COLÉGIO PEDRO II DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA UNIDADE ESCOLAR HUMAITÁ II Notas de aula de Matemática 3º ano/ensino Médio Prof. Andrezinho NOÇÕES DE GEOMETRIA ESPACIAL Notas de aula de Matemática Prof. André Luiz R. Chaves (Andrezinho) Assunto: Noções de Geometria Espacial Página 1
Superfícies Podemos obter superfícies por meio de procedimentos como os descritos a seguir: (a) movendo-se uma linha reta (geratriz) por uma curva passando por um ponto fixo não pertencente a ela. (b) movendo-se uma linha reta (geratriz) por uma curva fixada (diretriz) sempre paralelamente a uma outra linha reta fixa. (c) fazendo um giro de 360 de uma curva (geratriz) em torno de uma linha reta fixada (eixo de revolução). Sólidos geométricos São corpos contidos dentro de uma superfície fechada e limitada por uma ou mais superfícies planas que intersectem aquelas. Destacamos: - Altura do sólido: é a distância entre os planos das bases ou distância do vértice ao plano da base; - Sólido reto: é aquele cuja base ou as bases são perpendiculares às geratrizes (se elas forem paralelas) ou à linha de união do vértice com o centro da base (superfícies cônicas); - Sólido oblíquo: é o sólido que não é reto; - Sólido regular: é o sólido reto com faces laterais iguais. Notas de aula de Matemática Prof. André Luiz R. Chaves (Andrezinho) Assunto: Noções de Geometria Espacial Página 2
Superfície Cilíndrica É a superfície gerada por uma linha reta que se move, de maneira que é sempre paralela a uma dada reta fixa e passa sempre por uma curva fixa dada. A reta que se move é denominada geratriz e a curva dada fixa é a diretriz da superfície cilíndrica. Qualquer posição da geratriz é denominada uma geratriz da superfície cilíndrica. O sólido limitado por uma superfície cilíndrica recebe o nome de cilindro. O nome da superfície cilíndrica (ou do cilindro) é dado a partir da forma da diretriz. Na figura seguinte, a geratriz é destacada em negrito. Essa superfície é um cilindro elíptico reto. Se ao invés de uma elipse tivéssemos um círculo, a superfície seria um cilindro circular reto. Se no lugar da elipse ou do círculo tivéssemos uma poligonal simples, a superfície seria um prisma reto. Cilindro circular reto Prisma Superfície cônica É uma superfície gerada por uma reta r (AA ) que se move ao longo de uma curva e que passa por um ponto fixo S fora da curva. A reta móvel é chamada de geratriz, a curva é denominada de diretriz e o ponto fixo de vértice do cone. Notas de aula de Matemática Prof. André Luiz R. Chaves (Andrezinho) Assunto: Noções de Geometria Espacial Página 3
O vértice (S) separa cone em duas partes opostas pelo vértice, denominadas folhas sendo muito usual apresentamos apenas uma das folhas. O sólido limitado por uma superfície cônica recebe o nome de cone. O nome da superfície cônica (ou do cone) é dado a partir da forma da diretriz. Cone circular Pirâmide Observação: É chamada de cônica toda a linha que se obtém como intersecção de um plano com uma superfície cônica. Cônicas clássicas Área da superfície de um cilindro (ou de um cone) Planificar uma superfície cilíndrica ou cônica é a operação que consiste em cortar essa superfície ao longo de uma de suas geratrizes, abrindo-as e tornando-as plana. Notas de aula de Matemática Prof. André Luiz R. Chaves (Andrezinho) Assunto: Noções de Geometria Espacial Página 4
