Cpítulo Itrodução à Itegrl: Cálculo de Áres e Itegris Defiids. Itrodução Os dois coceitos pricipis do cálculo são desevolvidos prtir de idéis geométrics reltivs curvs. A derivd provém d costrução ds tgetes um dd curv. O ssuto deste e dos próimos cpítulos, itegrl, tem origem o cálculo de áre de um região curv. Como vimos o iício deste livro, o problem de clculr áres já despertv, por sus plicções prátics, grde iteresse os gregos d Atiguidde. Apesr de váris fórmuls pr o cálculo de áres de figurs pls serem cohecids desde est époc, e té mesmo problems do cálculo de áres de regiões limitds por segmetos de rets e lgums curvs, como prábol, terem sido estuddos e resolvidos, pr csos prticulres, té o século XVII, qudo form estbelecidos os fudmetos do Cálculo Diferecil e Itegrl como um teori mtemátic dig de crédito, ão se coheci ehum fórmul ou método gerl que se pudesse plicr pr resolver o problem de clculr áres de regiões limitds por curvs quisquer. Nos medos do século XVII, vários estudiosos europeus, etre eles Fermt e Pscl, pssrm usr os seus trblhos o método d eustão, empregdo por Arquimedes o cálculo de áres de segmetos prbólicos (vej o projeto Arquimedes e Qudrtur d Prábol). Mis trde, Newto e Leibiz mostrrm como este método estv relciodo com o Cálculo Diferecil. Este importte resultdo é deomido teorem fudmetl do cálculo e é um dos resultdos mis importtes de tod mtemátic. Como vimos, derivd tem plicções que trscedem su origem geométric. Nos próimos cpítulos, veremos que o mesmo cotece com itegrl. A fim de torr clr discussão sobre áres, vmos itroduzir próim seção um otção mtemátic pdrão usd pr brevir soms que evolvem um úmero muito grde de prcels.. A otção de somtório: um brevição pr soms As soms dos primeiros termos de um um progressão geométric (PG) de rzão r, bem como de um progressão ritmétic (PA) de rzão d, podem ser escrits, respectivmete como: S = + r + r + r 3 +... + r ( ) T = + ( + d) + ( + d) +... + ( + ( ) d) Eiste um otção brevid pr escrever soms desse tipo, que lém de torr mis fácil escrevê-ls, fcilit eormemete váris mipulções lgébrics. Cosidere, por eemplo, som S = + + 3 +... +. Podemos escrevê-l usdo otção bio: S = (Lê-se: somtório de i pr i vrido de té.) Ess otção sigific que devemos substituir todos os vlores iteiros de i, de té, epressão evolvedo i, o cso i, que segue o sil de somtório Σ e etão dicior os resultdos. Note que fórmul depois do sil de somtório forece o i-ésimo termo d som; pr i = temos o primeiro, pr i = o segudo e, ssim por dite. Assim, s soms cim ds progressões geométric e ritmétic podem ser reescrits como S = r (i ) e T = ( + id) i i=
78 Cp.. Itrodução à Itegrl: Cálculo de Áres e Itegris Defiids Um som ifiit de termos pode ser represetd ssim + + 3 +... = Logo, som dos termos de um PG ifiit de rzão r é ssim represetd + r + r + r 3 +... + r ( ) +... = r (i ) Eemplo Cosidere som R = + + 3 +... +. Usdo otção de somtório, podemos escrever R = i. 5 Eemplo Cosidere som (i ). Escrevedo por eteso ess som, obtemos: i= 5 (i ) = + 3 + 4 i= Eercícios. Covert cd um ds soms idicds em otção de somtório: () + + 3 +... + + ( + ) (c) k + (k + ) + (k + ) +... + ( ) (b) 3 + 4 +... + k (d) + + +.... Escrev por eteso cd um ds soms bio : 5 () (b i + c i ) (b) i 7 i=3 i=m 3. Com epressão, 99999... queremos represetr som, 9 +, 9 +, 9 +.... Escrev ess som usdo otção de somtório. 4. É verdde que: () (b) k i = k ( i )? Justifique su respost. ( hi ) h = h3 3 i? Justifique su respost..3 O cálculo de áres como limites Em gerl, defiição forml de coceitos ituitivos pode presetr grdes dificulddes. Por eemplo, tivemos grdes dificulddes o tetrmos formlizr um defiição pr o coceito, geometricmete ituitivo, de ret tgete. A formlizção do coceito de áre preset dificulddes semelhtes. Em geometri elemetr, são deduzids fórmuls pr áres de muits figurs pls, ms se prrmos pr pesr um pouco, chegremos à coclusão de que um defiição, mtemticmete ceitável de áre, rrmete os é forecid. A áre de um região é defiid, às vezes, como o úmero de qudrdos de ldos de comprimeto um que cbem um dd região. Desse modo, obtivemos fórmuls pr áres de figurs pls tis como qudrdos, retâgulos, triâgulos, trpézios, etc. Bst, o etto que região sej um pouco mis complicd pr que est defiição se mostre idequd. Como poderímos clculr, por eemplo, o úmero de qudrdos de ldo, ou, ou 4, que cbem em um círculo uitário? Neste cpítulo, tetremos defiir áres de regiões com froteirs curvs. A mior prte do osso trblho se cocetrrá um cso prticulr desse problem gerl. Mis especificmete, tetremos chr áre de um região limitd pelo gráfico de um fução y = f(), pelo eio e etre dus rets verticis = e = b, como mostr figur pr fução y =.
W.Bichii, A.R.Stos 79 8 6 4..4.6.8..4.6.8..4.6.8 3 O cohecimeto de um método de resolução deste problem prticulr é suficiete pr trtr regiões mis complicds. O cálculo d áre de um região cuj froteir sej um curv pode, com freqüêci, ser reduzido este problem mis simples. No Cp. 3 vimos que soluções proimds deste problem podem ser obtids dividido-se o itervlo [, ] em subitervlos e clculdo-se som ds áres de retâgulos iscritos ou circuscritos à figur, como é mostrdo seguir. 8 8 6 6 4 4..4.6.8..4.6.8..4.6.8 3..4.6.8..4.6.8..4.6.8 3 À medid em que umetmos o úmero de subdivisões do itervlo e, coseqüetemete, o úmero de retâgulos cosiderdos, som ds áres desses retâgulos se proim cd vez mis d áre d região dd. Vej est firmção ilustrd figur seguite à esquerd, ode cosidermos retâgulos iscritos. Observe, tmbém, figur à direit, cosiderdo retâgulos circuscritos. (Eecute versão eletrôic s imções correspodetes.).858585.96875.4.8796964.858585.7875.64.58796964.44898.484375.68748.85.5549.534375.55763.485.983477.94974.89349.7486.477438.4594974.449744.443653 No primeiro cso, estimtiv obtid pr áre d região é meor do que o seu vlor eto; o segudo, mior. Assim, podemos firmr que o vlor eto d áre está etre os dois vlores obtidos usdo-se s proimções cim. Dest meir, o erro cometido é meor do que difereç etre estes dois vlores. Vmos provr que, à medid que umet o úmero de retâgulos cosiderdos estes cálculos, o erro dimiui, e tto som ds áres dos retâgulos iscritos quto som ds áres dos retâgulos circuscritos se proimm de um mesmo vlor. Defiiremos, etão, áre d região dd como sedo igul o vlor deste limite úico. Vmos eecutr psso psso o procedimeto descrito cim pr eteder como o método fucio e obter um vlor proimdo pr áre d região limitd pel fução f() =, pels rets = e = e pelo eio. Primeiro dividimos o itervlo [, ] em prtes. Assim, temos que {= o < < <... < i < i <... < = }. Em mtemátic, um divisão deste tipo é chmd de prtição do itervlo [, ]. No osso cso, vmos cosiderr um prtição ou divisão do itervlo ddo em prtes iguis. Deste modo, os comprimetos dos subitervlos d form [ i, i ], pr i, são iguis e prtição do itervlo é dit regulr. Usremos o símbolo pr deotr este comprimeto, isto é, = = = 3 =... = i i =... = = =.
