Primitivação A primitivação é a operação inversa da derivação. Definição: Seja f uma função definida num intervalo I. Qualquer função F definida e diferenciável em I tal que F x fx, para todo o x I, diz-se uma primitiva de f em I. f diz-se primitivável em I se admitir uma primitiva em I. Naturalmente, se F for uma primitiva de f, também F C (em que C é uma constante) é uma primitiva de f. Mais, num intervalo, todas as primitivas de uma dada função diferem de uma constante: Proposição: Sejam F e G duas primitivas de f num intervalo I. Então, F e G diferem de uma constante. Notação: P x fx, Pfx e fxdx representam (em geral) todas as primitivas de f. Questões: P x fx? P x f x? Ana Matos (versão de 3 Jan 08) Primitivas
Propriedades das Primitivas Proposição: Sejam f e g funções primitiváveis no intervalo I e R. Então, nesse intervalo, tem-se que:. Pfx gx Pfx Pgx; 2. Pfx Pfx; das primitivas!!! Atenção: a primitiva do produto não é o produto Proposição: Se f é uma função contínua num intervalo, então f é primitivável nesse intervalo. Mais: Proposição: Se f é uma função contínua no intervalo I, para cada x 0 I e y 0 R, existe uma e uma só primitiva F de f em I tal que Fx 0 y 0. Fx 0 y 0 condição inicial do problema A esta questão, de determinar a (única!) primitiva que verifica uma certa condição inicial, chama-se Problema de valores iniciais ou Problema de Cauchy. Exemplo: Sabendo que a velocidade de uma partícula é dada por vt e 2t, determine a lei do movimento, considerando que no instante inicial se encontra na origem. Ana Matos (versão de 3 Jan 08) Primitivas 2
Recordemos algumas regras de derivação: Sendo u e v funções deriváveis e R : 0; u v u v ; u u ; u. v u v uv ; u v u vuv, se v 0; em particular, v 2 v v v 2 u u u ; n u u n n u n e u u e u ; a u u a u ln a, c/ a 0; ln u u u ; log a u ln a, c/ n N; resulta tb. do ant. c/ n u u, c/ a 0; portanto, log 0 u u u ln 0 sen u u cos u; cos u u sen u; resulta do anterior resulta do anterior tg u u sec 2 u recorde-se que sec x cosx ; cotg u u cosec 2 u recorde-se que cosec x senx ; arctg u u u 2 ; arccotg u u u 2 ; resulta do anterior arcsin u u ; u 2 arccos u u ; resulta do anterior u2 sec u u sec u tg u; cosec u u cosec u cotg u. Ana Matos (versão de 3 Jan 08) Primitivas 3
Separando - Propriedades: se f e g são funções diferenciáveis f g t f t g t; f t f t, c/ R; f. g t f tgt ftg t; f t t gtftg t, se gt 0; f g g 2 t fgt g tf gt derivação da composta Derivadas conhecidas: 0; x x ; n x n n x n e x e x ; a x a x ln a, c/ a 0; ln x x ; log a x, c/ a 0; x ln a sen x cos x; cos x sen x;, c/ n N; resulta tb. do ant. c/ n resulta do anterior resulta do anterior tg x sec 2 x recorde-se que sec x cosx ; cotg x cosec 2 x recorde-se que cosec x senx ; arctg x x 2 ; arccotg x x 2 ; arcsin x x 2 ; resulta do anterior arccos x ; x2 resulta do anterior sec x sec x tg x; cosec x cosec x cotg x. Ana Matos (versão de 3 Jan 08) Primitivas 4
Algumas primitivas imediatas Função sin x cos x Primitiva cos x C sin x C x x,, x 0 C x ln x C x 2 x 2 arctan x C arcsin x C Uma tabela de primitivas, é uma tabela de derivadas apresentada ao contrário! Nota: Pela regra de derivação da função composta, Fx xf x. Assim, se F é uma primitiva de f, então Fx é uma primitiva de xfx. A versão mais geral da tabela anterior é: Função x sinx x cosx xx,,x 0 x x x x 2 x x 2 Primitiva cosx C sinx C x C ln x C arctanx C arcsinx C Ana Matos (versão de 3 Jan 08) Primitivas 5
Primitivas imediatas FUNDAMENTAIS: Sendo u função derivável e R : Pu u u C se ; Pu e u e u C; Pu a u au C, c/ a 0; dispensável, vem da ant. ln a P ln u C; u u P u senu cos u C; Pu cos u senu C; P P u arctg u C; u 2 u arcsenu C; u 2 Pu sec 2 u tg u C; P u cosec 2 u cotg u C. Ana Matos (versão de 3 Jan 08) Primitivas 6
Técnicas de Primitivação Primitivação por partes Proposição: Sejam f e g são funções com derivada contínua no intervalo a, b. Então, neste mesmo intervalo, Pf xgx fxgx Pfxg x. Primitivação por mudança de variável (ou substituição) Notação: para representar fgt usa-se também a notação: fgt fx xgt. Proposição: Seja f uma função contínua no intervalo I e : J I uma aplicação cuja derivada é contínua e não se anula em J. Então, P x fx P t ft t t x. Observação : prova-se que uma função definida num intervalo com derivada não nula é invertível. Observação 2: existem versões da primitivação por substituição com hipóteses ligeiramente diferentes, por ex.- f uma função primitivável no intervalo I e : J I uma aplicação bijectiva com derivada contínua. Uma das principais dificuldades na primitivação por substituição reside na escolha da mudança de variável adequada! Ana Matos (versão de 3 Jan 08) Primitivas 7
