,00 2- Cálculo de Juro Smples de mês a mês No Prmero mês 00 x 2 x 00 x 2 =,00 No Segudo mês 0 x 2 x 00 x 2 =,0 ; total 2,0 e assm até o 2º mês ( ao) que ecotrará o valor de $ 2,6825 em vez de $ 2,00 Este valor 0,6825 é o juro dos juros é o aatocsmo, probdo a períodos meores de 2 meses. 3- Cálculo do valor do juro pelo regme de Juro Composto com o coceto de Taxa Equvalete No Prmero mês 00 x (,009488793) = $ 0,948 (em vez de,00) No Segudo mês, teremos : No 2º mês 00 x (,009488793) 2 = $,90676 (em vez de 2,0) 00 x (,009488793) 2 = $ 2,00 e ão $ 2,6825 Ocorre o aatocsmo mas ão favorece ao doo do captal. O lado materal da cosa fca resolvdo. A parte jurídca fca para questão de mérto porque a legslação proíbe mas, materalmete, aplcado a taxa equvalete, está elmada a dstorção. Para Períodos Cotratuas maores de 2 meses ( ao) DE ANO A ANO O ANATOCISMO NÃO É PROIBIDO. Vejamos o Exemplo : Empréstmo $ 00,00 a taxa de juro de 2,00% a.a. - Cálculo pelo Juro Smples No Prmero ao 00 x 2 x 00 = $ 2,00 ; somado ao captal cal = $ 2,00 2
No Segudo ao 2 x 2 x 00 = $ 3,44 ; somado ao captal cal de R$ 00,00 = $ 25,44 Coclusão : 2- Cálculo pelo Juro Composto a Taxa Equvalete No Prmero ao 00 x [ (,009488793) ] 2 - = $ 2,00 ; somado ao captal de $ 00,00 = $ 2,00 No Segudo ao 2.8- DESCONTO (ver ota de rodapé ) 2 x [ (,009488793) ] 2 - = $ 25,44 ; somado ao captal de $ 00,00 = $ 25,44 ou 00 x [ (,009488793) ] 24 - = $ 25,44 ; somado ao captal de $ 00,00 = $ 25,44 De ao a ao, tato faz ser pelo regme de juro smples, ao a ao, como pelo regme de juro composto, mês a mês, por 2 meses, por 24 meses, etc. A solução jurídca tem que ser dada para períodos meores de 2 meses ou seja, utlzar o regme de juro composto que é NEUTRO, com o coceto de Taxa Equvalete. Um documeto de crédto (ota promssóra, duplcata, etc.) cujo vecmeto ocorrerá detro de um certo prazo mas o seu propretáro ecesste, ates desse prazo, da mportâca ele fxado. Levado a uma Isttução Facera, a qual trasferrá por edosso, a propredade do título, recebedo, em troca, aquela mportâca, dmuído de um certo ágo. Dz-se etão, que o título fo descotado pela Isttução Facera. Este ágo ou descoto pode ser calculado de dferetes modos: Descoto Smples Descoto Composto Descoto Comercal Descoto racoal (ão aalsaremos) 2.8.- Descoto Smples Ou descoto comercal ou por fora, também deomado descoto bacáro, vsto ser o preferdo pelas Isttuções Faceras. Descoto Bacáro O descoto bacáro é o juro do valor omal do título à taxa estpulada pela Isttução Facera, durate o tempo que decorre, da data da assatura do cotrato ao vecmeto do mesmo. 3
A fórmula do descoto comercal (ou juro) é: D = c 360 Exemplo: quado o tempo for cotado em das e a taxa de juro estver expressa em ao. Um título de valor comercal $ 24.360,00 sofre um descoto bacáro, à taxa de 6,00 % a.a, 90 das ates do seu vecmeto; esse descoto é, de acordo com a fórmula D = c 360 e também : 24.360,00 x 0,06 x 90 360 = $ 365,40 D = D = c 2 c, em meses e taxa de juro, em ao., em ao e taxa de juro, em ao. Nos três casos a taxa de juro está expressa em ao e em decmal. Valor Atual Comercal A dfereça etre o valor omal C e o descoto D deoma-se valor atual comercal (ou bacáro) do título descotado ( do Captal C ). Represetado o valor atual comercal (valor lqudo recebdo) por A podemos escrever: A = C D e D = c, logo 360 A = C. 360 2.8.2- Descoto Composto - Defções No regme de captalzação composta, - o valor atual de um captal C, - dspoível o fm de períodos, a taxa, relatvo a esse período, é o captal A que, colocado a juros compostos, a taxa produz, o fm de períodos, o motate C Temos pos, em vrtude desta defção A ( + ) = C ou A = C ( + ) 4
O valor A deoma-se também : Valor atual composto do captal C A dfereça C A deoma-se : Descoto composto do mesmo captal Vamos represetar esta dfereça C A por D Assm, podemos escrever : (descoto composto) D = C A Como A é C ; substtudo a gualdade acma ( + ) D = C A, substtudo A por C temos : ( + ) D = C C ( + ) Reduzdo ao deomador comum, temos : D = C ( + ) C C [ ( + ) ] = ( + ) ( + ) Cotuado com o Descoto Composto 2- Cálculo do Descoto Composto Tomado a gualdade D = C [ ( + ) ] ( + ) e multplcado o umerador e o deomador por temos : D = C.. [( + ) ] (ver ota de rodapé ) ( + ) fator de descoto composto Deste modo, a expressão : ( + ) ( + ) fator de valor atual ou fator de descoto de uma sére uforme em fução de e de pode ser tabulada e é ecotrada a Tábua Facera (Tábua V) como : Valor atual da audade de R$,00 paga durate um certo úmero de períodos ( ) Na aálse da modaldade de amortzação deomada Sstema Fracês de Amortzação (ode se quer saber o valor da prestação) o verso deste fator de descoto composto será examado. 3- Cálculo do Valor Atual Composto ( A ou smbolcamete PV Ver o tem 2.0 ) Para realzar este cálculo precsa-se cohecer o motate FV (ou C ), a taxa ( ) e o tempo ( ). (,, PV, PMT, FV) teclas da máqua calculadora facera HP-2C). 5
