Função Eponencial - 16 Nível Básico 1. (Imed 16) Em relação à função real definida por g(g()) corresponde a: a) 1. b). c) 3. d). e) 5. g() 1, é correo afirmar que. (Uel 15) A miose é uma divisão celular, na qual uma célula duplica o seu coneúdo, dividindo-se em duas, dias células-filhas. Cada uma desas células-filhas se divide, dando origem a ouras duas, oalizando quaro células-filhas e, assim, o processo coninua se repeindo sucessivamene. Assinale a alernaiva que corresponde, correamene, à função que represena o processo da miose. a) f :, dada por f() b) f :, dada por c) f : *, dada por d) f :, dada por f() f() f() e) f :, dada por f() 3. (Pucrs 15) Uma aplicação financeira em seu rendimeno, que depende do empo, dado pela função f, definida por f() a, a, e a 1. Dessa forma, f(1 ) é igual a a) 1 a a b) 1 c) 1 a a d) 1 a e) 1 a a www.nsaulaspariculares.com.br Página 1 de 17
. (Faec 15) Leia a noícia. O número de deslocamenos de pessoas enre cidades paulisas dobrou em uma década, enquano o crescimeno populacional foi de 1% ao ano. A pesquisa obida pelo Esado considera viagens feias por maiores de 15 anos na macromerópole paulisa 173 municípios enre a Baiada Sanisa e o Vale do Paraíba, passando por São Paulo, Campinas e São José dos Campos. (Tiago Danas. Esado de São Paulo, 7..13. Adapado) A noícia revela um fenômeno social chamado migração pendular, que ocorre quando pessoas se deslocam enre diferenes cidades diariamene para rabalhar ou esudar. Suponha que, nos próimos anos, o número de deslocamenos de pessoas enre cidades paulisas coninue dobrando a cada década e que o crescimeno populacional coninue aumenando à aa de 1% ao ano. Com base nessas suposições, podemos afirmar correamene que a) o crescimeno dos deslocamenos será linear, enquano que o crescimeno populacional será eponencial. b) o crescimeno dos deslocamenos será logarímico, enquano que o crescimeno populacional será linear. c) o crescimeno dos deslocamenos será eponencial, enquano que o crescimeno populacional será linear. d) ano o crescimeno dos deslocamenos quano o crescimeno populacional serão eponenciais. e) ano o crescimeno dos deslocamenos quano o crescimeno populacional serão lineares. 5. (Upe 15) Os biólogos observaram que, em condições ideais, o número de bacérias Q() k em uma culura cresce eponencialmene com o empo, de acordo com a lei Q() Q e, sendo k uma consane que depende da naureza das bacérias; o número irracional e vale aproimadamene,718 e Q é a quanidade inicial de bacérias. Se uma culura em inicialmene 6. bacérias e, minuos depois, aumenou para 1., quanas bacérias esarão presenes depois de 1 hora? a) b) c) d) e) 1,8 1, 1 3, 1 3,6 1,8 1 6. (Enem PPL 15) O sindicao de rabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de R$ 1.8,, propondo um aumeno percenual fio por cada ano dedicado ao rabalho. A epressão que corresponde à proposa salarial (s), em função do empo de serviço (), em anos, é s() 1.8 (1,3). De acordo com a proposa do sindicao, o salário de um profissional dessa empresa com anos de empo de empo de serviço será, em reais, a) 7.16,. b) 3.819,. c) 3.79,6. d) 3.78,. e) 199,6. www.nsaulaspariculares.com.br Página de 17
