Testes à Estabilidade dos Parâmetros de um Modelo de Regressão: Uma Aplicação Especial dos Regressores Dummy

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1 R EVISTA DE E STATÍSTICA 4ª P A GINA º QUADRIMESTRE DE Testes à Establdade dos Parâmetros de m Modelo de Regressão: Uma Aplcação Especal dos Regressores Dmm Atores: Patríca Oom do Valle

2 Efgéo Rebelo VOLUME III º QUADRIMESTRE DE

3 R EVISTA DE E STATÍSTICA 4ª P A GINA º QUADRIMESTRE DE TESTES À ESTABILIDADE DOS PARÂMETROS DE UM MODELO DE REGRESSÃO: UMA APLICAÇÃO ESPECIAL DOS REGRESSORES DUMMY TESTING STABILITY OF REGRESSION COEFFICIENTS: A SPECIAL APPLICATION OF DUMMY VARIABLES Atores: Patríca Oom do Valle - Assstete da Facldade de Ecooma da Uversdade do Algarve; Área Cetífca de Métodos Qattatvos. Efgéo Rebelo - Professor Assocado da Facldade de Ecooma da Uversdade do Algarve; Área Cetífca de Métodos Qattatvos. RESUMO: O objectvo deste trabalho é dsctr e comparar etre s das metodologas qe permtem testar se os parâmetros de m modelo de regressão são o ão dferetes etre das o mas sb-amostras: o teste tradcoal de Chow e a técca das varáves dmm. Em partclar, demostra-se aaltcamete qe a técca das varáves dmm sbstt de forma mto efcaz o teste de Chow, apresetado até algmas vatages relatvamete a este teste. PALAVRAS-CHAVE: Regressão lear, varáves dmm, teste de Chow. ABSTRACT: Ths std vestgates ad compares two methods that look to test f parameters of a lear regresso model dffer betwee two or more sb-samples: the classc Chow test ad the dmm varables techqe. More specfcall, ths paper aaltcall shows that the latter approach replaces ver effcetl ad wth mportat advatages the Chow test. KEY-WORDS: Lear regresso, dmm varables, Chow test.

4 VOLUME III º QUADRIMESTRE DE

5 R EVISTA DE E STATÍSTICA 45ª P A GINA º QUADRIMESTRE DE. INTRODUÇÃO A ecessdade de testar a hpótese de qe parte o a totaldade dos coefcetes de ma eqação de regressão permaece estável para sbcojtos de observações de ma amostra coloca-se, qer o estdo em casa seja do tpo croológco o do tpo seccoal. Na prmera stação, os sbcojtos de observações dzem respeto a períodos de tempo dferetes e, o segdo caso, referem-se a grpos de dvídos qe dferem em algma característca qaltatva (classe socal, grpo etáro, sexo, formação escolar, etc.). Um bom exemplo do qe se refer é a modelação da relação etre popaça e redmeto dspoível. De facto, pode ter teresse verfcar se a propesão margal a popar apreseta algma mtação de valor qado se trasta de m período de recessão ecoómca para m período de prosperdade (estdo croológco) o se a referda propesão margal vara cosoate as famílas qe costtem ma determada amostra sejam cosderadas de classe alta o de classe baxa (estdo seccoal). Ica-se esta aálse com ma descrção smára do teste de Chow (96) à galdade dos parâmetros de m modelo de regressão etre das sb-amostras. As otações qe serão tlzadas este estdo para defr os város vectores, matrzes, parâmetros, estmadores e estatístcas evolvdos a exposção dferem, em geral, das defdas orgalmete pelos atores abordados. Isto aplca-se ão só ao teste de Chow (96) mas também a todos os restates testes qe forem apresetados. O objectvo deste estdo é sstematzar os cotrbtos de atores como Gjarat (97), Valete e Erlat (978; 985) o so de regressores dmm a realzação de testes à establdade dos parâmetros de m modelo de regressão e apresetar as demostrações matemátcas em geral mto abrevadas os papers orgas qe sstetam a eqvalêca etre este método e os clásscos testes de Chow. Desta aálse comparatva resltará ma sítese das prcpas vatages da abordagem segdo as varáves dmm em relação à metodologa tradcoal de Chow para testar varações os parâmetros de m modelo.. TESTE DE CHOW QUANDO k< (,). DUAS SUB-AMOSTRAS Como eqadrameto ecessáro à exposção qe se pretede efectar, cosdere-se a exstêca de dos cojtos depedetes de observações de dmesão e, respectvamete. Sejam () e () as eqações de regressão correspodetes L + () (k ) (k),,..., L + (k ) (k ) + +, +,..., ()