Exemplo : - Calcular o Descoto Composto a taxa de 5,00% a.a do captal de $ 0.000,00, dspoível o fm de 8 aos. Procurado a Tábua V do lvro ctado, Fator de Valor Atual FVA, ecotramos para = 5,00% a.a. e = 8 aos o fator 6,4632276. Aplcado a fórmula do Descoto Composto : D = 0.000,00 x 0,05 x 6,463.22.76 temos : $ 3.23,60 0,3236 e o Valor Atual - A (PV) - será : $ 6.768,40 : 0.000,00 3.23,60 A = C D 2- Descoto Smples ( ou Descoto Bacáro ) Neste caso, o exemplo acma terá o segute cálculo : = 8 a = 0,05 0.000,00 x 0,05 x 8 = $ 4.000,00 C = 0.000,00 0,40 e o Valor Líqudo A = C D será : $ 0.000,00 $ 4.000,00 = $ 6.000,00 Coclusão O Descoto Bacáro (juros smples) é mas oeroso para o facado do que o Descoto Composto. Porque sto? Por que o Descoto Composto a taxa de juro cde, mesalmete, sobre o Saldo Devedor e o Descoto Bacáro a taxa de juro cde sobre o Valor do Empréstmo, a data do empréstmo. O Sstema Fracês de Amortzação está fudametado o Descoto Composto que ão tem, em Juro Composto e tão pouco, o Aatocsmo. A dscussão que deve exstr sobre o Sstema Fracês de Amortzação está a aplcação da taxa mesal de juro, se proporcoal ou equvalete. Comparação etre os custos faceros do descoto bacáro e do descoto composto O autor ctado faz um lustrado estudo matemátco comparado o custo facero etre: descoto bacáro e o descoto smples descoto bacáro e o descoto composto descoto composto e o descoto racoal e coclu que matematcamete o descoto bacáro é superor ao descoto racoal o descoto bacáro é sempre superor ao descoto composto o descoto composto é:.. feror ao descoto racoal se <.. é gual ao descoto racoal se =.. é superor ao descoto racoal se > ode = ao (2 meses) 6
Grafcamete estas comparações fcam assm: Para o osso estudo a comparação etre o descoto bacáro e o descoto composto é a escolhda pos estamos estudado a modaldade de pagameto que utlza o coceto do descoto composto para o cálculo do valor mesal do juro; [ a taxa de juro do período (geralmete mês) cde sobre o Saldo Devedor ]. Recomedamos que seja utlzada a taxa equvalete. Exemplo de Descoto Composto : - Vou emprestar $ 0.000,00 por oto aos, a taxa de 5,00% a.a, a modaldade de descoto composto, em vez do descoto bacáro; pagameto atecpado do juro. Qual o valor do juro (do descoto composto atecpado)? Obs :Pode também ser eucado : Prazo de 8 m e taxa de juro de 5,00% a.a. De acordo com a fórmula do Descoto Composto aqu deduzda : D (descoto composto) = C.. [ ( + ) ] ( + ) O valor do Descoto Composto será : D = 0.000,00 x 0,05 x f D = 0.000,00 x 0,05 x 6,4632276 D = $ 3.23,60 fator f ecotrado em tabela, em fução de e de Em tempo : No fal do período = 8 o credor receberá $ 0.000,00 Obs : Esta modaldade de amortzação : Pagar o Valor dos Juros a data da assatura do cotrato e o Valor do Prcpal a data do vecmeto estabelecdo o cotrato é deomado de Sstema Alemão. 2- O problema acma também pode ser eucado : Vou emprestar $ 0.000,00 por oto meses, a taxa de juro de 5,00% a.m, para ser pago em 8 parcelas guas, mesas e cosecutvas. Qual o valor da prestação? Neste caso temos : A (PV) = 8 = valor atual = 5,0% a.m. 7
Vl. da Parcela = T ou pmt A = T. ( + ) ode T = A. ( + ).. ( + ) ( + ) T = 0.000,00 x 0,54.72.8 T = $.547,28 fator f da Tabela 3 dos lvros em fução de e de Em tempo : Esta é a modaldade de amortzação deomada de Sstema Fracês de Amortzação que está fudametado o Descoto Composto. 2.9- Modaldades de Pagametos (Amortzações) Ambos os métodos de pagametos (amortzações), a segur detalhados, estão fudametados o DESCONTO COMPOSTO : a taxa de juro cde sobre o saldo devedor as datas dos pagametos das parcelas do prcpal, coforme defdos os cotratos assados etre as partes. Aalsaremos aqu a ª modaldade paga perodcamete, mesal, etc, aual uma soma da qual : uma parte se desta ao pagameto do juro do captal emprestado o período a outra parte, é a amortzação gradatva do empréstmo / facameto, de modo que fque lqudado medatamete após o últmo pagameto 8
