Itrodção ao problema de escaloameto e pré-despacho potametos para a dscpla de DOSE Mael tóo Matos FEU 2000
ídce. INTRODUÇÃO... 2. DESCRIÇÃO DO ROBLEM... 2.. CUSTOS... 2.2. RESTRIÇÕES...3 2.3. CONTRTOS DE FORNECIMENTO DE COMBUSTÍVEL...4 2.4. MODELO DO ROBLEM DE ESCLONMENTO...5 3. METODOLOGIS...6 3.. ORDEM DE MÉRITO...6 3.2. ROGRMÇÃO DINÂMIC...7 3.2.. Estados...7 3.2.2. Trajectóras...8 3.2.3. Fórmla de recorrêca...8 3.2.4. Resolção...9 3.2.5. Dfcldades...9 3.3. RELXÇÃO LGRNGEN...0 3.3.. Modelo fdametal...0 3.3.2. Sbproblemas... 3.3.3. rocesso teratvo...2 3.3.4. Covergêca...3 3.4. MÉTODOS RECENTES...4 4. COORDENÇÃO HIDRO-TÉRMIC...4 5. BIBLIOGRFI...4
. Itrodção O cojto de decsões qe leva à atrbção de ma certa carga a cada m dos geradores do sstema eléctrco de eerga começa pela defção das máqas qe, m determado período, estarão em fcoameto. Esta fase é ecessára, pos a cada máqa em fcoameto (mesmo a potêca míma) fca assocado m csto costate ão desprezável, ão sedo ecoómco mater em fcoameto m úmero excessvo de máqas. cohecda varação dára do dagrama de cargas leva, por otro lado, à ecessdade de r lgado e deslgado grpos ao logo do da, o qe evolve cstos assocados à lgação e deslgação, exstdo também dversas restrções téccas qe lmtam as opções de qem toma as decsões (tempos de arraqe, tempos mímos de paragem, etc.). Trata-se, portato, de m problema mlt-temporal, ormalmete resolvdo para a semaa segte, com tervalos típcos de ma hora. Falmete, é ecessáro prever ma folga, desgada por reserva grate, etre a carga prevsta m dado tervalo e a potêca total dspoível as máqas em fcoameto para esse tervalo, seja para ter em cota ametos esperados de carga, seja para mater o servço em caso de avara de m grpo. elas mesmas razões, defem-se ada otras reservas (reserva qete, reserva de mtos), correspodetes à potêca qe pode fcar dspoível em tempo redzdo (máqas de arraqe rápdo, como grpos hídrcos e trbas a gás), o caso da reserva exstete ão se revelar sfcete. Todos os aspectos referdos têm, portato, qe ser tdos em cota o problema de escaloameto dos grpos (mtas vezes, sa-se a desgação glesa de t commtmet), ode se faz também o pré-despacho, o seja, ma atecpação grossera da carga a atrbr a cada grpo, com o tto de tomar em cosderação os cstos de fcoameto, assocados ao cosmo de combstível. O presete texto é ma trodção ao problema e aos métodos de resolção mas tlzados, a sa versão clássca, ode apeas ma etdade é resposável pela gestão ecoómca do sstema. actal trasformação do sector, a Uão Eropea, os Estados Udos e em mtos otros países, para m mercado de electrcdade ode actam város partcpates, tato a oferta como a procra, será também abordada em secção própra. Note-se, o etato, qe o problema clássco cota a colocar-se em sstemas solados (por exemplo lhas) e em países ode ão se assst à lberalzação do sector. 2. Descrção do problema Essecalmete, o problema de escaloameto e pré-despacho é m problema de optmzação: procra-se satsfazer as cargas prevstas, com ma certa reserva, a csto mímo, respetado todas as restrções téccas. 2.. Cstos Os cstos assocados aos grpos térmcos depedem, obvamete, do tpo de máqa Estamos a spor m sstema exclsvamete costtído por grpos térmcos. coordeação hdro- -térmca, e a cosderação de otras fotes reováves, tem especfcdades qe serão abordadas mas adate.