8 Cp.. Itrodução à Itegrl: Cálculo de Áres e Itegris Defiids A som ds áres dos retâgulos iscritos, chmd som iferior, será dd por: SI = f(c ) + f(c ) +... + f(c ) = i= f(c i ) ode f(c i ) é o meor vlor d fução f em cd subitervlo [ i, i ]. No eemplo que estmos estuddo, este vlor ocorre em i, etremo iferior de cd subitervlo, portto, som iferior será dd por SI = f( ) + f( ) +... + f( ) = i= f( i ) A som ds áres dos retâgulos circuscritos, chmd som superior, será obtid clculdo-se: SS = f(w ) +... + f(w ) = f(w i ) ode f(w i ) é o mior vlor d fução f o itervlo [ i, i ]. No osso eemplo, este vlor etremo ocorre em i, que é o etremo superior de cd um dos subitervlos cosiderdos. Neste cso prticulr, portto, som superior será dd por SS = f( ) +... + f( ) = f( i ) Assim, SI áre d figur SS Pr obtermos estimtivs pr áre d figur dd, oss tref se reduz gor, clculr os vlores de SI e SS. Do modo como foi defiid prtição, temos que: = + ; = + = + ; 3 = + 3 ;...; = + =. Lembrdo que este eemplo prticulr, f() =, o vlor d som iferior será ddo por: SI := i= ( + i ) Vej o digrm seguir, ode form costruídos retâgulos iscritos pr = 3, 5, 8,, 4, e 7, sucessivmete. Lembre-se de que o vlor de defie o úmero de subitervlos e, coseqüetemete, de retâgulos determidos pel prtição. Rciocido d mesm meir, pr som superior obtemos seguite epressão SS := ( + i ) que forece o vlor d som ds áres de retâgulos circuscritos à figur. Nesse poto, vmos usr o Mple pr mostrr que à medid em que cresce, difereç etre SS e SI tede zero e som ds áres, quer dos retâgulos iscritos, quer dos retâgulos circuscritos, coverge pr o mesmo limite. Pr isso, primeiro defiimos fução f e o vlor de
W.Bichii, A.R.Stos 8 > f:=->^; f := > Delt_:=/; Delt := A seguir, usmos o comdo sum pr clculr o vlor de SI e de SS e o comdo simplify pr simplificr s epressões obtids > SI:=Sum(f(+i*Delt_)*Delt_,i=..-)=sum(f(+i*Delt_)*Delt_,i > =..-); > simplify(si); SI := i= ( + i ) = 7 3 3 3 ( + i) = 6 i= + 6 4 9 + > SS:=Sum(f(+i*Delt_)*Delt_,..)=sum(f(+i*Delt_)*Delt_, >..); ( + i SS := ) > simplify(ss); = + + 3 ( + ) + + ( + ) 3 3 3 ( + ) 3 + + 6 3 ( + i) = 6 4 + 9 + Você é cpz de provr que s fórmuls obtids cim pr SI e SS são verddeirs? (Vej o projeto O Mple e o pricípio d idução mtemátic.) Clculdo difereç SS SI, > Erro:=SS-SI; Erro := + > simplify(erro); + ( + ) + + ( + ) 3 3 3 ( + ) 3 + + 6 3 + 7 3 6 3 verificmos fcilmete que est epressão tede zero, qudo e, coseqüetemete, SI e SS covergem pr o mesmo vlor, este cso 7 3. (Emie s epressões de SI e SS e comprove que relmete lim SI = lim SS = 7 3.) No eemplo estuddo, fução f é crescete e, geometricmete, podemos ver que o vlor d difereç SS SI é dd por ( f( ) f( ) + f( ) f( ) +... + f( ) + f( )) = f() f(). Est últim epressão tor fácil verificr que, pr fuções crescetes (ou decrescetes!), qudo, o erro cometido proimção por soms superiores ou iferiores relmete tede zero (Vej problem ). Podemos repetir o processo cim, cosiderdo retâgulos cuj ltur sej o vlor d fução em qulquer poto do subitervlo [ i, i ], por eemplo, o poto médio de cd subitervlo. (Vej figur bio.)