Equadram-se esta modaldade o Método Hamburguês o qual, perodcamete (mesal, trmestral, etc) amortza o empréstmo / facameto em parcelas guas e sucessvas paga o valor do juro do período, aplcado a taxa de juro aual do cotrato, calculada para o período (mesal, trmestral, etc) sobre o saldo devedor O mercado, tradcoalmete, aplca a taxa proporcoal do período (mesal, trmestral) sobre o saldo devedor Da explcação ctada temos : Valor do empréstmo : $ 00,00 Taxa de Juro : Pago em duas parcelas guas : Cálculo do Valor do Juro : 5% o período - após 30 das $ 50,00 + $ 5,00 = $ 55,00 - após 60 das $ 50,00 + $ 2,25 = $ 52,25 $ 00,00 $ 7,25 No º pagameto : $ 00,00 x 5,0% a.m. (0,05) = $ 5,00 No 2º pagameto : $ 50,00 x 5,0% a.m. (0,05) = $ 2,25 Total : $ 7,25 ESTE É O MÉTODO HAMBURGUÊS mudal e secularmete aceto pelas Partes (Isttuções Faceras e Empresas de Grade Porte, podedo ser também de Médo Porte), geralmete Empréstmos de Logo Prazo. o Sstema Fracês de Amortzação (vulgar e erroeamete deomado de Tabela Prce) o qual, perodcamete (mesalmete, etc, aualmete), o devedor paga, a partr da realzação do empréstmo / facameto, (mês vecdo) e durate um úmero estabelecdos de períodos (meses, etc, aos) uma soma costate (deomada de audade) que popularzou-se como prestação que pode ser mesal, etc, aual [ prestações (mesas, etc) guas e sucessvas ] que reembolsará o captal emprestado e os juros de cada período ( que é calculado do mesmo modo que é aplcado o Método Hamburguês ) A taxa de juro, a cada período, cde sobre o Saldo Devedor 9
2.0- O que é o Sstema Fracês de Amortzação? O detetor (possudor) do captal A, hoje, pode trocá-lo (emprestá-lo) por um cojuto de termos T (parcelas, prestações) a serem recebdas o futuro, a períodos defdos (mês a mês, etc). Isto equvale a dzer que o captal A poderá ser ceddo, por empréstmo / facameto e reembolsado à taxa, medate os pagametos T guas que se deomam de audades (prestações). Assm se costtu o Sstema Fracês de Amortzação. Podemos estabelecer esta detdade etre os problemas fudametas sobre a reda e os problemas sobre empréstmos / facametos, destacado a segute correspodêca de termos : Símbolos o (s) Quem Empresta Quem Toma Emprestado Sgfcado o estudo Sgfcado o estudo de Lvros Maual da HP-2C de redas (aplcações) empréstmos / facametos A PV Valor Atual Captal Emprestado T pmt Termo de Reda Audade (valor da prestação) Taxa de Avalação Taxa de Juro do Período ( de oportudade ) º de Termos Número de audades (prestações) ou prazo do empréstmo Assm, as aálses a segur estudadas são as mesmas, quer como matéra sobre redas, quer como matéra sobre empréstmos / facametos. Do Poto de Vsta do Aplcador que quer aplcar um captal para receber $ 2.000,00 por mês a taxa, em meses. Exercíco Qual o valor atual de uma reda aual medata de 25 termos guas a $ 2.000,00 cada, a taxa de juro de 5,0% a.a. / a.m. Eucado equvalete : Do Poto de Vsta do Facado que quer comprar um bem Que dívda pode ser amortzada por 25 prestações (auas / mesas) de $ 2.000,00 cada, sedo a taxa de juro de 5,0% a.a. / a.m. - Cálculo do valor atual de uma reda A = T. ( + ) Ver o tem 2.8.2- Descoto Composto ( + ) que deduzu esta fórmula fator que vara com e Solução : A = 2000. ( + 0,05) 24 0,05 ( + 0,05) 24 procurado a Tabela 5 = 24 e = 5,0% ecotramos o fator 4,093.944.57 A = 2000 x 4,093.944.57 = $ 28.87,90 20
2- Fudameto do Sstema Fracês de Amortzação Você quer adqurr um bem (Valor Atual A ou PV) o período a taxa de juro. Qual é o valor do termo T (da prestação). Cálculo do valor do Termo (prestação, audade) cohecdo o valor atual (valor do empréstmo / facameto), o úmero de termos (parcelas, audade e a taxa de juro). É o cálculo do valor da prestação (parcela, audade) ecessára para amortzar um empréstmo / facameto, cohecdos : A- o valor do empréstmo / facameto - a taxa de juro T- o úmero de termos (prestações, audades) suposto que a prmera prestação seja paga o fm de cada período, a cotar da data da realzação do empréstmo (reda medata) Temos do DESCONTO COMPOSTO : A = T. ( + ) ( + ) Processado esta fórmula, ode T é o valor da prestação : T = A. ( + ) ( + ) Exemplo : f - equvale a Tabela III das Tabelas atuas, sem qualquer relação com as Tabelas estudadas pelo Sr. Rchard Prce Calcular o valor dos termos (prestações) de um empréstmo de R$ 28.87,90 pagos (amortzado) em 25 prestações mesas, guas e sucessvas, cuja taxa de juro é de 5,0% a.m. : T (prestação) = 28.87,90 x 0,070.952.46 f - procurado a Tabela III = 25 = 5,0% ecotramos : 0,070.952.46 T (prestação) = $ 2.000,00 ou : 0,070.952.46 4,093.944.57 2.- Plao de Amortzação pelo Sstema Fracês de Amortzação Quadros e 2 - Calcula o valor da prestação coforme já mostrado. 2- Calcula para cada período, a partr do prmero, o valor do juro cddo a taxa de juro sobre o saldo devedor o fm do período ateror. 3- E subtra este valor, do juro, do valor da prestação, obtedo-se o valor da amortzação. 2