prmára (trba a vapor, trba a gás, grpo desel) e de otros aspectos, como o processo de geração do vapor (fel-ol, carvão, clear) o a dade da máqa, o qe mplca ma aálse caso a caso em problemas reas. De forma abrevada, os cstos assocados são os qe se apresetam a segr: Csto de fcoameto: csto assocado ao cosmo de combstível para prodção de eerga, tpcamete ão lear. fção csto cl o poto (0,0), correspodete ao estado de paragem, o qe a tora descotía, como é patete a Fgra 2. Este csto é o mesmo qe se tlza o despacho (embora esse caso ão se cosdere, como se sabe, a hpótese do grpo estar parado). fção csto é mtas vezes aproxmada polomalmete (2º o 3º gra). Csto ($/h) m Fgra - Fção csto (csto de fcoameto) - Csto de arraqe: depedetemete da potêca qe os grpos verem a prodzr, exste m csto de arraqe assocado, qe depede, o caso das cetras com trba a vapor, do tempo de paragem ateror e do facto de se materem o ão as calderas qetes drate o período de paragem. No prmero caso (bag), o csto de arraqe tem ma expressão do tpo: C () t = C c. t + ode C ($) é o csto fxo de arraqe, depedete do tempo decorrdo, e c t ($/h) é o csto horáro assocado ao cosmo de combstível para mater a temperatra ecessára. Na segda hpótese (coolg), o csto depede do tempo decorrdo desde a paragem do grpo (e corte do combstível), com a segda parcela a teder expoecalmete para o csto C F de arraqe a fro: t α () = C + C. ( e ) C t Repare-se qe a escolha etre os dos tpos de paragem é, em s, m problema teressate. Como se vê a Fgra 2, a prmera hpótese é melhor para parages crtas (algmas horas), dexado de o ser a partr de m poto de eqlíbro qe depede, obvamete, dos parâmetros das expressões aterores. F t 2 No caso de trbas a vapor complexas, a crva da fgra é ma aproxmação covexa de ma fção csto real "mal-comportada", sada para facltar os processos de optmzação. 2
Csto ($) bag C F coolg C Tempo Fgra 2 - Cstos de arraqe de cetras com trba a vapor No caso dos grpos desel, o arraqe pode assmr formas complexas, podedo clr patamares de aqecmeto termédo, mdaças de combstível, etc, pelo qe o csto de arraqe pode ão ser smples de descrever aaltcamete. Daí qe se sem, mtas vezes, modelos smplfcados. - Csto de paragem: qado se modelza o csto de arraqe de forma smplfcada (em vez de sar as formlações dcadas atrás), os cstos assocados a mater codções para m arraqe a qete (bag) são modelzados como cstos de paragem. Também podem ter qe ser cosderados cstos de paragem em certos tpos de grpo desel. 2.2. Restrções restrção fdametal a cosderar é, como habtalmete os sstemas eléctrcos de eerga, a satsfação da carga, o seja, a potêca total dspoível (soma das potêcas máxmas de todos os grpos escalados) tem qe ser speror à carga total prevsta, em todos os tervalos. Como se dsse, a dfereça tem qe ser speror à reserva grate defda para cada tervalo, de acordo com m dos prcípos segtes: - Valor gal a ma percetagem da carga prevsta para o tervalo; - Valor gal à potêca máxma da maor dade em fcoameto; - Reserva qe garata m rsco de perda de carga feror a m certo valor, tedo em cota as probabldades de avara dos grpos. Os grpos térmcos, sobretdo aqeles em qe a máqa prmára é a trba a vapor, ão podem ser lgados de forma prodzrem medatamete a potêca qe se pretede, em podem deslastrar medatamete a carga qe lhes está atrbída. Há também motvos téccos qe exclem o fcoameto o paragem drate períodos crtos. De forma abrevada, as restrções assocadas são os qe se apresetam a segr: - Tempo de arraqe: para cada tpo de grpo, defe-se m tempo mímo de arraqe qe depede do tempo de paragem ateror e está relacoado com a ecessdade de aqecer calderas, obter pressões de vapor e otros codcoalsmos téccos. Em coseqêca, a decsão de tlzar o grpo pode ter de ser tomada mto ates da hora a qe a potêca respectva va ser ecessára. - Tempos mímos de paragem e de fcoameto: por razões fdametalmete de ordem técca, os períodos de paragem e fcoameto ão devem ser demasado 3
