7- Métodos de Ruge-Kutt Neste estudo cotiumos desevolve métodos que poimem solução do PVI d om ' 0 0 A idéi ásic destes métodos é poveit s quliddes dos métodos d séie de lo e o mesmo tempo elimi seu mio deeito que é o cálculo de deivds de que coome vimos to os métodos de séie de lo computciolmete ieicietes Podemos dize que os métodos de Ruge-Kutt de odem p se ccteizm pels seguites popieddes: i são de psso um p clcul i usmos pes i ; ii ão eigem o cálculo de qulque deivd de ; o etto pgm po isso o peço de clcul em váios potos; iii pós epdi po lo p ução de dus viáveis em too de e gup os temos semeltes su epessão coicide com do método de séie de lo de mesm odem Já vimos que o método de Eule é um método de séie de lo de ª odem: ' 0 Etão 0 e ssim o método de Eule stisz s popieddes cim que o ccteiz como um método de Ruge-Kutt de odem p Esse método cosiste em se ze mudçs o método de Eule p se cosegui um método sedo séie de lo de ª odem de tl om que elimie o cálculo de deivds de ª odem Deiição 7: Sejm um iteio positivo e úmeos eis i i ij p i e j ode com e Deomi-se um método de Ruge-Kutt com estágios o método deiido po: ϕ ; ϕ ; K K i j j j K i i ij j i j ij j i seve que e deiem um clsse de métodos de psso um com tmo isto é e s costtes eis i i ij idetiicm o pticul método deste tipo Po seem métodos de psso um o tmo que podei se deotdo po pode se ltedo cd psso o que é um ccteístic desses métodos Mis p ete discutiemos com mis detles est imção soe odem do método A otção i sigiic que o i vi de té de um em um
seve tmém que os Métodos de Ruge-Kutt o úmeo de estágios idetiic o úmeo de vlições d ução que são ecessáis cd psso De codo com Butce Butce 987 podemos epeset os coeicietes de um método de Ruge-Kutt um om mis compct do seguite modo: B t Podemos clssiic os métodos de Ruge-Kutt como: Eplícitos se 0 p i j; ij Implícitos se 0 p lgum i j ij Deiição 7: método de Ruge-Kutt deiido po e é cosistete com o PVI se ϕ ;0 sevção: seve que o método de Ruge-Kutt é cosistete com o PVI se e somete se j j Deiição 7: Dizemos que o método de Ruge-Kutt ϕ ; tem odem de cosistêci p se p o o mio iteio tl que: p ϕ ; 5 ode é solução et do PVI em Ilustemos um om de costução deste tipo de método cosidedo um método de Ruge-Kutt eplícito com p logo com oito pâmetos seem detemidos ou sej e pti deste geemos lgus métodos de odes ieioes Como é um ução de dus viáveis deotdo temos epessão em séie de lo de o poto : D D 8!! ode ' D " D ''' etc Alogmete epdido cd i deiido po p i ; otém-se: ] ]
] 9 ] ] Como temos!!!! ] ]!! Potto φ ]!! ] ]! Potto φ ] ] 0! Po outo ldo φ t do lgoitmo de lo desevolvid ceg à: φ t ]! Estes métodos são gedos pti d compção ete epsão d séie p φ ; ged pelo método 0 e φ ; d solução lític t t Eemplo 7: Detemi um método de estágios e de odem máim Compdo 0 com o desevolvimeto em lo cegmos o sistem: * Como temos dus equções e tês icógits temos iiitos métodos de Ruge-Kutt de odem e dois estágios Vejmos lgums soluções: Se o método esultte é o método de Eule: que tem odem sevção: Com odem e estágio só eiste o método de Eule Se c 0 ]
78 78 φ t sevção: Não coseguimos um método de Ruge-Kutt de estágios com odem meos que se impo codições soe pois p se te odem teímos mis seguite codição lém de *: e isso só sei stiseito se impuséssemos codições soe sevção: deotemos um Método de Ruge-Kutt de estágios e odem p po RKp Eemplo 7: Um método de Ruge-Kutt de estágios de odem : Sej 0 e emos etão ϕ ] Potto que é o método de Eule modiicdo Sej Potto e ] que é método de Eule melodo Eemplo 7: Resolv o Polem de vlo iicil ' 0 0 pelo método de Eule Modiicdo usdo 0 Clcul e Solução: método de Eule Modiicdo é ddo po: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 005;0 0005 0 ] 0005 0 0005 0099975 0 0 0005 0 0 ; 0005 00099975 009990005
Compdo 0 com e cosidedo ulidde ds epessões que compm s potêcis de té odem otemos s codições de odem dds segui: Cosidedo em 0 e como pâmetos lives detemimos de mei úic os demis pâmetos otedo míli de métodos de Ruge-Kutt de estágios com odem emos potto equções icógits; tiuido vloes viáveis detemimos s outs Novmete temos iiitos métodos de Ruge-Kutt de estágios de odem mém esse cso ão coseguimos um método de estágios e de odem meos que se impo codições soe Eemplo 7: Sej ; 0 ; 0 0; seve Impodo que temos emos: ϕ ] ] ] que é o método de Heu Eemplo 75: Cosidee e e potto emos êm-se que Assim: 9 0 7 0 ± 57 50 ± 8 0 0 0 Se e 5 0