8 Cp.. Itrodução à Itegrl: Cálculo de Áres e Itegris Defiids.347474.385.33.33859.3363654.3335.333456.335.3364468 A som ds áres dos retâgulos ssim costruídos coverge pr o mesmo limite terior, como mostrmos seguir. Cosidere som, SM, ds áres dos retâgulos cujs lturs são o vlor d fução f, clculd o poto médio de cd subitervlo [ i, i ], isto é, o poto + i SM := i= ( + i +. Com jud do Mple, obtemos ) = 7 3 (Pr provr fórmul cim vej o projeto O Mple e o pricípio d idução mtemátic.) Clculdo o limite dest epressão qudo, temos 7 lim 3 = 7 3. Destes cálculos, podemos cocluir que, à medid em que umet, quisquer ds soms cim tede um mesmo úmero, que será o vlor d áre d região cosiderd. Note que prtição do itervlo [, ] cosiderd tem propriedde de que à medid que cresce o vlor de tede zero. Est propriedde é fudmetl pr que s soms SS, SI e SM covirjm pr áre d região. Cosidere, por eemplo, seguite prtição em prtes ( = ) do itervlo [, ]: > prtico:=[seq(-/i,..)]; prtico := [, 3, 5 3, 7 4, 9 5, 6, 3 7, 5 8, 7 9, 9,, 3, 5 3, 7 4, 9 5, 3 6, 33 7, 35 8, 37 9, 39, ] O digrm ilustr o que pode cotecer pr váris prtições deste tipo ( = 3, 5, 8 e, respectivmete): 4. 3... 4. 3....64848.5.3676648.55849983.65833.5...5.5.. 4. 3... 4. 3....5.5...5.5.. Observe que, este cso,mesmo cosiderdo vlores de cd vez miores, som ds áres dos retâgulos iscritos, jmis se proimrá d áre d região em questão. Como mostr este eemplo, o importte ão é divisão em prtes iguis, ms o fto do comprimeto de cd um dos subitervlos [ i, i+ ] teder zero à medid que se umet o úmero de divisões do itervlo. Chegmos, ssim, à seguite defiição: Defiição Cosidere região limitd pelo gráfico de um fução cotíu e positiv y = f(), pels rets verticis = e = b e pelo eio. Cosidere um prtição do itervlo [, b] = < < <... < < = b,
W.Bichii, A.R.Stos 83 tl que, pr todo i, i qudo, ode i = i i é o comprimeto de cd subitervlo d prtição. Etão, áre d região é dd por ode c i é um poto qulquer do subitervlo [ i, i ]. lim f(c i ) i= Vmos ilustrr est defiição com outro eemplo. Cosidere fução g() = se(), pr o itervlo [, π]. Queremos clculr áre hchurd mostrd figur:.8.6 y.4..5.5.5 3 Primeiro dividimos o itervlo [, π] em prtes iguis. Neste cso, = π. Cosiderdo retâgulos cujs lturs são iguis o vlor d fução etremidde i de cd subitervlo [ i, i ], obtemos s seguites proimções pr áre, qudo dividimos o itervlo [, π] em 3, 4, 5, 6, 7 e 8 prtes, respectivmete:.83799365.8968898.933765598.9549734.96636679.974363 Cosiderdo retâgulos cujs lturs são o vlor d fução etremidde i de cd subitervlo [ i, i ], obtemos s proimções mostrds figur, à esquerd. D mesm meir, tomdo retâgulos cujs lturs são o vlor d fução o poto médio de cd subitervlo [ i, i+ ], obtemos s proimções mostrds figur à direit..83799365.8968898.933765598.94395.534437.338478.9549734.96636679.974363.333.688478.9986 As estimtivs observds s figurs precem idicr que áre procurd deve ser igul. Vmos usr o Mple pr clculr s soms que precem os três csos cosiderdos e clculr o seu limite qudo o úmero de retâgulos cresce sem limite (tede ifiito). Sej SN som ds áres dos retâgulos cujs lturs são s etremiddes iferiores dos subitervlos. Assim, ( ) π se( i π ) SN := i=
84 Cp.. Itrodução à Itegrl: Cálculo de Áres e Itegris Defiids Simplificdo som cim obtém-se: π ( ) se( i π ) i= se( π = ) (cos( π ) ) Clculdo o limite dest epressão, qudo, tem-se que si( i π lim ) π = i= D mesm meir, cosiderdo-se retâgulos cujs lturs são o vlor d fução etremidde i de cd subitervlo [ i, i ], obtém-se: ( ) π se( i π ) π se( π = ) (cos( π ) ) e lim ( ) π si( i π ) Cosiderdo retâgulos cujs lturs são o vlor d fução o poto médio de cd subitervlo [ i, i ], temos tmbém (i + π se ) π i= π se( π = ) (cos( π ) ) e lim = (i + π se ) π i= = O vlor do limite será o mesmo pr qulquer som do tipo i f(c i ) i escolhid, ode c i [ i, i ]. Este limite úico é, por defiição, áre d região R limitd pelo gráfico de um fução f cotíu e positiv, pelo eio e pels rets = e = b..4 A Itegrl Defiid.4. Defiição Vimos seção terior como clculr áre A de um região limitd por um fução positiv, pels rets =, = b e pelo eio. O que fizemos foi dividir o itervlo fechdo [, b] em prtes iguis e proimr o vlor d áre por soms do tipo f(c i ). Vimos que, à medid que cresce, o vlor d som se proim do vlor de A. Est defiição pr áres de regiões motiv etesão deste procedimeto outrs fuções que ão sejm ecessrimete positivs. Deste modo, vmos defiir o que chmmos de itegrl de um fução f, ode f é um fução qulquer defiid em um itervlo fechdo [, b]. Pr isso, cosidere um divisão do itervlo [, b], em prtes = < < <... < i <... < < = b. Est divisão, como já vimos, defie um prtição do itervlo, b], que chmremos de P. Sej i = i i, tl que, pr todo i, i qudo +. Formemos som
W.Bichii, A.R.Stos 85 S = f(c i ) i, ode c i é um poto qulquer do subitervlo [ i, i ]. Est som é chmd som de Riem pr f ssocid à prtição P. (O ome som de Riem foi ddo em homegem o mtemático lemão Berhrd Riem (86-866), que, em seus trblhos, estbeleceu o coceito de itegrl em bses mtemátics rigoross.) Se eistir o limite I = lim S = lim f(c i ) i = lim i f(c i ) i pr tod som de Riem ssocid à prtição P de [, b], dizemos que fução f é itegrável em [, b] e que itegrl defiid de f, de té b, deotd por I = f() d, é este limite, isto é, f() d = lim S = lim i f(c i ) i. O mior dos úmeros i é chmdo orm d prtição P e deotdo por P. Usdo est otção e defiição rigoros de limite, iguldde cim sigific que pr todo ε >, eiste um δ >, tl que se P é um prtição de [, b] sedo P < δ, etão ( ) f(c i ) i I < ε pr qulquer escolh dos úmeros c i os subitervlos [ i, i ]. A otção pr itegris foi itroduzid pelo mtemático lemão G. W. Leibiz (646-76). O símbolo é um estilizção d letr S d plvr Summ e é chmdo sil de itegrl. Os úmeros e b são chmdos, respectivmete, limite iferior e limite superior d itegrl. A fução f é chmd de itegrdo, e o símbolo d idic que fução está sedo itegrd com respeito vriável idepedete, que este coteto ão deve ser cofudido com diferecil de. A vriável itegrl é o que chmmos de um vriável mud. El pode ser substituíd por qulquer outr letr sem fetr o vlor d itegrl. Assim, se f é itegrável em [, b], podemos escrever f(y) dy = f() d = f(z) dz... etc. N defiição de itegrl, temos que < b, ms é coveiete tmbém defiirmos itegrl o cso em que b <. Neste cso, defiimos desde que est últim itegrl eist. Além disso, se f() eiste, etão f() d =. f() d = b f() d, N defiição de itegrl ão impomos restrições sobre fução f, pes sobre prtição do itervlo [, b]. Isto os lev à questão de sber quis fuções são itegráveis. O eemplo seguir mostr que eistem fuções que ão o são. Eemplo Cosidere fução f defiid em [, ] por: f() = {, pr rciol, pr irrciol. Qulquer que sej prtição do itervlo [, ], os subitervlos ssocidos ess prtição sempre coterão potos rciois e irrciois. Se cosiderrmos dus soms de Riem, um do tipo f(c i ), ode cd c i sej rciol e outr ode cd c i sej irrciol, teremos, pr primeir dels, o vlor zero; pr outr, o vlor, o que mostr que o limite depede d som prticulr cosiderd, portto, f ão é itegrável. Eemplo =