6 em qe o ídce. detfca as observações e parâmetros relatvos ao prmero grpo e o ídce. as observações e parâmetros assocados ao segdo grpo. Observe qe os modelos () e () podem expressar-se a forma matrcal como + () ode : vector de observações da varável depedete (,) : matrz de observações dos k regressores (cldo a varável assocada ao termo depedete (,) : matrz la to tpo ( k) (,) : vector de k parâmetros relatvos ao -ésmo grpo de observações (,) : vector de varáves resdas (,) A aplcação do teste de Chow reqer a verfcação smltâea de dos cojtos de presspostos: ) ~ N(, σ I ) e ~ N(, σ I ) ; ) r ( ) k < (,) em qe o símbolo r represeta a característca da matrz. A hpótese de galdade dos parâmetros das das poplações de ode foram extraídas as das sb-amostras pode ser formalzada como se sege H :... (k) (k) o, mas smplesmete, H. : Segdo Chow, se esta hpótese ão for rejetada, o procedmeto mas adeqado será rer os dos cojtos de dados e tlzá-los para estmar ma úca eqação de regressão, a saber: +. (4) VOLUME III º QUADRIMESTRE DE

7 R EVISTA DE E STATÍSTICA 47ª P A GINA º QUADRIMESTRE DE Caso cotráro, as das eqações de regressão separadas () e () deverão ser ajstadas para cada ma das sb-amostras. Desge-se () como regressão ão restrta e (4) como regressão restrta. A realzação do teste de Chow pode stetzar-se as qatro etapas qe segtes: () Rer todas as observações ( + ) e estmar o modelo restrto (4). Seja S o S.Q.R. com + k gras de lberdade resltate desse processo de ajstameto; () Estmar em separado cada m dos modelos de regressão () e () e detfcar os respectvos somatóros dos qadrados dos resídos (S.Q.R). Seja S o S.Q.R. com k gras de lberdade do modelo () e S a SQR com k gras de lberdade do modelo (). De segda, adcoar S e S para obter S4 com + k gras de lberdade; () Determar S5 S S4 com ( + k ) ( + k) k gras de lberdade; (4) Aplcar a estatístca S / k F 5 S /( + k) (5) 4 qe sob a hpótese la sege ma dstrbção de F com k e + k gras de lberdade. Se F > F crítco, a hpótese la de galdade das das eqações de regressão é rejetada. Na sa aálse, Chow recohece também a mportâca de exstr m teste estatístco qe possblte a comparação de apeas parte dos coefcetes dos dos modelos de regressão. Assm, spoha-se qe poss formação qe permte assegrar qe algm o algs dos parâmetros das das eqações de regressão são efectvamete dferetes, de tal modo qe apeas teressa testar se os restates coefcetes dos dos modelos apresetam dfereças etre s. Os parâmetros cjo valor os dos modelos se assme à pror ser dferete serão detfcados através do ídce a e os demas coefcetes cja galdade se pretede medate a afectação do ídce b. Sejam (6) e (7) as respectvas eqações de regressão a forma matrcal + (6) a a + b b + (7) a a + b b o, de forma eqvalete,

8 a a b b a a b b + (8) ode em a : vector de observações da varável depedete (,) a : matrz de observações dos p regressores cjos parâmetros correspodetes são à pror ão costates os dos modelos (,) b : matrz de observações dos q regressores ( q k p ) cja establdade dos parâmetros correspodetes pretedemos testar (,) : matrz la ( p) (,) : matrz la ( q) (,) a : vector de p parâmetros relatvos ao prmero grpo de observações cjo coteúdo se sabe ser dferete do de a (vector de parâmetros relatvos ao segdo grpo) b : vector de q parâmetros relatvos ao prmero grpo de observações cjo coteúdo se pretede verfcar se é o ão gal ao do correspodete vector assocado ao segdo grpo, b : vector de varáves resdas (,) Os regressores cotdos em a podem o ão ser dferetes dos qe costam. Para ma maor facldade a exposção, assma-se qe esses regressores são dêtcos os dos modelos e qe o se úmero é p. Por hpótese, assma-se também qe se cohece à partda qe os coefcetes dessas varáves dferem os dos modelos, pelo qe apeas mporta saber se os parâmetros assocados às varáves cotdas em b e b são o ão gas. Nesta crcstâca, a hpótese la a esaar é, atralmete: H :. b b b VOLUME III º QUADRIMESTRE DE

9 R EVISTA DE E STATÍSTICA 49ª P A GINA º QUADRIMESTRE DE Se H ão for rejetada, o segte modelo com todas as observações deverá ser estmado: a a b b a a b +. (9) Como demostra Chow, a estatístca com dstrbção F, sob H, com base a qal será realzado o teste é: S / q F 5 S /( + k). () 4 À semelhaça do qe se dsse relatvamete à estatístca (5), S 4 represeta a adção dos S.Q.R. resltates do ajstameto em separado dos modelos (6) e (7) e a dfereça etre o S.Q.R. da relação (9) e gras de lberdade. S 4. A estatístca () tem q e + S 5 k. TESTE DE GUJARATI QUANDO k< (,). DUAS SUB- AMOSTRAS Gjarat (97) revela em qe medda a especfcação de m modelo de regressão com varáves dmm costt ma técca alteratva ao teste de Chow como forma de verfcar se os coefcetes de m modelo de regressão dferem sgfcatvamete etre das sb-amostras. A mportâca da aplcabldade dos regressores dmm este cotexto, é sblhada posterormete por Maddala (99), Erlat (985), Darell (994) e Dfor (98), etre otros. Todava, ehm destes atores apreseta as demostrações matemátcas completas qe sstetam a eqvalêca das das abordages. Para torar clara a smltde etre as das téccas, cosdere-se ovamete os modelos de regressão () e () cjos parâmetros pretedemos comparar. Os S.Q.R. ecessáros à costrção do teste estatístco à galdade dos parâmetros das das eqações de regressão podem ser obtdos através da estmação do segte modelo com regressores dmm a partr da totaldade das observações ( + )

