1.1. Potenciação com expoentes Inteiros

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1 Potenciação, Radiciação e Notação Científica Reforço de Matemática Básica - Professor: Marcio Sabino - 1 Semestre Potenciação Quando fazemos uma multiplicação os números envolvidos nesta operação são chamados de fatores e o resultado da multiplicação é o produto. Quando temos todos os fatores iguais, então podemos utilizar uma propriedade chamada de potenciação para representar esta multiplicação. De forma geral, a.a.a {{ a = a n, onde n fatores a: A base sempre será o valor do fator. n: O expoente é a quantidade de vezes que o fator repete Potenciação com expoentes Inteiros Seja a n, onde a base a R e o expoente n Z, entao: 1. a 0 = 1; 2. a n = a a {{ a, onde n > 1 n vezes 3. a n = 1 a n, onde n > 0 4. a m a n = a m+n 5. a m a n = am n 6. (a m ) n = a m n = (a n ) m 7. (a b) n = a n b n, onde b R ( a ) n a n 8. =, onde b R b bn A seguir, serão apresentados alguns exemplos com as operações de potenciação: (2.013) 0 = = = {{. 4 vezes 5 2 = = = = 37 5 = 3 2. ( 2 3) 5 = = a 15. (3 5) 2 = ( ) 4 2 = OBS.: (a + b) n a n + b n, para n 1 e a 0 ou b 0; Ex.: Note que (1 + 2) , pois (1 + 2) 4 = 3 4 = = 81 enquanto = = 33.

2 1.2. Radiciação - Potenciação com expoentes Racionais O símbolo n a é utilizado para representar a raiz enésima de a, onde: : radical; a: radicando; n: índice. Se y = n x, estamos buscando o número y que multiplicado ele por ele mesmo n vezes resulta em x. 2 OBS.: A raiz quadrada de um número pode ser representada das seguintes maneiras: a = a. Vejamos algumas propriedades da radiciação: 1. Se a < 0 e n for um número par, então n a = no conjunto dos números reais n a n a 5. b = n b 2. Se a < 0 e n for um número ímpar, então é possível determinar n a no conjunto dos números reais 3. a m n = n a m n am = ( n a) m m n a = m n a 4. n a b = n a n b 8. ( n a) m = n a m OBS.: A propriedade 3 mostra que a raiz n-ésima de um determinado valor pode ser encarada como uma potenciação onde o expoente é um número racional, ou seja, uma fração. Transformando uma raiz em uma potência, podemos trabalhar com as propriedades de potenciação. Determine Queremos descobrir o número que vezes ele mesmo duas vezes seja igual a 81. O número procurado é 9, ou seja, 2 81 = 9. Utilizando as propriedades de potenciação: = 3 4 = = 3 2 = 9. Determine Queremos descobrir o número que vezes ele mesmo três vezes seja igual a 64. O número procurado é 4, ou seja, 3 64 = 4. Utilizando as propriedades de potenciação: 3 64 = = = 2 2 = =, pois não existe um número que vezes ele mesmo dê 25, já que o produto de dois números iguais será sempre um número positivo = = = = = = = 6 64 ( 3 8) 2 = OBS.: CUIDADO!!! n a + b n a + n b Ex.: Note que , pois = 2 9 = 3 enquanto , , 6457 = 4, 0599.

3 2. Potência de 10 Um caso muito utilizado cientificamente são as potências de 10. Neste caso, trabalha-se com os números na forma m 10 E, onde 1 m 9 é um número real e E é o expoente da potência de 10. Vejamos algumas situações: = (1, ) ( ) = 1, , = (9, 4) (0, 00001) = 9, Quando é necessário fazer operações como multiplicação ou divisão, operamos utilizando as regras de potenciação vistas: (2, ) ( ) = (2, 1 3) ( ) = 6, = 6, = = = Quando é necessário fazer operações como adição ou subtração, devemos operar somente se as potências de 10 utilizadas forem idênticas. Quando estas não forem, devemos tranforma-las de forma a tornar as potências de 10 iguais. (2, ) + ( ) = (2, 1 + 3) 10 5 = 5, (1, ) + ( ) = (1, ) + (0, ) = (1, , 04) 10 6 = 1, Na notação científica, o conceito de múltiplos, submúltiplos e seus prefixos são muito úteis. Segue abaixo uma tabela representativa: Potência de Base 10 Nome Símbolo = 0, yocto y = 0, zepto z = 0, atto a = 0, femto f = 0, pico p 10 9 = 0, nano n 10 6 = 0, micro µ 10 3 = 0, 001 mili m 10 2 = 0, 01 centi c 10 1 = 0, 1 deci d 10 0 = = 10 deca da 10 2 = 100 hecto h 10 3 = 1000 kilo k 10 6 = mega M 10 9 = giga G = tera T = peta P = exa E = zetta Z = yotta Y Utilizando a tabela, podemos criar múltiplos e submúltiplos de grandezas físicas como: Dois micro ohms: 2, 0 µω = 2, Ω = 0, Ω Um kilowatt: 1, 0 kw = 1, W = W Considere um objeto com um comprimento de x = 2, 0 m. Este valor em centímetros será dado por: x = 2, 0 m = 200, m = 200, 0 cm Este valor em hectometros será dado por: x = 2, 0 m = 0, m = 0, 002 hm