86 Cp.. Itrodução à Itegrl: Cálculo de Áres e Itegris Defiids Cosidere fução f defiid em [, ] por f() =, se., se = Temos que lim f() =. Etão, o primeiro subitervlo [, ], de qulquer prtição P de [, ], podemos + chr um úmero c i, tl que f(c i ) i super qulquer úmero ddo M. Assim, pr qulquer prtição P podemos ecotrr um som de Riem rbitrrimete grde. Logo, qulquer que sej o úmero rel I, eistem soms de Riem R p ssocids qulquer prtição P do itervlo [, ], tis que R p I é rbitrrimete grde. Isto implic que f ão é itegrável. Por rgumetos álogos, podemos mostrr que qulquer fução que se tore ilimitd em qulquer poto de um itervlo [, b] ão é itegrável. Assim: Se f é itegrável em [, b], etão é limitd em [, b], isto é, eiste um úmero rel M tl que f() M, pr todo em [, b]. Observções. Repre que f() M sigific, geometricmete, que o gráfico de f está etre s dus rets horizotis y = M e y = M. Em prticulr, se f tem um descotiuidde ifiit em lgum poto do itervlo [, b], etão f ão é limitd e, portto, ão é itegrável, como foi mostrdo o Eemplo.. Um cojuto bstte mplo de fuções que são itegráveis é o cojuto ds fuções cotíus, isto é, se f é um fução cotíu em [, b], etão f é itegrável em [, b]. 3. Se f é descotíu em [, b], etão f() d pode eistir, ou ão. Se f tem somete um úmero fiito de descotiuiddes o itervlo [, b] e tods els são descotiuiddes de slto, etão f é dit cotíu por prtes e é itegrável em [, b]. (Vej Problem 5.) 4. Repre id, que se f é itegrável em [, b], etão o limite ds soms de Riem eiste qulquer que sej escolh dos potos c i em cd subitervlo [ i, i ]. Este fto permite que prticulrizemos escolh dos c i, se isto for coveiete. Por eemplo, podemos escolher c i sempre como o etremo direito, ou como o etremo esquerdo, ou como o poto médio de cd subitervlo, ou como o úmero ode ocorre o máimo ou o míimo d fução em cd itervlo [ i, i ]. Além disso, como o limite idepede d prtição cosiderd (desde que su orm sej suficietemete peque), defiição de itegrl pode ser simplificd pel utilizção de soms de Riem ssocids prtições regulres, isto é, costituíds de subitervlos de mesmo comprimeto. Neste cso, P = = b e qudo,. A itegrl de f é dd por I = f() d = lim f(c i ) = lim P f(c i ). Em prticulr, como tod fução cotíu em [, b] é itegrável em [, b], est observção se plic fuções cotíus..4. Iterpretção geométric d itegrl defiid Como plicção imedit d defiição de itegrl, qudo f é um fução cotíu, positiv, defiid em [, b], f() d os forece o vlor d áre d região limitd pelo gráfico de f, pels rets =, = b e pelo eio. Se fução f for um fução cotíu que ssume vlores positivos e egtivos o itervlo [, b], etão o vlor d itegrl será difereç etre o vlor d áre d região que está cim do eio e o vlor d áre d região que está bio do eio. Este fto tor-se clro observdo-se figur seguir e lembrdo que, por defiição, itegrl é o limite de soms de Riem. As prcels f(c i ) que correspodem os retâgulos que estão bio do eio são egtivs, e seus vlores bsolutos forecem o vlor ds áres de cd um destes retâgulos.
W.Bichii, A.R.Stos 87.8.6.4. 3 3..4.6.8.4.3 Proprieddes d itegrl defiid A prtir d defiição de itegris como limite de soms de Riem podemos demostrr lgums de sus proprieddes fudmetis. Propriedde Se f é um fução costte defiid por f() = k, pr todo em [, b], etão f é itegrável e k d = k (b ). Demostrção Sej P um prtição de [, b]. Etão, pr tod som de Riem de f, f(c i ) i = k i = k ( i ) = k (b ), pois som dos comprimetos de todos os subitervlos d prtição é o comprimeto do itervlo [,b], idepedete do vlor de. Coseqüetemete, isto é, lim i = f(c i ) i = k (b ), k d = k (b ). Est iguldde está de cordo com discussão de áre feit teriormete, pois se k >, etão o gráfico de f é um ret horizotl k uiddes cim do eio dos, e região limitd por est ret, pelo eio e pels rets = e = b é um retâgulo de ldos k e (b ). Logo, su áre é dd por k (b ). No cso especil em que k =, temos que d = b, que é igul o comprimeto do itervlo [, b]. Propriedde Se f é itegrável em [, b] e k é um úmero rel rbitrário, etão kf é itegrável em [, b] e k f() d = k f() d. Demostrção Se k =, o resultdo se verific trivilmete. Supohmos, etão, que k. Como f é itegrável, temos que eiste um úmero I tl que I = f() d. Sej P um prtição de [, b]. Etão, tod som de Riem pr fução k f tem form k f(c i ) i, ode pr cd i, c i está o subitervlo [ i, i ]. Sej ε > ddo. Devemos mostrr que eiste um δ > tl que, se P < δ, etão ( i k f(c i) i ) k I < ε, pr todo c i em [ i, i ]. Se observrmos que ( i ) ( ) k f(c i ) i k I = k f(c i i ) I, i
88 Cp.. Itrodução à Itegrl: Cálculo de Áres e Itegris Defiids coclusão se verific imeditmete, pois, como f é itegrável, tem-se que, qulquer que sej ε >, eiste um δ > tl que, se P < δ, etão ( f(c i ) i ) I < ε. i Assim, bst escolhermos ε = ε k pr obter o resultdo desejdo. Costum-se eucir coclusão dest propriedde dizedo-se que costtes podem ser retirds do sil de itegrl. Propriedde 3 Se f e g são itegráveis em [, b], etão f + g é itegrável em [, b] e (f() + g()) d = f() d + g() d. Demostrção Por hipótese, eistem úmeros reis I e I, tis que f() d = I e g() d = I. Sej P um prtição de [, b] e sej R p um som de Riem rbitrári pr f + g ssocid à prtição P, isto é, R p = (f(c i ) + g(c i )) i = ( f(c i ) i ) + ( g(c i ) i ), ode c i está em [ i, i ] pr cd i. Sej ε >. Devemos mostrr que eiste um δ > tl que, se P < δ, etão R p (I + I ) < ε. Por hipótese (f e g itegráveis), sbemos que qulquer que sej ε >, eistem δ e δ positivos tis que, se P < δ e P < δ, etão ( ) ( ) f(c i ) i I < ε e g(c i ) i I < ε, i Sej ε = ε e sej δ o meor dos úmeros δ e δ. Assim, se P < δ, s dus desigulddes cim se verificm, e dí, como ( ) ( ) R p (I + I ) = f(c i ) i I + g(c i ) i I i i ( ) ( ) f(c i ) i I + g(c i ) i I i i i tem-se R p (I + I ) < ε + ε = ε, que é o resultdo que querímos demostrr. Observções. Vle um resultdo álogo pr difereçs, isto é, se f e g são itegráveis em [,b], tem-se (f() g()) d = f() d g() d. A Propriedde 3 pode ser estedid um som fiit de fuções. Especificmete, se f, f,..., f são itegráveis em [, b], su som g = f + f +... + f tmbém o é e g() d = f () d + f () d +... + f () d. 3. Se f e g são fuções itegráveis em [, b] e se k e k são reis rbitrários, pels Proprieddes e 3 temos que (k f() + k g()) d = k f() d + k g() d. Além disso, se k, k,..., k são reis rbitrários e se f, f,..., f são fuções itegráveis em [, b], o resultdo álogo vle pr fução g = k f + k f +... + k f.
