A TRANSFORMADA NUMÉRICA DE HARTLEY E GRUPOS DE INTEIROS GAUSSIANOS

A TRANSFORMADA NUMÉRICA DE HARTLEY E GRUPOS DE INTEIROS GAUSSIANOS D. Slva, R. M. C. de Souza,, H. M. de Olvera, L. B. E. Palma e M. M. C. de Souza Resumo -Transformadas dscretas desempenham um mportante papel em Engenhara e suas aplcações devemse prncpalmente à exstênca das chamadas transformadas rápdas. Especfcamente, transformadas dscretas defndas sobre corpos fntos são atraentes por não ntroduzrem erros de truncagem ou arredondamento, e por permtrem aplcações com artmétca de baxa complexdade. Neste artgo, a Transformada Numérca de Hartley (TNH) é ntroduzda e a partr da mesma a Transformada Numérca de Hartley-Mersenne é defnda e algumas transformadas sem multplcações são apresentadas. Algumas estruturas algébrcas relaconadas com a Transformada de Hartley de Corpo Fnto são estabelecdas e, em partcular, os grupos dos módulos e das fases de um corpo fnto são ntroduzdos, o que leva a uma representação polar dos elementos do corpo fnto GF(p ). Aplcações envolvendo a TNH são dscutdas. Palavras-Chave: Transformadas em corpos fntos, transformadas numércas de Hartley, grupos de nteros gaussanos. Abstract - Fnte feld transforms are attractve snce they do not ntroduce roundoff errors and, n many cases, can be mplemented wth a low computatonal complexty. In ths paper, the Hartley Number-Theoretc Transform (HNTT) s ntroduced. In partcular, the Mersenne HNTT s defned and some multplcaton free transforms are gven. Some algebrac structures that are related to the HNTT are ntroduced and, n partcular, the group of modules and the group of phases of a fnte feld are defned, whch allows the constructon of a polar representaton for the elements of the Galos feld GF(p ). A few applcatons nvolvng the TNH are dscussed. Keywords: Fnte feld transforms, Hartley number theoretc transforms, groups of gaussan ntegers. 1. INTRODUÇÃO Transformadas Dscretas defndas sobre corpos fntos são ferramentas que, embora recentes, desempenham um papel mportante em Engenhara. A transformada de Fourer em um corpo fnto fo ntroduzda em [1] como uma ferramenta para efetuar convoluções dscretas fntas usando Os autores são do Grupo de Pesqusa em Comuncações - CODEC, Depto. de Eletrônca e Sstemas, UFPE, CP.78, CEP 5711-97, Recfe, PE. E-mals: lucanabeltrao@hotmal.com, {rcardo, hmo, marcam}@npd.ufpe.br, danlos@hotlnk.com.br. Edtores responsáves: Antono Sérgo Bezerra Sombra e Max Gerken. Data de recebmento: 31/Dez/1; data da revsão: 15/Mar/, data de acetação: 8/Abr/. artmétca ntera. Posterormente, ela veo a ser utlzada em mutas outras aplcações, sobretudo nas áreas de Processamento Dgtal de Snas, Teora da Informação, Códgos Corretores de Erros e Crptografa [-6]. Recentemente, a transformada de Hartley sobre corpos fntos fo ntroduzda em [7], [8], a qual apresenta propredades de smetra que a tornam mas atraente, para dversas aplcações, que a transformada de Fourer de corpo fnto, e tem mportantes aplcações no campo da multplexação dgtal [9], [1]. Transformadas em corpos fntos que mapeam vetores de GF(p) em vetores de GF(p) e, portanto, empregam artmétca módulo p, são chamadas transformadas numércas. Tas transformadas não provocam erros de arredondamento ou overflow e tem, em mutos casos de nteresse prátco, uma mplementação em hardware smples. Um exemplo bem conhecdo de tal transformada é a Transformada Numérca de Fourer [11]. Neste artgo, uma nova transformada numérca é ntroduzda, a Transformada Numérca de Hartley, e algumas estruturas algébrcas fntas relaconadas com a mesma são dscutdas. Em partcular, os grupos dos módulos e das fases de um corpo fnto são ntroduzdos e uma representação polar dos elementos do corpo fnto GF(p ) é proposta. Aplcações envolvendo a Transformada Numérca de Hartley são apresentadas. Na próxma seção são apresentados alguns fundamentos matemátcos que consttuem ferramentas essencas para os resultados contdos neste trabalho. Na Seção 3, as transformadas de Fourer e de Hartley de corpo fnto são revstas e a TNH é defnda usando-se os nteros gaussanos sobre GF(p). Na Seção 4, as Transformadas Numércas de Hartley-Fermat (TNHF) e Hartley-Mersenne (TNHM) são consderadas, onde são usados, respectvamente, os corpos fntos GF( s +1) e GF( s -1). Nesta seção algumas famílas de transformadas numércas cuja mplementação não requer multplcações são construídas. Tas transformadas requerem apenas deslocamentos cíclcos, adções e subtrações para serem computadas, o que as torna atraentes para aplcações devdo à sua baxa complexdade computaconal. Na Seção 5 é ntroduzda a déa de uma representação polar para corpos fntos. Isto requer uma nova defnção de módulo que seja adequada para os elementos do corpo fnto GF(p ), a qual é obtda vnculando-se o módulo do elemento à condção de resíduo quadrátco módulo p. Na Seção 6 o conceto de grupo unmodular é estenddo e a estrutura algébrca denomnada grupo supra-unmodular é defnda e algumas de suas propredades nvestgadas. Aplcações dos concetos ntroduzdos são consderadas na Seção 7 no contexto das transformadas numércas. A Seção 8 propõe um algortmo 48

