ASPECTOS GERAIS E AS LEIS DE KEPLER

16 ASPECTOS GERAIS E AS LEIS DE KEPLER Gil da Costa Maques Dinâmica do Movimento dos Copos 16.1 Intodução 16. Foças Centais 16.3 Dinâmica do movimento 16.4 Consevação do Momento Angula 16.5 Enegias positivas, negativas e nulas 16.6 Velocidade de Escape 16.7 Óbitas 16.8 As Leis de Keple 16.9 A velocidade adial: Afélio e Peihélio 16.1 O Efeito do Momento Angula: O Potencial Efetivo Licenciatua em Ciências USP/ Univesp

Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 389 16.1 Intodução Uma das gandes ealizações de Newton foi te conseguido deduzi as Leis de Keple, especialmente aquela que estabelece as cônicas como óbitas possíveis, a pati da sua teoia dinâmica e da ideia de que a foça gavitacional vaia com o inveso do quadado da distância ente os objetos que inteagem ente si. Na pate final deste texto abodaemos as leis de Keple, às quais se aplicam as foças atativas que deivam da enegia potencial dada pela expessão geal: k U( )= 16.1 Um caso paticula da expessão 16.1 é aquele de objetos de massa m (como cometas e planetas) gavitando em tono de uma estela de massa M, como o Sol. O mesmo se aplica a luas giando em tono de planetas. Nesse caso, de acodo com a Teoia da Gavitação Univesal, a enegia potencial de um desses objetos é dada po: GMm U( )= 16. Neste texto, deduziemos alguns esultados geais paa foças centais (como é o caso da foça gavitacional que esulta de uma distibuição esféica de massa) e discutiemos aplicações paa foças que dependem do inveso do quadado da distância. Exceto pelas leis de Keple, todos os esultados aqui deduzidos valem paa foças centais de uma maneia geal. 16. Foças Centais A foça gavitacional execida po um objeto cuja massa é distibuída de uma foma esfeicamente simética faz pate de um seleto gupo de foças conhecidas geneicamente como foças centais. Dinâmica do Movimento dos Copos

39 Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Adotando-se um sistema de coodenadas tal que a oigem esteja no cento de um objeto de gande massa, como o Sol, foças centais são aquelas que, utilizando coodenadas esféicas, podem se escitas sob a foma: F ()= F( ) 16.3 Figua 16.1: a foça agindo sobe o objeto de massa m é uma foça cental. onde F() é a componente adial da foça, e é a distância do copo que expeimenta tal foça até o cento onde se localiza o objeto que dá oigem a tal foça. Foças centais apontam sempe paa um cento, aqui localizado na oigem. O cento de foças gavitacionais paa objetos se movendo póximo do Sol é um ponto no cento do Sol. O cento de foças de objetos sob a influência gavitacional da Tea se localiza no cento da Tea. Essa ega é geal. Ou seja, o cento de foças de objetos, cujas distibuições de massas tenham simetia esféica, é o cento geomético dessa distibuição esféica. A inteação gavitacional dá luga a uma gandeza consevada ao longo do movimento. Como visto antes, tal gandeza é a enegia mecânica, a qual é dada po: E = m V + U 16.4 A foça, po outo lado, se elaciona de uma foma simples com a enegia potencial. Tal elação é: ( ) du F ( )= d 16.5 16 Aspectos Geais e as Leis de Keple

Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Uma caacteística impotante das foças centais é que patículas sob a ação dessas foças exibem outa gandeza consevada ao longo do movimento. Tal gandeza é o momento angula. De fato, da definição de momento angula segue que sua taxa de vaiação se anula: dl d( p) U() = = dt dt = O que nos leva a conclui que o momento angula é constante: 391 16.6 L L = 16.7 onde L é um veto constante. O fato do momento angula se consevado acaeta duas consequências desse. A pimeia consequência é que o movimento se dá inteiamente num plano. Pode-se deduzi esse fato consideando-se poduto escala do veto posição pelo veto momento angula. Tal poduto é nulo. Escevemos: L i = 16.8 Figua 16.: O movimento se dá num plano passando pela oigem. A equação 16.8 é a equação de um plano que passa, necessaiamente, pela oigem do cento de foça (uma vez que a oigem petence ao plano) e tendo o veto L como um veto pependicula a ele. A segunda consequência seá analisada posteiomente. 16.3 Dinâmica do movimento Tendo em vista que o movimento se dá num plano, podemos faze uso das coodenadas polaes paa descevê-lo. Utilizamos nesse caso, a base de vesoes já definida. Eles são denotados po: e e e ϕ 16.9 Dinâmica do Movimento dos Copos