7. (Acafe 1) O crescimeno eponencial é caracerísico de ceros fenômenos naurais. k Uma função eponencial pode ser enunciada pela lei N() N a, onde N é o número inicial, N é o número no insane, e k é a aa de crescimeno ou decrescimeno do fenômeno em esudo. Analise as proposições abaio e classifique-as em V - verdadeiras ou F - falsas. ( ) Para que a função N() represene um decaimeno é necessário que k seja um número negaivo. ( ) A lei que represena o crescimeno do número de pessoas infecadas pelo vírus da gripe,8 em uma grande cidade é dada por N() 6, com em horas. Enão, após 6h5min a cidade esá com 19 pessoas infecadas.,5 ( ) A população de cera região do país é dada pela função P() P, onde é o empo em anos. Enão, após anos, a população dessa região esá reduzida à meade da população inicial. A sequência correa, de cima para baio, é: a) F - V - F b) V - V - V c) V - F - V d) V - F F e) F F V 8. (Uepa 1) Os dados esaísicos sobre violência no rânsio nos mosram que é a segunda maior causa de mores no Brasil, sendo que 98% dos acidenes de rânsio são causados por erro ou negligência humana e a principal falha comeida pelos brasileiros nas ruas e esradas é usar o celular ao volane. Considere que em 1 foram regisrados 6. mores decorrenes de acidenes de rânsio e deses, % das víimas esavam em moos. Teo Adapado: Revisa Veja, 19/8/13. A função N() N (1,) fornece o número de víimas que esavam de moo a parir de 1, sendo o número de anos e N o número de víimas que esavam em moo em 1. Nessas condições, o número previso de víimas em moo para 15 será de: a) 1.7. b) 51.8. c) 6.8. d) 8.9. e) 13.68. Nível Médio 9. (Ulbra 16) Em um eperimeno de laboraório, indivíduos de uma espécie animal foram submeidos a eses de radiação, para verificar o empo de sobrevivência da espécie. Verificou-se que o modelo maemáico que deerminava o número de indivíduos sobrevivenes, em função do empo era N C A, com o empo dado em dias e A e C dependiam do () ipo de radiação. Três dias após o início do eperimeno, havia 5 indivíduos. Quanos indivíduos vivos eisiam no quaro dia após o início do eperimeno? a) b) 3 c) 5 d) e) 1 www.nsaulaspariculares.com.br Página 3 de 17
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS QUESTÕES: Observe a figura a seguir e responda à(s) quesão(ões). 1. (Uel 16) Leia o eo a seguir. Câncer é essencialmene caracerizado pelo crescimeno desordenado de células que invadem órgãos e ecidos, sendo considerado aualmene um sério problema de saúde pública mundial. Sabe-se que as células umorais compeem enre si por recursos viais e oigênio. Um modelo de crescimeno umoral é descrio pela função K N(), K r 1 1 (, 7) N que deermina, a cada insane, a população de células cancerígenas; sendo que r é a consane de crescimeno inrínseca dessas células, N é a população inicial de células umorais; K é a maior quanidade de células que um umor maligno pode aingir com os nurienes disponíveis. (Adapado de: RODRIGUES, D. S. Modelagem Maemáica em Câncer: dinâmica angiogênica e quimioerapia anineoplásica. Disseração de Mesrado. Universidade Paulisa Júlio de Mesquia Filho, 11. p.13.) A parir dessas informações, aribua V (verdadeiro) ou F (falso) às afirmaivas a seguir. ( ) Se, enão N() N. ( ) K pode assumir valores negaivos. ( ) N é sempre maior que K. ( ) Se N K, enão N() K. ( r ) Quando cresce ilimiadamene, (,7) se aproima de (zero) e N() é aproimadamene K. Assinale a alernaiva que coném, de cima para baio, a sequência correa. a) V, V, F, F, F. b) V, F, V, F, F. c) V, F, F, V, V. d) F, V, V, F, V. e) F, F, V, V, F. www.nsaulaspariculares.com.br Página de 17