Revsta da Socedade Braslera de Telecomuncações Volume 17, Número 1, Junho de para computar a TNH, após o que algumas conclusões são apresentadas na Seção 9.. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS Esta seção apresenta uma breve ntrodução às prncpas ferramentas matemátcas usadas neste trabalho, os nteros gaussanos e as funções k-trgonométrcas, ambas defndas sobre corpos fntos..1 INTEIROS GAUSSIANOS SOBRE CORPOS FINITOS A estrutura algébrca GI(q) dos nteros gaussanos sobre um corpo fnto é construída a partr do processo de extensão de um corpo base, de forma análoga à extensão realzada pelos números complexos sobre o corpo dos números reas. As condções para a construção deste corpo de extensão mpõem restrções mportantes sobre a escolha da ordem do mesmo, como mostrado na defnção a segur. Defnção 1: G(q) := {ζ = α + jβ, α, β GF(q)}, onde q = p r, com p 3 (mod 4), r um ntero ímpar e j = 1, é o conjunto de Interos Gaussanos sobre GF(q). Proposção 1: Sejam as operações e *, defndas sobre os elementos de G(q), dadas por : G(q) G(q) G(q) (α 1 + jβ 1, α + jβ ) (α 1 + jβ 1 ) (α + jβ ) = (α 1 + α ) + j(β 1 + β ) e *: G(q) G(q) G(q) (α 1 + jβ 1, α + jβ ) (α 1 + jβ 1 )*(α + jβ ) = (α 1 α - β 1 β ) + j(α 1 β +α β 1 ). A operação denota o produto cartesano. A estrutura GI(q) = <G(q),, *> é um corpo somorfo a GF(q ) [11]. A artmétca descrta na Proposção 1 é análoga à artmétca dos números complexos.. AS FUNÇÕES K-TRIGONOMÉTRICAS Esta seção apresenta uma defnção de funções trgonométrcas sobre corpos fntos, no sentdo de que possuem propredades semelhantes às das funções trgonométrcas classcamente defndas. As famílas de funções cos k (.) e sen k (.) são ncalmente apresentadas e, a segur, derva-se destas funções báscas a famíla de funções cas k (.) e o resultado prncpal desta seção, o Teorema 1. Este teorema fornece os elementos para a defnção da transformada de Hartley em um corpo fnto (Seção 3). Defnção : Seja ζ um elemento não nulo em GI(q), com q = p r e p é um prmo ímpar da forma 4k + 3. As funções k- trgonométrcas de (ζ ) (arco do elemento ζ ) em GI(q), são cos k ( ζ ) := (ζ k + ζ -k ) / e sen k ( ζ ) := (ζ k - ζ -k ) / j, onde q = p r, ζ tem ordem N, N q -1 e,k =, 1,..., N-1. Esta defnção só faz sentdo se GI(q) for um corpo, pos apenas nesta estrutura é garantda a exstênca de uma potênca negatva do elemento ζ. Este é razão da exgênca p 3 (mod 4). Defnção 3: Seja ζ um elemento não nulo em GI(q). A função cas k ( ζ ) em GI(q), é cas k ( ζ ) := cos k ( ζ ) + sen k ( ζ ) A função cas k (.), assm como no caso da trgonometra usual, é defnda como a soma das funções seno e cosseno. As propredades desta função k-trgonométrca, defnda num corpo fnto, são semelhantes às propredades da função cas(θ) defnda sobre o corpo dos números reas. O teorema a segur estabelece a ortogonaldade da função cas k (.) [1]. Teorema 1: N 1 cas k ( ζ )cas k ( ζ t ) = k= N onde ζ GI(q) tem ordem multplcatva N., = t,, t 3 A TRANSFORMADA NUMÉRICA DE HARTLEY As chamadas transformadas numércas de Fourer são ferramentas atraentes para dversas aplcações por apresentarem as mesmas propredades báscas das transformadas dscretas clásscas e permtrem, em mutos casos, mplementações com complexdade computaconal baxa. Nesta seção uma transformada numérca do tpo Hartley é ntroduzda. Defnção 4: Seja f = (f, f 1,..., f N-1 ) um vetor de comprmento N e componentes em GF(q), onde q = p r. Então o vetor F = (F, F 1,..., F N-1 ), com componentes em GF(q m ) dadas por N = 1 k Fk f α, = onde α é um elemento de ordem N em GF(q m ), é a Transformada de Fourer de Corpo Fnto (TFCF) de f. Quando r = m = 1, a transformação mapea vetores com elementos em GF(p) e é chamada Transformada Numérca de Fourer (TNF). A TNF está restrta aos comprmentos N para os quas exste um elemento α de ordem N em GF(p), ou seja, N precsa ser um dvsor de (p-1), o que nem sempre resulta em escolhas de nteresse prátco. No que se segue, GI(q m ) denota o conjunto de nteros gaussanos sobre GF(q m ), sto é, o conjunto dos nteros da forma a + jb, onde a, b GF(q m ) e j GF(q m ) é tal que j = -1. Por analoga com os números complexos, os elementos de GI(q m ) são dtos complexos e os de GF(q m ), reas. Defnção 5: Seja v = (v, v 1,..., v N-1 ) um vetor de comprmento N com componentes em GF(q m ), onde q=p r, 49