4 EXERCÍCIOS - Potenciação, Radiciação e Notação Científica Reforço de Matemática Básica - Professor: Marcio Sabino - 1 Semestre 2015 Nome : Ra : P rojetos Manhã P rojetos Noite 1. Escrever em notação exponencial: (a) (b) x x x x x (c) x 2 x (d) e π e e π (e) 2 a a 2 x 2. Utilize as propriedades de potenciação e escreva a solução em notação exponencial: (a) (b) (c) a 4 b 2 a 3 b (d) 11 8 : 11 5 (e) (f) (g) (h) [( x) 25] 2 (i) : Utilize as propriedades de potenciação e resolva: (a) Se x < 0 e n par, então x n será positivo ou negativo? (b) Se x < 0 e n ímpar, então x n será positivo ou negativo? 4. Utilize as propriedades de potenciação e resolva: ( 123 (a) 659 (b) (57) 1 (c) 3 2 (d) ( 3) 2 (e) ( 3) 3 ) 0 (f) ( 3) 4 (g) (2) 7 (h) (2) 5 ( ) 3 5 (i) 2 (j) ( ) (k) (5 a) 2 (l) (2 x) 4 5. Coloque os valores como potência de 10: (a) (b) (c) 0, (d) 0, Coloque os valores na forma decimal: (a) (b) 0, (c) (d) 0, Escreva em notação científica: (a) A massa de um próton: 0, kg. (b) A massa da Terra é de cerca de kg (c) A circunferência da Terra é de aproximadamente m (d) A velocidade da luz em unidades SI é m/s (e) 1 mol de moléculas tem moléculas. 8. Resolva as seguintes operações (a) (1, ) ( ) (b) (2, ) ( ) (c) (d) (e) (3, ) (2, ) (f) (1, ) + (4, ) 9. Considere uma chapa circular com diâmetro de m. Sabendo que uma circunferência de raio r possui a área definida por A = π r 2, determine a área da chapa.

5 10. A primeira lei de Ohm estabelece que a razão entre a diferença de potencial (volt) e a corrente elétrica (ampère) em um condutor é igual a resistência elétrica (ohm) desse condutor, ou seja, R = U I. (a) Qual o valor da resistência se U = 1, V e I = 1, A? (b) Qual o valor da diferença de potencial se R = 1, Ω e I = 5, A? (c) Qual o valor da corrente se R = 1, Ω e U = 1, V? 11. Transforme para a forma de potência: (a) 3 2 (b) 27 5 (c) 17 (d) Transforme para a forma de raiz: (a) (b) (c) Utilize as propriedades e resolva: (a) 0 (b) 1 (c) 25 (d) 49 (e) 49 (f) (g) 3 8 (h) 5 32 (i) (j) (k) (l) 5 5 (m) (n) π 123 π 123 π {{ 123 vezes (o) (p) (100 8) As sentenças a seguir são verdadeiras ou falsas? Explique. (a) = 48 (b) O dobro de 3 é 6 (c) O dobro de 3 é 12 (d) = 10 (e) 32 2 = 18

6 Soluções (1a) 3 12 (1b) 2 3 x 5 (1c) x 2 (1d) e 3 π 2 (1e) 2 2 a 2 x (2a) 3 7 (2b) (2c) a 7 b 3 (2d) 11 3 (2e) 2 2 (2g) 2 33 (2f) 2 0 (2h) x 50 (2i) (3a) positivo (3b) negativo (4a) 1 (4b) 57 (4c) 9 (4d) 9 (4e) 27 (4f) 81 (4g) 128 (4h) 1 32 (4i) (4j) 7 3 (4k) 25 a 2 (4l) 1 16 x 4 (5a) 1, (5b) 1, (5c) 3, (5d) 5, (6a) (6b) 31, 4 (6c) 2, 9513 (6d) 0, (7a) 1, kg (7b) 5, kg (7c) 4, m (7d) 2, m/s (7e) 6, moléculas (8a) 3, (8b) 1, (8d) 1, (8f) 4, (8c) 1, (8e) 1, (9) 9 π 10 4 m 2 (10a) R = 1, Ω (10b) U = 5, V (10c) I = 8, A (11a) (11b) (11c) (11d) 5 2 (12a) 4 3 (12b) 5 3 (12c) (13a) 0 (13e) 7 (13i) 2 (13m) π (13b) 1 (13f) 5 (13j) 10 (13n) 17 (13c) 5 (13g) 2 (13k) 2 (13o) 5 (13d) (13h) 2 (13l) 5 (13p) 92 (14a) Verdadeiro. Explique o motivo. (14b) Falso. Explique o motivo. (14c) Verdadeiro. Explique o motivo. (14d) Falso. Explique o motivo. (14e) Verdadeiro. Explique o motivo.