W.Bichii, A.R.Stos 89 Como já vimos, se f é cotíu e positiv em [, b], etão f() d é áre sob o gráfico de f limitd pels rets = e = b. De modo álogo, se < c < b, etão s itegris c f() d e f() d são s áres sob o c gráfico de f de té c e de c té b, respectivmete. Segue, imeditmete, que f() d = c f() d + c f() d. A próim propriedde mostr que est iguldde tmbém é verddeir sob hipóteses mis geris. Propriedde 4 Se < c < b e f é itegrável tto em [, c], como em [c, b], etão f é itegrável em [, b] e f() d = c f() d + c f() d. Demostrção Por hipótese, eistem úmeros reis I e I tis que c f() d = I e c f() d = I. Sejm P um prtição de [, c], P um prtição de [c, b] e P um prtição de [, b]. Deotremos por R P, R P e R P s soms de Riem rbitráris ssocids P, P e P, respectivmete. Devemos mostrr que ddo um ε >, eiste um δ > tl que, se P < δ, etão R P (I + I ) < ε. As hipóteses sobre f implicm que, ddo ε = ε 4, eistem úmeros positivos δ e δ tis que, se P < δ e P < δ, etão R P I < ε 4 e R P I < ε 4. Sej δ o meor dos úmeros δ e δ. Etão mbs s desigulddes cim são verddeirs, desde que tehmos P < δ. Além disso, como f é itegrável tto em [, c] como em [c, b], é limitd em mbos os itervlos e, ssim, eiste um úmero M, tl que f() M pr todo em [, b]. Supohmos gor que lém d eigêci terior feit sobre δ, tehmos tmbém que δ < Sej P um prtição de [, b], tl que P < δ, como escolhido cim. Se s subdivisões que determim P são =,,,..., = b, etão eiste um úico itervlo semi-berto d form ( k, k ] que cotém c. Se R P = f(w i ) i, podemos escrever R P = ( k f(w i ) i ) + f(w k ) k + ( i=k+ f(w i ) i ) Sej P prtição de [, c] determid por {,,,... k, c} e P prtição de [c, b] determid por {c, k,...,, b}. Cosideremos gor s soms de Riem ( k ) ( ) R P = f(w i ) i + f(c) (c k ) e R P = f(c) (c k ) + f(w i ) i. Etão, como P < δ, temos. i=k+ ε 4 M. e (*) R P (R P + R P ) = f(w k ) f(c) k f(w k ) + f(c) k (M+M) ε 4 M = ε (**) R P + R P (I I ) R P I R P I < ε. Como R P (I + I ) = R P (R P + R P ) + (R P + R P ) (I + I ) R P (R P + R P ) + R P + R P (I + I ) Se P < δ, s desigulddes (*) e (**) implicm que R P (I + I ) < ε + ε = ε pr tod som de Riem R P, o que complet demostrção.
9 Cp.. Itrodução à Itegrl: Cálculo de Áres e Itegris Defiids Est propriedde pode ser geerlizd pr o cso em que c ão está ecessrimete etre e b. (Vej Problem 8 ). Propriedde 5 Se f é itegrável em [, b] e f() pr todo em [, b], etão f() d Demostrção Sej I = f() d e supohmos por bsurdo que I <. Sej P um prtição de [, b] e sej R P = f(c i ) i, um som de Riem qulquer, ssocid P. Como, por hipótese, f(c i ), pr todo c i o itervlo [ i, i ], temos que R P. Sej ε = I >, etão, como f é itegrável em [, b], desde que P sej suficietemete peque, temos que R P I < ε = I. Dí, R P < I I = I <, o que é um cotrdição. Portto, suposição I < é fls, e temos que I. Um coseqüêci imedit dest propriedde é epress propriedde seguir, cuj demostrção é deid crgo do leitor. (Vej Problem 9.) Propriedde 6 Se f e g são itegráveis em [, b] e g() f() pr todo em [, b], etão g() d f() d..5 Vlor médio de um fução e o teorem do vlor médio pr itegris defiids A médi ritmétic de úmeros,,..., é defiid por: m = ( + +... + ) Agor, pese o seguite problem: Supoh que você teh um brr de ferro de comprimeto L e cohece tempertur T (), que vri em cd poto d brr. Como clculr tempertur médi T m d brr? A dificuldde, este cso, é que eistem ifiitos potos brr serem cosiderdos. A idéi é estbelecer um sistem de coordeds brr, de tl modo que s sus etremiddes coicidm com os potos e L deste sistem e proimr tempertur médi pel médi ds temperturs de potos d brr, sber, =... = L tomdos como referêci, isto é, T m T ( i ) Clrmete, à medid que umetmos o úmero de potos cosiderdos este cálculo, o vlor do ldo direito d epressão terior se proimrá cd vez mis d tempertur médi T m d brr. Observe, gor, que som terior é muito precid com som de Riem pr fução T (). Pr trsformr est epressão som de Riem pr fução T, bst multiplicr e dividir, som obtid por = L. Assim, temos ( ) ( T ( i ) = ) T ( i ) = T ( i ) L L Agor sim! O último somtório é som de Riem pr fução T o itervlo [, L]. Assim, T m = L lim = T ( i ) = L L i T () d
W.Bichii, A.R.Stos 9 ou De um modo gerl, defie-se o vlor médio de um fução y = f(), cotíu em um itervlo [, b], como f m = b f() d f() d = f m (b ). Se f() em [, b], est últim iguldde sigific, geometricmete, que áre sob o gráfico de f, desde té b, é igul à áre de um retâgulo de ltur f m e bse b-. Eemplo Se tempertur de um brr de comprimeto 3 cm é dd por T () =, em cd poto d brr, clcule su tempertur médi. Solução: 3 T m = 3 d = 3 No gráfico seguir áre hchurd tem o mesmo vlor d áre do retâgulo escuro. 