Note bem: a letura destes apotametos ão dspesa de modo algum a letura ateta da bblografa prcpal da cadera Chama-se a ateção para a mportâca do trabalho pessoal a realzar pelo aluo resolvedo os problemas apresetados a bblografa, sem cosulta préva das soluções propostas, aálse comparatva etre as suas resposta e a respostas propostas, e posteror exposção juto do docete de todas as dúvdas assocadas. TÓPICOS Estruturas algébrcas. Espaço vectoral. Combação lear. Idepedêca lear. AULA 10 10. Espaços Vectoras. 10.1. Estruturas Algébrcas. Na geeraldade, uma estrutura algébrca é costtuída por um ou mas cojutos (suportes da estrutura), mudos de uma ou mas operações (les de composção tera ou extera, operações uáras, etc.) evolvedo elemetos daquele(s) cojutos e satsfazedo certas propredades formas. Caso ão exsta ambgudade, pode detfcar-se um dos cojutos suporte com a estrutura algébrca. Por exemplo, o corpo ( R, +, ) refere-se, geralmete, apeas como o corpo R (o corpo dos reas). Algumas estruturas algébrcas evolvem mas de um cojuto. Por exemplo, um espaço vectoral tem eretes dos cojutos: um cojuto de vectores e outro de escalares (um corpo), uma le de composção tera (adção vectoral) e outra extera (multplcação de escalar por vector). Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A10-1 20-10-2009
Grupóde Todo par ( A, ) costtuído por um cojuto A e uma operação bára 2 de A em A (le de composção tera). Semgrupo Todo o grupóde ( A, ) em que a operação é assocatva. é assocatva a ( b = ( a b) c é comutatva a b = b a Moóde elemeto eutro u a: a u = u a = a Todo o semgrupo ( A, ) com elemeto eutro (que é úco). Grupo elemeto oposto a a : a a = a a = u Grupo Comutatvo (Abelao) Todo o moóde em que todos os elemetos têm oposto (que é úco). Todo o grupo ( A, ) em que é comutatva. Ael Todo o tero ( A, +, ) em que( A, + ) é um grupo comutatvo, ( A, ) é um semgrupo e é dstrbutva em relação a, ou seja, + à esquerda e à dreta. ( A, + ) ( A, ) + é assocatva. + é comutatva. eutro 0. oposto (smétrco) para todos os elemetos é assocatva. ( a+ b) c = ( a + ( b a ( b + = ( a b) + ( a Corpo Todo o ael ( A, +, ) em que ( A, ) é um moóde e todos os elemetos dferetes de 0 são vertíves., ou seja, ( A, + ) + é assocatva. + é comutatva. eutro 0. oposto (smétrco) para todos os elemetos ( A, ) é assocatva. é comutatva. eutro 1. oposto (verso) para todos os elemetos dferetes de 0. ( a+ b) c = ( a + ( b a ( b + = ( a b) + ( a Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A10-2 20-10-2009
10.2. Espaço Vectoral. Seja E um cojuto de elemetos uv,,, w, chamados vectores, e K um corpo, de elemetos αβ,,, γ, chamados escalares. Dz-se que E é um espaço vectoral (ou espaço lear) sobre o corpo K sse: a. estver defda em E a operação adção vectoral, +, que a u E e a v E assoca o elemeto u + v E, tal que ( E, + ) é um grupo comutatvo, ou seja, uvw,, E : a1. u + v = v + u (+ é assocatva) a2. ( u + v) + w = u + ( v + w ) (+ é comutatva) a3. 