redzdos. Valores mímos típcos para grpos com trbas a vapor são 2 a 2 horas para o tempo de paragem e a 8 horas para o tempo de fcoameto. Os restates tpos de máqas apresetam tempos mímos meores. - Lmtes de prodção: valores máxmo e mímo da potêca prodzda pelo grpo, fxados por razões téccas e ecoómcas. or exemplo, os grpos Desel, a prodção a potêcas baxas é ecoomcamete vável, embora fosse possível teccamete (sado óleo desel em vez de fel-ol). Valores típcos da potêca míma para grpos com trba a vapor são 40 a 70% da potêca máxma. Estes lmtes também se tlzam o despacho. - Taxas máxmas de tomada e deslastre de carga: ão sedo possíves varações mto rápdas da potêca prodzda pelos grpos, defem-se taxas máxmas de tomada e deslastre de carga (MW/h) qe codcoam as alterações de prodção em tervalos de tempo scessvos. No despacho horáro assocado ao escaloameto, desgado ormalmete por pré-despacho, estes lmtes têm sobretdo flêca os períodos cas e fas de fcoameto. Estas restrções também são tlzadas o despacho mlt-período, ormalmete sob a forma de jaelas de operação (máxma varação etre períodos segtes). Os aspectos focados, omeadamete a qestão dos tempos de arraqe, mostram qe o prédespacho tem ma escala temporal completamete dferete da do despacho, possdo, além dsso, mto maor certeza a defção das cargas e maor complexdade a formlação matemátca, dada a preseça de varáves teras (ter o ão lgado cada grpo em cada período) e de fções csto ão covexas. Falmete, ma referêca a das restrções m poco dferetes, mas qe também podem ter qe ser cosderadas: - Restrções de pessoal: ma cetral com dversos grpos prodtores, podem srgr restrções ao arraqe smltâeo de város grpos por ão exstr pessoal sfcete para efectar todas as operações ecessáras. Esta restrção tem dmído de mportâca devdo à progressva atomatzação do processo de arraqe. - Grpos obrgatóros (mst-r):por dversas razões, podem exstr dcações de qe certos grpos estão obrgatoramete lgados em certos períodos do horzote de escaloameto. Este tpo de restrções pode ametar o csto global, mas favorece a rapdez da resolção do problema, por dmr o úmero de varáves teras. 2.3. Cotratos de forecmeto de combstível Embora mtas vezes ão mecoados, os cotratos de forecmeto de combstível devem ser tdos em cota as aplcações dstras para escaloameto e despacho, ma vez qe trodzem restrções adcoas com flêca ecoómca. Não sedo do âmbto do presete texto o desevolvmeto deste tópco, fca de qalqer modo a referêca às prcpas stações: - Cotratos a crto prazo: esta hpótese, qe ão é a mas freqete, correspode à aqsção de combstíves a preços de mercado (spot), de acordo com as varações as bolsas de mercadoras. Não acarreta grades codcoametos ao problema, mas tem assocada ma grade certeza ftra, o qe é evtado com os cotratos de logo prazo. - Cotratos tae-or-pay: esta modaldade de cotrato a logo prazo, a compaha prodtora obrga-se a adqrr qatdades mímas em certos períodos. Isso sgfca qe, a partr de m certo poto, as popaças obtdas o cosmo de combstível 4