39 Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Pimeiamente, ecodamos que em coodenadas polaes, a velocidade se esceve sob a foma: d d V dt dt e d ϕ = dt e + ϕ 16.1 Consequentemente, o veto momento angula se esceve como: Figua 16.3: Coodenadas polaes. L L k m d ϕ = dt k z 16.11 Indicando, como já pevisto, que ele é um veto pependicula ao plano da óbita. Consideemos agoa as componentes polaes da foça, as quais são definidas como podutos escalaes da foça pelos vesoes já efeidos (as pojeções). Essas componentes são dadas po: F F e F F e Lembamos que a equação de Newton se esceve, em coodenas polaes, como: ϕ ϕ 16.1 ma ma ϕ = F = F ϕ 16.13 Paa uma foça cental, temos que: F F e ( )= ( ) 16.14 E, potanto, a componente tangencial da foça se anula. Desse fato esulta que paa foças centais, as componentes das equações de Newton se escevem como: m d d F dt ϕ dt = ( ) d d d ϕ ϕ + = dt dt dt 16.15 16 Aspectos Geais e as Leis de Keple

Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Multiplicando a última equação po vemos que ela pode se escita como: d dt d ϕ dt = 393 16.16 Essa equação implica que a gandeza física definida como L m d ϕ z dt 16.17 é uma constante no tempo, isto é, dϕ t L m () t dt z () = L 16.18 De 16.18 podemos conclui que a segunda equação indica que o momento angula é consevado. Veemos que a consevação do momento angula implica na lei das áeas, uma das leis de Keple do movimento planetáio. E, potanto, no caso de uma foça cental, as equações se simplificam, pois elas se eduzem a uma lei de consevação do momento angula e uma equação da foma: m d d F dt ϕ dt = ( ) 16.19 16.4 Consevação do Momento Angula As leis de consevação da enegia e do momento angula desempenham um papel muito impotante no estudo do movimento de patículas quando estas se movem sob a ação de uma foça cental. Consideemos pimeiamente a consevação do momento angula. A segunda equação de movimento expessa, na ealidade, a consevação da componente z do momento angula, isto é: dϕ t L m () t dt z () = L 16. Dinâmica do Movimento dos Copos

394 Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Isso tem uma consequência dinâmica, uma vez que a difeencial da vaiável φ é tal que L d ϕ= m dt 16.1 E, como consequência, uma vez conhecida a distância até o cento de foças como função do tempo, podemos detemina o ângulo como função do tempo atavés da integal: L 1 ϕ() t ϕ( t ) = dt m ( t ) t t 16. A outa consequência do fato de que o momento angula se conseva tem a ve com a Lei das Áeas. Pode-se ve, da Figua 16.4, que um elemento infinitesimal da áea vaida pelo veto posição é dada pela áea do tiângulo da Figua 16.4, cujos lados são dθ e. O valo dessa áea infinitesimal é dado po: 1 1 da = ( dϕ)= dϕ 16.3 A taxa com que essa áea muda com o tempo seá, potanto: Figua 16.4: Áea vaida pelo veto posição. da dt = 1 d ϕ dt De 16.4 segue, potanto,que da dt Lo = m 16.4 16.5 Figua 16.5: Lei das áeas. Donde se infee que paa intevalos de tempos iguais, o aio veto de posição vae áeas iguais. Na ealidade, 16 Aspectos Geais e as Leis de Keple

Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 395 de 16.5 concluímos mais gealmente que a taxa com que o aio veto de posição vae áeas é constante com o tempo. A segunda lei é apenas uma das consequências da expessão 16.5, a qual esulta da consevação do momento angula da patícula. A lei das áeas se aplica a qualque foça cental. 16.5 Enegias positivas, negativas e nulas A enegia de uma patícula, sujeita a uma foça cental, pode assumi valoes positivos, negativos ou ela pode se nula. Consideemos, po exemplo, o lançamento de um pojétil de massa m conta o campo gavitacional da Tea. A enegia mecânica da massa (patícula) é: GM m E = 1 mv ( ) Tea No caso em que a enegia fo positiva, escevemos: E > 16.6 Paa enegia positivas, o movimento de um objeto não é estito a uma egião finita no espaço. Note-se que se tomamos na expessão 16.4 =, e levando em conta o potencial dado po 16., não chegamos a qualque inconsistência. Nesse caso, o valo de enegia no infinito é aquele dado pelo valo da sua enegia cinética quando a patícula estive muito longe. A consequência disso é que uma patícula com enegia positiva tem uma óbita hipebólica. Nesse caso haveia um ponto de máxima apoximação do cento de foças. Seia um ponto de etono ao longo da tajetóia. Figua 16.6: Quando a enegia mecânica fo positiva, a tajetóia seá um amo de hipébole. Dinâmica do Movimento dos Copos

396 Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 No caso em que a enegia fo nula. E = 16.7 O movimento da patícula não é, igualmente, estito a uma egião finita do espaço. Isto é, ela pode atingi pontos a gandes distâncias do copo que pomove a atação gavitacional. Esse caso difee do anteio pelo fato de que ao tomamos, obtemos que 1 E = MV = 16.8 Ou seja, no infinito a patícula está em epouso. O caso de enegia zeo tem esse significado físico. A sabe, quando a patícula está muito longe do cento da foça gavitacional, ela se enconta em epouso. A tajetóia da patícula, no caso de enegia nula, é uma paábola. Figua 16.7: Tajetóia paabólica ocoe quando a enegia mecânica é nula. O caso de enegias negativas, isto é, E < 16.9 tem um significado físico bastante simples. Uma patícula sujeita a um campo gavitacional, e com enegia negativa, não pode atingi um ponto no infinito. 16 Aspectos Geais e as Leis de Keple

Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 397 De fato, de 16.4, e levando em conta o potencial dado po 16., vê-se que paa teíamos uma inconsistência, uma vez que nesse limite teíamos E m = v 16.3 o que paa E < acaeta uma inconsistência. Potanto, atingi um ponto no infinito é impossível, independentemente do valo de v. Assim, enegia negativa de uma patícula significa que o movimento da mesma é estito a uma ceta egião do espaço. Paa enegias negativas teíamos dois tipos de tajetóias: tajetóias ciculaes e tajetóias elípticas. Essas últimas são as tajetóias dos planetas em tono do Sol. As pimeias coespondem a tajetóias de alguns satélites que ciculam em tono da Tea. Figua 16.8: Tajetóia elíptica, quando a enegia mecânica fo negativa. 16.6 Velocidade de Escape A consevação da enegia favoece enomemente a análise dos movimentos quando o copo se enconta sob a ação da foça gavitacional. Ao atiamos alguns objetos paa cima (na dieção vetical), veificamos que ele atinge uma altua máxima (h max ) na qual ele páa instantaneamente e depois volta. Se o objeto fo atiado de uma altua h a pati da supefície teeste com velocidade v (na dieção vetical) então sua enegia no instante em que ele é atiado é dada po: E m GmM = v R+ h 16.31 Dinâmica do Movimento dos Copos

398 Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 No ponto no qual ele atinge a altua máxima (h max ), sua enegia cinética seá nula pois nesse ponto o objeto estaá instantaneamente em epouso. Nessas cicunstâncias, podemos esceve a enegia: GmM E = R + h max 16.3 Assim, no ponto no qual ele atinge a altua máxima, toda sua enegia mecânica está sob a foma de enegia potencial. Como a enegia se conseva podemos esceve a seguinte igualdade: 1 GmM E = mv R+ h GmM = R + h max 16.33 De 16.33 concluímos que a altua máxima seá obtida a pati da expessão: R+ h R+ h = 1 v R+ h GM Da expessão acima notamos que, à medida que v fo cada vez maio, tanto maio seá a altua máxima atingida. O que, afinal, é um esultado bastante conhecido na pática. Podemos assim imagina que paa uma dada velocidade o objeto nunca mais etonaá à tea. A velocidade de escape é a velocidade mínima necessáia paa que o objeto vá paa o infinito e sem qualque chance de etono. Isto é, objeto escapa paa não mais volta. A condição de esta no infinito é equivalente a toma o limite: max 16.34 h max 16.35 Dessa foma obtemos que a velocidade de escape paa um objeto a uma altua h acima da supefície da Tea é dada po: GM v = e R + h ( ) 16.36 Paa um objeto sobe a supefície a velocidade de escape é: GM v = e R 16.37 16 Aspectos Geais e as Leis de Keple

Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 399 16.7 Óbitas O poblema das óbitas num campo de foças gavitacionais pode se esolvido a pati da consevação da enegia e da consevação do momento angula. A consevação da enegia implica que, ao longo do movimento, utilizando as coodenadas polaes, temos a seguinte identidade: Utilizando agoa a consevação do momento angula, a enegia se esceve agoa como função apenas da deivada de com espeito ao tempo e da pópia vaiável. Obtemos explicitamente: Podemos agoa intepeta a igualdade acima como uma equação difeencial paa a vaiável. A solução dessa equação difeencial nos levaá a uma das cuvas conhecidas como cônicas, ou secções cônicas. O tipo de cônica dependeá da enegia da patícula. A óbita em qualque caso dependeá dos valoes da enegia e do momento angula. Levando-se em conta que a enegia mecânica e o momento angula são consevados, podemos esceve: E m d = dt + dϕ dt E m d L = dt + m mmg mmg 16.38 16.39 E m d L = U dt + 1 m + ( ) 16.4 Outa foma de investiga a solução paa as óbitas é po meio da consevação da enegia. De fato, de 16.4 segue que a enegia. E d L 1 U( ) m =± m dt 16.41 Dinâmica do Movimento dos Copos

4 Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Utilizando a elação dada em 16., temos que: E 1 d L =+ L m d ϕ 1 U m ( ) 16.4 Fazendo agoa outa mudança de vaiáveis, ou seja, definindo a vaiável u = 1/ e integando membo a membo a expessão acima, obtemos a solução paa óbita a pati de uma integal que é fácil de efetua em alguns casos, como no caso da foça gavitacional. Tal integal é: ϕ = ϕ u u ( U( u) ) m E Esta é a solução paa a óbita consideando uma foça cental a mais geal possível. L du u 16.43 16.8 As Leis de Keple No caso de uma foça cental da foma 16.1, a integal 16.43 se eduz à expessão: ϕ = ϕ u u me mk + L L u u du 16.44 onde k, no caso da foça gavitacional, é dado po: k = GmM 16.45 A integal acima se eduz a uma integal que pode se encontada em tabelas de integais, ou efetuando manipulações simples. Essa integal é da foma: dx 1 b ax ax + bx + c = + accos a 16.46 16 Aspectos Geais e as Leis de Keple

Onde, no caso específico de uma foça atativa, temos: Assim, a solução paa a óbita é: = = mk b ac L + EL 4 1 mk ϕ= ϕ accos Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 L u 1 mk 1+ EL mk 41 16.47 16.48 Isto é: A qual, escita em temos da vaiável, assume a foma da equação descevendo uma cônica. 1 1 1 mk EL = + + cos ϕ ϕ L mk ( ) 16.49 Donde infeimos que a excenticidade depende de uma foma simples do sinal da enegia. ε= 1+ EL mk 16.5 Paa enegias negativas, mas, tais que mk E L 16.51 a óbita seá uma elipse. Vê-se que de 16.49 obtemos nesse caso a segunda lei de Keple. Vemos de 16.49 e de 16.5 que o semi-eixo maio definido como: + + L 1 a = = mk + + 1 1 ε 1 ε 16.5 se esceve como: L a ( 1 ε )= mk 16.53 Dinâmica do Movimento dos Copos

4 Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Potanto, tendo em vista que a excenticidade é expessa em temos da enegia da patícula de acodo com a expessão 16.5,vemos que o semi-eixo maio é, essencialmente, uma função da enegia. Ele decesce com a enegia de acodo com a expessão: a k = E 16.54 Tendo em vista a expessão paa o semi-eixo meno em função do semi-eixo meno, temos que: b= a L mk 1 16.55 Lembando que a áea de uma elipse em temos do eixo maio e do eixo meno é dada po: A=πab 16.56 E utilizando a lei das áeas, obtemos a elação: πab Lo = m T 16.57 Donde obtemos, a pati de 16.56, a teceia lei de Keple: T π GM a = ( ) 3 16.58 Paa enegias positivas, a óbita é uma hipébole. O ponto de máxima apoximação é aquele que satisfaz a equação: E L 1 k = m 16.59 Quando a enegia é nula, a tajetóia é uma paábola, e a máxima apoximação da patícula é dada pela expessão acima, tomando-se a enegia igual a zeo. Tem-se nesse caso que: L = mk 16.6 16 Aspectos Geais e as Leis de Keple

Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 43 Figua 16.9: As váias cônicas. 16.9 A velocidade adial: Afélio e Peihélio De acodo com a expessão 16.4, a velocidade adial de um copo celeste obitando em tono do Sol é dada po: Assim, a pati da expessão 16.61 podemos conclui que a velocidade adial de um copo celeste, como um planeta, aumenta (caso associado ao sinal positivo da expessão 16.61) quando este se apoxima do Sol (associados a valoes de cada vez menoes). O ponto de máxima apoximação (o peihélio) é macado po uma inflexão no sinal da velocidade. A velocidade adial se anula nesse ponto. Ou seja: d dt m E L 1 =± + m GmM 16.61 d dt = 16.6 Daí esultando que o peihélio,, que é o ponto de máxima apoximação, é dado po: E L 1 GmM + = m 16.63 Dinâmica do Movimento dos Copos

44 Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 quando tomamos a aiz de meno valo dessa equação de segundo gau. Obtemos: = L 1 mgm 1+ ε 16.64 No entanto, a velocidade adial se eduz quando da apoximação do ponto de máximo afastamento (o afélio). Nessa fase, utilizamos o sinal ( ) da expessão 16.61. Ao atingi o ponto de máximo afastamento, +, a velocidade adial se anula. Assim,esse valo da distância até o Sol pode se deteminado a pati da equação 16.63, tomando agoa a aiz de maio valo dessa equação de segundo gau. Obtemos assim: + = L 1 mgm 1 ε 16.65 Como ega geal, o mesmo se aplica a qualque foça cental. A velocidade adial aumenta em cetos intevalos de tempo e diminuem em outos. Nos pontos de etono, nos quais a velocidade adial se invete, o móvel tem uma velocidade adial nula e isso nos pemite detemina-los po meio de uma equação análoga a 16.63. 16.1 O Efeito do Momento Angula: O Potencial Efetivo Se a foça gavitacional é sempe atativa, poque os planetas não caem em dieção ao Sol? A esposta a essa pegunta tem a ve com o momento angula de um objeto, como um cometa ou um planeta, ou ainda os meteoitos quando sujeitos à ação do Sol. Paa entendemos isso, consideemos os dois últimos temos de 16.4 a qual nos dá a enegia de um planeta de massa m sob a ação do potencial gavitacional poduzido pelo Sol (admitido como tendo massa M). Estes temos definem o potencial dito efetivo o qual se esceve como: ef L 1 U ( )= m GmM 16.66 16 Aspectos Geais e as Leis de Keple

Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 45 O pimeio temo do potencial efetivo (16.66) está associado ao momento angula do objeto que se enconta sob o efeito da gavitação povocada pela sua inteação com o Sol. O gáfico desse potencial, dito efetivo, é apesentado a segui (Gáfico 16.1). Gáfico 16.1: A enegia Potencial efetiva de um planeta depende da distância até o cento de foças. Ela é a soma (epesentada pela co azul) da enegia potencial gavitacional (co vede) mais o potencial centífugo (co vemelha). Obsevando o Gáfico de co vemelha em 16.1, pecebemos que o efeito do momento angula é gea um potencial epulsivo, não pemitindo assim que um copo celeste se apoxime e colida com o Sol. Ele só pode chega até uma distância mínima conhecida como peiélio. Se, po outo lado o momento angula fo nulo, teíamos apenas o efeito da foça gavitacional (em vede no Gáfico 16.1). Nesse caso ela cai em dieção ao cento de foças. No caso dos planetas isso equivale a cai em dieção ao Sol. Ou seja, objetos não dotados de momento angula não obitam. Caem, simplesmente. Agoa é sua vez... Acesse o Ambiente Vitual de Apendizagem e ealize a(s) atividade(s) poposta(s). Dinâmica do Movimento dos Copos