10 + ( + ( (k) + )D + ( (k) + )(D (k) + L+ )(D ) + (k) ) + ( (k) + ;,,..., ; )(D ) ~ IIN(, σ ) () em qe D,,,...,, +,..., o, de forma eqvalete, + γ D + + γ ;,,..., (D ; + ) + γ + L+ (D ~ IIN(, σ (k) ) γ ) (k) + (k) (D (k) ) + ; () ode γ (,,,...,k ). Admtdo qe as observações relatvas ao prmero grpo são scrtas em prmero lgar, é fácl perceber qe () pode expressar-se em otação matrcal como se sege + γ () em qe γ. Portato, a hpótese la qe formlada a propósto do teste de Chow, H :, pode ser represetada em fção de γ. Na verdade, se etão, o qe correspode a H : γ, em qe represeta m vector lo com k elemetos. Qer dzer, o teste de Chow ecotra correspodêca o modelo de regressão com varáves dmm () m teste de sgfcâca cojta aos coefcetes γ (,,,...,k ). Uma vez qe o qe se pretede é testar a sgfcâca cojta de k parâmetros, a estatístca qe permte codzr este teste é r r g F ~ F (g,t) (4) ( T) H : γ,, em qe é o S.Q.R. do modelo () e r r o S.Q.R. deste modelo ma vez mposta a restrção γ. g represeta o úmero de parâmetros cja sgfcâca VOLUME III º QUADRIMESTRE DE

11 R EVISTA DE E STATÍSTICA 5ª P A GINA º QUADRIMESTRE DE pretedemos testar, sto é, g k e T represeta o úmero de regressores do modelo, o seja, T k. Portato, a estatístca (4) pode expressar-se da segte forma r r k F ~ F (k,+ k) (5) ( + k) H : γ Para demostrar qe a estatístca (5) cocde com a apresetada em (5) para realzar o teste de Chow, mporta, ma prmera fase, determar o vector de E.M.Q.O. do modelo (). Assm, aplcado a fórmla tradcoal para estes estmadores, ( ), vem, após a tlzação de algma álgebra matrcal: ( ) ( ). (6) A observação da expressão (6) ão dexa dúvdas de qe a combação das das eqações () e () em () ão tem coseqêcas ao ível dos parâmetros estmados, sto é, ao fazer correr a regressão () chega-se exactamete às mesmas estmatvas para os város coefcetes qe se obteram a partr do ajstameto de cada eqação per s. Como se demostrará, este procedmeto de combar os dos modelos revela-se útl a aálse qe se sege. Para determar a expressão qe defe o vector de E.M.Q.O. do modelo (), pode aplcar-se também a fórmla ( ). Neste caso, obter-se-á: γ ( ) ( ) ( ) (7) o, atededo a (6) γ. (8)

12 VOLUME III º QUADRIMESTRE DE Coseqetemete, o vector dos resídos do modelo () defe-se como (9) e, é dado pelo qadrado da orma de + ) (k ) (k ) (k ) (k + L L () S + S S 4 tedo em ateção a segda etapa do teste de Chow acma descrta. Por se tro, para se ecotrar a fórmla qe tradz r, r, é sfcete mpor a restrção γ o modelo (). Este trasforma-se etão o modelo (4) cjo vector de E.M.Q.O. é dado smplesmete por ) ( e, relatvamete ao qal, o vector de resídos se defe como r r. () Em resltado, r, r ) (k ) (k r r L () S cosderado agora à prmera etapa do teste de Chow.

13 R EVISTA DE E STATÍSTICA 5ª P A GINA º QUADRIMESTRE DE As galdades () e () possbltam qe se expresse a estatístca (5) da segte forma F S 4 ( S S ) ( 4 + k ~ F k) (k,+ k) H : γ o, atededo ao tercero passo do teste de Chow, F S k 5 ~ F(k, + k) S4 ( + k) () H : γ o qe comprova a eqvalêca etre o teste de Chow e o teste das varáves dmm à establdade dos coefcetes de dos modelos de regressão. Smlarmete, o teste de Chow à galdade de apeas parte dos coefcetes de regressão de dos modelos apresetado em () pode também ser codzdo de ma forma mto smples através da especfcação da eqação de regressão adeqada com varáves dmm. Neste eqadrameto, para esaar a hpótese la H : b b b a relação (9) através do método das varáves dmm, a segte eqação de regressão deverá ser estmada a partr da totaldade das observações a a b b b γ a a b + (4) em qe γ é do tpo ( q ). b b A valdade da hpótese la em casa pode ser testada medate a realzação de m teste de sgfcâca aos coefcetes qe costtem o vector γ. A demostração de qe a estatístca ecessára à realzação deste teste cocde com a apresetada em () o cotexto do teste de Chow é faclmete dedzível medate o mesmo racocío qe tlzado para provar a galdade dos rácos (5) e (5). Esta demostração ão será, portato, apresetada.

