LEANDRO CARVALHO VIEIRA E GILMAR DE PAULA MATTA QUESTÕES DE MATEMÁTICA NO VESTIBULAR - VOLUME QUESTÕES RESOLVIDAS E COMENTADAS 007-010 (FUVEST, PUC, UERJ, UFF, UFJF, UFLA, UFOP, UFRJ, UFSJ, UFV, UNESP, UNIFENAS, UNIFOA, UNIRIO)
Questões de Matemática no Vestibular - Volume Copyright Editora Ciência Moderna Ltda., 01 Todos os direitos para a língua portuguesa reservados pela EDITORA CIÊNCIA MODERNA LTDA. De acordo com a Lei 9.610, de 19//1998, nenhuma parte deste livro poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Editora. Editor: Paulo André P. Marques Produção Editorial: Aline Vieira Marques Assistente Editorial: Amanda Lima da Costa Capa: Cristina Satchko Hodge Diagramação: Érika Loroza Várias Marcas Registradas aparecem no decorrer deste livro. Mais do que simplesmente listar esses nomes e informar quem possui seus direitos de exploração, ou ainda imprimir os logotipos das mesmas, o editor declara estar utilizando tais nomes apenas para fins editoriais, em benefício exclusivo do dono da Marca Registrada, sem intenção de infringir as regras de sua utilização. Qualquer semelhança em nomes próprios e acontecimentos será mera coincidência. FICHA CATALOGRÁFICA MATTA, Gilmar de Paula. VIEIRA, Leandro Carvalho. Questões de Matemática no Vestibular - Volume Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda., 01. 1. Matemática. I Título ISBN: 978-85-99-0487-7 CDD 510 Editora Ciência Moderna Ltda. R. Alice Figueiredo, 46 Riachuelo Rio de Janeiro, RJ Brasil CEP: 0.950-150 Tel: (1) 01-666/ Fax: (1) 01-6896 E-MAIL: LCM@LCM.COM.BR WWW.LCM.COM.BR 01/1
SUMÁRIO CAPÍTULO 1 - FUVEST - 009-1 a FASE... 1 Gabarito... 5 CAPÍTULO - FUVEST - 010-1 a FASE... 1 Gabarito... 17 CAPÍTULO - PUC - 009-1 a FASE... 7 Gabarito... 1 CAPÍTULO 4 - PUC - 010-1 a FASE - GRUPO... 7 Gabarito... 40 CAPÍTULO 5 - UERJ - 009-1 a FASE - 1 a PROVA... 45 Gabarito... 48 CAPÍTULO 6 - UERJ - 009-1 a FASE - a PROVA... 5 Gabarito... 56 CAPÍTULO 7 - UERJ - 010-1 a FASE - 1 a PROVA... 61 Gabarito... 64 CAPÍTULO 8 - UERJ - 010-1 a FASE - a PROVA... 69 Gabarito... 7 CAPÍTULO 9 - UFF - 009-1 a FASE... 77 Gabarito... 84 CAPÍTULO 10 - UFF - 010-1 a FASE... 89 Gabarito... 95 CAPÍTULO 11 - UFJF - 009-1 a FASE... 101 Gabarito... 108 CAPÍTULO 1 - UFJF - 010-1 a FASE... 11 Gabarito... 16 CAPÍTULO 1 - UFJF - PISM - 010 - MOD I... 1 Questões Objetivas... 1 Questões Discursivas... 16 Gabarito... 17 Questões Objetivas... 17 Gabarito... 14 Questões Discursivas... 14
IV QUESTÕES DE MATEMÁTICA NO VESTIBULAR - VOLUME CAPÍTULO 14 - UFJF - PISM - 010 - MOD II... 145 Questões Objetivas... 145 Questões Discursivas... 147 Gabarito... 149 Questões Objetivas... 149 Gabarito... 15 Questões Discursivas... 15 CAPÍTULO 15 - UFJF - PISM - 010 - MOD III... 155 Questões Objetivas... 155 Questões Discursivas... 157 Gabarito... 160 Questões Objetivas... 160 Questões Discursivas... 161 CAPÍTULO 16 - UFLA - 009-1 a FASE... 167 Gabarito... 