Algumas substituições aconselhadas Sendo f uma função racional dos argumentos indicados, Primitiva Pfe x Pfln x Substituição x ln t x e t Pf x, x p q, x r s,... Pf x,ax b p q,ax b r s,... x t m, m m.m.c.q, s,... ax b t m, m m.m.c.q, s,... P a 2 b 2 x 2 x a b sen t Pf x, ax 2 bx c, a 0 ax 2 bx c t a x Pf x, ax 2 bx c, c 0 ax 2 bx c tx c Pf x, ax 2 bx c, com b 2 4ac 0 ax 2 bx c x t, comraiz de ax 2 bx c função racional de senx e cosx substituição: t tg x 2 então: x 2arctg t senx 2t t 2 cos x t2 t 2 tg x 2t t 2. Nota: há casos particulares em que funcionam melhor outras substituições. Por exemplo: c/ funções rac. de sen 2 x, cos 2 x e tg x, a substituição t tg x normalmente funciona melhor. Ana Matos (versão de 3 Jan 08) Primitivas 8
Primitivação de funções racionais (por decomposição) Definição: Chama-se função racional a qualquer função que se possa escrever na forma Px, com P e Q polinómios de Qx coeficientes reais. A função racional diz-se própria se grpx grqx e imprópria caso contrário. Fase : Para primitivar devemos sempre trabalhar com funções racionais próprias! Qualquer função racional imprópria Px Qx na forma pode escrever-se polinómio f. rac. própria. Basta fazer a divisão de Px por Qx. Proposição (Regra da divisão): Sendo Px um polinómio e Qx um polinómio de grau, existem sempre polinómios Cx e Rx, univocamente determinados, tais que Px Qx. Cx Rx, com grrx grqx. cociente Resto da div. Então Px Qx Cx Rx Qx poli. f. rac. própria Ana Matos (versão de 3 Jan 08) Primitivas 9
Resta-nos ver como primitivar funções racionais próprias. Seja Px Qx uma função racional própria. Fase 2: decompõem-se Qx tanto quanto possível como produto de parcelas mais simples, isto é, de: - constantes; - parcelas da forma x r l, c/ l N parcelas corresp. às raízes reais - parc. da forma x 2 bx c k, c/ k N sem raízes reais parcelas corresp. a pares de raízes compl. conjugadas aglomerando as parcelas correspondentes às mesmas raízes l é a multiplicidade da raíz real r e k a multiplicidade das raízes de x 2 bx c (2 complexos conjugados). Então Qx fica escrito na forma Qx a constante x r l parcelas corresp. às raízes reais x 2 k b x c parcelas corresp. a pares de raízes compl. conjugadas Ana Matos (versão de 3 Jan 08) Primitivas 0
Fase 3: Determinar uma expressão da forma A x r A 2 x r 2 A l x r l para cada factor x r l e uma expressão da forma nº de parcelas l multipl. da raíz real r D E x x 2 bx c D 2 E 2 x x 2 bx c 2 D k E k x x 2 bx c k nº de parc. k multip. das raízes complexas associadas a x 2 bx c para cada factor x 2 bx c k de tal modo que Px Qx seja soma de todas estas parcelas. Chamam-se fracções elementares (ou fracções simples) às funções racionais da forma A x r n ou D Ex x 2 bx c m. sem raízes reais Proposição: Toda a f. rac. própria pode ser decomposta numa soma de fracções simples nas condições acima inicadas. A decomposição anterior pode ser feita pelo método dos coeficientes indeterminados. Ana Matos (versão de 3 Jan 08) Primitivas
Fase 4 (e última!): Determinar as primitivas das fracções simples. A ln x r C, se k P A xr k P Ax r k A xrk k C, se k com C constante real. Parcelas da forma DEx x 2 bxc : Não tendo raízes reais, o polinómio x 2 bx c pode escrever-se na forma sendo i as suas raízes. x 2 2, Fazendo directamente as contas (que dão sempre situações de logaritmo e/ou arctg) ou com a mudança de variável conclui-se que x t P DEx E ln x x 2 2 2 2 2 ED arctg x C Nota: se E 0 obtém-se sempre um arctg; se E 0 ou se obtém só um logaritmo ou se obtém uma soma de um logaritmo e um arctg. Ana Matos (versão de 3 Jan 08) Primitivas 2
Parcelas da forma DEx x 2 bxc k, c/ k : Decompondo o polinómio como no caso anterior e com a mesma mudança de variável, reduz-se esta situação ao cálculo de uma primitiva imediata e da primitiva P t 2 k. Esta primitiva (c/ k determina-se por partes, fazendo t 2 k t2 t 2 t 2 k t 2 k t 2 t 2 k t 2 k 2 t. f 2t t 2 k g e baixando sucessivamente o grau do denominador. Assim, por exemplo: P P t 2 2 t 2 2 P t. f gt 2 2t t 2 2 pois P t 2 2 t t P 2 t 2 g 2 P t 2 2 t t 2 2 arctgt 2 t t 2 Ana Matos (versão de 3 Jan 08) Primitivas 3