Observação: A figura obtida por meio da planificação de uma superfície fechada cilíndrica reta é sempre um retângulo cujas dimensões são a altura do cilindro e o perímetro de sua base. A figura obtida por meio da planificação de uma superfície fechada cônica reta é um setor circular cujo raio é a geratriz e cujo arco correspondente é o perímetro de sua base. A área da figura obtida por meio da planificação de uma superfície fechada é denominada área total e a área da superfície cilíndrica (ou cônica) que limita o sólido é denominada área lateral. Nos exemplos acima: - Cone circular reto: - Cilindro circular reto: A área lateral corresponde à área de um setor circular A área lateral corresponde à área de um retângulo de e, a área total corresponde à área do setor acrescida dimensões dadas pelo perímetro da base, que é um da área da base que é um círculo. círculo (perímetro: 2.π.raio), e pela altura do sólido e, a área total corresponde à área do retângulo acrescida das áreas das bases que são dois círculos de mesmo raio (área: π.raio.raio). - Prisma triangular regular: - Pirâmide quadrangular regular: A área lateral corresponde área de um retângulo de A área lateral corresponde área de quatro triângulos dimensões dadas pelo perímetro da base, que é um equiláteros de mesmo lado, e a área total corresponde triângulo equilátero (perímetro: 3.lado), e pela altura à área dos quatro triângulos acrescida da área da base do sólido e, a área total corresponde à área do que é um quadrado. retângulo acrescida das áreas das bases que são dois triângulos equiláteros de mesmo raio. Volume de um sólido Grosso modo, o volume de um sólido corresponde à porção do espaço ocupada pelo sólido ou a capacidade que ele possui de armazenar substâncias. A unidade de volume é o volume de um cubo de aresta unitária. Assim, calcular o volume de um sólido significa determinar quantas vezes um cubo unitário cabe nesse sólido. Considere o seguinte exemplo: Um aquário possui o formato de um paralelepípedo com as seguintes dimensões: Determine quantos litros de água são necessários para encher o aquário. Note que, pelo conceito que expressamos, nesse paralelepípedo cabem 50 x 20 x 15 = 15 000 cubos de aresta 1 cm. Logo, o volume desse paralelepípedo será 15 000cm 3. Lembrando que, cada cm 3 corresponde a 1 litro, temos que a quantidade pedida é 15 litros. Notas de aula de Matemática Prof. André Luiz R. Chaves (Andrezinho) Assunto: Noções de Geometria Espacial Página 5
Esse exemplo nos permite intuir que, dado um paralelepípedo de dimensões medindo respectivamente a, b e c, o volume do paralelepípedo será o produto a.b.c. V paralelepípedo = a. b. c Observação (Princípio de Cavalieri) Considere que as figuras acima sugiram formatos que podemos visualizar em um pacote de pão de forma, desses que são vendidos em padarias e supermercados. Na primeira figura, as fatias estariam bem arrumadas, enquanto que a demais figuras representam deformações da posição inicial. Em qualquer das três posições, o volume do sólido obtido é a soma dos volumes das fatias. Essa, em essência é a idéia do Princípio de Cavalieri que diz o seguinte: Se a interseção de dois sólidos com planos paralelos a um plano fixo resultar em figuras de mesma área, então, esses sólidos têm mesmo volume. Antes de aplicarmos esse resultado para obter os volumes de outros sólidos, faremos algumas considerações: 1ª) Esse plano fixo a que nos referimos no princípio de Cavalieri costuma estar na posição horizontal, como se os sólidos repousassem sobre uma mesa. 2ª) Esse princípio afirma que se há uma maneira de dispormos os sólidos, de modo que as secções tenham mesma área, então eles têm mesmo volume. Isso não quer dizer que sólidos de mesmo volume tenham, necessariamente, secções de mesma área, quando interceptados por planos paralelos. 