171 CAPÍTULO 17 - UFMG - 009-1 a FASE... 177 Gabarito... 18 CAPÍTULO 18 - UFMG - 010-1 a FASE... 189 Gabarito... 19 CAPÍTULO 19 - UFOP - 009-1 a FASE... 199 Gabarito... 0 CAPÍTULO 0 - UFOP - 009 - a FASE... 07 Gabarito... 10 CAPÍTULO 1 - UFOP - 010-1 a FASE... 17 Gabarito... 7 CAPÍTULO - UFRJ - 009 - ESPECÍFICA... 9 Gabarito... 7 CAPÍTULO - UFRJ - 009 - NÃO ESPECÍFICA... 49 Gabarito... 51 CAPÍTULO 4 - UFRJ - 010 - ESPECÍFICA... 55 Gabarito... 59
SUMÁRIO V CAPÍTULO 5 - UFRRJ - 009-1 a FASE... 69 Gabarito... 74 CAPÍTULO 6 - UFSJ - 009-1 a FASE... 79 Gabarito... 81 CAPÍTULO 7 - UFSJ - 010-1 a FASE - 1 O SEMESTRE... 85 Gabarito... 87 CAPÍTULO 8 - UFSJ - 010-1 a FASE - O SEMESTRE... 9 Gabarito... 98 CAPÍTULO 9 - UFSJ - 010-1 a FASE - O SEMESTRE - ESPECÍFICA... 05 Gabarito... 11 CAPÍTULO 0 - UFV - 010-1 a FASE... 17 Gabarito... 0 CAPÍTULO 1 - UNESP - 009... 9 Gabarito... 6 CAPÍTULO - UNIFENAS - 010-1 a FASE... 41 Gabarito... 4 CAPÍTULO - UNIFOA - 009... 49 Gabarito... 55 CAPÍTULO 4 - UNIRIO - 009-1 a FASE... 59 Gabarito... 64
CAPÍTULO 1 FUVEST - 009-1 a FASE 1) Há um ano, Bruno comprou uma casa por R$ 50.000,00. Para isso, tomou emprestados R$ 10.000,00 de Edson e R$ 10.000,00 de Carlos, prometendo devolver-lhes o dinheiro, após um ano, acrescido de 5% e 4% de juros, respectivamente. A casa valorizou % durante este período de um ano. Sabendo-se que Bruno vendeu a casa hoje e pagou o combinado a Edson e Carlos, o seu lucro foi de a) R$ 400,00 b) R$ 500,00 c) R$ 600,00 d) R$ 700,00 e) R$ 800,00 ) Na figura, B, C e D são pontos distintos da circunferência de centro O, e o ponto A é exterior a ela. Além disso, (1) A, B, C e A, O, D são colineares; () AB = OB; () CÔD mede a radianos. Nessas condições, a medida de ABO, em radianos, é igual a a) 4 d) 4 b) e) c)
QUESTÕES DE MATEMÁTICA NO VESTIBULAR - VOLUME ) O polinômio p(x) = x + ax + bx, em que a e b são números reais, tem restos e 4 quando dividido por x - e x - 1, respectivamente. Assim, o valor de a é a) -6 b) -7 c) -8 d) -9 e) -10 4) Os comprimentos dos lados de um triângulo ABC formam uma PA. Sabendo-se também que o perímetro de ABC vale 15 e que o ângulo  mede 10 O, então o produto dos comprimentos dos lados é igual a a) 5 b) 45 c) 75 d) 105 e) 15 5) O número real a é o menor dentre os valores de x que satisfazem a equação log 1 x log x a 4 Então, log é igual a: a) 1 4 c) 1 e) b) 1 d)
CAPÍTULO 1 FUVEST - 009-1 a FASE 6) A figura representa sete hexágonos regulares de lado 1 e um hexágono maior, cujos vértices coincidem com os centros de seis dos hexágonos menores. Então, a área do pentágono hachurado é igual a a) b) c) d) e) 7) Considere, no plano cartesiano Oxy, a circunferência C de equação (x - ) + (y - ) = 4 e sejam P e Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy, respectivamente. Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de base PQ, e com o maior perímetro possível. Então, a área de PQR é igual a a) b) 1 c) d) e) 4