4 3 Tm 3 Note que o vlor T m é tigido em lgum poto c de [, b]. Neste eemplo, precismete em c = 3. O teorem do vlor médio pr itegris defiids, que veremos seguir, grte que, se f é cotíu, isto é sempre verdde..5. O teorem do vlor médio pr itegris defiids Teorem Se f é cotíu em um itervlo fechdo [, b], etão eiste um úmero c o itervlo berto (, b), tl que f() d = f(c)(b ) Observções Se f() em [, b], o teorem dmite um iterpretção geométric iteresste. Neste cso, como já vimos, S = f() d é áre limitd pelo gráfico de f, o eio e s rets = e = b. O teorem grte eistêci de um úmero c, bsciss de um poto P do gráfico de f, tl que áre d região retgulr limitd pel ret horizotl que pss por P, pelo eio e pels rets = e = b, dd pel epressão, f(c) (b ), é igul S. Vej s figurs. 4.4 4.3 4. 4. 4 3.9 3.8 3.7 3.6..4.6.8..4.6.8 O úmero c ão é ecessrimete úico. Por eemplo, se f é um fução costte, todos os úmeros c do itervlo [, b] stisfzem coclusão do teorem. O teorem grte eistêci de pelo meos um úmero c em [, b] com propriedde eucid. Demostrção Sejm m = f(d) o míimo de f em [, b] e M = f(e) o máimo de f em [, b]. Pel Propriedde 6, z m d f() d e f() d M d,
9 Cp.. Itrodução à Itegrl: Cálculo de Áres e Itegris Defiids isto é, Como f é cotíu e y = b úmero c etre e b, tl que, m b f() d e b f() d M. f() d é um úmero etre m e M, pelo teorem do vlor itermediário eiste um f(c) = b f() d Eemplo Sej v(t) velocidde de um objeto em cd istte t um itervlo de tempo [, b]. Etão, velocidde médi do objeto é dd por v m = v(t) dt b O teorem do vlor médio pr itegris defiids os diz que velocidde médi v m é tigid pelo objeto em lgum istte c de [, b], isto é, v m = v(c). O teorem do vlor médio pr itegris defiids pode ser usdo demostrção de vários outros teorem relevtes. Um dos mis importtes é o teorem fudmetl do cálculo, que será visto o próimo cpítulo..6 Atividdes de lbortório Usdo um computdor e o Mple, fç s tividdes proposts o rquivo lbit.mws d versão eletrôic deste teto..7 Eercícios ( + ). () Mostre idetidde i = Sugestão: Some s equções i = + +... + e i = + ( ) + ( ) +... +. (b) Escrev s equções que se obtém substituido os vlores de k =,, 3,..., idetidde (k+) 3 k 3 = 3 k + 3 k +. Adicioe esss equções e use su som pr deduzir, d idetidde dd em (), fórmul. Pr cd um ds fuções bio i = ( + )( + ). 6 () Clcule proimdmete áre d figur limitd pel curv y = f(), s rets =, = b e o eio, utilizdo os comdos leftbo e rightbo do Mple. (b) Clcule proimdmete o vlor dests áres com os comdos leftsum e rightsum. (c) mote um tbel com os vlores obtidos pr váris prtições do itervlo. (d) Use o comdo limit pr clculr etmete o vlor d áre. (e) Compre os resultdos obtidos. i. f() = pr [, ] ii. f() = se() pr [, π] iii. f() = 4 pr [, ]. 3. Use defiição pr clculr cd um ds itegris bio. Use primeiro o seu rciocíio e iterpretção geométric d itegrl; depois, se id for ecessário use os comdos leftsum e rightsum do Mple pr judá-lo os cálculos. () 5 3 d (b) 4 d (c) 3 d (d) π se() d π (e) π cos() d (f) π cos() d (g) 4 + d
W.Bichii, A.R.Stos 93 4. Iterprete geometricmete e clcule itegrl 4 d. 5. O gráfico d equção + y b = pr < b < é um elipse. Esboce este gráfico e use o vlor d itegrl d pr chr áre limitd por um elipse. 6. Sbedo-se que o vlor médio de y = f() o itervlo [, 7] é igul 4, qul o vlor de 7 f(t) dt? 7. Ache o vlor médio de f() = o itervlo [, ]..8 Problems. Mostre que se f é um fução cotíu e moóto em um itervlo [, b], o erro proimção d f() d pel som de Riem iferior ou superior com subitervlos é limitdo por f(b) f() (b ). Pr cd itegrl dd bio, sej f() d = L. Levdo-se em cot defiição de itegrl, dd este cpítulo, iguldde cim sigific que pr todo ε >, eiste um iteiro positivo N tl que ( ) f(c k ) k L < ε, k= pr todo > N. Sej k = b e ε =,. Cosidere c k como sedo etremidde direit do k-ésimo subitervlo d prtição do itervlo [, b] cosiderd. Ache o meor vlor de pr o qul ( k= f(c k) k ) L < ε, pr > N. () 3 + d (b) π 6 cos() d (c),75,5 se( ) d 3. () Mostre que π se d = π cos d. Sugestão: Mostre que s dus áres em questão são cogruetes usdo um refleão em toro d ret = π 4. (b) Mostre que π se d = π π se d. Sugestão: Use iterpretção geométric ds dus itegris e use um refleão em toro d ret y = pr mostrr que s dus áres em questão são iguis. (c) Use s prtes () e (b) pr mostrr que π se d = π cos d = π 4. (d) Clcule π se d e π cos d. 4. Obteh um fórmul pr t dt, válid pr () (b) (c) qulquer que sej, positivo, egtivo ou ulo. (d) Esboce um gráfico que represete geometricmete est questão. {, se t < 5. Cosidere fução s(t) (sil de t ) defiid por s(t) =, se t =., se < t É clro que fução s(t) ão é cotíu em zero, ms s(t) dt pode ser defiid d mesm meir que pr fuções cotíus. Por eemplo, s(t) dt, é áre limitd pelo gráfico d fução, pelo eio e pels rets t = e t = (um qudrdo de ldo ). Assim, s(t) dt =. D mesm meir, s(t) dt = ; 3 s(t) dt = 3; 3 3 s(t) dt = e, ssim por dite. Obteh um fórmul válid pr s(t) dt qudo () (b) (c) qulquer que sej, positivo, egtivo ou ulo. 6. Eplique por que () 73 d = (b) < 3 4 t dt <