3ª) Para aplicarmos o princípio de Cavalieri, temos que dispor os sólidos em posições convenientes, de maneira que as hipóteses sejam confirmadas. Ainda com relação às figuras, imaginadas como um pacote de pão de forma, observamos que os sólidos foram cortados em um mesmo número de fatias, todas com mesma altura (espessura) e bases de mesma área. Esse mesmo procedimento poderia ser reproduzido com uma pilha de CD`s. Isso nos leva a intuir que o volume de Notas de aula de Matemática Prof. André Luiz R. Chaves (Andrezinho) Assunto: Noções de Geometria Espacial Página 6
qualquer prisma (mais genericamente, qualquer cilindro) será obtido por meio do produto da área de sua base pela sua altura. De fato, seja o plano que contém a base do cilindro. Construindo ao seu lado um paralelepípedo com área da base igual a S e altura h, notamos que as áreas das secções obtidas no cilindro e no paralelepípedo por planos paralelos são iguais às das bases dos respectivos sólidos. Pelo princípio de Cavalieri, os dois sólidos têm o mesmo volume. Como o volume do paralelepípedo é S.h, o do cilindro também é S.h. V cilindro = S base. h Ademais, seja ABCD uma pirâmide de base ABC. Vamos construir o prisma ABCDEF a partir da base ABC, considerando a aresta CD como geratriz. Veja a figura a seguir. É evidente que a altura do prisma construído é igual à altura da pirâmide que o gerou. Além disso, podemos dividir a parte que foi acrescentada à pirâmide em duas outras pirâmides, conforme mostra a figura seguinte. Assim, o prisma é formado por três pirâmides ABCD, DEFB e ABED, as quais possuem em comum algumas arestas. Como podemos deduzir a partir de nossa intuição, o volume do prisma é igual à soma dos volumes das pirâmides. Ocorre que V(ABCD)=V(DEFB), pois suas alturas são iguais (CD e FB) e as áreas das bases também (S(ABC)=S(EFD)). Da mesma forma, V(DEFB)=V(ABED), já que e S(BDF)=S(ADE). Portanto, V(ABCD)=V(DEFB)= V(ABED). Dessa forma, o volume do prisma é igual a três vezes o volume da pirâmide que o gerou. Portanto, como o volume do prisma é o produto da área da base pela altura correspondente, temos que, o volume de uma pirâmide de base triangular é igual a um terço do produto da área da base pela altura. De modo geral, dada uma pirâmide cuja base é um polígono de n lados (n > 2), decompondo essa base em [n 2] triângulos, teremos que o volume será igual a um terço do produto da área da base pela altura. Notas de aula de Matemática Prof. André Luiz R. Chaves (Andrezinho) Assunto: Noções de Geometria Espacial Página 7
Generalizando, consideremos o plano que contém a base de um cone. Construindo ao seu lado uma pirâmide com área da base igual a S e altura h, notamos que as áreas das secções obtidas no cone e na pirâmide por planos paralelos são iguais às das bases dos respectivos sólidos. Pelo princípio de Cavalieri, os dois sólidos têm o mesmo volume, ou seja: V cone = 1 3. S base. h Superfícies de revolução São superfícies geradas pelo movimento de rotação completa (360 0 ) de uma linha qualquer (eixo de rotação ou de revolução) em torno de um eixo (diretriz). Pertencem a este tipo de superfícies os cones e cilindros retos, a esfera, o toro, ogivas, e muitas outras. Este tipo de superfície tem grande aplicação prática e pode ser encontrado em uma variedade muito grande de objetos, tais como: utensílios domésticos, embalagens, componentes mecânicos, elementos arquitetônicos, fuselagens de foguetes e mísseis. Exemplos: Curva geratriz Sólido Curva geratriz Superfície Superfície geratriz Sólido Notas de aula de Matemática Prof. André Luiz R. Chaves (Andrezinho) Assunto: Noções de Geometria Espacial Página 8
