Estatístca Dscplna de Estatístca 0/ Curso Superor de tecnólogo em Gestão Ambental Profª. Me. Valéra Espíndola Lessa e-mal: lessavalera@gmal.com
Meddas de Dspersão Indcam se os dados estão, ou não, prómos uns dos outros; Aula as meddas de centralzação; Eemplo : Ao aplcar uma prova a dos grupos de 4 alunos, tem-se as notas:
Ao se calcular a méda, moda e medana, temos: Quanto mas os dados varam, menos representatva é a méda.
Eemplo : Observe as notas de três competdores em uma prova: Competdor A: 7,0 5,0,0 Competdor B: 5,0 4,0 6,0 Competdor C: 4,0 4,0 7,0 Ao calcular a méda das notas dos três competdores remos obter méda 5 para todos, mpossbltando a nossa análse sobre a regulardade dos competdores; Partndo dessa dea, precsamos adotar meddas que apresente a varação das notas para realzar a análse; O Competdor com menor varabldade é o que se aproma mas da méda; 4
Tpos de Meddas de Dspersão Ampltude Total; Desvo Médo; Varânca; Desvo Padrão; Coefcente de Varação. 5
Ampltude Total (At) Já vmos que a At é a dferença entre o maor valor e o menor da amostra; At má mín Se os dados estão agrupados em classes se faz a dferença entre o lmte superor da últma classe e o lmte nferor da prmera classe; 6
A ampltude total tem a desvantagem de só levar em conta os dos valores etremos, por sso é apenas uma ndcação apromada da dspersão; Outra desvantagem é que a ampltude total apresenta muta varação de uma amostra para outra, mesmo que ambas sejam etraídas da mesma população. 7
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Desvo Médo (d m ) É uma méda realzada com o somatóro das dferenças entre cada dado da amostra e a méda artmétca. d m n n Para dados em dstrbução de frequêncas d m n n F Para dados agrupados em classes, usar no lugar do o ponto médo da classe. 9
Eemplo : Numa prova, 5 alunos obtveram as seguntes notas: 5, 6, 9, 0, 0. Calcular o desvo médo. º) º) X 5 6 9 0 0 5 40 5 8 d m 5 8 6 8 9 8 5 0 8 0 8 5 0 5 Conclusão: Em méda, a nota dos alunos fo desvada da méda em pontos. 0
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Eemplo 4: A partr das nformações do eemplo sobre as notas de três competdores, vamos calcular seus desvos médos. Competdor A: 7,0 5,0,0 Competdor B: 5,0 4,0 6,0 Competdor C: 4,0 4,0 7,0 X 5 d d d m(a) m(b) m(c) 7 5 5 5 4 5 5 5 4 5 4 5 5 6 5 7 5 0, 0 0,66, Conclusão: o Competdor mas regular, ou seja, o que menos se desvou da méda fo o Competdor B. Mas temos um empate entre A e C. Como saber o que fo mas regular nas suas notas?