D. Slva, R. M. C. de Souza, H. M. de Olvera, L. B. E. Palma e M. M. C. de Souza A Transformada Numérca de Hartley e Grupos de Interos Gaussanos com r e m nteros ímpares e p 3 (mod 4). Então o vetor V = (V, V 1,..., V N-1 ), com componentes em GI(q m ), dadas por N 1 = Vk vcask ( ζ ), = onde ζ é um elemento de ordem N em GI(q m ), é a Transformada de Hartley de Corpo Fnto (THCF) de v. O núcleo da THCF é a função cas(.) em um corpo fnto, defnda na seção anteror. A THCF é a versão de corpo fnto da transformada dscreta de Hartley (DHT) [13], a qual, por sua vez, corresponde à versão dscreta da transformada ntegral smétrca ntroduzda por R. V. L. Hartley em 194 [14]. Embora vsta ncalmente como uma ferramenta com aplcações apenas no lado numérco e tendo conexões com o mundo físco apenas através da transformada de Fourer, a DHT mostrou-se ser um nstrumento útl com mutas aplcações nteressantes [15], [16], [17]. Transformadas rápdas de Hartley também exstem e desempenham um papel mportante no uso da DHT e da THCF [18]. Para se construr a TNH a partr da THCF, usa-se um procedmento dferente daquele empregado para a TNF. As Transformadas Numércas de Hartley são obtdas a partr da Proposção a segur. Proposção : Se ζ = a + jb é o argumento da função cas(.) empregada como núcleo na defnção da THCF, então as componentes V k GF(p) (ou seja, são reas) se a +b 1 (mod p). Prova: Denotando ζ k por z, as funções seno e cosseno em um corpo fnto podem ser reescrtas, respectvamente, como cos k (ζ ) = (z + z -1 )/ e sen k (ζ ) = (z - z -1 )/j. Se a +b 1(mod p), então z -1 = z *, onde * denota o complexo conjugado. Isto resulta em cos k (ζ ) = Re(z) e sen k (ζ ) = Im(z), de modo que cas k (ζ ) = sen k (ζ ) + cos k (ζ ) = Re(z)+ Im(z) GF(p) e a transformada tem apenas componentes reas. A Proposção mostra que é possível se obter uma THCF relaconando vetores com componentes em GF(p) apenas mpondo uma condção sobre o núcleo cas k (ζ ) da transformada. Essa condção não é excessvamente restrtva em relação à escolha do núcleo, uma vez que se ζ = a+jb satsfaz a condção menconada, então a mesma também é satsfeta para qualquer elemento do conjunto Γ := {b+ja, (p-a) +jb, b+j(p-a), a+j(p-b), (p-b)+ja, (p-a)+j(pb), (p-b)+j(p-a)}, de modo que mutas escolhas são possíves para ζ. A Tabela 1 a segur lsta algumas dessas escolhas para alguns valores de p. Defnção 6: Seja v = (v, v 1,..., v N-1 ) um vetor de comprmento N com componentes em GF(p), p 3 (mod 4). Então a Transformada Numérca de Hartley de v é o vetor V = (V, V 1,..., V N-1 ), com componentes em GF(p) dadas por N 1 = Vk vcask ( ζ ), (1) = onde ζ = a + jb é um elemento de ordem N em GI(p) satsfazendo a +b 1 (mod p). Teorema : A Transformada Numérca de Hartley nversa do vetor V é o vetor v de componentes em GF(p) dadas por 5 p 3, j, j 1 v = N V cas ( ζ ) ( mod p). () k k= k ζ = a + jb 7 j, +j, 5+j, +j5, 5+j5 11 3+j5, 5+j3, 8+j5, 5+j8, 3+j6, 6+j3, 8+j6, 6+j8 19 +j4, 4+j, 17+j4, 4+j17, +j15, 15+j, 17+j15, 15+j17 19 3+j7, 7+j3, 16+j7, 7+j16, 3+j1, 1+j3, 16+j1, 1+j17 3 4+j1, 1+j4, 19+j1, 1+j19, 4+j13, 13+j4, 19+j13, 3 13+j19, 8+j1, 1+j8, 15+j1, 1+j15, 8+j11, 11+j8 3 15+j11, 11+j15, 9+j9, 14+j9, 9+j14, 14+j14 31 +j, +j, 9+j, +j9, +j11, 11+j, 9+j11, 31 11+j9, 4+j4, 7+j4, 4+j7, 7+j7, 5+j1, 1+j5, 31 6+j1, 1+j6, 5+j1, 1+j5, 6+j1, 1+j1, 7+j13, 31 13+j7, 4+j13, 13+j4, 7+j18, 18+j7, 4+j18, 18+j4 Tabela 1. Alguns valores de ζ = a+jb satsfazendo a Proposção. Prova: Substtundo V k (expressão (1)) na expressão para v acma e denotando por v o lado dreto da expressão (), tem-se v = N 1 t k= t= v cas ( ζ k t ) cas ( ζ Invertendo a ordem dos somatóros, v = N k ) ( mod p) 1 t vt cask ( ζ ) cask( ζ ) ( mod p) t= k= Aplcando então a propredade de ortogonaldade da função cas k (.) (Teorema 1), chega-se a (apenas o termo t = é seleconado do somatóro) v = v. Um snal v e seu espectro de Hartley V formam um par TNH denotado por v V. Por smplcdade, ζ é vsto como um elemento fxo, de modo que, no que se segue, é usada a notação cas(k) em substtução a cas k (ζ ). Exemplo 1: Consderando p = 3, seja ζ = j, um elemento de ordem 4 em GI(3). A matrz de transformação cas k (k),, k=, 1,, 3, é 1 1 1 1 1 1 1 1-1 - 1-1 1-1 - 1-1 1 que é a matrz de Hadamard permutada de ordem 4 4. Nesse caso, a transformada não requer multplcações. A TNF não permte enquadrar a transformada de Hadamard como uma transformada numérca, o que sera um resultado esperado. Entretanto, com a TNH sto é possível. Exemplo : Uma TNH mapeando vetores com componentes em GF(7) pode ser construída escolhendo-se ζ = 5+j, um

Revsta da Socedade Braslera de Telecomuncações Volume 17, Número 1, Junho de elemento de ordem 8 em GI(7). A matrz de transformação cas k (ζ ),, k =, 1,...7, é 1 1 1 1 1-1 4 1-1 -1 1 1 4 1 1-1 1-1 1-1 4 1 1-1 -1 1-4 1 1 1 1 1-1 1-4 1-1 -1 1-1 - 4-1 1-1 1-1 -1 1 4 1 1-1 -1-1 4-1 Essa transformada tem comprmento N=8 e, portanto, pode ser computada através de um algortmo rápdo tpo Cooley- Tukey. Das Proposções 3 e 4 abaxo, é possível determnar que valores para o comprmento N são possíves para a TNH. Defnção 7: O conjunto unmodular de GI(p), denotado por G 1, é o conjunto dos elementos ζ = (a+jb) GI(p), tas que a +b 1 (mod p). Proposção 3: Para ζ como na Proposção, tem-se : p+ 1 ζ ζ a + b (mod p). Prova: Pode-se escrever p p p p p ζ = ( a + jb ) a + j b (mod p), pos GI(p) é somorfo a GF(p ), um corpo de característca p. Como p = 4k+3, j p = j, de modo que ζ p a jb (mod p ) = ζ e portanto, * (mod p) p+ 1 * ζ ζζ = ζ a + b ( mod p). Proposção 4: A estrutura <G 1, *> é um grupo cíclco de ordem (p+1). Prova: G 1 é fechado em relação a multplcação, pos se (a+jb) e (c+jd) estão em G 1, sto é, se a + b c + d 1 (mod p), então e + jf = (a + jb)(c + jd) = (ac bd) + j(ad + bc), de modo que e + f = a c abcd + b d + a d + abcd + = a ( c + d ) + b ( c + d ) a b c + b 1(mod p ), e portanto e+jf G 1. Por outro lado, é um fato conhecdo que o conjunto dos elementos não nulos de GF(q), juntamente com a operação de multplcação do corpo, é um grupo cíclco de ordem (q-1) (denotado aqu por G) [19]. Portanto, sendo G 1 um subconjunto fechado de G, o mesmo é um subgrupo cíclco de G. Além dsso, da proposção, ζ G 1 satsfaz ζ p+1 1 (mod p) e ζ é uma das (p+1) raízes da undade em GF(p ). Exstem (p+1) tas raízes e portanto G 1 tem ordem (p+1). Exemplo 3: Os grupos unmodulares de GF(7 ) e GF(11 ). Em cada caso, a Tabela lsta os elementos dos subgrupos G 1 de ordem 8 e 1 dos grupos multplcatvos cíclcos dos elementos não nulos de GF(7 ) e GF(11 ), respectvamente, e suas ordens. (a) ζ ordem 1 1-1 j, -j 4 +j, +j5, 5+j, 5+j5 8 (b) ζ ordem 1 1-1 5+j3, 5+j8 3 j, -j 4 6+j8, 6+j3 6 8+j6, 8+j5, 3+j6, 3+j5 1 Tabela. Elementos dos grupos unmodulares de (a) GF(49) e (b) GF(11). A Fgura 1 lustra as 1 raízes da undade em GF(11 ). Observa-se que o subgrupo cíclco G 1 é somórfco a C 1, o grupo das rotações própras (no plano) de um polígono regular de 1 lados. Um elemento gerador é ζ=8+j6, correspondente a uma rotação de π/1 = 3 o no sentdo ant-horáro. Os símbolos de mesma cor ndcam elementos de mesma ordem, os quas ocorrem em pares complexos conjugados. Da Proposção 4, conclu-se que os comprmentos possíves para a TNH, dados pelos dvsores da ordem de ζ, são os valores N que dvdem (p+1). -8+j6=3+j6-1 3+j5=-8-j6 5+j8=-6+j8-6+j3=5+j3 -j j 6+j8 6+j3 8+j6 1 8-j6=8+j5 Fgura 1. Raízes da undade em GF(11 ) expressas como elementos de GI(11). 4. A TRANSFORMADA NUMÉRICA DE HARTLEY-MERSENNE (TNHM) Alguns valores especas de p orgnam classes específcas de transformadas numércas. Assm, quando p é um prmo de Fermat ou de Mersenne, as transformadas correspondentes são denomnadas, respectvamente, Transformadas Numércas de Hartley-Fermat (TNHF) ou Transformadas Numércas de Hartley-Mersenne (TNHM). 51

D. Slva, R. M. C. de Souza, H. M. de Olvera, L. B. E. Palma e M. M. C. de Souza A Transformada Numérca de Hartley e Grupos de Interos Gaussanos No prmero caso, p é um prmo da forma s +1, ou seja, p 1 (mod 4). Isso mplca que -1 é um resíduo quadrátco de p, o que sgnfca que as estruturas GI(p) e GF(p) são as mesmas. Portanto, as TNHF são mapeamentos de GF(p) para GF(p), e seus comprmentos são os dvsores de p- 1= s. Assm, essas transformadas apresentam as mesmas característcas das Transformadas Numércas de Fourer- Fermat, nclundo os comprmentos do tpo potênca de. Quando p é um prmo de Mersenne, sto é, um prmo da forma s -1, tem-se p 3 (mod 4), de modo que as condções da Defnção são atenddas. As TNHM são de nteresse especal porque os corpos fntos onde a operação de multplcação é mas smples são aqueles da forma GF( s - 1). Especfcamente, se os nteros nesse corpo são representados como s-uplas bnáras, então como s 1 (mod s -1), a artmétca em corpos fntos cuja ordem é um prmo de Mersenne é a artmétca complemento a 1. Os comprmentos das TNH que podem ser usados em GF(p), quando p é um prmo de Mersenne, são os dvsores de p+1= s, ou seja, são as potêncas de : s, s-1,...8, 4,. Assm, qualquer TNH em GF( s -1) pode ser computada através do algortmo Cooley-Tukey de base. É nteressante observar nesse ponto, que as Transformadas Numércas de Fourer-Mersenne não podem ser calculadas por um algortmo rápdo tpo Cooley-Tukey, uma vez que ( s -1) -1 não é uma potênca de. As Transformadas Numércas de Hartley-Mersenne permtem, em alguns casos partculares, uma mplementação com complexdade multplcatva nula, o que é atraente do ponto de vsta prátco. Nesses casos, o núcleo da transformação nclu apenas os valores, 1 e -1, ou potêncas não trvas de. Nesse últmo caso, as multplcações correspondem a deslocamentos cíclcos. Proposção 5: Em GF( s -1), TNHMs de comprmento N=8, sem multplcações, podem ser construídas com 5 s 1 s 1 ζ = a + jb = + j. Prova: ζ é um núcleo váldo pos s 1 s 1 s ζ = a + b = + = 1(mod p ). Além dsso, s ζ = j j ( mod p), de modo que, como j tem ordem 4, ζ tem ordem 8. Exemplo 4: Em GF(31), o elemento 4+j4 tem ordem 8. Usado como argumento da função cas(.), o mesmo gera uma TNHM de comprmento N=8. A Tab. 3 abaxo lsta as potêncas de ζ e os valores correspondentes das funções cos(.), sen(.) e cas(.), onde se tem cas(ζ )=Re(ζ )+ Im(ζ ). ζ cos(.)=re(ζ ) sen(.)=im(ζ ) cas(.) 1 4+j4 4 4 8 j 1 1 3-4+j4-4 4 4-1 -1-1 5-4-j4-4 -4-8 6 -j -1-1 7 4-j4 4-4 8 1 1 1 Tabela 3. Elementos de uma TNHM em GF(31). Na matrz de transformação, mostrada a segur, os elementos não nulos são potêncas de, de modo que a TNHM pode ser computada apenas com deslocamentos cíclcos e adções/subtrações. 