Superfície geratriz (retângulo) Sólido (cilindro circular reto) Superfície geratriz (triângulo retângulo) Sólido (cone circular reto) Superfície geratriz (semicírculo) Sólido (esfera) Área de superfícies de revolução (teorema de Pappus-Guldin) Observe a figura: d = distância do centro de gravidade (CG) da curva ao eixo e L = comprimento da curva A superfície de revolução = 2π. d. L Notas de aula de Matemática Prof. André Luiz R. Chaves (Andrezinho) Assunto: Noções de Geometria Espacial Página 9
Volume de sólidos de revolução (teorema de Pappus-Guldin) d = distância do centro de gravidade (CG) da superfície ao eixo e S = área da superfície V sólido de revolução = 2π. d. S Observação: O centro de gravidade (CG) de um sólido é, grosso modo, uma posição média da distribuição da força peso. Centro de gravidade de algumas figuras planas Segmento de reta L = AB G = A + B 2 Semicircunferência L = π. R G = 0; 2R π S = B. h G = B 2 ; H 2 S = B. h 2 G = B 3 ; H 3 Notas de aula de Matemática Prof. André Luiz R. Chaves (Andrezinho) Assunto: Noções de Geometria Espacial Página 10
S = π. R2 2 G = 0; 4R 3π S = π. R 2 G = 0; 0 Aplicações 1ª) Área lateral do cone circular Por semelhança: x = R 2 A lateral cone = 2π. R 2. H 2 + R 2 A lateral cone = π. R. H 2 + R 2 2ª) Área da superfície esférica A superf ície esf érica = 2π. 2R π. πr A superfície esférica = 4π. R 2 3ª) Volume da esfera V esfera = 2π. 4R π. R2. 3π 2 V esfera = 4. π. R3 3 Notas de aula de Matemática Prof. André Luiz R. Chaves (Andrezinho) Assunto: Noções de Geometria Espacial Página 11
Exercícios de fixação 1- Determine a área total e o volume do paralelepípedo ao lado. 2- Achar a área total da superfície de um cilindro reto, sabendo que o raio da base é de 10cm e a altura é de 20cm. 3- A altura de um prisma triangular regular é o dobro da aresta da base. Calcule a área lateral desse sólido sabendo que seu volume é 108 3 cm 3. 4- A casquinha de um sorvete tem a forma de um cone reto. Sabendo que o raio da base mede 3cm e a altura é de 12cm. Qual é o volume da casquinha? 5- Uma pirâmide quadrangular foi construída com quatro triângulos isósceles iguais tendo cada um deles base igual a 2 m e dois lados iguais a 6 m. Calcule o volume dessa pirâmide. 6- Considere a Terra como uma esfera de raio 6.370km. Qual é sua área superficial? Descobrir a área da superfície coberta de água, sabendo que ela corresponde a aproximadamente 3/4 da superfície total. 7- Calcule o volume e a área total de um cilindro equilátero (a altura é igual ao diâmetro) cuja área lateral mede 144 cm 2. 8- Calcule a área da superfície e o volume de um prisma hexagonal regular cujo apótema da base mede 4 3 cm. 9- O volume de uma pirâmide triangular regular é 48 3 m 3. Sabe-se ainda que a base desta pirâmide está inscrita em um círculo de raio 8 m. Calcular a área total dessa pirâmide. 10- As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular reto são iguais. O prisma tem altura 12 cm e volume igual ao dobro do volume do cone. Determinar a área do cone. 11- A geratriz de um cone circular reto mede 20 cm e forma um ângulo de 60 graus com o plano da base. Determinar a área lateral, área total e o volume do cone. 12- Qual o volume de uma esfera de 30 cm de raio? Notas de aula de Matemática Prof. André Luiz R. Chaves (Andrezinho) Assunto: Noções de Geometria Espacial Página 12