4- Cada valor mesal da amortzação subtra do Saldo Devedor do mês ateror e ecotra o Saldo Devedor do mês. O cálculo do valor do juro é mesal e a taxa de juro do mês cde sobre o Saldo Devedor do mês ateror. Isto caracterza o cálculo do Descoto Composto. Recomedamos que, o cotrato de empréstmo / facameto assado etre o tomador e a Isttução Facera, seja egocada a taxa de juro aual efetva (ou real) e que a taxa mesal egocada seja a taxa equvalete. 2..- EXEMPLOS QUADRO PLANO DE AMORTIZAÇÃO - SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (Erroeamete Deomado de Tabela Prce) Cálculo do Valor do Juro pela Taxa Proporcoal - Taxa de Juro Nomal do Cotrato Vara: Processo º: Autora: Reu: Tx. de Juros (% a.a.) do Cotrato: 2,00 Tx de Juros (% a.m.) Proporcoal:,00000000 Taxa de Juros (% a.a.) real: 2,6825030 Cotrato. Data: 2//203 Taxa de Juros: 2,00000 % a.a. (Smples) 2,68250 % a.a. (Composto) Valor Facado:.000,00 Baco: Agêca: C/C: Nº Prestações : 2 Recebdas : 0 À Receber : 2 Nº Prestação Vecmeto Prestação Amortzação do Prcpal Iserdo pelo Perto Juros U: R$,00 Saldo à Pagar 2/2/203 88,85 78,85 0,00 92,5 2 2/0/204 88,85 79,64 9,2 84,5 3 2/02/204 88,85 80,43 8,42 76,08 4 2/03/204 88,85 8,24 7,6 679,84 5 2/04/204 88,85 82,05 6,80 597,79 6 2/05/204 88,85 82,87 5,98 54,92 7 2/06/204 88,85 83,70 5,5 43,22 8 2/07/204 88,85 84,54 4,3 346,68 9 2/08/204 88,85 85,38 3,47 26,30 0 2/09/204 88,85 86,24 2,6 75,07 2/0/204 88,85 87,0,75 87,97 2 2//204 88,85 87,97 0,88 0,00 TOTAL.066,9.000,00 66,9 - Ver o Total do Juros : R$ 66,9 - Cálculo do Valor do Juro, mês a mês : A taxa de juro do mês cde sob o saldo devedor : Na ª prestação :.000,00 x 0,0 = R$ 0,00 Na 2ª prestação : 92,5 x 0,0 = R$ 9,2 e segue, mês a mês, o mesmo cálculo. 22
QUADRO 2 PLANO DE AMORTIZAÇÃO - SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (Erroeamete Deomado de Tabela Prce) Cálculo do Valor do Juro pela Taxa Equvalete - Taxa Real do Cotrato Vara: Processo º: Autor: Reu: - Ver o Total do Juros : R$ 62,74 - Cálculo do Valor do Juro, mês a mês : A taxa de juro do mês cde sob o saldo devedor : Na ª prestação :.000,00 x 0,0094887929 = R$ 9,488 Na 2ª prestação : 920,93 x 0,0094887929 = R$ 8,738 e segue, mês a mês, o mesmo cálculo. Iserdo pelo Perto Ver que o QUADRO 2 a taxa de juro mesal é a taxa equvalete. Tx. de Juros (% a.a.) Real: 2,00 Tx. de Juros (% a.m.) Equvalete: 0,94887929 Taxa de Juros (% a.a.) Real: 2,00 Cotrato º: Data: 2//203 Taxa de Juros:,38655 % a.a. (Smples) 2,0000000 % a.a. (Composto) Valor Facado:.000,00 Baco: Agêca: C/C: Nº Prestações : 2 Recebdas : 0 À Receber : 2 U: R$,00 Nº Prestação Vecmeto Prestação Amortzação Saldo à Juros do Prcpal Pagar 2/2/203 88,56 79,07 9,49 920,93 2 2/0/204 88,56 79,82 8,74 84,0 3 2/02/204 88,56 80,58 7,98 760,52 4 2/03/204 88,56 8,35 7,22 679,8 5 2/04/204 88,56 82,2 6,44 597,06 6 2/05/204 88,56 82,90 5,67 54,6 7 2/06/204 88,56 83,68 4,88 430,48 8 2/07/204 88,56 84,48 4,08 346,00 9 2/08/204 88,56 85,28 3,28 260,72 0 2/09/204 88,56 86,09 2,47 74,63 2/0/204 88,56 86,90,66 87,73 2 2//204 88,56 87,73 0,83 0,00 TOTAL.062,74.000,00 62,74 Neste caso fcou estabelecdo, a assatura do cotrato que a taxa de juro aual será a taxa real e, deste modo, automatcamete, a taxa de juro mesal será a taxa equvalete. 23
3- Objetvos dos Estudos do Sr. Rchard Prce Os estudos do Sr. Rchard Prce, publcados em 77, desevolvdos para ateder as seguradoras com dfculdades relacoadas à formação do fudo para pagameto de pecúlos (e mesmo de redas vtalícas), para vúvas e dosos Tabelas II e IV (hoje aposetados e pesostas), bem como estudos referetes à Dívda Públca da Coroa Iglesa para calcular quas os valores futuros de suas dívdas por empréstmos tomados Tabelas I e III mostram : Nas suas Tabelas I e II - ( Valor Atual P ) Fator do Valor Atual (+ ) Tabela I ( Fudameto do método do Fluxo de Caxa Descotado ) Tem uma sére de pagametos R s (termos, prestações). Quado R s forem dferetes (Dados R s achar P). Obs : A