14 4. TESTE DE CHOW QUANDO k. DUAS SUB-AMOSTRAS No íco da exposção do teste de Chow, refer-se qe m dos presspostos ecessáros à sa aplcação era qe o úmero de observações em cada sb-amostra fosse de ser sfcete para permtr a estmação de cada ma das eqações de regressão em separado, sto é, r () k < e r ( ) k <. Efectvamete, só sob a verfcação desta codção é possível determar os S.Q.R. de cada m dos modelos, elemetos fdametas para a costrção do teste. Chow (96) sgere qe otro teste seja tlzado qado ma das sb-amostras ão poss o úmero de observações ecessáro ao ajstameto do modelo de regressão correspodete. Admta-se qe a sb-amostra estas codções é a segda, sto é, ( ) k e qe se pretede testar a galdade dos parâmetros dos r modelos () e (). Este teste desga-se por teste de prevsão (ex-post). Esta desgação reslta da forma como é codzdo o teste: estede-se o período de estmação cal (com base apeas em observações) ao período de prevsão (sado também as restates observações) e testa-se se os erros de prevsão são em méda los; Isto é, testa-se a sgfcâca dos erros de prevsão. A desgação expost reslta do facto de ão se tratar de ma verdadera prevsão, o prevsão ex-ate, ma vez qe os valores de são cohecdos para o período de prevsão. A seqêca adeqada de procedmetos, por forma a realzar o teste, é a segte: () Determar o S.Q.R. resltate da regressão apeas com as observações. Desge-se por S este S.Q.R., o qal terá, obvamete, k gras de lberdade; () Rer todas as observações ( + ) para voltar a estmar o mesmo modelo de regressão. Seja S o S.Q.R. com + kgras de lberdade qe reslta desta regressão. Esta é cosderada a versão restrta do modelo já qe obrga os parâmetros a assmrem o mesmo valor o período correspodete a ; () Determar Sd S S com ( + k ) ( k) gras de lberdade; (4) Aplcar a estatístca: F Sd (5) S ( k) qe sob a hpótese la gras de lberdade. H : sege ma dstrbção F com e k VOLUME III º QUADRIMESTRE DE

15 R EVISTA DE E STATÍSTICA 55ª P A GINA º QUADRIMESTRE DE Chow demostra qe se a hpótese a testar for H : b b, o cotexto das eqações de regressão (6) e (7) em qe parte dos parâmetros é varável à pror, a estatístca com base a qal deverá ser codzdo o teste de prevsão é F Sd ( k + q) (6) S, ( k), com dstrbção F com k + q e k gras de lberdade sob H. represeta o S.Q.R. qe reslta da estmação do prmero modelo, (7), e a dfereça etre o S.Q.R. da eqação de regressão (9) e S,. S, S, d represeta 5. TESTES DE VALENTINE E ERLAT (978) QUANDO k. DUAS SUB- AMOSTRAS Assm como o prmero teste de Chow descrto pode ser realzado va estmação de m modelo de regressão lear com regressores dmm, o teste de prevsão pode galmete ser codzdo através da defção deste tpo de regressores. A formlação do teste de prevsão de Chow através de varáves dmm é da atora de Valete (97) para a stação em qe se pretede testar se todos os parâmetros do modelo relatvos às das sb-amostras apresetam dfereças etre s. Posterormete, as sas coclsões foram geeralzadas por Erlat (978) ao caso em qe se admte à partda qe algm o algs dos coefcetes são efectvamete dferetes etre as eqações de regressão relatvas às das poplações. Nesta secção serão apresetadas as demostrações matemátcas qe evdecam a correspodêca etre o segdo teste de Chow e o teste à establdade dos parâmetros sado regressores dmm. Assm, cosdere-se ovamete os modelos () e (), represetados a forma matrcal como: + em qe ~ N(, σ I ) e ~ N(, σ I ). Admta-se qe r( ) k < e r( ) k.