13- Uma esfera está inscrita num cubo cuja aresta mede 20 cm. Calcule a área da superfície esférica. 14- Duas esferas de chumbo, uma de 3 cm e outra de 6 cm de raio, fundem-se e formam outra esfera. Calcule o raio dessa nova esfera. 15- Calcule o volume de uma esfera de 100 cm 2 de área. 11- Determine a área de uma esfera, sendo 2304 cm 3 o seu volume. 16- Quantos brigadeiros (bolinhas de chocolate) de raio 0,5 cm podemos fazer a partir de um brigadeiro de raio 1 cm? 17- Duas bolas metálicas, cujos raios medem 1 cm e 2 cm, são fundidas e moldadas em forma de um cilindro cuja altura mede 3 cm. Obtenha a medida do raio da base do cilindro. 18- Determinar o raio de uma esfera, sabendo que um plano determina na esfera um círculo de raio 20 cm, sendo de 21 cm a distância do plano ao centro da esfera. 19- Um pedaço de cartolina possui a forma de um semicírculo de raio 20 cm. Com essa cartolina, um menino constrói um chapéu cônico e o coloca com a base apoiada sobre uma mesa. Qual a distância do bico do chapéu à mesa? 20- Considere o sólido obtido pela rotação completa do triângulo equilátero da figura em torno do eixo e. Determine a área da superfície e o volume deste sólido. 21- Considere um trapézio isósceles de altura igual à base menor e de base maior igual ao triplo da menor. Sendo a a medida de cada um dos lados não-paralelos, calcule o volume e a área do sólido gerado pela rotação completa desse trapézio em torno de sua base maior. 22- Um aquário tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo e contém água até uma certa altura. As medidas internas da base do aquário são 40cm por 25cm. Uma pedra é colocada dentro do aquário, ficando totalmente submersa e fazendo com que o nível da água suba Notas de aula de Matemática Prof. André Luiz R. Chaves (Andrezinho) Assunto: Noções de Geometria Espacial Página 13
0,8cm. Qual é o volume dessa pedra? 23- Um tanque em forma de bloco retangular tem por base um retângulo horizontal de lados 0,8 m e 1,2 m. Um indivíduo, ao mergulhar completamente no tanque, faz o nível da água subir 0,075 m. Calcule o volume do indivíduo. 24- Chama-se octaedro regular o sólido obtido justapondo-se as bases de duas pirâmides regulares quadrangulares, cujas faces são triângulos equiláteros. Determine o volume de um octaedro regular cuja aresta mede a centímetros. 25- Calcule o volume de um tetraedro regular cujo apótema mede 3 cm. 26- Uma pirâmide hexagonal regular tem 10 cm de apótema. Sabendo que a base tem perímetro 24 3 cm, calcule: a) a altura desta pirâmide; b) a medida da aresta lateral desta pirâmide; c) o volume desta pirâmide; 27- A figura ao lado representa um cubo de 4 cm de aresta. Retirando-se do interior desse cubo a pirâmide A-BCDE obtém-se um sólido S. Determine: a) a área total da pirâmide; b) volume que resta do cubo. 28- Uma pirâmide hexagonal regular tem 3 5 cm de apótema. Sabendo que o apótema da base mede 3 cm, calcule: a) a medida da aresta da base desta pirâmide; c) a medida da aresta lateral desta pirâmide; b) a altura desta pirâmide; d) o volume desta pirâmide; 29- A figura ao lado representa um cubo de 3 cm de aresta, que tem no seu interior uma pirâmide cujo vértice é o centro de uma face do cubo e a base é a face oposta. Determine: a) a área total desta pirâmide; b) o volume que resta do cubo se retirarmos dele esta pirâmide. Notas de aula de Matemática Prof. André Luiz R. Chaves (Andrezinho) Assunto: Noções de Geometria Espacial Página 14
30- Considere um tronco de cone de bases circulares de raios R e r cuja altura é H. Determine a área da superfície lateral que é gerada pela rotação de sua geratriz AB girando 2π radianos em torno do eixo OY conforme ilustrado na figura. Notas de aula de Matemática Prof. André Luiz R. Chaves (Andrezinho) Assunto: Noções de Geometria Espacial Página 15