Tabela I do Sr. Prce está relacoada à Juro Composto. ( + ) - Fator do Valor Atual (+ ) Tabela II Quado R s forem guas (Dado R achar P). Nas suas Tabelas III e IV - Tem uma sére de depóstos R s (termos, prestações). Motate S Calcular um motate S, capaz de pagar um valor o fal ( Captalzação ) de depóstos. ( + ) Fator de Acumulação de Captal Motate Tabela III Fatorde Acumulação ( + ) - de Captal Motate Tabela IV Quado R s forem dferetes (Dado R = P achar S). Obs : A Tabela III do Sr. Prce está relacoada à Juro Composto. Cálculo do motate de um empréstmo, a data de seu pagameto, com os valores dos juros acumulados ao Saldo Devedor. Quado R s forem guas (Dado R achar S). Obs : Pelas aálses hstórcas destes seus trabalhos, o caso as Tabelas II e IV, o objetvo do seu estudo, para as seguradoras, fo para calcular a formação do fudo para PECÚLIO POR MORTE, daí os seus outros estudos relacoados à TÁBUAS DE MORTALIDADE. É a orgem para os cálculos atuaras, de hoje, para os Fudos de Pesões. Sedo, aquela época, para pagametos de Pecúlos que era o produto das seguradoras. Hoje para os FUNDOS DE PENSÕES, para aposetados e pesostas, é ecessáro o acréscmo da TABELA SEM NUMERAÇÃO (ver o QUADRO A o Lvro PERÍCIA JUDICIAL do Autor Pedro Schubert) que é o verso da Tabela IV do Sr. Prce, só dspoível aqu o Brasl depos de 970, deomada de FATOR DE FUNDO DE AMORTIZAÇÃO, quado tem o motate S acumulado durate a fase laboratva do cdadão e quer pagar R provetos mesas a fase de aposetado, também calculado atuaralmete. Em Resumo Que motate S devo acumular durate um período (cotrbuções mesas) sedo um tempo decorrete de cálculos atuaras fudametados a expectatva de vda do grupo partcpate e aplcado a uma taxa de redmeto mesal defda os cálculos atuaras, para pagar, após certo úmero de períodos, um motate S, o caso de Pecúlo. 24
Para a formação da Reserva Técca, o caso de aposetadora e de pesosta, qual o valor R que deve ser depostado durate períodos, a taxa de juros para acumular um motate S que deverá ser utlzado para pagar R beefícos durate períodos, sedo o Saldo Decrescete e aplcado a taxa de juro. Os valores R, e também são fudametados em cálculos atuaras. Para o cálculo de R, o caso de Beefíco Defdo, ver a Tabela sem umeração. 4- O Terrorsmo sobre o Juro Composto (ou como está expresso o lvro Períca Judcal do Autor Pedro Schubert Capítulo I Parte Juro Composto fl s. a 6) Do Lvro Tabela Prce Edtora Servada Campas 2002 Na fl. 59 temos : Na fl. 80 temos : Um xelm desembolsado o da do ascmeto de Jesus Crsto a juros de 6% a.a. tera se torado massa de ouro maor que a que se podera coter em todo o sstema solar, se trasformado uma esfera de dâmetro gual ao da órbta de Saturo. Um cetavo de lbra emprestado a data do ascmeto de osso Salvador a um juro composto de cco por ceto ao ao tera, o presete ao de 78, resultado em um motate maor do que o cotdo em DUZENTOS MILHÕES de Terras, todas de ouro macço. Porém, caso ele estvesse sdo emprestado a juro smples ele tera, o mesmo período, totalzado ão mas do que SETE XELINS E SEIS CENTAVOS. Todo o govero que alea FUNDOS destados a reembolsos, (osso cometáro : toma dhero emprestado) opta pelo cultvo de dhero do segudo modo, ao vés do prmero. Temos calmete duas fatasas : Nguém fca devedo 78 aos O govero ão ecotrará captalsta para emprestar dhero Naquela época a comparação poda ser esta. Ocorre que, o século segute, os sábos colocaram ordem a casa; defram o que sera período facero e colocado regra para comparar os custos faceros dos cotratos e podedo compará-los. Assm, de ao a ao, os juros são calculados e acumulados aos saldos devedores. Ver o texto do artgo 4º do Decreto º 22.626 de 07.04.933 (Le da Usura). Ver o tem 2.2.2. Deste modo, fo elmado este fatasma do juro composto. Tato faz fazer o cálculo pelo juro smples como pelo juro composto que o motate ao fal de qualquer período é o mesmo Ver o lvro Períca Judcal Capítulo I Partes a 3, fl s. a 75. 25