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O desvo médo, apesar de representar bem a varabldade dos dados, não oferece mutos detalhes, e portanto, não é muto utlzado nas pesqusas estatístcas; Em alguns casos, há empate no valor do desvo médo e não consegumos calcular a varabldade; Geralmente utlza-se a fórmula do desvo médo para encontrar a varânca e o desvo padrão, que são mas utlzados e dão mas nformações; 4
Varânca (σ ou s ) Eleva-se a dferença entre os dados e a méda ao quadrado. Há uma dferencação nas notações e nas fórmulas quando estamos ldando com dados de toda uma população ou com dados de uma amostra; Varânca Populaconal: σ e N Varânca Amostral: s e n Letra grega sgma mnúscula 5
6 Populaconal(σ ) Amostral (s ) Dados não agrupados Dados agrupados N F n N n n s n n F s n
Fórmulas mas Prátcas sem a Méda 7 Populaconal(σ ) Amostral (s ) Dados não agrupados Dados agrupados N N n n s N F F N n F F n s
A varânca dá a nformação referente a posção que os dados estão da méda; No momento que elevamos as dferenças ao quadrado, deamos de ter a mesma undade de medda anteror, no caso notas ; Assm, o resultado da varânca não será mas nota e sm um número que nforma uma posção da méda. Para compreender melhor, vamos retomar o eemplo dos competdores A, B e C; Eemplo 5: Calcular a varânca do eemplo. Como estamos ldando com toda a população, usaremos a fórmula do σ 8
9 4 5 7 5 4 5 4 0,66 0 5 6 5 4 5 5,66 4 0 4 5 5 5 5 7 (C) (B) (A) Usando a Fórmula com Médas: Usando a Fórmula Prátca sem Médas: (uma tabela ajuda) X Σ X X Σ X A 7, 5, 5 49, 5, 9 8 B 5, 4, 6 5 5, 6, 6 77 C 4, 4, 7 5 6, 6, 49 8 N N Prmero eleva-se os termos ao quadrado e depos soma-se Prmero soma-se os termos e depos eleva-se ao quadrado
(A) (B) (C) 5 8 5 77 5 8 8 75 77 75 8 8 6 8 75 6,66 0,66 Competdore s Méda Ampltude Desvo Médo Varânca A 5 4,,66 B 5 0,66 0,66 C 5, Conclusão: Comparando A e C, vemos que o Competdor C está mas prómo da regulardade do que o Competdor A. 0
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Entretanto, ao calcular a varânca observa-se que o resultado será dado em undades quadrátcas, o que dfculta a sua nterpretação. O problema é resolvdo etrando-se a raz quadrada da varânca, defnndo-se, assm, o desvo padrão.
Desvo Padrão (σ ou s) Então, para calcular o desvo padrão é necessáro prmero calcular a varânca e depos etrar a raz quadrada do resultado. ou s s Assm, o desvo padrão tem a mesma undade de medda dos dados orgnas, e portanto, faclta a nterpretação.
Eemplo 6: Calcular o desvo padrão do eemplo, dos competdores: (A) (B) (C) Competdor es (A) (B) (C),66 0,66,4,6 0,8 Méda Ampltude Desvo Médo Conclusão: O desvo padrão é a medda que melhor nforma a regulardade dos dados. Se fossemos ordenar os competdores teríamos: º lugar B º lugar C º lugar A Varânca Desvo Padrão A 5 4,,66,6 B 5 0,66 0,66 0,8 C 5,,4 4
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Importante! Usar o Desvo Padrão para comparar a varabldade, quando: mesmo número de observações (mesmo n) mesma undade; (mesmo tpo de elementos) mesma méda artmétca. 6
Se qusermos comparar duas ou mas amostras de valores epressas em undades dferentes, (e. peso e altura) não poderemos fazer a comparação por meo do desvopadrão. Daí usa-se o Coefcente de Varação 7
Coefcente de Varação (CV) É uma medda de dspersão epressa em Porcentagem (medda relatva); Pode ser usado para comparar amostras em mesma undade ou undades dferentes; E pode ser usado para comparar a varabldade dos dados tendo médas dferentes. CV s 00 8
Eemplo 7 (varáves com undades dferentes) : Um eame físco eamnou 6 ndvíduos cujos pesos (kg) foram: 68; 70; 86; 55; 75 e 90. No mesmo eame, foram também tomadas meddas de altura (cm), com os seguntes valores: 70; 60; 64; 64; 70 e 80. Os ndvíduos apresentam maor varabldade no peso ou altura? Méda Desvo Padrão Coefcente de Varação Peso (kg) 74,65 (,65/74). 00 = 5,75% Altura (cm) 68 6,4 (6,4/68).00 =,8% Conclusão: Os ndvíduos possuem maor varabldade no peso, analsando o CV. Não podemos comparar os desvos padrão, pos, os dados têm undades e médas dferentes. 9
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Eemplo 8 (Varáves com mesma undade, mas com médas dferentes): Em uma empresa o saláro médo dos homens é de R$ 4.000,00, com desvo padrão de R$.500,00; e o saláro médo das mulheres é de R$.000,00, com desvo padrão de R$.00,00. A dspersão relatva dos saláros é maor para homens? Méda (R$) Desvo Padrão Coefcente de Varação Homens 4.000.500 (.500 / 4.000) 00 = 7,5% Mulheres.000.00 (.00 /.000 ) 00 = 40% Conclusão: Não, a dspersão relatva dos saláros é maor para mulheres.