16 Valete demostra qe, estas codções, o modelo com varáves dmm defdo em () ão pode ser estmado. De facto, é possível expressar o modelo () a forma eqvalete: + γ+ (7) o ada como: + D γ+ ; ~ N(, I ). (8) σ Em termos geras, os E.M.Q.O. para dados pelas expressões e γ de m modelo do tpo (8) são ( M ) M (9) D D γ ( D D) D () ode qe M D I D D D D. Cotdo, a matrz é do tpo ( k), de tal forma r ( ) k. Nestas codções, D ão é vertível se < k. D Por forma a solcoar este problema, Valete sgere qe se elme o excesso de varáves do modelo (7) e qe se basee o teste de permaêca de estrtra o modelo resltate. Nesta coformdade, demostra-se segdamete qe a estatístca qe permte realzar o teste detfca-se com o ráco F (5) do teste de prevsão de Chow. De acordo com Valete, k colas da matrz D devem ser desprezadas o processo de estmação. Uma vez efectado este corte, a matrz fca com ma estrtra do tpo ( ) e, coseqetemete, a matrz D D tora-se reglar e e γ são determáves através das fórmlas (9) e (). Desge-se por ( ) e D( ), respectvamete, as matrzes e D após a realzação do referdo corte. Note qe, ao se redzr o úmero de varáves do modelo dm-se também o úmero de parâmetros cotdos em γ. Este vector, qe se passa a desgar por γ, é agora do tpo ( ). Demostra-se em apêdce qe os vectores são dados pelas segtes expressões: e γ ( ) () VOLUME III º QUADRIMESTRE DE

17 R EVISTA DE E STATÍSTICA 57ª P A GINA º QUADRIMESTRE DE γ ( ). () Os resídos desta regressão defem-se portato como: ( ) () em qe é ma matrz la ( ) e é m vector lo com elemetos. A hpótese la de galdade dos parâmetros dos dos modelos, formlada como H : γ, pode ser testada através da aplcação da estatístca apresetada em,, (4). Neste caso, é o S.Q.R. do modelo (7), após o corte de varáves, e r r o S.Q.R. deste modelo ma vez mposta a restrção γ. Uma vez qe γ é ( ), o úmero de parâmetros cja sgfcâca se pretede testar é, sto é, g. Por sa vez, o valor de T o ráco (4) é agora dado por k +, atededo a qe é ( k) e D é ( ). Portato, para o caso cocreto em aálse, a estatístca (4) defe-se como: r r F ~ F ( + k ) r r ( k) ~ F (,k) (,k) H : γ H : γ (4) A partr de (), é fácl coclr qe cocde com o S.Q.R. resltate da aplcação do método dos mímos qadrados ordáros a (), sto é, correspode a S do teste de prevsão de Chow (Vde a segda etapa do teste de Chow). Por sa vez, sob H, o modelo (7), pós o corte de varáves, redz-se ao modelo (4), cja estmação,

18 prodz m S.Q.R. gal a S do teste de prevsão de Chow (Vde a segda etapa deste teste). Assm, a estatístca (4) pode escrever-se como: F ( S S ) S ( k) ~ F (,k) H : γ Fca deste modo demostrado em qe medda a especfcação de m modelo de regressão lear com varáves dmm, e o se ajstameto segdo a sgestão de Valete, codz à mesma estatístca do teste de prevsão de Chow. Erlat (978), parte da aálse de Valete e geeralza-a à stação em qe se cohece à partda qe ma parcela dos coefcetes dos dos modelos é efectvamete dstta. Nesta caso, as eqações de regressão (6) e (7), em qe < k, podem ser tlzadas para se expor o cotrbto de Erlat. Pelo mesmo processo descrto acma, mostra-se qe a matrz de varáves explcatvas do modelo (4) ão é reglar e, por sso, a técca de Gjarat (97) ão é aplcável. O prmero procedmeto a adoptar para qe seja possível tlzar m modelo com varáves dmm para obter os mesmos resltados qe o teste de prevsão de Chow e, em partclar, a estatístca (6), cosste em escrever o modelo (4) a forma eqvalete: b b a b a + a b γ a +. (5) Segdamete, p + q colas de deverão ser elmadas de modo a b qe os estmadores para qe os város parâmetros do modelo resltate sejam determáves através das fórmlas (9) e (). Desge-se as matrzes b, e b resltates deste corte, por b, e a, respectvamete. Seja b b V também γ o vector de coefcetes qe reslta da spressão de p + q parâmetros de γ. Note-se qe γ é do tpo ( p) e a é ( p ). Logo, γ a é ( ). É mportate ter presete qe b é ( ( p)), V é ( ) e é V ( ) em qe é ma matrz la do tpo ( ). Como observa Erlat (978), testar ma mdaça de estrtra a stação em aálse, codz exactamete aos mesmos procedmetos qe Valete propõe a sa abordagem. De facto, p q k, o qe sgfca qe ão exste qalqer dfereça a aplcação do + VOLUME III º QUADRIMESTRE DE