11. (Uel 16) A meia-vida de um elemeno radioaivo é o empo necessário para que sua aividade seja reduzida à meade da aividade inicial, ou seja, o elemeno radioaivo perde meade de sua massa a cada período de empo. A braquierapia é uma das modalidades de raameno da radioerapia conra o câncer, e um dos elemenos radioaivos uilizados é o 13 Pd, cuja meia-vida é de 17 dias. Considerando a massa inicial de 16 g de 13 Pd, assinale a alernaiva que apresena, correamene, a massa desse elemeno radioaivo decorridos 136 dias. a) 1 g 16 b) 1 g c) 1 g d) g e) 8g 1. (Cefe MG 15) Considere a definição para as funções maemáicas denominadas de seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, respecivamene: e e senh() e e e cosh(), Denre as afirmações abaio: I. 8 [senh() cosh()] senh(8) cosh(8), para odo ; II. A equação cosh() possui uma única solução real; III. [cosh()] [senh()] 1; é (são) verdadeira (s) apenas: a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) I e III. 13. (Faec 15) Sejam a e b algarismos. Eisem eaamene N números naurais de cinco algarismos, da forma 1a79b, que são divisíveis por 15. Tendo isso em visa, o valor de N é Lembre-se de que um número naural é divisível por: - 3, quando a soma dos seus algarismos for divisível por 3; - 5, quando o algarismo das unidades for ou 5. a) 15. b) 1. c) 9. d) 6. e). www.nsaulaspariculares.com.br Página 5 de 17
1. (Imed 15) Em um eperimeno no laboraório de pesquisa, observou-se que o número de bacérias de uma deerminada culura, sob ceras condições, evolui conforme a função 1 B() 1 3, em que B() epressa a quanidade de bacérias e represena o empo em horas. Para aingir uma culura de 81 bacérias, após o início do eperimeno, o empo decorrido, em horas, corresponde a: a) 1. b). c) 3. d). e) 5. 15. (Mackenzie 15) Sejam f: e g: funções definidas por g(). Enão, podemos afirmar que a) f é crescene e g é decrescene. b) f e g se inercepam em. c) f() g(). d) [f()] [g()] 1. e) f() e g(),. f() e 16. (Mackenzie 1) Seja f: quaisquer e y. a) 16 b) 1 3 Se uma função al que f y f f y f 1 8, o valor de f 3 é para c) 1 d) 3 e) 17. (Ufrgs 1) A função f, definida por a). b) 1. f(), inercepa o eio das abscissas em 1 c). d). e) 1. www.nsaulaspariculares.com.br Página 6 de 17
18. (Insper 1) A parir do momeno em que é aivado, um vírus de compuador aua da seguine forma: - ao longo do primeiro minuo, ele desrói % da memória do compuador infecado; - ao longo do segundo minuo, ele desrói % do que havia resado da memória após o primeiro minuo; - e assim sucessivamene: a cada minuo, ele desrói % do que havia resado da memória no minuo anerior. Dessa forma, um dia após sua aivação, esse vírus erá desruído aproimadamene a) 5% da memória do compuador infecado. b) 6% da memória do compuador infecado. c) 8% da memória do compuador infecado. d) 9% da memória do compuador infecado. e) 1% da memória do compuador infecado. 19. (Pucrs 1) O decrescimeno da quanidade de massa de uma subsância radioaiva pode ser apresenado pela função eponencial real dada por f() a. Enão, pode-se afirmar que a) a b) a c) a 1 d) a 1 e) a. (Unifor 1) Em um dia num campus universiário, quando há A alunos presenes, % desses alunos souberam de uma noícia sobre um escândalo políico local. Após horas f() A alunos já sabiam do escândalo, onde f(), Ak 1 Be k e B são consanes posiivas. Se 5% dos alunos sabiam do escândalo após 1 hora, quano empo levou para que 8% dos