Matrizes e Sistemas Lineares

Matrizes e Sistemas Lineares Reforço de Matemática Básica - Professor: Marcio Sabino - 1 Semestre 2015 1 Matrizes Uma matriz é um conjunto retangular de números, símbolos ou expressões, organizados em linhas e colunas, e sujeita a certas regras e operações Cada um dos itens de uma matriz é chamado de elemento A notação A m n representa uma matriz de nome A que possui elementos distribuidos em m linhas e n colunas Os elementos desta matriz possuem a notação a ij, onde i e j indicam respectivamente a posição na linha e coluna que o elemento estará na matriz Por exemplo, o elemento a 5 é um elemento que está posicionado na linha 5 e coluna de uma matriz A A matriz A m n é representa por: A a 11 a 12 a 1 a 1n a 21 a 22 a 2 a 2n 11 a m1 a m2 a m a mn Quando o número de linhas e colunas de uma matriz são iguais, ou seja, m n, dizemos que esta é uma matriz quadrada de ordem n Esta é denotada por A n n e é representada por: A a 11 a 12 a 1 a 1n a 21 a 22 a 2 a 2n a 1 a 2 a a n a n1 a n2 a n a nn 12 Em uma matriz quadrada definimos a diagonal principal formada pelos elementos a ij tais que i j A diagonal secundária é formada pelos elementos a ij tais que i + j n + 1 A matriz A 1 n é chamada de matriz linha e é representada por: A a 11 a 12 a 1 a 1n 1 A matriz A n 1 é chamada de matriz coluna e é representada por: A a 11 a 21 a 1 a n1 14

11 Soma e Subtração de Matrizes A soma A + B e a subtração A B só podem ser realizadas se ambas as matrizes possuirem a mesma ordem, ou seja, se A m n e B m n Sob estas condições, a soma e a subtração devem ser realizadas elemento a elemento correspondentes às matrizes Ex: Dadas as matrizes A Solução: C A+B 1 2 5 5 4 7 2 0 1 2 5 5 4 7 2 0 + e B 7 2 4 2 1 8 5 7 2 4 2 1 8 5 12 Multiplicação de Matriz por uma Constante Dada uma matriz A m n e uma constante c R, o produto c A é definido por:, determine C A + B 1 + 7 2 + 2 + 5 + 4 5 + 4 + 2 7 + 1 2 + 8 0 + 5 8 0 6 9 8 6 6 6 5 c A c Ex: Dada a matriz A a 11 a 12 a 1 a 1n a 21 a 22 a 2 a 2n a m1 a m2 a m a mn 1 2 5 1 2 Solução: B 5 A 5 5, determine B 5 A 5 1 5 2 5 5 5 c a 11 c a 12 c a 1 c a 1n c a 21 c a 22 c a 2 c a 2n c a m1 c a m2 c a m c a mn 5 10 15 25 15 1 Multiplicação de Matrizes O produto A B só pode ser realizado se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da B, ou seja, se tivermos A m k e B k n O resultado será uma matriz C m n Assim, para C A B, cada elemento c ij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B 11 Multiplicação de Matriz Linha por Matriz Coluna Considere as matrizes A 1 n a 11 a 12 a 1 a 1n e Bn 1 Como A 1 n e B n 1, então o produto A B resultará em uma matriz C 1 1 um único elemento definida por: b 11 C A B a 11 a 12 a 1 a 1n b 21 b 1 a 11 b 11 +a 12 b 21 +a 1 b 1 + +a 1i b i1 + +a 1n b n1 b n1 Ex: Dadas as matrizes A 2 4 5 e B Solução: C A B 2 4 5 1 7 1 7 a 11 a 21 a 1 a n1, determine C A B 2 + 4 1 + 5 7 6 + 4 + 5 12 Multiplicação de Matriz por Matriz Coluna Considere as matrizes A m n a 11 a 12 a 1 a 1n a 21 a 22 a 2 a 2n a m1 a m2 a m a mn e B n 1 a 11 a 21 a 1 a n1