19 R EVISTA DE E STATÍSTICA 59ª P A GINA º QUADRIMESTRE DE método de Valete qado se passa de ma stação em qe se pretede testar a possbldade de todos os parâmetros vararem para o eqadrameto mas geral, qe caracterza a aálse de Erlat. Na presete stação, pode demostrar-se qe a fórmla () prodz o segte resltado (a demostração ecotra-se em apêdce) γ a V b b (6) pelo qe o vector de resídos é dado por a b b a a b b b a V V b b (7) ode, mas ma vez, represeta m vector lo com elemetos. Neste caso, a estatístca aproprada para testar H é: r r ( k + q) F ~ F ( k+ q, k) (8) ( k) H : γ De facto, pretede-se testar a sgfcâca cojta de p (k q) k + q coefcetes e o úmero de gras de lberdade do modelo (5), ma vez efectado o corte de varáves, é ( + ) (q + p + ) q p k. Em (8), regressão (5), após a redção de varáves, e r r represeta o S.Q.R. da o S.Q.R. dessa regressão ma vez mposta a restrção, γ. Como (7) dexa claro,. Assm, a estatístca (8) cocde com a apresetada em (6) o âmbto do teste de prevsão de Chow.

20 6. GENERALIZAÇÃO A TRÊS SUB-AMOSTRAS Já se demostro qe a técca das varáves dmm pode ser tlzada em alteratva ao teste de Chow como forma de verfcar se os parâmetros de ma eqação de regressão apresetam o ão dfereças etre das sb-amostras. Obvamete, qalqer ma destas téccas pode ser geeralzada ao caso em qe exstem mas do qe dos cojtos de observações cja galdade dos parâmetros o modelo de regressão se pretede verfcar. Segdamete, aalsa-se de qe forma a técca das varáves dmm é aplcável ma stação em qe se pretede testar a galdade dos parâmetros de m modelo de regressão etre três sb-amostras. Assm, cosdere-se três modelos de regressão, m para cada grpo de observações, a forma matrcal a a a b b b a a a b b b + (9) em qe, a, b, a, b,, e são os vectores/matrzes já defdos cosderado agora,,. Comece por admtr qe > k,. Segdo a técca de Gjarat (97), para testar se as três eqações de regressão são o ão gas, deve especfcar-se o segte modelo com regressores dmm e estmá-lo a partr de todas as observações a a a b b b b b γ γ a a a b + (4) VOLUME III º QUADRIMESTRE DE

21 R EVISTA DE E STATÍSTICA 6ª P A GINA º QUADRIMESTRE DE em qe γ b b e γ b b. Observe qe as varáves dmm D D, +, +,..., +, caso cotráro, + +, + +,...,, caso cotráro estão a base da formlação (4). De facto, os dos últmos cojtos de colas da matrz de regressores do modelo (4) resltam do prodto das varáves dmm D e D pelas varáves qattatvas cotdas em b. A hpótese la de permaêca de estrtra, pode ser formalzada como H : b b b b e a estatístca qe permte testar a sa valdade é: r r q F ~ F. (4) (q, ( qp)) ( p q) H No presete caso, o úmero de parâmetros cja sgfcâca cojta se pretede testar é q (ma vez qe qer γ qer γ são do tpo ( q ) ) e T + + p q ( p q). r r o S.Q.R. da regressão (4) sob H : γ γ. é o S.Q.R. da regressão () e Erlat (985), geeralza o cotrbto de Valete e a sa própra aálse de 978, ao caso em qe ma das três sb-amostras ão poss observações em úmero sfcete. Admtdo qe a amostra estas codções é a tercera, sto é, r( ) k, Erlat sgere qe se escreva a eqação de regressão (4) a forma eqvalete b b b a a b a a + b a b γ γ a + (4) em qe γ e γ são vectores de parâmetros do tpo ( q ).

22 Erlat propõe qe se retrem q + p colas de por forma a qe b fqe do tpo ( p)). Desge-se a matrz resltate desta spressão de b ( colas como e também V [ a b ] em qe V é ( ). Seja γ o b vector (( p) ) qe decorre do corte de q + p parâmetros de γ. Após algmas smplfcações matemátcas, demostra-se qe b γ (4) b γ a V b b (44) o qe sgfca qe os resídos da regressão (4), após o corte de varáves, são dados por b b b a a b a a a a a + a b b b b b V V b ( ) b b b (45) em qe, são matrzes las do tpo ( ( ) com, e lo com elemetos. é m vector VOLUME III º QUADRIMESTRE DE