alunos soubessem desse escândalo? a) horas b) 3 horas c) horas d) 5 horas e) 6 horas 1. (Uepb 1) Biólogos e Maemáicos acompanharam em laboraório o crescimeno de uma culura de bacérias e concluíram que esa população crescia com o empo, ao dia, λ conforme a lei P() P 5, onde P, é a população inicial da culura ( = ) e λ é uma consane real posiiva. Se, após dois dias, o número inicial de bacérias duplica, enão, após seis dias, esse número é: a) 1P b) 6P c) 3P d) 8P e) P www.nsaulaspariculares.com.br Página 7 de 17
. (Ufpr 1) Uma pizza a 185 C foi reirada de um forno quene. Enreano, somene quando a emperaura aingir 65 C será possível segurar um de seus pedaços com as mãos nuas, sem se queimar. Suponha que a emperaura T da pizza, em graus Celsius, possa ser,8 descria em função do empo, em minuos, pela epressão T 16 5. Qual o empo necessário para que se possa segurar um pedaço dessa pizza com as mãos nuas, sem se queimar? a),5 minuos. b),68 minuos. c),5 minuos. d) 6,63 minuos. e) 1, minuos. 3. (Ufsm 1) As maas ciliares desempenham imporane papel na manuenção das nascenes e esabilidade dos solos nas áreas marginais. Com o desenvolvimeno do agronegócio e o crescimeno das cidades, as maas ciliares vêm sendo desruídas. Um dos méodos usados para a sua recuperação é o planio de mudas. O gráfico mosra o número de mudas empo (em anos), numa deerminada região. N() ba (o a 1 e b ) a serem planadas no De acordo com os dados, o número de mudas a serem planadas, quando a).137. b).15. c).5. d).37. e).5. anos, é igual a www.nsaulaspariculares.com.br Página 8 de 17
Nível Difícil. (Ufrgs 16) Considere a função f definida por sisema de coordenadas caresianas. Enre os gráficos abaio, o que pode represenar a função f é f() 1 5,7 e represenada em um a) b) c) d) e) 5. (Pucrj 15) Seja a) Calcule f(). f() 6 8. b) Enconre odos os valores reais de para os quais f() 168. c) Enconre odos os valores reais de para os quais f(). www.nsaulaspariculares.com.br Página 9 de 17
Gabario: Resposa da quesão 1: [E] g() 1 g() 1 g() g() g(g()) 1 g(g()) 1 5 Resposa da quesão : [C] Sendo f() o número de células após divisões, com {1,, 3,, } e f() {,, 6, 8, }, só pode ser, denre as funções apresenadas, a da alernaiva [C]. Resposa da quesão 3: [E] É imediao que 1 1 f( 1 ) a a a. Resposa da quesão : [D] O número de deslocamenos de pessoas, n(), é dado por n() n, com em anos. Por ouro lado, o crescimeno populacional, p(), após anos, é igual a p() p (1,1). Assim, ano o crescimeno dos deslocamenos quano o crescimeno populacional serão eponenciais. Resposa da quesão 5: [E] Tem-se que k k 1 6 e e. Logo, para 1h 6 minuos, vem 1 k6 k 3 Q(6) 6 e 6 (e ) 6 8,8 1. Resposa da quesão 6: [E] Fazendo os cálculos: s() 1.8 (1,3) s() 1.8 (1,3) s() 199,6 www.nsaulaspariculares.com.br Página 1 de 17
Resposa da quesão 7: [E] Quesão anulada no gabario oficial. [I] Incorrea. Se a 1 e k a função N será decrescene. [II] Incorrea. Para 77 6 h 5min h, emos 1 77 77,8 N 6 1 159. 1 [III] Correa. De fao, sendo P a população inicial, vem que,5 P P() P. Resposa da quesão 8: [A] Tem-se que N, 6. O número previso de víimas, nos acidenes com moos, para 15 é dado por 3 N(3) (1,) 1.7. Resposa da quesão 9: [C] N() C A N() C A C 3 3 1 1 N(3) A 5 A A 8 N() 1 N() 5 www.nsaulaspariculares.com.br Página 11 de 17