ϕ ]] que é o método de Kutt de odem Eemplo 7: Cosidee e emos 8 e 8 Assim o método costituído pelos pâmetos detemidos cim é: ] 8 8 que é o método de Nstö de odem Algus eemplos de Método de Ruge-Kutt de estágios e odem RK podem se vistos segui: ] 8 ou ] sevções: Eiste um elção ete o úmeo de estágios e odem do método que é seguite: Estágios dem Igul o úmeo de estágios 5 5 7 8 9 7 0 estágios
s métodos de odem são os mis usdos A medid que p cesce o úmeo de codições de odem umet um zão mio e coseqüetemete o úmeo de equções do sistem se esolvido tmém cesce todo oteção de solução p o sistem mis comple o-se etão iteesste utiliz equções uilies que sustitum com vtges lgums ds equções uilies deomids codições simpliicdos que pemitem simpliic oteção de métodos RKsp Eumeemos ests codições po Ap Bp Cp Dη e Eη p e epesetm o seguite: Ap se o método tive odem de cosistêci p Bp se ii ; p i i Cp se ij j ; p i j l l Dη se i i ij ; j j ; j ; l η i l l E η p se i i ij j ; l ; η 5 l i i Deiição 7: Deomi-se eo de tucmeto locl de em o vlo ϕ ; Se o método tem odem de cosistêci p e é suicietemete dieeciável cosidedo em epsão em séie de lo de e ϕ ; um viziç de otemos: sevções: p p ψ ; 7 Pode-se pov que: se etão De to: emos 0 ϕ ϕ ϕ eo de tucmeto locl om ssitótic é ddo po: q ϕ q ode q é odem do método A ução ϕ é cmd ução eo picipl e ϕ é cmdo eo de tucmeto locl picipl; que é muito impotte pois umet pecisão em cd psso Clculemos ução eo picipl p os métodos de Ruge-Kutt os seguites csos: q 7- Método de Eule: p 7
8 ϕ Desevolvedo em séie de lo em too do poto otemos: '! ' "! ' ]! Como temos que e ssim φ e ] ELP 7- Método de Eule Melodo ou Modiicdo ou Apeeiçodo: p emos φ ]! Como e p temos: Potto ]! Desevolvedo em séie de lo em too do poto otemos:! '''! "! ' ]! ] ] φ e ELP ] Eemplos 77: Pov que edo ' é esolvid etmete segudo o ELP po um método de Ruge-Kutt de odem em-se que: ELP ] { Etetto 0 e 0 0 0 0 0 ELP u sej
Clcule o ELP qudo o polem de vlo iicil Método de Eule; Método de Eule Modiicdo ' 0 0 é esolvido po: Solução: ELP { } ELP { } Como etão ELP { } Se 0 0 ELP { } c Resolv o PVI ' 00 pelos Métodos de 0 000 c Eule c Eule-Modiicdo C Ruge Kutt 00 s Solução Et: 000e Solução: c Método de Eule 00 00 Potto 00 000 00 00000 00 00 000 P temos 00000 00 P 0 5 tem-se: e 0005 000 00 P 0 5 temos: e 000 9
0005 000 000 P 0 temos: e 0 0 000 000 00777 0 c Método de Eule-Modiicdo Ruge-Kutt de odem: ] 00 00 00 ] 00 00 00 ] 00 00 Aálogo o que vimos p o Método de Eule 00 00 000 P temos 00 00 000 008 P 0 5 tem-se: 05 0005 00 000 00808 P 0 5 tem-se: 05 0005 00 000 0080 P 0 tem-se: 0 0 0 000 00 000 00807 sevção: Dd espost et 00 808 com quto css decimis vemos que à medid que dimiui cd método otém um melo poimção e que ete os dois como e de se espe o Método de Eule Apeeiçodo oece meloes esultdos; vej que 0 00807 po Eule Apeeiçodo! sevmos que sedo 0 0 etão 0 Po outo ldo séie de lo de e 0 0 em too de 0 é: 00 00 e 00 00! 00 00 e 00 00! Vê-se que tto 00 do método de Eule como 00 00 do método 00 00 de Eule Apeeiçodo são poimções p e e 70
sevção: Como estmos iteessdos em ou sej etão Assim é tmém tul que o método de Eule à medid que dimiui cegmos mis póimos d solução pois 00 / e lim 00 c Método de Ruge-Kutt de dem: : K K K 9 9 K 00 K 00000 0 0 K K K 00 K 00000 0 0 8 K K 00 K ] K 00000 08 0 K K K 000 0 08 00 807 9 9 9 9 Eemplo 78: Ddo o PVI ' ote e 0 Solução: A solução et dest equção é: 5 ] potto 8 e Aplicdo o método de Ruge Kutt de odem descito io K K K K ode K K K K K K otemos os seguites esultdos: P 05: 05 998 05 589 075 570 05 858 5 05 00878 075 55 7 0875 98 Este esultdo tmém vle p o Método de Eule Apeeiçodo 7
8 79997 9 5 88 0 5 570 75 00097 5 55578 5 099 75 7507 5 875 587 0 9999 P 0: 0 59 0 805 0 9759 08 757 5 0 79988 8075 7 0987 8 9757 9 8 509 0 0 9958 7- Eecícios 7 ze os eecícios eltivos os tópicos vistos os livos: Boso L C e Ruggieo MA 7