5- Do lvro PERÍCIAS JUDICIAIS do Autor Pedro Schubert Parte 3 Tabela Prce 5 O autor glês Rchard Prce publcou em 77, trabalhos para ateder a dos fatos da época. I.a Valor futuro de uma Sere Uforme Para as seguradoras, a obra Observações Reversíves sobre Devolução de Pagametos relacoadas à Provsão de Audades a Vúvas e Idosos; assutos a doutras de redas vtalícas. Nesta obra, Prce expõe seu coceto e método utlzado o Sstema de Pagametos peródcos com dreto à remueração e beefícos ou seja, para se calcular o valor de uma sére uforme de pagametos cosecutvos (para acumular um motate de recursos) e durate um certo tempo, para receber uma remueração futura, pelo pagameto de redas certas, em aposetadoras e seguros. Pelo texto vê-se que correspode aquela época ao pecúlo e hoje, às aposetadoras. Para este estudo de acumulação (motate) Prce utlzou a Tábua IV: para acumular os recursos (motate) correspode hoje a Tábua II (ver Quadro A) Para cofrmar esta relação é só comparar as duas Tábuas, o mesmo percetual e o mesmo período. Esta Tábua IV usada pelo Sr. Prce é utlzada os depóstos ou pagametos de uma sére uforme (por exemplo a cotrbução mesal, gual e sucessva de um peculsta ou de um partcpate do fudo de pesão). Calcula o valor futuro de uma sére uforme. Não tem qualquer relação com o facameto da casa própra ou de facametos de bes ou de empréstmos, bem como o Sstema Fracês de Amortzação erroeamete deomado de Tabela Prce. A elaboração desta Tábua utlza o prcípo da soma dos termos de uma progressão geométrca como demostrado a segur: 6 5 Ver o lvro Tabela Prce da Edtora Servada Campas - 2002 6 Ver o lvro Maual de Implatação de Projetos Capítulo 2 Fase de Aálse pg. 30 Autor Pedro Schubert Edtora LTC 26
S 0 2 3-2 - P 2 O parâmetro acma correspode a uma progressão geométrca, cujo termo é. razão a é a e a Pela defção de motate, aplcado a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrca, teremos: q S a substtudo q teremos: a por e q por S Este fator é chamado de Fator de (, ). Acumulação de Captal FAC de uma sere uforme ou FRS (, ) Ver Quadro A Tábua IV do Sr. Prce e Tábua II dos Autores atuas Se chamarmos de R o termo (depósto mesal, cotrbução mesal), teremos: S = R ( + ) - Esta fórmula permte calcular o valor fal de termos guas, captalzados, sem ecessdade de se efetuar a soma dos termos Tem, também, dos estudos mportates: The Phlosophcal Trasactos of the Royal Socety cohecdo hoje como teorema de Bayes, cotrbudo de forma coclusva para desevolvmeto da estatístca modera produzdo aplcação pratca do teorema de Bayes o campo atuaral. Matéra de 763. Em 769 a peddo da Equtable Socety da Iglaterra, publca sua famosa obra de estatístca, voltada para o ramo de seguros Northampto MortaltyTables (Tábuas de Mortaldade de Northampto). 27
28 I.b Valor Presete de uma Audade de uma Sére Uforme A Tábua II utlzada pelo Sr. Prce, ao comparar os seus fatores, correspode a Tábua V utlzada atualmete pela matemátca facera calcula o valor atual de uma reda uforme. Esta Tábua II utlzadas pelo Sr. Prce (Tábua V os tempos atuas) calcula o valor atual de um fluxo de caxa descotado de termos guas. Método do Fluxo de Caxa Descotado quado as parcelas (termos), proveete de um projeto, de uma reda, etc., são guas. Sére Uforme. R R2 R3 R 2 R R 0 2 3-2 + + + + (+) (+) - (+ ) 2 ( + ) 3 ( + ) 2 ( + ) O parâmetro acma correspode a uma progressão geométrca cujo prmero termo a é e a razão q é ( + ) ( + ) Sabedo-se, por defção que o valor atual de uma reda de termos é a soma dos valores atuas dos termos desta reda logo, aplcado-se a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrca, temos: q q a P que, substtudo a e q temos: P P, multplcado os termos por-
teremos: Este fator é chamado de Fator de Valor Atual FVA de uma Sére Uforme ou FRP (, ). Ver Quadro A Tábua II do Sr. Rchard Prce e Tábua V dos Autores atuas. Esta fórmula, sabedo-se o valor R (termo) uforme (gual), pode-se calcular o valor atual de uma sére,como vemos: P R. II Juro Composto (Tábuas III e I utlzadas pelo Sr. Prce) As tábuas de juro composto, Prce utlzou as já exstetes e deomadas de Tables of Compoud Iterest Ver Juro Composto Parte I. Examado as tábuas de juro composto utlzadas pelo Sr. Prce podemos comparálas com as tábuas atuas utlzadas pela matemátca facera: Tábua III (do Sr. Prce) Fator de captalzação de um termo ( + ) Tábua I (do Sr. Prce) Valor Presete de um valor a ser recebdo o fal de qualquer úmero de períodos (mês,ao) - correspode a Tábua Motate a juro composto o fm de um certo úmero de períodos (meses, etc). Ver o Quadro A (Fator de Captalzação) - correspode a Tábua IV Valor Presete (Atual) dspoível o fm de um certo úmero de período. É o verso da Tábua III do Sr. Prce. Esta tábua é utlzada o estudo do Fluxo de Caxa Descotado de termos dferetes. Como vemos é o verso da Tábua dos lvros de Matemátca Facera. Ver o Quadro A (Fator de Descoto) Estas duas tábuas de juro composto ão têm qualquer relação com o facameto da casa própra ou de facametos de bes ou de empréstmos, bem como com o Sstema Fracês de Amortzação erroeamete deomado de Tabela Prce. Estas são as quatro tábuas utlzadas pelo Sr. Rchard Prce. 29