94 Cp.. Itrodução à Itegrl: Cálculo de Áres e Itegris Defiids 7. () Dê eemplo de um fução cotíu o itervlo (, ) tl que f() d ão eist. (b) Dê eemplo de um fução que ão sej cotíu em [, ], tl que eist f() d. 8. Mostre que se f é itegrável em um itervlo fechdo e se, b e c são três úmeros quisquer deste itervlo, etão f() d = c f() d + f() d. c 9. () Se f() M pr todo em [, b], prove que f() d M (b ). Ilustre o resultdo grficmete. (b) Se m f() pr todo em [, b], prove que m (b ) f() d. Ilustre o resultdo grficmete. (c) Mostre que se f e g são itegráveis em [, b] e g() f() pr todo em [, b], etão g() d f() d. (d) Sej f itegrável em [, b]. Mostre que b f() d f() d. Sej f() = + 4. Ache o vlor médio de f o itervlo de té,, com dez css decimis ets. Sugestão: A respost deve ser dd rpidmete. Se você ão cosegue perceber como isto pode ser feito, clcule respost usdo forç brut. O úmero obtido sugere como os cálculos poderim ter sido evitdos.. Se f() = k pr todo em [, b], prove que todo úmero c em [, b] stisfz coclusão do teorem do vlor médio pr itegris defiids. Iterprete este resultdo geometricmete.. Se f() = e < < b, determie (sem itegrr) um úmero c em (,b) tl que f() d = f(c) (b )..9 Um pouco de históri Prece que o primeiro clculr áre et de um figur limitd por curvs foi Hipócrtes de Chios, o mis fmoso.5 mtemático grego do século V A.C.. Ele clculou áre d figur em form de lu crescete (ou migute), figur o ldo. Est.5 figur, costruíd por dois círculos (o círculo cetrdo em (, ) e rio uitário e o círculo cetrdo em (, ) e pssdo pelos.5 potos (, ) e (, )) recebeu o ome de lúul de Hipócrtes, em homegem àquele que descobriu que su áre é igul à áre do qudrdo cujo ldo é o rio do círculo. O problem d qudrtur de um círculo, isto é, de chr um qudrdo de áre equivlete à de um círculo de rio ddo, é um dos problems clássicos d Geometri que muitos mtemáticos dedicrm teção, desde Atiguidde. Hipócrtes qudrou lúul, embor fosse icpz de resolver o problem d qudrtur do círculo. Os geômetrs, desde o tempo de Euclides, etedem que resolver um problem é costruir su solução utilizdo somete um régu ão grdud e um compsso. Hoje, sbemos que o problem d qudrtur do círculo é impossível de resolver utilizdo-se pes régu e compsso. À primeir vist prece que o problem de clculr áres é um ssuto de iteresse pes pr geômetrs, sem plicções vid prátic for d Mtemátic. Isto ão é verdde. No trscorrer dos próimos cpítulos, veremos que muitos coceitos importtes de Físic, tis como trblho, eergi e o problem de egehri de chr forç totl que ge sobre um brrgem em virtude d pressão de águ o reservtório, por eemplo, depedem ds mesms idéis utilizds este cpítulo pr o cálculo de áres.. Projetos.. Soms de Riem letóris Um som de Riem de um fução f defiid em um itervlo [, b] tem form gerl S = f(c ) ( ) + f(c ) ( 3 ) +... + f(c ) ( ), ode = < <... < = b é um prtição do itervlo [, b] e cd c i é tl que i c i i. O objetivo deste projeto é clculr soms de Riem pr fução f() = 3 + 3 + 5, defiids por meio de um prtição do itervlo [, ] em 5 prtes, gerds letorimete. Pr obter úmeros letórios, vmos utilizr o comdo rd() do Mple. Cd vez que este comdo é eecutdo, um úmero etre e é escolhido o cso. Assim, lih de comdo bio ger um seqüêci de 3 =.5 + úmeros letórios, etre e. Eecute-o váris vezes!
W.Bichii, A.R.Stos 95 > umeros:=[seq(rd(),k=..3)]; k:= k : umeros := [9739644947, 7847363, 9877856465, 674987844, 3453658, 75486958636, 48856859, 3478777484, 4335999456, 8987488795, 4855383, 5556454, 95947493, 64653969, 5496686, 8566943845, 68476456, 9697797, 87466946435, 9595995, 5495588876, 8458436, 6765466, 675773446, 357595687, 73574995, 4443834, 65954775, 887974857856, 34456947, 6638673485] Como queremos potos pertecetes o itervlo [, ], vmos coverter os potos gerdos pelo comdo cim pr este itervlo, por um mudç de escl: > pts:=mp(->evlf(/^),umeros); pts := [.973964495,.784736,.987785643,.6749878,.3453658,.754869586,.488569,.347877748,.43359995,.89874888,.485538,.555645,.9594743,.6465396,.549668,.856694385,.6847645,.969779,.874669464,.959599,.549558887,.845844,.676547,.67577345,.3575957,.73574995,.444383,.6595473,.8879748579,.344569,.66386735] Pr formr os potos d prtição, precismos colocr est últim seqüêci em ordem crescete. utilizdo-se o comdo sort: > prt:=sort(pts); Isto é feito prt := [.676547,.845844,.973964495,.3453658,.488569,.549668,.3575957,.344569,.555645,.73574995,.347877748,.444383,.43359995,.485538,.549558887,.66386735,.67577345,.6465396,.6595473,.6749878,.6847645,.754869586,.784736,.856694385,.874669464,.8879748579,.89874888,.959599,.9594743,.969779,.987785643] Podemos gor, clculr som de Riem ssocid est prtição do itervlo [, ], como se segue. > f:=->^3+3*^+*-5; f := 3 + 3 + 5 > S:=sum(f(prt[*j])*(prt[*j+]-prt[*j-]),j=..5); S :=.43693. Repit este processo mis cico vezes e gurde os resultdos. Clcule médi ds sus 6 tettivs e descrev como este processo form um som de Riem gerl e como por meio dele se cheg um proimção do vlor d itegrl d fução o itervlo [, ]. Ilustre geometricmete.. Eplique como é possível melhorr precisão do resultdo e plique s sus coclusões pr melhorr o resultdo obtido cim. 3. Ache por este processo um proimção pr itegrl d fução f() = 3 + + o itervlo [, ]... Soms de Riem e fuções moótos O objetivo deste projeto é clculr itegris de fuções moótos por meio de soms de Riem com um erro máimo prefido.. Cosidere fução f() = 3 + +. () Mostre que f é moóto o itervlo [, ].