Como A m n e B n 1, então o produto A B resultará em uma matriz C m 1 definida por: a 11 a 12 a 1 a 1n a 21 a 22 a 2 a 2n C A B a m1 a m2 a m a mn b 11 b 21 b 1 b n1 2 4 6 Ex: Dadas as matrizes A e B 5 1 2 4 6 Solução: C A B 5 7 2 6 + 4 7 6 + 5 7 a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 1 b 1 + + a 1i b i1 + + a 1n b n1 a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 2 b 1 + + a 2i b i1 + + a 2n b n1 a 1 b 11 + a 2 b 21 + a b 1 + + a i b i1 + + a n b n1 a n1 b 11 + a n2 b 21 + a n b 1 + + a ni b i1 + + a nn b n1, determine C A B Como A 2 2 e B 2 1, então o produto resultou em uma matriz C 2 1 40 5 1 Multiplicação de Matrizes A m k por B k n a 11 a 12 a 1 a 1k a 21 a 22 a 2 a 2k Considere as matrizes A m k a 1 a 2 a a k e B k n a m1 a m2 a m a mk onde b 11 b 12 b 1 b 1n b 21 b 22 b 2 b 2n b 1 b 2 b b n b k1 b k2 b k b kn Como A m k e B k n, então o produto A B resultará em uma matriz C m n definida por: C A B a 11 a 12 a 1 a 1k a 21 a 22 a 2 a 2k a 1 a 2 a a k a m1 a m2 a m a mk b 11 b 12 b 1 b 1n b 21 b 22 b 2 b 2n b 1 b 2 b b n b k1 b k2 b k b kn Linha 1 de A por coluna 1 de B : c 11 a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 1 b 1 + + a 1k b k1 c 11 c 12 c 1 c 1n c 21 c 22 c 2 c 2n c 1 c 2 c c n c m1 c m2 c m c mn, Linha 1 de A por coluna 2 de B : c 12 a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 1 b 2 + + a 1k b k2 Linha 1 de A por coluna de B : c 1 a 11 b 1 + a 12 b 2 + a 1 b + + a 1k b k Linha 1 de A por coluna n de B : c 1n a 11 b 1n + a 12 b 2n + a 1 b n + + a 1k b kn De forma análoga obtemos todos os outros elementos c ij 2 4 1 6 2 Ex: Dadas as matrizes A e B 5 7 8 1 4 2 1 6 2 Solução: C A B 5 7 8 1 Como A 2 2 e B 2, então o produto resultou em uma matriz C 2 14 Determinante de Matrizes, determine C A B 4 1 + 2 7 4 6 + 2 8 4 2 + 2 1 1 + 5 7 6 + 5 8 2 + 5 1 18 40 10 8 58 20 Somente matrizes quadradas possuem determinante Dada uma matriz A n n, o seu determinante é denotado por deta Vejamos algumas técnicas para se calcular o determinante de matrizes 2 2 e matrizes 141 Determinante de Matrizes 2 2 O determinante de uma matriz A 2 2 é definido por: a11 a deta det 12 a a 21 a 11 a 22 a 21 a 12 16 22 4 Ex: Calcule o determinante da matriz A 2 5 4 Solução: deta det 5 24 15 8 7 2 5

