ESCOAMENTO POTENCIAL Escoamento de fluido não viso, Equação de Eule: DV ρ ρg gad P Dt Escoamento de fluido incompessível cte Equação da continuidade: divv Escoamento Iotacional ot V V Se o escoamento fo iotacional, uma gande simplificação pode se obtida na obtenção do campo de escoamento: o campo de velocidades pode se obtido sem a solução da equação de Eule. Angela Nieckele PC-Rio
Paa situações bi-dimensionais, pode-se utiliza o conceito de função de coente Escoamento bi-dimensional, incompessível, não viso, iotacional função de coente: satisfaz a equação da continuidade Se obigamos o escoamento a se iotacional, temos paa situações -D, e escoamento plano, z u, v x v u x x x V satisfaz a equação de Laplace, paa escoamento plano, não viso, iotacional, incompessível Angela Nieckele PC-Rio
Pocedimento de solução:. Resolve-se com as condições de contono apopiadas. Obtém-se os componentes da velocidade u e v pela definição de função de coente 3. Obtém-se a pessão p pela equação de Eule Condições de contono: velocidade ao longe conhecida: supefície sólida: copo cons tan te, x conhecidos Coodenadas polaes: função de coente u z u u, u Condições de contono: velocidade ao longe conhecida:, conhecidos supefície sólida: copo cons tan te Angela Nieckele PC-Rio 3
Escoamento Ti-dimensional, Incompessível, Não Viso, Iotacional Paa situações 3-D, não podemos utiliza o conceito de função de coente, já que a mesma só é definida paa situações -D. Intoduziemos um novo conceito: FNÇÃO POTENCIAL DE VELOCIDADE V função potencial de velocidade é definida de foma a satisfaze a condição de escoamento iotacional: Sabemos que esta equação seá sempe vedadeia se definimos V onde é um potencial, já que o otacional do gadiente de qualque função potencial é sempe zeo,. coodenadas catesianas: u, v, w u u u x z, z, Angela Nieckele PC-Rio coodenadas cilíndicas: z 4
Se obigamos o escoamento iotacional a satisfaze a equação de consevação de massa paa fluidos incompessíveis, V, temos x x z z satisfaz a equação de Laplace, paa escoamento não viso, iotacional, incompessível, -D ou 3-D. Condições de contono: velocidade ao longe conhecida: x,, z conhecidos supefície sólida, velocidade nomal nula: n NÃO HÁ CONDIÇÃO IMPOSTA PARA O COMPONENTE TANGENCIAL já que o escoamento é sem visidade s Angela Nieckele PC-Rio 5
Pocedimento de solução:. Resolve-se com as condições de contono apopiadas. Obtém-se os componentes da velocidade u e v pela definição de função potencial 3. Obtém-se a pessão p pela equação de Eule Obs: Podemos esolve e a) linhas de coente = constante são sempe tangente ao campo de velocidade b) V V é pependicula as linhas de constante (equipotenciais) LINHAS DE CORRENTE E EQIPOTENCIAIS SÃO ORTOGONAIS e Angela Nieckele PC-Rio 6
Pegunta: Existe alguma vantagem em esolve a equação de Laplace, ao invés da equação de Eule? SIM!!! A análise da equação de Laplace está bastante desenvolvida. Existem divesas técnicas disponíveis supeposição de soluções elementaes análise numéica mapeamento confome analogia elética etc. Angela Nieckele PC-Rio 7
SOLÇÕES ELEMENTARES PARA ESCOAMENTOS PLANOS Váios poblemas inteessantes de escoamento potencial podem se constuídos a pati de tês tipos de soluções elementaes: escoamento unifome fonte ou sovedouo vótice As soluções destes poblemas podem se combinadas poduzindo esultados úteis. Paa isso, usamos o fato que a equação de Laplace é linea e o pincípio de supeposição Se e são soluções da equação de Laplace, a soma de também é solução. e ( ) Angela Nieckele PC-Rio 8
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Exemplo 6.: Escoamento sobe um Cilindo: Supeposição de Dipolo e Escoamento nifome. Detemine: (i) função coente (ii) função potencial (iii) campo de velocidade (iv) localize pontos de estagnação (v) campo de pessão (vi) foça esultante sobe o cilindo: aaste e sustentação Solução: escoamento unifome: ; x dipolo: sen (i) Função coente: (ii) Função potencial: sen ; sen Angela Nieckele PC-Rio 4
(iii) Campo de velocidade: V u e u e u, u ou u, u u (iv) pontos de estagnação: ponto onde V / / u sen sen sen u e u logo Note que cilindo é Angela Nieckele PC-Rio u paa qualque se / (=cte cículo) logo o aio do a / Paa ambos os componentes seem nulos, é peciso veifica se o componente angula pode se nulo sobe a supefície do cilindo. Paa =a u sen. Então u Os pontos de estagnação são (, ) = (a, ) e ( a, paa = e 5
u/ A função de coente pode epesenta um escoamento sobe um cilindo ou um semihemisféio a A B a sen O pefil de velocidade sobe a supefície do cilindo é V u e ; V V sen u u sen ; 45 9 35 8 Angela Nieckele PC-Rio B A 6
(v) campo de pessão: Paa escoamento iotacional podemos utiliza a EQAÇÃO DE Benoulli ente quaisque dois pontos: ponto no infinito e ponto sobe a supefície do cilindo p V p p p 4 sen V p p p Coeficiente de pessão: C 4 sen C p p - - -3 / 45 9 35 8 Angela Nieckele PC-Rio 7