23 R EVISTA DE E STATÍSTICA 6ª P A GINA º QUADRIMESTRE DE A estatístca adeqada para testar H, defe-se agora como: r r (q + p) F ~ F. (46) (q+ p, ( qp)) ( q p) H Nesta stação, g q + p dado qe γ é do tpo ( q ) e γ do tpo (( p) ).Por sa vez, T + + (q + p + q + p + p) + q p ( q p). costatar, é o S.Q.R. da regressão (4), após o corte de varáves. Como (45) permte, restrção H : γ γ. r e, por se tro, r é o S.Q.R. dessa regressão sob a Qalqer ma das stações evolvedo três sb-amostras pode faclmete ser adaptada para lstrar os procedmetos qe devem ser adoptados qado se pretede testar a hpótese de qe todos os parâmetros do modelo varam etre os três cojtos de observações. Neste caso, deve cosderar-se a relação de regressão evdecada em (9) mas assmdo agora qe os vectores de observações relatvos aos regressores cotdos em a, a e a ão exstem. Tdo o qe se dsse relatvamete à forma de testar a establdade dos parâmetros dos modelos em (9) sera agora váldo cosderado, obvamete p, razão porqe ão se apreseta o desevolvmeto dos referdos procedmetos. 7. CONSIDERAÇÕES FINAIS A aálse precedete permte detfcar algmas das vatages qe a técca das varáves dmm apreseta relatvamete aos testes de Chow. Em prmero lgar, a aplcação do prmero teste de Chow apeas permte testar se parte o a totaldade dos parâmetros do modelo de regressão dferem o ão etre dos cojtos de observações, medate a ão rejeção o a rejeção da hpótese la. Qer dzer, a tlzação deste teste ão especfca em qe parâmetros se cosbstaca a

24 varabldade, o caso da hpótese la ser rejetada. Pelo cotráro, medate a especfcação de ma eqação de regressão com varáves dmm é sempre possível saber, através da realzação de testes t o F, qal é a orgem da varabldade, sto é, em qe parâmetros ela se faz setr em cocreto. Nm estdo ecoométrco, a detfcação dos parâmetros qe sofrem ma dfereça de valor etre das eqações de regressão revela-se, em geral, tão mportate como o smples cohecmeto de qe de facto exste ma dfereça etre a estrtra estmada de das poplações. Por exemplo, se a eqação de regressão (), as estatístcas t assocadas aos E.M.Q.O. γ e γ forem sgfcatva do poto de vsta estatístco, cocl-se, com m ível de sgfcâca de α%, qe exste ma dfereça etre os termos depedetes dos dos plaos de regressão e qe, smltaeamete, o coefcete clação parcal assocado à varável também mda etre os dos grpos. Atededo a qe ormalmete cada m destes parâmetros tem m sgfcado ecoómco, ma formação desta atreza pode ser extremamete útl. Em segdo lgar, estmar ma úca eqação de regressão com todas as observações costt ma forma mas efcete de testar a establdade dos parâmetros de ma eqação de regressão etre váras sb-amostra do qe recorrer ao teste de Chow. Como se dexo claro as qatro etapas qe caracterzam a realzação do prmero teste de Chow, a sa aplcação o cotexto de das eqações de regressão obrga ao ajstameto de três eqações de regressão dsttas: ma para cada grpo de observações e ma tercera redo todos os dados. Do mesmo modo, o teste de prevsão reqer, ecessaramete, a estmação de pelo meos dos modelos de regressão (m para cada período de estmação). Em qalqer dos cotextos e depedetemete do úmero de modelos de regressão cja galdade dos parâmetros se preteda testar, através da técca das varáves dmm apeas é ecessáro estmar m úco modelo de regressão lear para obter toda a formação relevate: ) Se exste o ão galdade etre parâmetros dos modelos assocados aos város grpos; ) No caso de exstr varabldade etre os parâmetros dos város modelos, qal é a fote o qas são as fotes dessa varabldade; ) Qal é a estrtra estmada para cada m dos cojtos de observações (determável através da atrbção de valores aos regressores dmm). VOLUME III º QUADRIMESTRE DE

25 R EVISTA DE E STATÍSTICA 65ª P A GINA º QUADRIMESTRE DE Por últmo, rer todas as observações para estmar m úco modelo de regressão, ameta o úmero de gras de lberdade e, coseqetemete, melhora a precsão relatva da estmação dos város parâmetros. Por exemplo, se o prmero teste de Chow rejetar a hpótese la, etão ma eqação de regressão para cada grpo de observações deverá ser ajstada. Se se preteder prever o comportameto da varável depedete para ma observação qe se sra m determado grpo partclar, deve tlzar-se a estrtra estmada para esse grpo de modo a ecotrar a prevsão pretedda, perdedo assm m úmero de gras de lberdade gal ao úmero de observações qe exstem para o otro grpo. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS CHOW, G. C. (96), Tests of Eqalt Betwee Sets of Coeffcets two Lear Regressos, Ecoometrca, Vol. 8,., pp CHATTERJEE, S. (99), Regresso Aalss b Example, segda edção. New York (Joh Wle & Sos, Ic.). DARNELL, A. C. (994), A Dctoar of Ecoometrcs. Aldershot (Edward Elgar). DUFOUR, J. M. (98), Dmm Varables ad Predctve Tests for Strctral Chages: A coordate Free Approach, Iteratoal Ecoomc Revew, Vol., pp DUFOUR, J. M. (98), Dmm Varables ad Predctve Tests for Strctral Chage, Ecoomc Letters, Vol. 6, pp DUFOUR, J. M. (98), Geeralsed Chow Tests for Strctral Chage: A Coordate- Free Approach, Iteratoal Ecoomc Revew, Vol.,., pp ERLAT, H. (978), O the Chow Test whe the Degrees of Freedom are Iadeqate, METU Stdes Developmet,., pp NOTAS: Um resltado mportate da álgebra matrcal relatvamete à característca de ma matrz, dz qe se o prodto de das matrzes A e B se ecotra defdo, etão r(ab) ão é maor do qe r(a) o r(b) (ver Maddala (99) pp. 49). Este resltado pode aplcar-se às matrzes e para provar qe a matrz ão é vertível. De facto, o prodto exste porqe é ( k ) e é ( k ). Uma vez qe r ( ) k, r ( ) k o qe sgfca qe ão é reglar. Neste caso, o determate de é lo e, coseqetemete, a matrz ão é vertível. A demostração das galdades (4) e (44) é semelhate à qe apresetamos em apêdce para provar as galdades (), () e (6), pelo qe ão será apresetada.