ão correspodem a ma efectva popaça ecoómca, pos a empresa paga o combstível, mesmo qe ão o cosma 3. - Cotratos zoados: otra possbldade de cotrato a logo prazo, a qal são defdos patamares de preço para m certo período e m certo cosmo de eerga, como se esboça a Fgra 3. Faclmete se compreede qe a trajectóra de cosmo ao logo do tempo (o plao Eerga x Tempo) tem flêca o csto total de ma certa qatdade de combstível. Trajectóra de cosmo Csto Tempo > Eerga > Fgra 3 - Cotratos zoados de forecmeto de combstível 2.4. Modelo do problema de escaloameto Tpcamete, o problema do escaloameto é defdo sado tervalos horáros, para m horzote de 3 a 7 das, depededo do tpo de restrções exstetes. Sedo o sstema costtído por grpos prodtores (spostos todos térmcos), e defdo m horzote de h períodos, a fção csto a mmzar será: C = h h 0 V ( C + T ) = [ ( C + C ( ) + C.(, ) + ( )(, ). C ] = = = ode C e T dcam, respectvamete, os cstos totas de fcoameto e trasção em 0 V cada período, C é o csto fxo de fcoameto do grpo m período, C ( ) é o csto varável (combstível) do grpo e C e C são respectvamete os cstos de arraqe e paragem do grpo (spostos costates para smplfcar). Falmete, é ma varável bára (0 o ) qe dca o estado (deslgado, lgado) do grpo o tervalo. Note-se qe, devdo aos cstos de trasção, é ecessáro defr o estado cal (=0), o seja, todos os 0 (=..), ão sedo obvamete clídos os cstos varáves respectvos. s restrções são aqelas apotadas a secção 2.2, sobressado as codções fdametas 3 ode pesar-se qe, ão cosmdo, a empresa podera armazear esse combstível, mas as capacdades de armazeameto também são lmtadas, para além de exstr m csto assocado. 5
de reserva e, sobretdo, de eqlíbro etre prodção e carga: =. =. = + reserva,, s restates restrções estão essecalmete relacoadas com lmtes, pelo qe ão se jstfca represetá-las todas aq explctamete, o qe se faz apeas para os lmtes à prodção: m..,, Trata-se, portato, de m problema de optmzação ão lear com restrções, com varáves teras, de resolção exacta mpossível a partr de m certo úmero de grpos. Na secção segte, serão abordadas algmas das téccas tlzadas para obter ma solção próxma da óptma. 3. Metodologas Sem carácter exastvo, descrevem-se a segr os prcpas aspectos das metodologas mas vlgares de abordagem ao problema. Ressalta-se, desde logo, qe a emeração de todas as possíves alteratvas ão pode ser tlzada, dada a explosão combatóra assocada. Como exemplo smples, veja-se qe, com apeas 0 grpos, teríamos 2 0 - (023) combações possíves em cada tervalo; spodo apeas 24 tervalos (m da), o úmero total de alteratvas sera 023 24 (> 0 72 ). Claro qe em todas as combações são váves 4, mas sso ão chega para torar a emeração vável, excepto em sstemas de dmesão trval. 3.. Ordem de mérto O problema de escaloameto fo calmete abordado através de herístcas baseadas ma ordem de mérto, qe procravam calclar m ídce smples qe permtsse defr a ordem de etrada em servço dos grpos. Um dcador poplar, qe correspode ao csto total por dade de potêca prodzda 5, é: M C = 0 + C V ( ) Os grpos são etão escalados por ordem crescete dos respectvos M, e retrados pela ordem cotrára. defção da escala de servço parte deste prcípo, spodo os grpos à potêca máxma, e é depos mas o meos afada para ter em cota as restrções dcadas aterormete. lgmas abordages clem herístcas de aplcação local para elmar stações de paragem segda de arraqe e otras smlares, de modo a dmr o csto total. O seja, este caso ão se cosdera o modelo matemátco dcado a secção 4 5 É de esperar qe todas as combações com m úmero redzdo de grpos ão cosgam satsfazer a carga, a maor parte dos períodos. Este ídce ão deve ser cofddo com o csto varável por dade de potêca, às vezes tlzado em metodologas smplfcadas de despacho, ode o csto fxo já ão tem flêca. 6