FA Foça esultante sobe o cilindo: R F i F j p da p n a L d A n e i j sen S cilindo R p i jsen a L d F p a L d e F p sen a L d Foça de aaste: F A p A 4sen S ald p al d al sen FA sen d p sen a L 3 F A 3 Foça de sustentação: FS p F S a L Angela Nieckele PC-Rio F S p al send al sen send p sen 3 4sen senald ( ) F S 8
Obs:. Na ealidade existe aaste, veemos que o escoamento sepaa, ocoe a fomação de esteia.. Todo escoamento com simetia em elação a hoizontal, apesenta sustentação nula. Angela Nieckele PC-Rio 9
Execício: Meia Supefície de Rankine Conhecendo o seguinte campo potencial m ln, detemine: i) o campo de velocidades ii) pontos de estagnação iii) as linhas de coente iv) foma do copo a x Sabe-se que x= = sen, logo i) u x x v m x Angela Nieckele PC-Rio m x m m ln x x ln x x m m m sen m sen
ii) Ponto de estagnação: ii) de V V, ii) Ponto de estagnação: V,, i) velocidade vetical: v = paa = e v i) v = paa = e i) velocidade vetical: v = paa = e ii) velocidade hoizontal : ii) ii) velocidade hoizontal : : u em =, u = + m / = < impossível x em em = =, u, u = = + + m m / / = = < < impossível em =, u = - m / = = m/ = a x = - a em em = =, u, u = = - m - m / / = = = = m/ m/ = = a a x x = = - a - a m m sen m sen x m x m m x m x iii) u m x d f x m f x iii) u m x ( ) tan ( ) d f x m f x x ( ) tan ( ) iii) u x d f( x) m tan f( x) x x x x m v m v x x dx g m x x dx ( g ) m g m ( ) tan ( ) v tan x g( ) x x dx g m ( ) tan g( ) x x f(x) = e g() = m tan f(x) = e g() = m tan sen m f(x) = e g() = m tan x sen sen m m x x iv) o ponto de estagnação deve esta localizado sobe o copo, logo o valo de no ponto de iv) iv) o o ponto de de estagnação deve deve esta esta localizado sobe o o copo, logo logo o o valo de de no no ponto de de estagnação é m ou m estagnação é é m m ou ou m m O luga geomético da linha de coente m, a qual sepaa o escoamento da fonte do O O luga geomético da da linha de de coente m m, a, a qual qual sepaa o o escoamento da da fonte do do m ( ) escoamento unifome é m sen m m m( ) é m sen m ( sen escoamento unifome é m m ) sen sen Angela Nieckele PC-Rio
Execício: Escoamento ao edo de um cilindo com otação Obtido com a combinação de escoamento: unifome sen dipolo sen vótice K ln a Definindo: a /, a efeência sen Velocidade: a K ln a u = a é uma linha de coente ( = ) a Angela Nieckele PC-Rio u sen a K
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Distibuição de pessão: p V p V u sen K a K K 4 p p 4 sen sen a a Foça esultante sobe o cilindo: n e i j sen R F i F j p da p n a L d A S cilindo R p i jsen a L d F p a L d e F p sen a L d A S Angela Nieckele PC-Rio 4
Foça de de aaste: al 4 F al A p al d sen d K a d 4 a K sen d F A K p a L sen sen K sen a 3 3 a F A Foça de de sustentação 3 K F sen S p 3 a L sen d a L a 4 sen d 4 K sen a sen d sen K F S a L p a L sen ( ) a 3 K sen K a L a a L 4 a Angela Nieckele PC-Rio F K L S 5
a Questão: m cilindo é fomado ao apaafusa duas calhas semi-cilíndicas pelo lado inteno, como mosta a figua. Existem paafusos po compimento de lagua em cada lado, e a pessão intena é 5 kpa (manomética). Detemine a foça em cada paafuso, se o fluido exteno é a a CNTP ( kg/m 3 ). tilize a teoia de escoamento potencial, logo, o escoamento ao edo do cilindo pode se apoximado pela soma de um dipolo ( unifome ( ). sen ) com um escoamento D = cm =5 m/s p = p atm p in Angela Nieckele PC-Rio 6
Angela Nieckele PC-Rio 7 u / u / sin sin sin em =(/).5, u =, u = - sin Entao R=D/=(/).5 V t ds V g z d p cons te s s tan u p p 4 sin p p Paa =cte, egime pemanente = > L Rd p p L Rd p p F in in sin ) sin ( sin ) ( 4 3 4 3 3 4 sin sin sin ) ( d L R d L R p p F in N L p p N L F in 3 ) ( m N N L F / 67,5
a Questão: ma usina nuclea despeja Q = 8,5 m 3 /s de água quente, utilizada no pocesso de efigeação no fundo do ma. O jato de água sai veticalmente do fundo do ma, que está a uma pofundidade de b = 7,6 m. A coente mainha é igual a =,4 m/s. Po azões ecológicas é necessáio sabe, a que distância da saída da tubulação a coente mainha é afetada pela água quente. De acodo com a figua, deseja-se sabe a e L. Note que este escoamento pode se epesentado po uma combinação de uma fonte e um escoamento unifome. Sabe-se: Escoamento unifome: Fonte: Q / b x = sen x a x L tan ( / x) Angela Nieckele PC-Rio 8
Angela Nieckele PC-Rio 9 b Q b Q / sin / x b Q tan / b Q u / sin u Ponto de estagnação: u =, u = u = em e u = em impossível em se a = (Q/b)/( ) Ponto de estagnação: =a, a = (Q/b)/( )=,44m Linha de coente que passa pelo ponto de estagnação: b Q a / ), ( b Q x b Q / tan / Luga geomético desta linha de coente: b Q x b Q / tan / L x b Q b Q L zeo / tan / m b Q L 4, /