Resposa da quesão 1: [C] Se, enão K N() K 1 1 (,7) N K K 1 1 N N. r Se K é o número máimo de células que um umor maligno pode aingir, enão K. Para suficienemene grande, emos r 1 (,7). r (,7) Em consequência, vem K N() K. K 1 1 N Desde que N é a população inicial de células umorais, e K é o número máimo de células que um umor pode aingir, em-se N K. Se N K, enão K N() K. K r 1 1 (,7) K Resposa da quesão 11: [A] Seja m: a função dada por m() m, em que m() é a massa, em gramas, do 17 elemeno 13 Pd após dias. Logo, se m() m 16 g, enão 136 17 8 1 m(136) 16 g. 16 www.nsaulaspariculares.com.br Página 1 de 17
Resposa da quesão 1: [E] [I] Verdadeira. Com efeio, emos 8 [senh() cosh()] senh(8) cosh(8) 8 8 8 8 8 e e e e e e e e 8 8 (e ) e [II] Falsa. Temos 8 8 e e. e e cosh() Observando que e e. e e e que a equação cosh() não possui solução real. [III] Verdadeira. De fao, emos são números reais posiivos para odo real, podemos concluir e e e e [cosh()] [senh()] e e e e 1. Resposa da quesão 13: [D] Tem-se que a soma dos algarismos de 1a79b é a b 17. Logo, como a b 17 é um múliplo posiivo de 3, e b só pode ser zero ou 5, emos: (i) se b, enão a {1,, 7}; (ii) se b 5, enão a {, 5, 8}. Em consequência, vem N 6. Resposa da quesão 1: [E] Se B() 81, enão podemos escrever: 1 1 B() 81 1 3 3 81 Por dedução, o epoene de 3 cujo resulado da poência resulam em 81 é, pois Assim, em-se que 1, logo 5 horas. 3 81. www.nsaulaspariculares.com.br Página 13 de 17
Resposa da quesão 15: [D] Tem-se que [f()] [g()] 1. Observe que f é uma função par, f() 1, g() e Resposa da quesão 16: [A] 3 g( 1). Se f( y) f() f(y) para quaisquer e y, enão f(1) 8 implica em a 8 e, porano, 3 f 8 16. 3 f() a (a ). Assim, Resposa da quesão 17: [C] Fazendo f() =, emos: 1 1 1 Porano, a função f inercepa o eio no pono de abscissa 1. Resposa da quesão 18: [E] Seja M: a função cuja lei é M() M (,6), em que M() é a memória que resa no compuador minuos após o início da infecção. Após um dia, ou seja, 1 minuos, da aivação do vírus, a memória ínegra será igual a 1 M(1) M,6. Porano, após um dia, aproimadamene 1% da memória do compuador erá sido desruída. www.nsaulaspariculares.com.br Página 1 de 17
Resposa da quesão 19: [C] A função f() a é definida para valores posiivos de a, sendo a diferene de 1. Temos dois casos a considerar: (primeiro caso) A função é decrescene para < a < 1. (segundo caso) A função é crescene para a > 1. Porano, a alernaiva correa é a [C]. Resposa da quesão : [A] Queremos calcular de modo que f(),8 A. Sabendo que f(), A, emos A, A 1 B 5 B. Ak 1 Be Além disso, como f(1),5 A, vem A Ak Ak 1,5 A 1 e e. Ak 1 1 e Porano, segue que A f(),8 A A 5 Ak 1 (e ) 16 5. Resposa da quesão 1: [D] λ P() P 5 P() P λ P 5 P λ 5 Logo, λ6 P(6) P 5 λ P(6) P 5 3 P(6) P P(6) 8 P 3 www.nsaulaspariculares.com.br Página 15 de 17
Resposa da quesão : [C],8 T 16 5,8 65 16 5,8 16,8 1,8,8,5 minuos Resposa da quesão 3: [C] Considerando os ponos (1, 15) e (3, 3375) do gráfico emos o seguine sisema: 1 15 b a ( I ) 3 3375 b a ( II ) Fazendo (II) dividido por (I), emos: a,5 a 1,5 e b 1 Logo, N() 1 1,5 N() 1 (1,5) 5. Resposa da quesão : [A] Desenhando os gráficos de acordo com os seus coeficienes, emos: Porano, a alernaiva [A] é a correa. www.nsaulaspariculares.com.br Página 16 de 17
Resposa da quesão 5: a) f() 6 8 3 b) 6 8 168 6 16 ( ) 6 16 Resolvendo a equação emos: 16 ou 1 (não convém) c) Porano, f() ( ) 6 8 Fazendo o esudo do sinal de f() em, emos: 1 Porano, / 1. www.nsaulaspariculares.com.br Página 17 de 17