Eemplo 9 (Meddas de Dspersão em Tabela de Frequênca) Calcular a varânca, o desvo padrão e o coefcente de varação. X 5 6 7 F 4 5 º) Calcular a Méda: 4 5 5 5 6 7 7 5 4,7
º) Calcular a Varânca: N F F N X 5 6 7 Σ F 4 5 5 X. F 5 8 4 7 X. F 4 6 5 08 98 7 5 5 7 7 5 5 7 6,07 4,9,
º) Calcular o desvo padrão:,,5 4º) Calcular o CV: CV.00,5.00 4,7,55% 4
Eemplo 0 (Meddas de Dspersão em Tabela de Frequênca Agrupadas por Classes) Calcular a varânca, o desvo padrão e o coefcente de varação, na dstrbução amostral abao: Classes --4 4 --6 6 --8 8 --0 0 -- F 4 7 4 º) Organzar a tabela e calcular a méda Classes X F X. F --4 6 4 --6 5 4 0 6 --8 7 7 49 44 0 7, 8 --0 9 4 6 0 -- Σ 0 44 5
º) Inserr mas uma coluna na tabela e calcular a Varânca. Classes X F X. F X.F --4 6 8 4 --6 5 4 0 00 s n F F n 6 --8 7 7 49 4 8 --0 9 4 6 4 0 -- 6 Σ 0 44 48 s 48 0 44 0 9, 5,85 6
º) Calcular o desvo padrão. 5,85,4 4º) Calcular o Coefcente de Varação CV.00,4.00 7,,6% 7
Eemplo de relação entre Méda e Desvo Padrão O resultado de uma prova (vestbular), normalmente, é conhecdo através da: méda, desvo padrão e dstrbução de frequêncas do número de acertos dos canddatos; Numa dstrbução de frequêncas, há três meddas mportantes: a moda, a medana e a méda; MODA => é o "pco", sto é, o ponto no eo das abscssas de maor freqüênca 8
MEDIANA => é o ponto que dvde as ocorrêncas em duas frações guas; MÉDIA => é o ponto que fara com que o gráfco fcasse equlbrado, não nclnando nem para a esquerda nem para a dreta (centro de gravdade da fgura) 9
Após a realzação de uma prova e a análse dos acertos, é possível calcular a méda e o desvo padrão da prova. Com sso, o canddato pode saber sua nota. Vamos supor que numa prova de 5 questões, a méda tenha sdo 8 e o desvo,5. Isso sgnfca que a maor parte dos canddatos acertaram entre 5,5 e 0,5. Se o canddato conseguu acertar mas do que a méda e um desvo, terá uma nota bastante satsfatóra. 40
O gráfco mostra uma dstrbução normal rgorosamente smétrca. No centro da dstrbução, concdem méda, medana e moda. Uma curva de dstrbução normal (ou Curva de Gauss) tem como característca englobar 99,7% das ocorrêncas no ntervalo compreenddo entre a méda e ± desvos padrão. 4
O desvo padrão de uma prova mede o quanto o conjunto de canddatos se dstancou da méda, tanto além como aquém do centro de dstrbução. Aqu temos Méda de,5 e desvo padrão de 4 4
Espera-se que o resultado da aplcação de uma prova gere uma "curva de dstrbução normal", sto é, essa prova deve gerar uma méda de 5 acertos e os canddatos devem estar dstrbuídos smetrcamente entre zero e 0 acertos. Mas sso é muto dfícl de acontecer em vrtude de outros fatores: nível de dfculdade da prova e preparação dos estudantes. Gerando curvas, na maora das vezes, assmétrcas. 4
- Lsta de Eercícos - Fazer no Ecel- 44