ateror. Este tpo de abordages tem a vatagem da smplcdade, mas dexa de fora algs parâmetros mportates do problema, codzdo a solções sb-óptmas. O algortmo descrto a segr recorre aos prcípos descrtos para decdr a paragem de grpos, os períodos em qe a carga está a dmr. Nos períodos em qe a carga está a ametar, bastará aplcar a ordem de mérto para r lgado os grpos ecessáros. Herístca para qado a carga dm Seleccoar o grpo lgado qe tem maor M. Verfcar se a sa paragem permte ada almetar a carga, com sfcete reserva. Se ão for possível, mater o escaloameto e avaçar para o próxmo período. Verfcar se o úmero de horas qe decorre até ao grpo ser de ovo ecessáro é feror ao tempo mímo de paragem do grpo. Se for, mater o escaloameto e avaçar para o próxmo período. Comparar o csto de mater o grpo a fcoar (até ser de ovo ecessáro) com o csto de paragem e arraqe (tedo em cota o úmero de horas ateror). Se o prmero csto for meor, mater o escaloameto e avaçar para o próxmo período. arar o grpo e repetr o procedmeto. 3.2. rogramação dâmca tlzação da programação dâmca este tpo de problemas permte redzr mto o espaço de pesqsa, ao evtar repetções de cálclos qe ocorrem a emeração total de solções (mesmo lmtada a solções váves em cada tervalo). Salete-se, o etato, qe em sstemas de grade dmesão (mtos grpos, mtos períodos), também esta técca acaba por ão poder ser tlzada, devdo à cohecda maldção da dmesoaldade. Não sedo objectvo deste texto a descrção dos prcípos e fdametos da programação dâmca, passamos drectamete a ma das formlações possíves (pesqsa para a frete), com algmas smplfcações para permtr ma melhor exposção da metodologa. 3.2.. Estados Em cada m dos períodos, desga-se por estado cada ma das combações dos grpos, em qe s estão lgados e otros deslgados. O úmero total de combações é, como já se dsse, 2, mas em todas são admssíves, o seja, em mtas delas a potêca total dspoível ão é sfcete. Em cada m destes estados, será ecessáro dstrbr a carga total 6 pelos dversos grpos, realzado aqlo qe se desga por pré-despacho, de forma a calclar o csto de fcoameto assocado à combação em casa. O pré-despacho pode ser efectado através de ma regra baseada a ordem de mérto (dades com meor M fcoado à plea carga 7, até ser satsfeta toda a potêca ecessára) o por recrso aos cstos margas (como se faz o despacho 8 ), sem volar os lmtes das máqas. Em cada período haverá etão város estados possíves, cada m caracterzado pelos grpos qe estão lgados e por m csto total de fcoameto. 6 7 8 Nesta descrção, ão se cosderam as perdas em as restrções ao trâsto de potêcas mpostas pelos lmtes de trasmssão. Neste caso, o cálclo do ídce ão cl o csto fxo (cf. Nota 5) specto ão desevolvdo este texto. ode ser vsto em qalqer dos lvros dcados a bblografa. 7
3.2.2. Trajectóras Fgra 4 dá ma dea da stação depos de defdos os estados em cada período. odem ser defdas dversas trajectóras, cada ma correspodete à selecção de m estado em cada período, fcado assocado a cada trajectóra m csto global qe é a soma dos cstos totas de fcoameto de todos os estados e dos cstos de trasção etre cada par de estados cosectvos. O problema passa a ser ecotrar a trajectóra óptma, o seja, aqela qe apreseta o csto global mímo. Na fgra, spõem-se apeas qatro períodos 9, e represetam-se os estados váves por qadrados. s trajectóras estão represetadas por setas (de espessra dferete) qe percorrem todos os períodos. p p2 p3 p4 2 2 2 2 3 3 Fgra 4 - eríodos, estados e trajectóras Mesmo cosderado só os estados váves, o úmero total de trajectóras pode ser mto grade em problemas reas (este caso: 3x2x2x3=36), pelo qe a resolção por emeração está fora de casa. 3.2.3. Fórmla de recorrêca resolção através da programação dâmca basea-se o estabelecmeto de ma fórmla de recorrêca como a segte (pesqsa para a frete): ( j) = m[ C(, j) + T(, ) (, j) ) + F(, ) ] F, ode é o período, j o estado actal e dca aos dversos estados do período ateror. F(,j) é o csto total (desde o íco) assocado ao estado j, C(,j) é o csto total da combação j o período (depede da carga) e T represeta o csto de trasção etre os estados e (pode ser lo, se ão hover arraqes o parages). Em aplcações smplfcadas, T é smplesmete a soma dos cstos de arraqe (spostos costates) com os cstos de paragem. Na Fgra 5, mostra-se o esqema de cálclo de ( 2,) = C( 2,) + m{ F(,), [ T( 2 2) + F(,2) ], [ T( 3 2) F(,3) ]} F + otado-se qe, qado a combação de grpos escalados se matém, ão há lgar a cstos de trasção. 9 Repare-se qe o 2º e 3º períodos a carga será com certeza speror à dos otros. 8