96 Cp.. Itrodução à Itegrl: Cálculo de Áres e Itegris Defiids (b) Use os comdos leftbo e rightbo do pcote studet pr ilustrr como podemos proimr itegrl d fução dd o itervlo [, ] por meio d som ds áres de retâgulos iscritos ou circuscritos região delimitd pel fução, pelo eio e pels rets = e =. (c) Determie o meor vlor de (úmeros de retâgulos) que grt um estimtiv pr itegrl d fução com erro máimo de,.(vej Problems e.) (d) Use o comdo sum pr obter um estimtiv mior e um estimtiv meor pr áre d região limitd por y = f(), y =, = e =. (e) Use o comdo sum pr obter ests mesms estimtivs como fução do úmero de retâgulos usdos. (f) Use o comdo limit(...,=ifiity) e epressão que você ecotrou o item terior pr obter o vlor eto d áre d região.. Cosidere fução g() = cos( ). () Mostre que g é moóto em [, ]. (b) Obteh um epressão gerl pr um subestimtiv pr áre limitd pel curv y = g(), pelo eio e pels rets = e =. (c) Clcule o erro máimo que se comete o proimr áre d região descrit cim pel som ds áres de retâgulos iscritos região. (d) Obteh o vlor eto dest áre. (e) Use s coclusões obtids os ites teriores e fução f() =, defiid em [, b] = [, ], pr obter proimções de π 4 com erro meor que. 3. Nem tods s fuções são moótos, etretto, s idéis estudds qui podem ser estedids fuções que ão são moótos. Descrev como é possível esteder s idéis estudds este cpítulo fuções cotíus mis geris fim de grtir que s proimções de f() d, obtids por meio de soms de Riem, tehm um precisão fid. 4. As soms de Riem obtids cosiderdo-se o poto médio de cd subitervlo de um prtição P do itervlo [, b] tmbém forecem um proimção pr áre d região delimitd por um fução f, positiv, defiid em [, b], pelo eio e pels rets = e = b. Pr fuções moótos, proimção obtid utilizdo-se o poto médio de cd subitervlo pode coduzir subestimtivs ou superestimtivs. () Dê eemplos de fuções pr s quis proimção obtid cosiderdo-se o poto médio de cd subitervlo forece um subestimtiv pr áre de um região delimitd pel fução dd, pelo eio e por dus rets verticis. (b) Dê eemplos de fuções pr s quis proimção obtid cosiderdo-se o poto médio de cd subitervlo forece um superestimtiv pr áre d região descrit cim. 5. Podemos obter proimções pr regiões do tipo descrito os ites teriores cosiderdo o etremo iferior e o etremo superior de cd subitervlo cosiderdo em um prtição do itervlo [, b]. A médi ritmétic ds proimções ssim obtids é cohecid como regr do trpézio pr o cálculo dests áres. () Eplique o porquê deste ome e estbeleç um critério geométrico que permit firmr qudo regr do trpézio forece um subestimtiv pr áre d região e qudo est regr forece um superestimtiv...3 O Mple e o pricípio d idução mtemátic O pricípio d idução é um ds mis importtes (e úteis) técics de demostrção em mtemátic. Este pricípio, em gerl, é usdo qudo precismos demostrr que um determid fórmul vle pr todos os úmeros turis. Por eemplo, podemos observr que + 3 = 4, + 3 + 5 = 9, + 3 + 5 + 7 = 6. A prtir destes ddos, poderímos cojecturr que som dos primeiros úmeros ímpres é igul, isto é, + 3 +...+ ( ) =. O pricípio d idução mtemátic firm que um fórmul, P(), é verddeir pr todo úmero turl se. P () é verddeir.. Cosiderdo P (k) verddeir, coseguirmos mostrr que P (k + ) é verddeir.
W.Bichii, A.R.Stos 97 Ests dus codições grtem que P () é verddeir pr todo. De fto, se P () é verdde, etão (usdo () o cso prticulr em que k =), segue que P () é verdde. Agor, como P () é verdde (usdo () o cso prticulr em que k =), segue que P (3) é verdde, ssim por dite. Dest meir, fic clro que qulquer que sej o úmero, ele será lcçdo por um úmero suficiete de pssos, como descrito cim. Pr ilustrr o rciocíio que se escode por trás do pricípio d idução, imgie um lih ifiit de pessos umerds d seguite meir P (), P (), P (3),... Um segredo é cotdo à primeir pesso d fil (P () cohece o segredo) e cd pesso tem istrução de cotr qulquer segredo pr pesso que segue fil, quel com o úmero seguite o seu próprio (se P (k) cohece o segredo, P (k + ) cohece o segredo). Etão, está clro que cd pesso d fil cbrá cohecedo o segredo! Pr provr cojectur feit cim, isto é, ( i ) =, precismos, portto,. Provr que est fórmul vle pr =. (O que é óbvio, pois =.). Supodo que est fórmul vlh pr = k, mostrr que el é verddeir pr = k +. O objetivo deste projeto é mostrr como usr o Mple pr obter fórmuls do tipo terior e id verificr vlidde de P () e fzer s cots ecessáris pr estbelecer que vlidde de P (k) implic vlidde de P (k + ). Vmos relizr est tref com jud do Mple. O comdo sum e su form ierte Sum podem ser usdos pr obter s fórmuls serem provds. Assim, > Sum(*i-,..)=sum(*i-,..); ( i ) = ( + ) > simplify(%); ( i ) = Agor, podemos costruir fução que cd ssoci est som: > P:=->Sum(*i-,..)=sum(*i-,..); P := ( i ) = ( i ) Deste modo, podemos clculr o vlor de P (), qulquer que sej o úmero turl, simplesmete clculdo o vlor d fução P, este poto: > P(3); > P(7); Assim, fic clro que P () é verdde pois, > P(); 3 ( i ) = 9 7 ( i ) = 49 ( i ) = > vlue(%); = Supohmos gor que P (k) sej verdde pr lgum iteiro positivo k. Vmos cosiderr, portto, que > P(k); k ( i ) = (k + ) k
98 Cp.. Itrodução à Itegrl: Cálculo de Áres e Itegris Defiids > simplify(p(k)); k ( i ) = k sej verddeir. Precismos provr que P (k + ) é verddeir. Pr isto, vmos somr (k +) (o próimo úmero ímpr) mbos os ldos dest equção, o que ão lter iguldde. Assim, temos: > lhs(p(k))+(*k+)= rhs(p(k))+(*k+); k ( ( i )) + k + = (k + ) k+ É óbvio que o ldo esquerdo d equção cim é som + 3 + 5 +... + ( k ) + ( k + ) = ( i ). Assim, mostrmos que vlidde d fórmul pr = k, isto é, k ( i ) = k implic vlidde d fórmul k+ pr = k+, isto é, ( i ) = (k + ) e, portto, fórmul é válid pr todo iteiro positivo. Num eemplo mis complicdo, poderímos usr o Mple pr mostrr que o ldo direito d últim equção obtid é igul P (k + ) e ssim estbelecer que vlidde de P (k) (se fórmul é válid pr os primeiros k úmeros ímpres) implic vlidde de P (k + ) ( fórmul será válid pr os primeiros k + úmeros ímpres). Pr isto, bst clculr > P(k+); k+ ( i ) = (k + ) k 3 simplificr epressão resultte e comprr com o resultdo obtido teriormete. > simplify(%); > fctor(%); k+ ( i ) = k + k + k+ ( i ) = (k + ). Use o Mple e obteh fórmuls, válids pr os primeiros iteiros positivos, pr s soms idicds bio e verifique, usdo idução mtemátic, que ests fórmuls são válids pr todos os iteiros positivos: () i 3 (b) i 4 (c) i (i+) (d) i (i+) (i+). Vmos usr idução pr provr que + + 3 +...+ = ++. Sej P () = ++. Supodo válid est firmção pr = k, vmos mostrr que mesm é válid pr = k+. Assim, temos: + + 3...+ k = k +k+. Somdo k + mbos os membros dest iguldde, vem que: + + 3 +...k + (k + ) = k + k + + (k + ) = k + k + = [k + k + ] + (k + ) + + k + = (k + ) + (k + ) + = k + 3 k + 3 e, portto, P (k + ) é verdde. Assim, como vlidde de P (k) implic vlidde de P (k + ), temos que P () é verddeir pr todos os úmeros turis. Evidetemete, como som dos primeiros úmeros turis ão é dd por ++ (qul fórmul verddeir?), eiste um flh demostrção cim. Que flh é est?
W.Bichii, A.R.Stos 99