No Sstema Fracês de Amortzação a taxa de juro cde sobre o Saldo Devedor. Não gera o aatocsmo de modo dreto e ão é juro composto. Tem fudameto o descoto composto. Recomedamos que a taxa de juro mesal seja a taxa equvalete. Por razões que descohecemos esta Tábua III é vulgar e erroeamete ttulada de Tabela Prce. Por sso que o autor Thales Mello Carvalho, falecdo em 96, o seu lvro Matemátca Comercal e Facera - FENAME 975 3ª edção dz a fl 357: As Tábuas de amortzação para empréstmos pelo sstema fracês de amortzação dos sttutos de crédto (vulgar e erroeamete deomadas Tabela Prce...) RESUMO Rchard Prce Motate Tábua III Tábuas Faceras dos Autores Atuas Juro Composto Termos Dferetes Tábua I Acumulação do valor cal mas os valores dos juros de cada período. Tábua IV Motate S Valor Futuro Motate Termos guas Tábua II Soma dos Termos da Progressão Geométrca razão ( + ). Cotrbução do partcpate para a formação de poupaça para fudos de pesão, pecúlo. Valor Presete Tábua I Valor Presete Tábua II Termos dferetes Tábua IV Estudo do Fluxo de Caxa Descotado Termos guas Sére Uforme Estudo do Fluxo de Caxa Descotado Tábua V Soma dos Termos da Progressão Geométrca de razão 30
Tábuas Faceras ão Estudadas pelo Sr. Rchard Prce Sstema Fracês de Amortzação Não tem o estudo do Sr. Prce (Descoto Composto) cálculo das prestações de empréstmos/ facametos Tábua III Fator de Fudo de Amortzação Calcula o valor da aposetadora mesal Tábua Sem Numeração - Não tem o estudo do Sr. Prce. Elaboração da Tábua Sem Numeração Verfcamos o Quadro B Colua sem umeração que: - Tábua Sem Numeração tem a partr de 970 2 - No lvro Matemátca Comercal e Facera já ctado o Autor dz ão ser ecessára a costrução desta Tábua, pela razão a segur: fl. 38 a S Desevolvedo o segudo termo, ecotramos: S ou S a a Como a Tábua III dá os valores de a para dferete valores de e de, pode-se, com o auxlo desta relação, calcular faclmete os valores de costrução de uma Tábua desses valores S, o que tora desecessára, a Ex: com = 3 e = 0%, temos a Tábua III 0,402.4. 804 a Assm 0,402.4.804 0, 0,302.4. 804 S Este fo a explcação do Autor, já ctado, para ão costrur esta Tábua Sem Numeração. Na ossa opão é o fato de, em 960, ada ão exstr o Fudo de Pesão e assm, esta Tábua ão tha uso. A metodologa do cálculo apresetado para elaborar a Tábua Sem Numeração até 970 do Quadro B pode ser substtuída pela metodologa a segur: 3
Temos a Tábua II = com = 3 e = 0% ecotramos o fator 3,30000 S Logo 0,302.4. 80 3,30000 S Esta Tábua Sem Numeração é versa de S Ver Quadro B Fator de Fudo de Amortzação FFA ou FSR (, ). Já se ecotra calculada e é utlzada para cálculos dos pagametos de aposetadoras os Fudos de Pesão e os Plaos de Reda Certa das Seguradoras. Há sesseta aos atrás, estas atvdades eram pratcamete ulas e, por sso, esta Tábua S ão era mportate. Naquele tempo, cofeccoar estas tábuas faceras era laboroso, por serem fetas maualmete. Hoje, com as plalhas eletrôcas, com os seus bacos de dados, coveetemete programados, estas tábuas faceras, por taxa de juro, são calculadas os períodos, de modo automátco e statâeo. Para obter as tábuas faceras, de seu teresse, ver o osso ste www.bmaformatca.com.br. 32
QUADRO A Harmozação das Tábuas Faceras Nesta sítese observa-se que a matemátca facera é a mesma. O que dfereca é o seu desevolvmeto de explcações teórcas e a relação de sua aplcação o mercado facero. Stetzamos esta Tábua Facera, composta de 6 Tábuas, estes dos tempos, represetado os autores até 970 e após 970. TÁBUA FINANCEIRA Tábua III - Prce Tábua I - Prce Tábua IV - Prce Tábua II - Prce Tábua I Tábua IV Sem Numeração até 970 Tábua II Tábua V Tábua III Até 970 Motate de $,00 a juro composto o fm de um certo úmero de período Valor Atual de $,00 dspoível o fm de um certo úmero de períodos Por ser o verso da Tábua II, o Autor sugere motar esta Tábua dvddo cada fator da Tábua II pelo seu verso: Motate de uma reda utára e peródca. Valor Atual da audade de $,00 paga durate um certo período de tempo. Audade capaz de amortzar o captal de $,00 um certo úmero de período. É o verso da Tábua I:,20000 0,82644628 2,00000 0,47690476 Reda Certa: Uma sucessão de pgtos T, T2, T realzados, respectvamete, as épocas t, t2, t deomase