1 1 1 1 1 1 8 1-1 1 1-1 -1 1 1-1 8-1 1-1 1-1 1 1-1 4-1 1 1-1 -1 1 1-4 1-1 1 1 1-8 -1 1-1 -1 1-8 -1 1-1 1 4 1-1 -1 4-1 Transformadas sem multplcações podem ser construídas com outros tpos de prmos, como mostra a proposção a segur. Proposção 6: Seja p um número prmo da forma p = k +3, k 1. Então ζ = k + j é uma raz da undade em GF(p). Prova: Da proposção, ζ p+1 = ζ = k + 4 1 (mod ( k +3)). Como os termos da forma ζ k envolvem apenas potêncas de, esse argumento do núcleo cas(.) pode ser usado para construr TNHs em GF(p) que envolvem apenas deslocamentos cíclcos e adções ou subtrações. A Tabela 4 a segur lsta alguns valores de k, p e ζ. Todos os elementos lstados tem ordem N=p+1 em GI(p). k p ζ 1 7 +j 19 4+j 3 67 8+j 6 499 64+j 8 65539 56+j Tabela 4. Alguns valores referentes a Proposção 6. As transformadas ndcadas nas Proposções 5 e 6 acma, representam famílas de soluções especas do problema geral de se encontrar ζ= u +j v em GI(p) satsfazendo a congruênca 4 u +4 v 1 (mod p). Outras soluções partculares que resultam em transformadas numércas lvres de multplcações podem ser obtdas, e.g., para ζ= 4 +j 6 em GI(19); ζ= +j 7 ou ζ= 5 +j 5 em GI(3) []. 5. FORMA POLAR PARA INTEIROS GAUSSIANOS EM CORPOS FINITOS É um fato bem conhecdo, na artmétca usual dos números complexos, que a chamada representação polar apresenta aspectos que a tornam atraente em mutas aplcações, prncpalmente quando as operações usuas de multplcação e exponencação estão presentes. Mantendose este mesmo ponto de vsta, e objetvando-se a mplementação de uma artmétca módulo p mas efcente para a computação da TNH, uma representação polar para

Revsta da Socedade Braslera de Telecomuncações Volume 17, Número 1, Junho de os elementos do corpo fnto GF(p ) é proposta nesta seção. Incalmente, a Defnção 1 é reescrta consderando r =1, sto é, p = q. Defnção 8: O conjunto dos nteros gaussanos sobre GF(p) é o conjunto G(p) = {a + jb, a, b GF(p)}, onde p é um prmo para o qual j = -1 é um resíduo não-quadrátco em GF(p). (Apenas os prmos da forma p 3 (mod 4) satsfazem esse requsto [1]). Na defnção de GI(p) acma, os elementos são representados na forma a + jb, que é chamada de forma retangular. No que se segue, é proposta uma nova representação que permte escrever os elementos do grupo multplcatvo de GI(p) na forma rε θ. Por analoga com o contínuo, esta representação será chamada de polar. Proposção 7: Sejam G A e G B subgrupos do grupo multplcatvo G C dos elementos não nulos de GI(p), de ordens N A =(p-1)/ e N B =(p+1), respectvamente. Todos os elementos de GI(p), com exceção do zero, podem ser escrtos na forma ζ = AB, onde A G A e B G B. Prova: Sendo G C um grupo cíclco, então os subgrupos G A e G B de GI(p) exstem, pos N A e N B são dvsores de p -1, a ordem do grupo multplcatvo de GI(p). Além dsso, o grupo G C formado pelo produto dreto entre os grupos G A e G B, tem ordem p -1, uma vez que, como p é da forma 4k+3, então o máxmo dvsor comum (MDC) entre N A e N B satsfaz MDC(N A, N B ) = MDC(k+1, 4(k+)) = 1; ou seja, o número de elementos de G C, que é dado pelo mínmo múltplo comum das ordens de G A e G B, é G C = mmc( G A, G B ) = N A N B = p -1. Assm, G C é o própro grupo multplcatvo de GI(p), ou seja, todos os elementos deste últmo grupo podem ser escrtos na forma ζ = AB, onde A G A e B G B. Tendo em vsta que qualquer elemento de um grupo cíclco pode ser escrto como potênca de um elemento gerador desse grupo, podemos fazer r = A e ε θ = B, onde ε é um gerador de G B. Assm, a representação polar adqure a forma procurada, ζ = rε θ. Antes de prossegur com as propredades da representação polar, é precso ntroduzr o conceto de módulo de um elemento em um corpo fnto. Consderandose os elementos não nulos de GF(p), metade deles possu raz quadrada e são chamados de resíduos quadrátcos (RQ) de p [1]. Os que não possuem raz quadrada são chamados de resíduos não-quadrátcos (RNQ). Da mesma forma, no corpo nfnto dos reas, os números são dvddos em postvos e negatvos, que são, respectvamente, os que possuem e os que não possuem raz quadrada. A operação convenconal de módulo, nos reas, produz sempre um resultado postvo. Por analoga, a operação de módulo em GF(p) é defnda para que produza sempre um resíduo quadrátco. Defnção 9: O módulo de um elemento de GF(p), onde p=4k+3, é dado por p 1 a, se a 1 (mod p) a = p 1 a, se a 1 (mod p). Proposção 8: O módulo de qualquer elemento de GF(p) é sempre um resíduo quadrátco. Prova: Como p=4k+3, tem-se que (p-1)/=k+1, e portanto p 1 ( 1) a a p 1 p 1 1 1 p 1 1 (mod (mod (mod p ) p ). Pelo crtéro de Euler [1], se, então a é um RQ de p; se p ) ( a ) ( 1)( 1) 1 que a é um RQ de p., então a é um RNQ. Assm (mod p ) e segue-se portanto Defnção 1: O módulo de um elemento de GI(p), onde p=4k+3, é dado por: a + jb = a + b. O módulo nteror na expressão acma é necessáro para