142 Determinante de Matrizes O determinante de uma matriz A é definido por: deta det a 11 a 12 a 1 a 21 a 22 a 2 a 1 a 2 a a 11 a 22 a + a 12 a 2 a 1 + a 1 a 21 a 2 a 1 a 22 a 1 a 2 a 2 a 11 a a 21 a 12 Para determinar tal relação, podemos utilizar a Regra de Sarrus Dada uma matriz A, devemos copiar as duas primeiras colunas de A à direita da matriz A, ou seja, a 11 a 12 a 1 a 11 a 12 a 21 a 22 a 2 a 21 a 22 a 1 a 2 a a 1 a 2 a 11 a 12 a 1 a 21 a 22 a 2 a 1 a 2 a Em seguida, devemos multiplicar os elementos da diagonal principal O processo deve ser realizado também com as diagonais paralelas à diagonal principal para que seja possível somar os produtos dessas três diagonais O mesmo processo deve ser realizado com a diagonal secundária e as demais diagonais à sua direita Entretanto, é necessário subtrair os produtos encontrados Obtemos assim: Diagonal Principal: a 11 a 22 a + a 12 a 2 a 1 + a 1 a 21 a 2 Diagonal Secundária: a 1 a 22 a 1 a 2 a 2 a 11 a a 21 a 12 Somando os resultados, obtemos por fim: deta a 11 a 22 a + a 12 a 2 a 1 + a 1 a 21 a 2 a 1 a 22 a 1 a 2 a 2 a 11 a a 21 a 12 1 9 4 Ex: Calcule o determinante da matriz A 5 2 8 6 7 Solução: Para utilizarmos a regra de Sarrus, primeiramente devemos copiar as duas primeiras colunas de A na frente da propria matriz A 1 9 4 1 9 5 2 8 5 2 6 7 6 7 Desta forma, utilizamos primeiramente as diagonais principais e depois as secundárias: Diagonal Principal: +1 2 + 9 8 6 + 4 5 7 6 + 42 + 140 566 Diagonal Secundária: 6 2 4 7 8 1 5 9 48 56 15 14 Assim, deta 566 14 42 deta 42 2 Sistemas Lineares 21 Equação Linear Uma equação linear é escrita na forma geral: onde a 1, a 2, a, a n são coeficientes; a 1 x 1 + a 2 + a x + + a n x n b, 27 x 1,, x,, x n são incógnitas ou variáveis; Note que o expoente de cada uma destas é igual a 1 b é o termo independente Exemplos: 1 2x + 5 1: é uma equação linear; 2 2x 2y 0: é uma equação linear; 2x + y 7: NÃO É UMA EQUAÇÃO LINEAR

22 Sistema Linear Um sistema linear é um conjunto de m equações lineares com n variáveis x 1,, x,, x n A forma geral de um sistema linear é dada por: a 11x 1 + a 12 + + a 1nx n b 1 a 21x 1 + a 22 + + a 2nx n b 2 a m1x 1 + a m2 + + a mnx n b m 28 Este sistema também pode ser escrito na forma matricial como Ax b, onde? a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n } a m1 a m2 {{ a mn } A x 1 x n } {{ } x b 1 b 2 b m } {{ } b 29 2 Classificação de um Sistema Linear Os sistemas lineares podem ser classificados como: a Possível e determinado solução única; b Possível e indeterminado infinitas soluções; c Impossível não tem solução Neste texto trabalharemos apenas com sistemas lineares possíveis e determinados, ou seja, que possuem uma única solução 24 Resolução de um Sistema Linear Existem três operações elementares que podem ser realizadas em um sistema de equações lineares, de forma a transformá-lo em um sistema equivalente, porém mais simples de resolver: 1 Troca de posição de duas equações, ou seja, de duas linhas do sistema 2 Multiplicação de uma equação por um número não nulo Adição ou subtração de duas equações do sistema Vejamos alguns exemplos utilizando estas operações Ex: Considere o sistema linear abaixo: { x + y 5 x + y 9 210 Este sistema possui solução x, y 2,, pois: { x + y 2 + 5 x + y 2 + 6 + 9 211 Note que se utilizarmos a operação elementar 1, podemos trocar de posição as duas equações e o resultado será o mesmo: { x + y 2 + 6 + 9 x + y 2 + 5 212 Ex: Note que se multiplicarmos uma equação por um número não nulo, x, y 2, continua sendo a solução do sistema: { { x + y 5 6 6x + 6y 0 x + y 9 2 6x 2y 18 { 6x + 6y 62 + 6 12 + 18 0 6x 2y 62 2 12 6 18 Ex: Por fim, ao somarmos válido para a subtração as duas equações do sistema, a solução permanece a mesma: x + y 5 + x + y 9 { 4x + 2y 14 { 42 + 2 8 + 6 14 21 Vejamos a seguir algumas técnicas para resolução de um sistema linear