RedaCerta Valor Atual de uma Reda é a soma dos valores atuas de seus termos. Sstema Fracês de Amortzação Erroeamete chamado Tabela Prce Não publcada até 970 Fator de Captalzação Fator de Descoto Juro Composto Pagameto Smples R R2 R Progressão Geométrca q S a q Sére Uforme de Pagametos R = R2 = R Descoto Composto Após 970 Fator de Acumulação de Captal - FAC Fator de Valor Atual - FVA Fator de Fudo de Amortzação - FFA Fator de Acumulação de Captal - FAC Fator de Valor Atual - FVA Fator de Recuperação de Captal - FRC Dado P Dado S Dado S Dado R Dado R Dado P Achar S Achar P Achar R Achar S Achar P Achar R Taxa de Juro: 0,00% a.a.,00 000 00 0,909 090 9,000 000 00,000 000 00 0,909 090 9,00 000 00 2,20 000 00 0,826 446 28 0,476 90 48 2,00 000 00,735 537 9 0,576 90 48 3,33 000 00 0,75 34 80 0,302 4 80 3,30 000 00 2,486 85 99 0,402 4 804.. 00 Motate (Valor Futuro) de Termo Valor Atual ou Fluxo de Caxa Descotado de Termos Dferetes. Cálculo do Valor do Beefíco Mesal (Fudo de Pesão) Equvale à Tábua II Equvale à Tábua V É o verso da Tábua II Valor Futuro de uma Sere Uforme Motate (para Fudo de Pesão) Formação de Poupaça Valor Atual ou Fluxo de Caxa Descotado de Termos Iguas Cálculo do valor da prestação de uma dívda Obs.:Sempre tem de compatblzar = mês,..., ao P = Valor Presete; Valor Atual,PV = mês,..., ao T ou R = Prestação, Parcela, Audade, Mesaldade, Termo, Cotrbução, Aposetadora, pt= R = mês,..., ao S = Motate,Valor Fal, FV 33
() (2) EQUIVALÊNCIA Tábua III do Rchard Prce 77 Tábua I do Rchard Prce 77 QUADRO B SIMBOLISMO (Matemátca Facera) Tábua IV do Rchard Prce 77 Tábua II do Rchard Prce 77 Tábua I Tábua IV Sem umeração até 970 Tábua II Tábua V Tábua III Motate... Valor Atual... Audade Motate... Valor Atual de uma Reda Audade (prestação) Fator de Captalzação Fator de Descoto Acumulação para Fudo de Pesão Sstema Fracês de Juro Composto Pagameto Smples R R 2 R FAC Fator de Acumulação de Captal u u FVA Fator de Valor Atual Valor Mesal da Reda (aposetadora) FFA Fator de Fudo de Amortzação Progressão Geométrca Sére Uforme R = R 2 = R 3 = R FAC Fator de Acumulação de Captal FVA Fator de Valor Atual Amortzação (3) Descoto Composto FRC Fator de Recuperação de Captal FPS FSP FSR FRS FRP FPR Dado P Dado S Dados S Dado R Dado R Dado P Achar S Achar P Achar R Achar S Achar P Achar R = qdo os termos são dferetes S = qdo os termos são guas v v = qdo os termos são dferetes a = qdo os termos são guas S a logo S = a -- Taxa de Juro: 0,00% a.a.,00 000 00 0,909 090 9,000 000 00,000 000 00 0,909 090 9,00 000 00 2,20 000 00 0,826 446 28 0,476 90 48 2,00 000 00,735 537 9 0,576 90 48 3,33 000 00 0,75 34 80 0,302 4 80 3,30 000 00 2,486 85 99 0,402 4 80 () As quatro tábuas elaboradas por Rchard Prce, calculadas em 77. S a a. (2) Tábuas coforme o lvro: Matemátca Comercal e Facera Thales Mello Carvalho 3ª edção FENAME Ro 975 (3) Coforme o mesmo Autor: é vulgar e erroeamete deomada Tabela Prce fl. 357. Verfca-se que, esta colua ão há referêca à Tábua elaborada por Rchard Prce. O Autor do lvro Tabela Prce José Jorge Meschatt Noguera a fl. 28 últmo parágrafo afrma, ao ctar a obra de Rchard Prce:... Nessa obra Prce explca os esquemas de Provsão de Audade... mas prcpalmete a coleção das Tabelas de Juro Composto, batzada o Brasl como Tabela Prce... Esta afrmação cra cofusão pos o Sr. Rchard Prce ão estudou o Sstema Fracês de Amortzação. Ver que ão tem as Tábuas do Prce esta colua. 34
6- A TABELA PRICE E OS CONTRATOS DE FINANCIAMENTOS DO SISTEMA FINANCEIRO DA HABITAÇÃO SFH ( Ver o lvro Períca Judcal Capítulo II Partes 4 a 7 do Autor Pedro Schubert ) Embora largamete acusada de ser o algoz dos mutuáros do SFH com acusações de aplcar juros crescetes em progressão geométrca, sedo que, quato maor quatdade de parcelas a serem pagas, maor será a quatdade de vezes que os juros se multplcam por s mesmo, torado o cotrato, quado ão mpossível de se admplr, pelo meos abusvo em relação ao mutuáro e de gerar os SALDOS DEVEDORES IMPAGÁVEIS, afrmamos que a dta Tabela Prce ão tem qualquer culpa sobre estes problemas e apotamos as fotes dos cálculos que geram estes saldos devedores mpagáves. Esta matéra está exaustvamete aalsada o Capítulo II as Partes 4 a 7 do lvro PERÍCIA JUDICIAL do Autor Pedro Schubert. A matéra a segur 7- Tabela Prce Wkpéda, a Ecclopéda Lvre deve ser reaalsada. 35
7- TABELA PRICE Wkpéda, a Ecclopéda Lvre 36
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