que sempre se possa extrar a raz quadrada da norma a +b e o módulo exteror garante que essa operação fornece um únco resultado apenas. No contínuo, essas expressões se reduzem às conhecdas, pos tanto a +b quanto a operação de raz quadrada fornecem apenas resíduos quadrátcos. Nesse ponto, podemos substtur G A e G B por denomnações mas adequadas à representação polar. Defnção 11: O grupo dos módulos de GI(p), denotado por G r, é defndo como sendo o subgrupo de ordem (p-1)/ de GI(p). Defnção 1: O grupo das fases de GI(p), denotado por G θ, é defndo como sendo o subgrupo de ordem (p+1) de GI(p). Proposção 9: Se ζ = a + jb = rε θ, onde r G r e ε θ G θ, então r = ζ. Prova: Todos os elementos do grupo dos módulos (G r ) possuem ordem que dvde (p-1)/. Assm, se r G r, então ( p 1 ) / r 1 (mod p ), e portanto r = r. Além dsso, como mostrado na seção segunte, o grupo G θ é formado pelos elementos a + jb tas que a + b ±1 (mod p). Logo, de acordo com a Defnção 1, o módulo desses elementos é gual a 1. Temos então que ζ = rε θ = r ε θ = r 1=r. Uma expressão para a fase θ em função de a e b pode ser encontrada normalzando-se o elemento ζ (ou ζ/r = ε θ ), e em seguda resolvendo-se o problema do logartmo dscreto de ζ/r na base ε, que é vável para valores não muto elevados de p (valores com menos de 1 dígtos decmas, o que cobre a faxa de nteresse prátco). Assm, é possível a conversão da representação retangular para a polar. A 53

D. Slva, R. M. C. de Souza, H. M. de Olvera, L. B. E. Palma e M. M. C. de Souza A Transformada Numérca de Hartley e Grupos de Interos Gaussanos conversão nversa é feta smplesmente efetuando-se as potencações. Como se pode observar, a representação proposta é consstente com a representação polar no contínuo: o módulo r pertence a GF(p) (o módulo é um número real) e é um resíduo quadrátco (número postvo), e a componente exponencal ε θ (e jθ ) tem módulo 1 e pertence a GI(p) (e jθ pertence ao corpo dos complexos). 6. GRUPOS SUPRA-UNIMODULARES É possível estender o grupo unmodular de GI(p), permtndo a nclusão de elementos satsfazendo a + b - 1 (mod p). Defnção 13: O conjunto supra-unmodular de GI(p), denotado por G S, é o conjunto dos elementos ζ = a + jb GI(p) tas que (a + b ) 1 (mod p). Proposção 1: Se ζ=a + jb, então ζ (p+1) (a + b ) (mod p). Prova: ζ p = (a + jb) p a p + j p b p (mod p), pos GI(p) é somorfo a GF(p ), um corpo de característca p. Como p = 4k+3, j p =-j, de modo que ζ p a - jb (mod p). Portanto, ζ p+1 (a + jb)(a - jb) a + b (mod p). Assm, ζ (p+1) (a + b ) (mod p). Proposção 11: A estrutura <G S,*>, denomnada supraunmodular, é um grupo cíclco de ordem (p+1). Prova: G S é fechado em relação à multplcação, pos se (a+jb) e (c+jd) estão em G S, sto é, se então como obtém-se 54 (a + b ) (c + d ) 1 (mod p), e + jf = (a + jb)(c + jd) = (ac - bd) + j(ad + bc), (e + f ) = (a c - abcd + b d + a d + abcd + b c ) = = ((a + b )(c + d )) = (a + b ) (c + d ) 1 (mod p), e portanto (e + jf) G S. Como G S é um subconjunto fechado de um grupo cíclco (o grupo multplcatvo de GI(p)), G S é um subgrupo cíclco. Além dsso, da Proposção 1, ζ G S satsfaz ζ (p+1) 1 (mod p). Assm, ζ é uma das raízes (p+1)-ésmas da undade em GI(p). Exstem (p+1) tas raízes e portanto G S tem ordem (p+1). Reconhece-se que, no grupo supra-unmodular, os elementos ζ = a + jb são tas que (a + b ) 1 (mod p), ou seja, a + b ±1 (mod p), e portanto todos têm módulo, em GF(p), gual a 1, assm como no grupo unmodular. Porém, para preservar a defnção já estabelecda e ressaltar que o mesmo possu ordem maor, o grupo de ordem (p+1) recebeu o nome de supra-unmodular. É mportante observar que, devdo ao fato de que um grupo cíclco não possu mas de um subgrupo dstnto de mesma ordem [], o grupo supra-unmodular é exatamente o grupo das fases defndo na seção anteror. O problema de se encontrar um elemento gerador do grupo supra-unmodular é tratado a segur. Proposção 1: Se p é um prmo de Mersenne, sto é, um prmo da forma p = n - 1, então os elementos ζ=a + jb tas que a + b -1 (mod p) são geradores do grupo supraunmodular de GI(p). Prova: Seja N a ordem do elemento ζ. Como a +b -1 (mod p), ζ é um elemento supra-unmodular, ou seja, N dvde (p+1)= n+1. Entretanto, pelo mesmo motvo, ζ não é unmodular, sto é, N não dvde p+1= n. Dessa forma, N = n+1 = (p+1), e portanto ζ é um gerador do grupo supraunmodular. Assm, se p for um prmo de Mersenne, um elemento de ordem (p+1) em GI(p) pode ser encontrado da segunte forma: escolhe-se um elemento aleatóro de GI(p), dvde-se este elemento por seu módulo, e por fm calcula-se sua norma (a +b ). Se o resultado for -1, tem-se o elemento desejado; caso contráro, repete-se o processo. 