25 Método da Substituição Consiste em isolar uma incógnita em uma das equações e substituir o resultado nas outras equações Exemplo 1 Resolva o seguinte sistema linear 2x2 utilizando o método da Substituição: { x1 2 2x 1 + 1 214 Isolando a variável x 1 na linha 1 do sistema 214, temos: Substituindo 215 na linha dois do sistema 214 temos: x 1 2 + 215 2x 1 + 1 22 + + 1 4 + 2 + 1 2 + 1 4 9 9 216 Substituindo 216 em 215, temos: x 1 2 + x 1 2 + x 1 5 217 Assim, temos que a solução do sistema 214 é dada por x 1 5 e Note que de fato x 1, 5, é solução do sistema 214 pois satisfaz as desigualdades: { x1 5 2 2x 1 + 25 + 10 + 1 218 Exemplo 2 Resolva o seguinte sistema linear x utilizando o método da Substituição: 2x 1 + x x 1 2 + 4x 5 x 1 + + 2x 2 219 Isolando a variável na linha 1 do sistema 219, temos: Substituindo 220 nas linhas 2 e do sistema 219, temos: 2x 1 + x 220 { { x1 2 2x 1 + x + 4x 5 x 1 + 2x 1 + x + 2x 2 5x1 + 2x 1 x 1 + x 5 221 Isolando a variável x 1 na linha 2 do sistema 221, temos: Substituindo 222 na linha 1 do sistema 221, temos: x 1 5 x 222 5x 1 + 2x 1 55 x + 2x 1 25 15x + 2x 1 15x + 2x 1 25 1x 26 26 x 1 x 2 22 Substituindo 22 em 222, temos: x 1 5 x x 1 5 2 x 1 5 6 x 1 1 224

Substituindo 22 e 224 em 220, temos: 2x 1 + x 2 1 + 2 + 2 + 2 1 225 Assim, temos que a solução do sistema 219 é dada por x 1 1, 1 e x 2 Note que de fato x 1,, x 1, 1, 2 é solução do sistema 219 pois satisfaz as desigualdades: 26 Método da Adição 2x 1 + x 2 1 + 1 2 2 + 1 2 x 1 2 + 4x 1 21 + 42 1 2 + 8 5 x 1 + + 2x 1 + 1 + 22 + 1 + 4 2 Consiste em somar duas equações com o intuito de eliminar uma ou mais incógnitas Exemplo 2 Considere sistema linear 214 do exemplo anterior: { x1 2 2x 1 + 1 226 Somando a linha 1 à linha 2 no sistema 226 é possível eliminar a incógnita : x 1 2 2x 1 + 1 + x 1 + 0 15 227 Dessa forma, x 1 + 0 15 x 1 15 x 1 5 228 Substituindo 216 na linha um ou dois do sistema 226 temos: 2x 1 + 1 25 + 1 10 + 1 1 10 229 Assim, temos que a solução do sistema 226 é dada por x 1 5 e Note que é a mesma solução encontrada pelo outro método Exemplo 2 Resolva o sistema linear abaixo pelo método da soma: { 4x1 + 15 2x 1 + 5 11 20 Multiplique a linha 2 do sistema 20 por -2: { 4x1 + 15 4x 1 10 22 21 Somando a linha 1 à linha 2 no sistema 21 é possível eliminar a incógnita x 1: 4x 1 + 15 4x 1 10 22 + 0 7 7 7 7 1 22 Substituindo 22 na linha um ou dois do sistema 21 temos:

4x 1 + 15 4x 1 + 1 15 4x 1 15 12 x 1 4 x 1 2 Assim, temos que a solução do sistema 20 é dada por x 1 e 1 Note que x 1 e são de fato soluções do sistema 20 pois: { 4x1 + 4 + 1 12 + 15 2x 1 + 5 2 + 51 6 + 5 11