p F T -2 =0 T 2-2 p2 C 2 F 2 2 T 3-2 F 3 Fgra 5 - Esqema do cálclo de F(2,) Note-se, por ser fote de erros, qe ão há qalqer teresse em calclar o mímo dos F(,j) m determado período, excepto se ão hover cstos de trasção, o qe ca acotece 0. 3.2.4. Resolção aplcação do prcípo da optmaldade qe é a base da programação dâmca está mplícta a forma de recorrêca. Em termos smplfcados, dr-se-á qe qalqer trajectóra, caddata a óptma, qe vá dm certo estado termédo até ao fm, terá qe ter tdo m percrso óptmo os períodos aterores. No caso da Fgra 5, por exemplo, a melhor trajectóra qe cote a partr de (2,) daq terá qe passar, o prmero período, pelo estado assocado ao mímo ecotrado. ara dar ma dea da dmção do esforço de cálclo em relação à emeração, veja-se o úmero de operações a realzar: - Calclar F para os três estados do prmero período, o seja, F(,), F(,2) e F(,3). Como é o período cal, ão há cstos do estado ateror, mas devem ser cosderados os cstos de trasção em relação à stação ateror ao estdo. - Calclar F(2,) e F(2,2). Em cada m destes dos casos, fca determado o melhor estado ateror. - Calclar F(3,) e F(3,2). Em cada m destes dos casos, fca determada a melhor sb-trajectóra ateror. - Calclar F(4,), F(4,2) e F(4,3). O meor destes valores é o csto óptmo, e fca também determada a trajectóra óptma. Como se vê, há lgar a 0 cálclos do valor de F (úmero total de estados). No caso da emeração, a avalação de cada trajectóra evolva 4 cálclos semelhates, o seja, havera qe realzar o eqvalete a 4x36=44 avalações de F. 3.2.5. Dfcldades Qado o úmero de grpos e de períodos tem dmesão real, a aplcação da programação dâmca ocasoa tempos de execção comportáves. ara além da possível tlzação de otros métodos (ver 3.3 e 3.4), pode sar-se ma versão da programação dâmca em qe se cosdera, em cada período, apeas m úmero lmtado das sb-trajectóras com meor csto, gorado-se as restates. Isto pode dmr bastate o úmero de avalações (e o tempo de execção), mas dexa de ser garatda a obteção da solção óptma. 0 Nessa hpótese, o problema sera separável por períodos, torado-se mtíssmo mas smples. 9
3.3. Relaxação lagrageaa O termo "relaxação" apota para o prcípo básco desta metodologa, qe cosste em gorar temporaramete as restrções =. =, o qe permte torar o problema separável em relação aos grpos, ma vez qe estas são as úcas restrções de lgação etre eles. O processo de resolção sa optmzação dal para r mpodo (teratvamete) restrções aos sbproblemas dos grpos, com base o gra de satsfação das restrções relaxadas, até ser ecotrada ma solção fal qe satsfaça as restrções, e qe é óptma. pesar de certa exgêca técca, esta metodologa, ao ão sofrer das lmtações da programação dâmca, tem característcas apropradas aos problemas reas. 3.3.. Modelo fdametal dervação do modelo da relaxação lagrageaa parte da expressão já mecoada C = h 0 V [ ( C + C ( ) + C.(, ) + ( )(, ). C ] = = podedo dzer-se qe estamos perate o segte problema de optmzação (gorado de mometo as restrções de reserva): m sj: C = m.. = 0.,,, ode etão escrever-se a expressão do lagrageao (admtdo qe as restrções de lmte de potêca são verfcadas a posteror: L h (, U,λ ) = C + λ. = = ode é a matrz qe reúe os, U é a matrz qe reúe os e λ é o vector dos λ. Em vez de atacar o problema prmal m L(,U,λ), a relaxação lagrageaa resolve o problema dal, começado por defr-se: e chegado-se ao óptmo através de: q( λ ) = m L(,, λ ) q, U 0 () λ = q() λ λ 0.