7. APLICAÇÕES Desde a ntrodução da transformada de Fourer em corpo fnto, concebda ncalmente para auxlar o cálculo de convoluções dscretas, mutas outras aplcações da mesma foram propostas, não apenas nas áreas de processamento dgtal de snas e magem, mas também em dferentes contextos tas como codfcação de canal e crptografa. Um outro exemplo relevante é a transformada de Hartley de corpo fnto, a qual tem mportantes aplcações no campo da multplexação dgtal. Uma THCF de especal nteresse é a chamada Transformada Numérca de Hartley, a qual é construída a partr de uma escolha aproprada do núcleo da THCF, escolha esta que resulta em uma transformada com componentes em GF(p). Dessa forma, não é necessáro restrngr o corpo de extensão a GF(p) para se obter uma transformada numérca, o que é feto para a Transformada Numérca de Fourer (TNF). Neste caso, sto sgnfca que N, o comprmento da transformada, é um dvsor de (p -1) = (p-1)(p+1) e não apenas de (p-1) como no caso da TNF. Assm, para um dado p, a TNH apresenta uma maor flexbldade de aplcação em relação à TNF, uma vez que um número maor de escolhas para o valor de N, o comprmento da transformada, é possível. Um caso partcular de nteresse prátco da TNH é obtdo quando p é um prmo de Mersenne, sto é, um prmo da forma p= s -1. As transformadas correspondentes, denomnadas Transformadas Numércas de Hartley- Mersenne, permtem mplementações com complexdade multplcatva nula, bem como comprmentos que permtem a utlzação da FFT de Cooley-Tukey, algo que não é possível para a Transformada Numérca de Fourer. Na defnção da TNH (Defnção 6), o elemento ζ, mplícto na defnção de cas(.), é um elemento unmodular de ordem N de GI(p). O valor de N é o comprmento da transformada. Assm, para mplementar uma TNH de comprmento N, é necessáro prmeramente encontrar um elemento unmodular de ordem N de GI(p). Se p é um prmo de Mersenne, sto pode ser feto através do método descrto na seção anteror.

Revsta da Socedade Braslera de Telecomuncações Volume 17, Número 1, Junho de Exemplo 5: p = 11. Como p não é da forma n -1, o método descrto não resulta necessaramente em geradores de G S. Temos que (p+1) = 4 e (p+1) = 1; assm, os elementos tas que a +b -1 (mod p) possuem ordem 8 ou 4, pos ambos valores dvdem 4 mas não dvdem 1. Por exemplo, 3 + j tem ordem 4, enquanto 4 + 4j tem ordem 8, apesar de ambos possuírem norma gual a -1. Exemplo 6: p = 31 (prmo de Mersenne). Como p = 5-1, pode-se usar o método descrto. Escolhe-se aleatoramente um elemento de GI(p), por exemplo, ζ = 9 + 11j, após o que seu módulo é calculado através da Defnção 3: r = 9 + 11 16 4 4 (mod p ). Em seguda o elemento ζ é normalzado: ε = ζ/r = 1 + 6j. Fnalmente, sua norma é calculada: a +b = 1 + 6 1 (mod 31). Escolhendo-se um novo elemento, por exemplo, ζ = 6 + 16j, tem-se que r = 6 + 16 13 18 7 7 (mod p ), ε = ζ/r = 3 + j e a +b = 6 + 16-1 (mod p). Portanto, ε tem ordem (p+1) = 64. Um elemento unmodular β de ordem N, tal que N 5, pode ser (p+ 1) encontrado fazendo-se β = ε N = ε N. Por exemplo, β = ε = 5 + 1j é unmodular de ordem 3; e assm, pode ser usado como núcleo de uma TNH de comprmento 3. 8. A TNH RÁPIDA Exste uma relação smples entre a TNF e a TNH, como mostrado na Proposção 13. Proposção 13: Sejam v = {v } H = {H k } e v = {v } F = {F k } pares da transformada numérca de Hartley e de Fourer, respectvamente. Então () H k = [(F k + F N-k ) + j(f N-k - F k )]/ = F e - jf o. () F k = [(H k + H N-k ) + j(h k - H N-k )]/ = H e + jh o onde F e e F o denotam as partes par e ímpar de F, respectvamente, e H e e H o denotam as partes par e ímpar de H, respectvamente. Prova: () Da Defnção 1 N = 1 k Fk v ζ = e ( N ) FN = vζ = vζ, = = de modo que, k ( Fk + FN ) / = v ( ζ + ζ ) / = v cos( k) = = e k ( FN Fk ) / j = v ( ζ ζ ) / j = v sen( k) = = e assm, das Defnções 3 e 5, o resultado segue. 64 () De () tem-se que H N = [( Fk + FN ) + j( Fk FN )]/. Assm, H k + H N k = Fk + FN e H k H N k = j( FN Fk ). Multplcando-se por j a últma expressão e adconando-se o resultado à expressão para H k + H N-k, () segue. A Proposção 13 mplca que qualquer algortmo rápdo para computar a TNH é também um algortmo rápdo para computar a TNF e vce-versa. Dessa forma, um esquema efcente pode ser concebdo para computar H através da Proposção 13. É necessáro apenas computar F, a TNF de v, o que pode ser feto através de algum algortmo FFT. Seleconadas as partes par (F e ) e ímpar (F o ) de F, o espectro TNH é dado dretamente por H k = F e - jf o. A TNH também pode ser computada dretamente adaptando-se, para corpos fntos [3], os algortmos rápdos clásscos de Cooley-Tukey, Rader-Brenner, Good- Thomas e Wnograd usados para computar a DHT [4], [5], [6]. Em partcular, um algortmo do tpo Cooley- Tukey base com dzmação no tempo para computar uma TNH de comprmento N, requer uma complexdade computaconal de (Nlog N-3N+4) multplcações reas e (3Nlog N-3N+4) adções reas, ao nvés das N multplcações reas e N(N-1) adções reas necessáras para o cálculo dreto [6]. Além desses, um outro algortmo baseado em uma decomposção em blocos de Hadamard fo proposto recentemente para o cálculo da THN, o qual atnge a complexdade multplcatva mínma para város comprmentos [7]. 