4 QUESTÕES DE MATEMÁTICA NO VESTIBULAR - VOLUME 8) Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no formato de uma semiesfera de raio r; a outra, no formato de um cone reto de base circular de raio r e altura h; e a última, no formato de um cilindro reto de base circular de raio x e altura h. Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando completamente cheias, comportam a mesma quantidade de vinho, é correto afirmar que a razão x h é igual a a) b) c) 6 d) e) 4 9) O ângulo q formado por dois planos a e b é tal que 5 tg. 5 O ponto P pertence a a e a distância de P a b vale 1. Então, a distância de P à reta intersecção de a e b é igual a a) b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
CAPÍTULO 1 FUVEST - 009-1 a FASE 5 10) Dois dados cúbicos, não viciados, com faces numeradas de 1 a 6, serão lançados simultaneamente. A probabilidade de que sejam sorteados dois números consecutivos, cuja soma seja um número primo, é de a) 9 1 b) 4 c) 9 5 d) 9 e) GABARITO 1) C 50.000 x 0,0 = 1500 10.000 x 0,05 = 500 10.000 x 0,04 = 400 1.500 500 400 = 600 ou R$600,00 ) C a = q ABO ABO
6 QUESTÕES DE MATEMÁTICA NO VESTIBULAR - VOLUME ) A O resto da divisão de x + ax + bx por x é igual ao valor numérico de x = (Teorema do resto). () + () + b() = Þ 4a + b = -6 O resto da divisão de x + ax + bx por x 1 é igual ao valor numérico de x = 1 (Teorema do resto). (1) + a(1) + b(1) = 4 Þ a + b = 4a b 6 a b a 6b9 4) D S Se a, b e c formam uma P. A. de soma S, então b. Assim, os lados do triângulo são: 5 r, 5, 5 + r. Pela Lei dos co-senos: (5 + r) = 5 + (5 - r) -.5.(5 - r).cos 10 1 5 + 10r + r = 5 + 5-10r + r - 10(5 - r). 0r = 5 + 5(5 - r) 0r = 5 + 5-5r 5r = 50 r = Os lados do triângulo são:, 5, 7 e o produto p é dado por: P =. 5. 7 = 105
CAPÍTULO 1 FUVEST - 009-1 a FASE 7 5) B 1 x log 1 x log x log 1 x log x log x 1 x x 1 x x 8. x x 6 x 1 0 6 64 x 4 6 8 x 4 6 8 4 x' 4 6 8 4 x'' 4 Como a é a menor raiz da equação, temos: a= 4 a 4 log log 4 4
8 QUESTÕES DE MATEMÁTICA NO VESTIBULAR - VOLUME 44 log 1 log 6) E Note que: 1 QA e 1 PB NQA NPB Área (NQA) = Área (NBP) = Área (AMQ) Área (NQA) + Área (APB) = Área do triângulo equilátero e Área (NQA) + Área (AMQ)= Área do triângulo equilátero. Assim, Área do pentágono (NQABP) =. Área (NAB) Área = Área = 1. 4 7) D OR : y = x (x - ) + (y - ) = 4 (y=x) (x - ) + (x - ) = 4 x - 4x + 4 + x - 4x + = 4
CAPÍTULO 1 FUVEST - 009-1 a FASE 9 OR. OR RM OR OM RM RM Área =. Área = 8) E Volume da semiesfera = Volume do cone 1 4 1 r 4r h r h r r h Volume da semiesfera = Volume do cilindro 1 4 r x h
10 QUESTÕES DE MATEMÁTICA NO VESTIBULAR - VOLUME r x h h x h 16 h x h 16 h x 16 x h x 16 h x 4 h x 4, x 0 e h 0 h 9) C POQ 1 tg OQ 5 1 5 OQ OQ 5
CAPÍTULO 1 FUVEST - 009-1 a FASE 11 PQ 1 OQ PQ 1 5 PQ 6 devemos ter x 0. 10) A Dado 1 Dado 1 1 8 possibilidades 4 4 5 6 6 5 8 p 6 9