metodologa da relaxação cosste em resolver teratvamete o problema, partdo de m valor cal para o vector λ, o qe permte smplfcar o cálclo de q(λ), como se verá. actalzação de λ (por exemplo através do gradete) permte etão avaçar a drecção do óptmo. ara se compreeder a alteração o cálclo de q(λ) qado λ é fxado, cosdere-se a expressão completa de L, ode C é a fção csto total (C 0 +C V ) da máqa : L = h h [ ( ( ) ( ) ( )( ) ] C + C., +,.C + λ. = = Reestrtrado a expressão, obtém-se, scessvamete, L = = = h h [ ( C( ) + C. (, ) + ( )(, ).C ] λ. + = = = =. λ. e L = h h [ ( ( ) ( ) ( )( ) ] C λ + C., +,.C + = = = λ. O poto essecal é qe, qado λ é fxado, a prmera parcela é separável para cada máqa, eqato qe a segda é costate, ão tedo portato terferêca a mmzação de L. Tem-se assm, para q(λ) : q(λ ) = m, U L(,, λ ) = h m [ ( C ( ) λ + C.(, ) + ( )(, ).C ] =, = ode é o vector qe reúe os (=..h) e reúe os (=..h). 3.3.2. Sbproblemas partr da últma expressão, é etão possível defr sbproblemas para cada grpo, ode voltam a ser cosderados os lmtes de prodção. O seja, para cada grpo, terá qe se resolver: m, h [ ( C( ) λ + C. (, ) + ( )(, ).C ] = sj :. m., O resltado da resolção de cada m destes sbproblemas é, fdametalmete, o escaloameto da máqa os dversos períodos (o seja, o vector ) em face dos valores propostos para os λ respectvos. Natralmete, também é determado o prédespacho codcoal para cada período (os ) sem tlzação posteror. Note-se a versão dos somatóros, qe realça a separabldade por grpo.
resolção dos sbproblemas é feta, em geral, por programação dâmca, beefcadose do facto de, em cada período, haver apeas dos estados para o grpo, como se mostra a Fgra 6, ode se spõe qe, calmete, o grpo estava deslgado. = =0 = =2 =3 =0 Fgra 6 - Dagrama de estados para m sbproblema ( 0 =0) O desevolvmeto do processo é portato bastate fácl, otado-se qe o csto própro de todos os estados da lha de baxo (grpo deslgado) é C 0 =0. No qe respeta aos estados da lha de cma (grpo lgado), o csto própro é o qe correspode a. m o 2 d C ( ) { C ( ) λ } d λ = obtém-se m valor de qe deve ser sjeto, posterormete, às restrções de lmte de potêca. Tem-se etão, para o sbproblema: m { C ( ) λ } C = C C m ( ) ( ) ( ) λ λ λ partr daq, o processo sege como habtalmete a programação dâmca, tedo qe ser adcoados os cstos de trasção. 3.3.3. rocesso teratvo Como se dsse, o processo começa pela defção de m valor cal para os cstos margas, λ 0 (por exemplo λ 0 =0), com o qal se resolvem os sbproblemas, obtedo-se o escaloameto (todos os ). É possível etão fazer o despacho em cada período, do qal resltam as prodções corrgdas ', podedo calclar-se o correspodete csto total, com a expressão já cohecda: 0 m,,, m m C 0 = h ' [ ( C( ) + C. (, ) + ( )(, ).C ] = = 2 Note-se qe os λ podem ser terpretados como os preços a qe sera paga a eerga prodzda. 2
Se o processo de optmzação segr o método do gradete, o próxmo passo é calclar a dervada de q(λ) 3 : d q( λ ) d = dλ dλ h h [ ( C ( ) λ + C.(, ) + ( )(, ).C ] + = = = λ. e d q( λ ) dλ = = (. ), o seja, o valor da dervada é smplesmete o défce (o excesso) de carga em cada período. actalzação de λ faz-se etão através de: r λ + r dq( λ ) = λ + α dλ sedo α m factor de cotrolo do passo do método, qe tem qe ser stozado caso a caso 4, e r o cotador de terações. Os ovos valores dos cstos margas permtem recomeçar o processo, sedo de otar a terpretação segte: os períodos com défce de carga, a dervada é postva, pelo qe o respectvo λ ameta, levado a qe apareçam mas grpos a prodzr (cf. Nota 2). Iversamete, os períodos