EXERCÍCIOS - Matrizes e Sistema Lineares Reforço de Matemática Básica - Professor: Marcio Sabino - 1 Semestre 2015 Nome : Ra : P rojetos Manhã P rojetos Noite 1 Dadas as matrizes A 5 6 7 4 0 9 e B 5 6 1 2 4 0 1 2 1 2, determine: a a 21 b a 12 c b 2 d b 1 2 Escreva os elementos da diagonal principal da matriz A e os elementos da diagonal secundária da matriz B: a A 2 1 5 b B 5 6 7 8 9 10 1 2 Considere uma matriz A 4 4 Determine a soma dos elementos da diagonal principal de A tal que: a Cada elemento da diagonal principal é o dobro do anterior b Cada elemento da diagonal principal seja dado por a ij i j 5 4 7 2 6 1 4 Dadas as matrizes A, B, determine: 4 0 9 1 1 a A b A + B c A B 5 Dadas as matrizes A 1 2, B F a A B b B A 2 0 1 2 4 1 1 2 6 Dadas as matrizes A, determine: 4 2 5 c A E d E B 4 5 6 4, B 2 5, C, C 5 4 4 9 e C D f D C 1 2 4 2 2 1 2 6, D 1 e D, E g E F h F E 1 2 4 2 1 2 4 6 a deta b detb c detc d detd 1 4 1 2 5 0 1 0, determine: e 7 Resolva os sistemas lineares abaixo através do método da soma e substituição: a { x1 4 2x 1 + 11 b { x1 2 5 2x 1 + 8 c { x1 + 1 x 1 + 2 4 8 Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o método mais conveniente: a b x 1 + x 4 2x 1 + + 2x 11 x 1 + + x 2 x 1 + x 4 x 1 + + x 12 x 1 + x 2 c d x 1 + x 9 x 5 x 7 x 1 2 x 1 + 5 x 1 + + x 5 9 Um comerciante mandou seu empregado pesar três sacos de farinha 0 rapaz voltou exausto, e disse: - 0 primeiro e o segundo sacos, juntos, tem 110 quilogramas 0 primeiro e o terceiro, juntos, tem 120 quilogramas E o segundo e o terceiro, juntos, têm 112 quilogramas Mas o comerciante queria saber quantos quilogramas tinha cada saco Para o empregado não se cansar mais, monte um sistema linear e descubra a massa de cada saco para ele

10 Considere uma barra elástica horizontal sustentada em cada uma de suas extremidades por um apoio Esta barra sofre a ação de duas forças, f 1 e f 2, respectivamente nos pontos 1 e 2 ao longo da sua extensão, resultando nas deformações y 1 e y 2, conforme apresentado na figura 11 Supõe-se que a relação entre as forças em [libras] aplicadas em cada ponto e a deflexão dada em [polegadas] resultante em cada um dos pontos é expressa pelo sistema linear apresentado a seguir: d11 d 12 d 21 d 22 f1 f 2 y1 y 2 24 a Se os coeficientes de flexibilidade da barra são dados por d 11 0, 005, d 12 d 21 0, 002, d 22 0, 004 [polegadas por libra] e as forças aplicadas nos pontos 1 e 2 forem respectivamente 15 e 20 [libras] respectivamente nos pontos 1 e 2, quais os valores das deflexões nestes pontos? b Se os coeficientes de flexibilidade da barra são dados por d 11 0, 005, d 12 d 21 0, 002, d 22 0, 004 [polegadas por libra] e as deflexões nos pontos 1 e 2 forem respectivamente 0, 29 e 0, 18 [polegadas] respectivamente nos pontos 1 e 2, quais os valores das forças aplicadas? 11 Na figura ao lado, o corpo suspenso tem massa de 10 [kg] O sistema está em equilíbrio estático repouso, os fios são ideais e possuem massas desprezíveis O sistema linear abaixo representa o esquema dado Resolva o sistema para determinar as trações T 1 no fio BC e T 2 no fio AB, em [N] { T1 cos60 T 2 cos0 0 T 1 sen60 + T 2 sen0 m g OBS: Dados: g 10 m/s 2 ; sen0 1 2 e cos0 cos60 1 2 e sen60 2 2 ;

Soluções 1a a 21 4 1b a 12 6 1c b 2 4 1d b 1 0 2a a 11 2 e a 22 5 2b b 11 5, b 22 9 e b a 7a 11 4a A 5a A B 2 5b B A 15 12 21 12 0 27 4 8 12 5 10 15 6 12 18 5c A E 1 9 b 12 7 2 8 4b A + B 1 1 10 18 5d E B 7 5 22 4 5e C D 5 4 62 5f D C 19 21 10 6 4c A B 7 1 8 7 10 14 5g E F 6 5 22 1 2 4 5h F E 4 17 1 14 9 1 6 6a deta 14 6b detb 26 6c detc 6d detd 0 7a 7b 8a x1 x1 x 1 x 9 Temos 10a 11 y1 T1 T 2 y 2 5 6 1 x1 5 7c 1 2 5 1 x 1 1 8b 4 8c 4 x 5 x y z 59 51 61 0, 115 0, 110 50 50 x 1 x 0 2 7 8d [kg], onde x, y e z são respectivamente as massas dos sacos 1, 2 e [polegadas] [N] 10b f1 f 2 50 20 [libras] x 1 x 2 0