9. CONCLUSÕES As Transformadas Numércas de Fourer relaconam vetores com componentes em GF(p) e empregam artmétca módulo p. Embora com característcas nteressantes sob o ponto de vsta de sua mplementação, seu comprmento é um dvsor de (p-1), o que lmta a escolha dos comprmentos possíves. Neste trabalho, uma nova transformada, a Transformada Numérca de Hartley, fo ntroduzda. A TNH é obtda a partr da Transformada de Hartley de Corpo Fnto, pela escolha judcosa de seu núcleo cas k (ζ ), escolha esta que resulta em uma transformada com componentes em GF(p). Dessa forma, não é necessáro restrngr o corpo de extensão a GF(p) para se obter uma transformada numérca, o que sgnfca que N, o comprmento da transformada, é um dvsor de (p- 1)(p+1), de modo que, para um dado p, um número maor de escolhas para o valor de N é possível. Um caso partcular de nteresse prátco é obtdo quando p é um prmo de Mersenne. As transformadas correspondentes, denomnadas Transformadas Numércas de Hartley-Mersenne, permtem mplementações com complexdade multplcatva nula, bem como comprmentos que permtem a utlzação da FFT de Cooley-Tukey, algo que não é possível para a Transformada Numérca de Fourer, uma vez que s - não admte potêncas não trvas de como dvsores. Um algortmo rápdo para a computação da Transformada Numérca de Hartley fo proposto. 55

D. Slva, R. M. C. de Souza, H. M. de Olvera, L. B. E. Palma e M. M. C. de Souza A Transformada Numérca de Hartley e Grupos de Interos Gaussanos Neste artgo, algumas estruturas algébrcas fntas, relaconadas com a Transformada Numérca de Hartley e relevantes para sua concepção, são ntroduzdas. Em partcular, os grupos dos módulos e das fases de um corpo fnto são defndos e, através de uma nova defnção de módulo, convenente para os elementos de um corpo fnto GI(p), uma representação polar dos elementos do corpo fnto GI(p) é proposta pela prmera vez na lteratura. Aplcações dos concetos ntroduzdos são consderadas na construção de Transformadas Numérca de Hartley. REFERÊNCIAS [1] J. M. Pollard, The Fast Fourer Transform n a Fnte Feld, Math. Comput., vol. 5, No. 114, pp. 365-374, Apr. 1971. [] I. S. Reed and T. K. Truong, The Use of Fnte Felds to Compute Convolutons, IEEE Trans. Inform. Theory, vol. IT- 1, pp. 8-13, Mar. 1975. [3] I. S. Reed, T. K. Truong, V. S. Kwoh and E. L. 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Slva é conclunte do Curso de Graduação em Engenhara Elétrca, modaldade Eletrônca, da Unversdade Federal de Pernambuco. Seus nteresses de pesqusa ncluem processamento dgtal de snas, processamento de voz e comuncação dgtal. R. M. Campello de Souza formou-se em Engenhara Elétrca pela Unversdade Federal de Pernambuco em 1974, obteve o título de Mestre em Cêncas pela mesma Unversdade em 1979 e o ttulo de Ph.D. pela Unversty of Manchester, Inglaterra, em 1983, ambos em Engenhara Elétrca. Desde 1979 é Professor do Departamento de Eletrônca e Sstemas da UFPE, onde fo coordenador do Programa de Pós-graduação em Engenhara Elétrca no período 1984-1987, Chefe do Departamento no período 1987-199 e atualmente ocupa a posção de Professor Adjunto. Seus nteresses de pesqusa ncluem matemátca dscreta, crptografa, teora algébrca da codfcação e processamento dgtal de snas. H.M. de Olvera nasceu em Arcoverde, Pernambuco, em Mao 1959. Ele recebeu os graus de B.Eng e Mestre em Engenhara Elétrca (MEE) da Unversdade Federal de Pernambuco (UFPE), em 198 e 1983. Ingressou no Depto de Eletrônca e Sstemas (DES-UFPE) como Docente em 1983, e em 199 recebeu o grau de Docteur de l École Natonale Supéreure des Télécommuncatons, Pars, especaldade em Eletrônca e Telecomuncações. Fo professor homenageado de mas de 15 turmas de Engenhara. Interesses: Teora das Comuncações, Teora da Informação, Processamento de Snas. Dr. De Olvera é sóco do IEEE Insttute of Electrcal and Electronc Engneerng e da Socedade Braslera de Telecomuncações. 56

Revsta da Socedade Braslera de Telecomuncações Volume 17, Número 1, Junho de L. B. E. Palma formou-se em Engenhara Elétrca, modaldade Eletrônca, pela Unversdade Federal de Pernambuco em 1995, onde atuou como Professora Substtuta no período 1996-1998 e obteve o título de Mestre em Cêncas em Engenhara Elétrca em. Atualmente cursa o Programa de Mestrado em Cênca Atuaral na Cty Unversty, em Londres. Seus nteresses de pesqusa ncluem. processamento dgtal de snas, estatístca, probabldade, atuára e admnstração públca. M. M. Campello de Souza formou-se em Engenhara Elétrca pela Unversdade Federal de Pernambuco em 1976 e obteve o título de Ph.D. pela Unversty of Manchester, Inglaterra, em 1983, em Engenhara Elétrca. Desde 1988 é Professora do Departamento de Eletrônca e Sstemas da UFPE, onde fo Coordenadora do Curso de Graduação em Engenhara Elétrca/Eletrônca no período 199-199, Subchefe do Departamento no período 199-1994 e atualmente ocupa a posção de Professora Adjunto. Seus nteresses de pesqusa ncluem matemátca dscreta, sstemas lneares e processamento dgtal de snas. 57