com excesso de prodção, a dervada egatva faz dmr o úmero de grpos escalados. O seja, o processo de relaxação lagrageaa, embora desevolvdo para optmzar a gestão cetralzada, reprodz de certa maera o fcoameto de m mercado em qe cada prodtor se propõe prodzr mas o meos, cosoate os preços qe o mercado lhe oferece. or otro lado, os preços sobem o descem de acordo com a varação da oferta (este caso a procra é fxa, o elástca em relação aos preços), tededo-se para m eqlíbro qe costtrá a solção óptma em ambos os casos. Repare-se qe sera possível clr o modelo cargas varáves com o preço, de forma semelhate à qe se desevolve para os prodtores, mas com crvas em qe a procra decresce com o preço (p.ex. (λ )= -.λ ). Dessa forma, reprodzr-se-a completamete a stação de mercado. 3.3.4. Covergêca Deleado o processo teratvo, resta defr o crtéro de covergêca. ara tal, começamos por defr o tervalo dal (dal gap) em cada teração r (excepto a prmera, ode ormalmete q=0): r C q g = r q r evolção do tervalo dal permte avalar a proxmdade da solção óptma, ode, em 3 4 Note-se qe λ é m vector. Mtas vezes, sam-se valores dferetes para o caso de dervada postva e egatva (meor este caso). 3
prcípo, ele se alara. No etato, em problemas com varáves teras, tal ca scede exactamete, pelo qe podemos assstr a stações em qe o prologameto do processo teratvo provoca m ovo afastameto do óptmo. Daí qe teham mportâca os processos de estmação do valor do tervalo dal, realzados ates de car o processo teratvo, e dspesáves para o cotrolo da covergêca em problemas de dmesão real. Trata-se, o etato, de matéra qe trascede o carácter trodtóro deste texto, pelo qe ão será desevolvdo. 3.4. Métodos recetes emergêca de métodos de cálclo para problemas combatóros baseados em meta- -herístcas (smlated aealg, tab search) e comptação evolcoára (algortmos geétcos, programação evolcoára) ocasoo aplcações ovadoras ao problema de escaloameto. Os resltados apresetados a lteratra são bastate ecorajadores, sedo de esperar o desevolvmeto desta lha de abordagem os próxmos aos. 4. Coordeação hdro-térmca Uma últma referêca para a cosderação dos grpos hídrcos, ma vez qe a descrção qe se fez, correspodete aos modelos mas vlgarzados, se refere camete aos grpos térmcos. Normalmete, é realzado m pré-despacho separado para o sb-sstema hídrco, ode são tdas em cota as prevsões de aflêcas e as restrções própras dos sstemas hdroeléctrcos e são fxados valores fas para os volmes armazeados as albferas, decorretes de estdos eergétcos a logo prazo. atreza dâmca do problema geral de escaloameto, e as relações etre os sb-sstemas térmco e hídrco, partclarmete o qe respeta à bombagem, têm levado, o etato, a ma tetatva de tegração em modelos completos (coordeação hdro-térmca), ão abordada este texto. 5. Bblografa Bertseas, D., Costraed Optmzato ad Lagrage Mltpler Methods, thea Scetfc, 996. Bra, H., "Ut Commtmet ad Thermal Optmzato - roblem Statemet", Optmzato lag ad Operato of Electrc ower Systems, SVOR/SRO, Th, 992. Cheg, C-, L, C-W, L, C-C, "Ut Commtmet by Lagraga Relaxato ad Geetc lgorthms", IEEE Tras. ower Systems, Vol.5, No.2, 2000. Grager, J., Steveso W., ower Systems alyss, McGraw-Hll, 994. Matos, M., Eqadrameto do problema de despacho óptmo, (Nota para a dscpla de álse de Sstemas Eléctrcos I), FEU, 996. Slva, J.L., ré-despacho optmzado em sstemas prodtores hdrotérmcos com elevada compoete hídrca, Dssertação de dotorameto, FEU, 985. Sterlg, M.J., ower System Cotrol, IEE, Lodo, 978. Wood,.J, Wolleberg, B.F., ower Geerato, Operato ad Cotrol, Joh Wley, 996. 4