26 ERLAT, H. (985), "Testg for Strctral Chage at More tha Oe Swtch Pot: Iadeqate Degrees of Freedom ad Dmm Varables", Oxford Bllet of Ecoomcs ad Statstcs, Vol. 47,., pp 9-. FOMBY, T., CARTER, R. e JOHNSON, S. (984), Advaced Ecoometrc Methods. New York (Sprger-Verlag). GREENE, W. H. (99), Ecoometrc Aalss, segda edção. New York (Macmlla Pblshg Compa). GRIFFITHS, W. E., CARTER H. e JUDGE, G. (99), Learg ad Practcg Ecoometrcs. New York (Joh Wle & Sos, Ic.). GUJARATI, D. (97), "Use of Dmm Varables Testg for Eqalt betwee Sets of Coeffcets Two Lear Regressos: A Note, The Amerca Statstca, Vol. 4,., pp 5-5. GUJARATI, D. (97), "Use of Dmm Varables Testg for Eqalt betwee Sets of Coeffcets Two Lear Regressos: A Note, The Amerca Statstca, Vol. 4,., pp 5-5. GUJARATI, D. (97), "Use of Dmm Varables Testg for Eqalt betwee Sets of Coeffcets Two Lear Regressos: A Geeralsato, The Amerca Statstca, Vol. 4,. 5, pp 8-. HARDY, M. A. (99), Regresso Wth Dmm Varables (Sage Uverst Paper o Qattatve Applcatos the Socal Sceces, seres º 7-9). Newbr Park (Sage Pblcatos, Ic.). JOHNSTON, J. (984), Ecoometrc Methods, tercera edção. Acklad (McGraw-Hll). KMENTA (986), Elemets of Ecoometrcs, segda edção. New York (The Macmlla Pblshg Compa). MADDALA, G. S. (99), Itrodcto to Ecoometrcs, segda edção. New York (The Macmlla Pblshg Compa). STEWART, J. (99), Ecoometrcs. Cambrdge (Phlp Alla). VOLUME III º QUADRIMESTRE DE

27 R EVISTA DE E STATÍSTICA 67ª P A GINA º QUADRIMESTRE DE APÊNDICE Demostração das Igaldades () e () Partdo do modelo (8) a forma eqvalete: + γ + (47) vem M ) M (48) ( D D ( γ D D ) D ( ) (49) Assm, tem-se qe: D D [ ] ( ) (5) e, coseqetemete, ( D D ) D ( ) [ ] [ ( ) ] (5) ( ) Observe-se cotdo qe e são matrzes reglares pelo qe ( I dado qe ( ) ( ) ( ) ( ) ) (5). Pode etão escrever-se (5), alteratvamete, como: ( D D ) D [ ( ] ) (5)

28 Por sa vez, (54) ( ) o qe sgfca qe γ ( D D ) D ( ) [ ( ) ] ( ) (55) como se preteda demostrar. Para ecotrar a expressão qe defe determe-se: [ ( ] ) I ( ) (56) I I I D (D D ) D (57) I I ( ) M D em qe,, e são matrzes las do tpo ( ), ( ) e ( ), respectvamete. Por sa vez, e tedo em ateção (57), I M [ ] D [ ] (58) ( k k) e, coseqetemete, ( M ) D ( ) (59) VOLUME III º QUADRIMESTRE DE

29 R EVISTA DE E STATÍSTICA 69ª P A GINA º QUADRIMESTRE DE Do mesmo modo, M [ ] D (6) ( k ) Falmete, ( M ) M D D ( ) (6) ( ) como se preteda demostrar.

30 Demostração da Igaldade (6) vem Adaptado a galdade (49) às otações das matrzes/vectores do modelo (6) γ D D ) D ( ) (6) ( ode, este caso específco, b a e D b V Portato, D D [ V ] V V V ( ) (6) e (D D ) D (V V) [ V ] [ (V V) V ] (64) ( ) Uma vez qe V é reglar, (V V) V V (V) V V, o qe sgfca qe (D D ) D [ ] [ ] V V. (65) Logo γ [ ] a V b b a b a V b b (66) como se preteda demostrar. VOLUME III º QUADRIMESTRE DE