1 0 E :( u + 0) = 0 + u = u (elemeto eutro de +, desgado por zero) a4. u 1 u E : u + ( u) = 0 (elemeto oposto de u para a operação +, desgado por smétrco de u ) m. estver defda a operação multplcação de escalar por vector,, que a α K e a u E assoca o elemeto α u E (ou, smplesmete αu ), que verfca: m1. α ( u + v) = α u + αv ( é dstrbutva em relação à adção dos elemetos de E ) m2. ( α + β) u = αu + βu ( é dstrbutva em relação à adção de elemetos de K ) m3. α ( βu ) = ( αβ) u (assocatvdade msta) m4. 1 u = u (elemeto eutro de à esquerda) A operação bára + de E 2 em E desga-se por adção vectoral, e a operação bára de E K em E desga-se por multplcação de escalar por vector. Salete-se que um espaço vectoral é fechado relatvamete à adção vectoral. Quado K = R dz-se que E é um espaço vectoral real, e quado K = C dz-se que E é um espaço vectoral complexo. 1. São exemplos de espaços vectoras (ou seja, pode demostrar-se que verfcam as 8 propredades acma eucadas) os segutes cojutos, com a defção habtual de adção etre os seus elemetos, e de multplcação dos seus elemetos por um escalar do corpo K dcado: O cojuto R, como temos vdo a cosderar até aqu, com K = R. O cojuto dos segmeto oretados, que apropradamete desgámos por vectores, com K = R. O cojuto C, com K = C (e também com K = R ). Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A10-3 20-10-2009
10.3. Combação Lear. Seja E um espaço vectoral sobre um corpo K. Dz-se que um vector u E é combação lear dos vectores u 1, u 2,, u E, se exstrem escalares k1, k2,, k K, desgados por coefcetes da combação lear, tas que 2. O vector de 4 u = k u + k u + + k u 1 1 2 2 = k u = 1 R, u = ( 1, 2, 3, 4) é combação lear dos vectores u = (2,0, 1,0), u = ( 1,2,0,0 ), u = (0, 0, 1,2) e u = (2,0,0, 1), dado que 1 2 3 1 = 2, k2 = 1, k3 = 1, k4 = exstem escalares, k 2, tas que Com efeto 4 u = k u = 1 ku + k u + k u + k u = 2u u + u 2u 1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4 4 = 2 (2, 0, 1, 0) ( 1, 2, 0, 0) + (0, 0, 1, 2) 2(2, 0, 0, 1) = (4, 0, 2, 0) + (1, 2, 0, 0) + (0, 0, 1, 2) + ( 4, 0, 0, 2) = (1, 2, 3, 4) = u Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A10-4 20-10-2009
10.4. Idepedêca lear. O cojuto de vectores { u u u } depedete sse a equação só possu a solução trval V = 1, 2,, E, dz-se learmete ku + k u + + k u = 0 1 1 2 2 k k k 1 = 2 = = = 0 Ou, o que é equvalete, ehum dos vectores pode ser expresso como combação lear dos restates. Caso cotráro, sto é, se a equação possu uma solução ão trval, dzemos que os vectores de V são learmete depedetes. Equvaletemete, V é learmete depedete sse um dos seus elemetos é combação lear dos restates. 3. O cojuto de vectores = { u, u, u, u } V 1 2 3 4, com u 1 = (2,0, 1,0), u 2 = ( 1,2,0,0), u 3 = (0, 0, 1,2) e u 4 = (2,0,0, 1), é learmete depedete dado que k1u1 + k2u2 + k3u3 + k4u4 = 0 k1(2, 0, 1, 0) + k2( 1, 2, 0, 0) + k3(0, 0, 1, 2) + k4(2, 0, 0, 1) = 0 (2 k1,0, k1,0) + ( k2,2 k2,0,0) + (0, 0, k3, 2 k3) + (2 k4, 0, 0, k4) = 0 (2k1 k2 + 2 k4, 2 k2, k1 k3, 2 k3 k4) = 0 2k k + 2k = 0 2k = 0 k k = 0 2k k = 1 2 4 2 1 3 3 4 0 Resolvedo o sstema podemos verfcar que só exste a solução trval k = k = 0 k = 0 k 0. 1 0 2 3 4 = Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A10-5 20-10-2009